2026新高考数学一轮复习：平面向量（解析版）

新高考数学一轮复习

第讲平面向量

＜典，般有大小又有方向的忸叫做向斌

如痴・亚人仁林雨〃5：反之.

平面向量的概念及线性运算

!0l!Ua//illA«6,则一定44M的坎数3

如果，卡匕足“•个¥回内个不从HU4H.

屏么对rWtftfii内的什•TM；.标“G”•的

使制：■:.篙♦£,；.我城口H＜；.,则做

H本定建

&不国面内所有向*的fltttt.id为（*1,

入，4,则他矢JMH«，J的分网式・

平面向应基本定理和性质

企&usl.・匕助票也eriJi点.iuz＞=）j）c（xxi）・

线ta定比分点

的向总表达五

Y而内X14.B.CJ1线的€要条件是：

〃住攻佳仪1入。4，|1。瓦）VPU|lsl.。为平面内咱.）

化Zvibc中，若总〃是山”（的中点,则中线向皮历・；（.正♦.!?）

平面向量的坐标表示及坐标运算

-J/.如图)・2二3)，&IWlftBi僦d—〈c♦叫做・"6ma以&•、

、------------------------------z\W<I・M19«1，*“仙加0・RKty

品，3叫做“*iA5〃必L的相影数・，

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a・B=B・a

跤量积的运口it

(o+8)・c=a・c+6・c

r-a=a-r=|a|cos9

alb^a*b-0

平面向量的数量积及其应用同时,1J・Ms

敢守积的性质*1〉亦反向时.U丽.

3'=瑞耐

5国，丽

已如丰零向后:•«・.)・》-(/・%)・。为白敬，；、/•津)央角.

结论几X&示生林&示

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方〃X的充要条件Ab(b<0)

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XA刍时寸号戒也》

方法与技巧

技巧一.三角形四心与推论：

(1)O是A/18C的重心：s.:S.co.:S^0B=\:\:\^OA+OB+OC=().

(2)O是△ABC的内心：S.-.BOC:S.co.:S^.OB=a:b:coaOA+bOB+cOC=0.

(3)O是ZXABC的外心：

S,MOC：SCOA：S/SOB~sin2A:sin2B:sin2C=sin2AOA+sin2BOB+sin2COC=6.

(4)。是AABC的垂心：

S6BOC-Szg：S盘OB~tanA:tanB:tanC=tanAOA+tanBOB+tanCOC=6.

技巧二.常见结论

(1)内心：三角形的内心在向量至所在的直线上.

网国

(2)网•元+|网.M+同.方=。=~为&8。的内心.

(2)外心：。$='@='@=?为2\48。的外心.

(3)垂心：PApB=PBpe=PCPAQP为"BC的歪心.

(4)重心：川+/力+〃C；=(jo户为/MBC的重心.

题型一：平面向量的基本概念

【典例1・1】下列命题不正确的是（）

A.零向量是唯一-没有方向的向量

B.零向量的长度等于0

ab

c.若人心都为非零向量，则使同+付=成立的条件是2与否反向共线

D.若2=1,务=3»a=c

【答案】A

【解析】A选项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；

B选项，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确；

ab

C选项，因为己与鬲都是单位向量，所以只有当丁与国是相反向量，即2与否是反向共线时曰+后

才成立，故C正确；

D选项，由向量相等的定义知D正确.

故选：A

【方法技巧】

准确理解平面向量的基本概念是解决向量题目的关键.共线向量即为平行向量，非零向量平行具有传

递性，两个向量方向相同或相反就是共线向量，与向量长度无关，两个向量方向相同且长度相等，就是相

等向量.共线向量或相等向量均与向量起点无关.

【变式1・1】给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，

但它们的模能比较大小：③若”为实数），则入必为零；④已知九"为实数，若41=疝,则£与

A共线.其中错误命题的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】①错误.两向量共线要看其方向而不是起点与终点.

②正确.因为向量既有大小，.乂有方向.故它们不能比较大小，们它们的模均为实数，故可以比较大小.

③错误.因为41=0,所以幺=0或3=0.

④甯误.当/="=（）时，=f.ib,此时，Z与B可以是任意向最

所以错误命题有3个.

故选:C.

题型二：平面向量的线性运算及求参数问题

【典例2・1】如图所示，平行四边形A8CD的对角线相交于点。，石为A。的中点，若

DE=2AB+//4/)(2,//eR)>则4+〃等于().

A.1B.-1C.!D.—

22

【答案】D

TTT-»1->T]TT1T3T

【解析】由题意知。£=力4+4七=-人。+24。=-4。+上(4a+人/))=24^-二4。，

4444

TTT13|

因为oZ=/l4%+〃Ab(/l,〃eR),所以a=工，〃=-彳,2+〃=-],

故选：D.

【典例2・2】古希腊数学家特埃特图斯(Theaetelus)利用如图所示的直角三角形来构造无理数.已知

AB=BC=CD=1,AB1.BC,AC上CD,AC与BD交于点、O,若加=九4月+卜(/，则丸+〃=()

A.^2-1B.1—^2C.^2+1D.—yfo,—1

【答案】A

【解析】以。为坐标原点，CDC4所在直线分别为x,y轴建立如图所示的坐标系,

由胭意得AC=0，

则A（0,血）,8与日,C（O,O）J«=与一当,AC=（0,-x^2）.

\//

因为CB=C7）=1,NOCB=90+45=135°,故N4DC=225,

因为tan45'=2tan22.5=%所以tan22.5=应-1（负值舍去），

l-tan~225

所以。C=OCtan22.5=a-1，

故又0（-1,0）,则而=（1,&-1）,

1=——X

因为Z）0=Q^+NAC,所以，2,

夜一1=一当4一圆

、2

人=07-

解得,所以2+〃=&-1,

〃=一］

故选:A.

【方法技巧】

（I）两向量共线问题用向量的加法和减法运算转化为需要选择的目标向量即可，而此类问题又以“爪

子型''为几何背景命题居多，故熟练掌握“爪子型''公式更有利于快速解题.

（2）进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或

首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解.

（3）除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似

三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与己知向量有直接关系的向量来求解.

【变式2・1］如图，在平行四边形A8CQ中，AB=a,AD=h,点E满足石，=’48,则诙=（）.

3

【答案】A

I__2__

【解析】由题意知，点E满足=^^AE=-AC,

33

________2_____2________21

贝1」诙=而-而=一蔗-而=一（而+而）-而=与--b.

3333

故选:A.

【变式2-2】已知矩形A8C。的对角线交于点O,E为A。的中点，若灰=4而+〃而（2,〃为实数）,

则筋一〃2=（）

3-272八I+V2

Lz•

22

在矩形ABC。中，

W=^（DA+DC）,

在公。!。中，

DE=^（DA+DO）,

，碍胪+通觉小乒国眄

13

*〃=一屋

「22191

..4-L1----------=-----

16162

故选:A.

题型三：共线定理及其应用

【典例3・1】己知平面向量入办不共线，AG=4a+而,BC=-a+3b，6=3+3心则（）

A.A,8,。三点共线B.A,B,。三点共线

C.8,C,。三点共线D.A,C,。三点共线

【答案】D

【解析】因为平面向量3，石不共线，所以Z，办可以作为平面内的一组基底，

乂A月=43+缶，8。=一）+m，CD=a+3bI

目7以8/j=6C+O5=£+3/；-£+%=6/；，AC=AB+BC=-a+3b+4d-^=3a+9b^

对于A：因为4月=4£+6/；，“=砧，、B然不存在实数，使得，月=制3，

所以A,B,力三点不共线，故A错误；

对于B：因为A»=4a+6/；，AW=&；+95,不存在实数"使得=，

所以A,B,C三点不共线，故B错误；

对「C：因为炭=-)+笳，CD=a+3bf不存在实数“使得配=/宛D，

所以6,C,D三点不共线，故C错误；

对于D：因为*=3£+94,CD=(i+3b^所以衣=3S，

所以XC//C万，故A,C,力三点共线，故D正确.

故选：D

__2一

【典例3・2】如图，“IBC中，点M是8。的中点，点N满足AN=?A8,AM与OV交于点。,

而二4而7,则2=()

【答案】C

【解析】在448C中，点M是8c的中点，AM=^-AB+^-AC,则4万=/UA/=4A方+，

2222

uuUUD

又—AN=.2A—B,于是得AuuOu=^34/V®+gAAC,因点C,D,N共线，则有一32+梳2=1,解得九二］4，

所以4=14.

故选：c

【方法技巧】

要证明4,B,C三点共线，只需证明4与比共线，即证=(2e/?).若已知A,B,。三

点共线，则必有AQ与共线，从而存在实数4,使得通=

【变式3-1］已知［，］是两个不共线的单位向量，a=&—=-2e；+k最,若值与B共线，则仁=.

【答案】2

【解析】因为。=Gj与B=2etIAre2共线，所以

_2一义

即-21+砥=/怎一可，又„不共线，所以［二y所以攵=2.

故答案为：2

【变式3・2】如图，在&43C中，*=3丽,P是BN上的一点,若入户=。〃+；）+"AC；则实数加的值

CD

【答案】D

【解析】由题意可知，AN=^NC,所以尼=3苏"

一（I、一1——（1A—1—

乂入P=，〃+—AB+-AC,即AP=，〃+—A8+-AN.

<3）9\3J3

因为从P、N三点共线，所以（m+］+；=1,解得/〃=:.

IJ/JJ

故选：D.

【变式3-3］如图，点G为aABC的重心，过点G的直线分别交直线A8,AC点。，E两点,

AB=3mAD(ni>0),AC=3nAE(n>0),则/〃+〃=；若〃>/〃>0,则,+—!—的最小值为.

mn-m

【答案】13+2&

【解析】因为点G为A/WC的重心,

mi1umr1uiir

所以4G=-A8+-AC,

因为彳8=3mAD(m>0),AC=3nAE[n>0),

所以AG=mAD+nAE，

因为2G,E三点共线，

所以〃2+，2=1,

则〃=1—Hl>〃2,则0<HI<一,代入一H-----得一4------,0<"?<一

2mn-mm1-2m2

令"加持匕‘°<〃匕

/，("?)=—7H-------

7w(1-2/W)

_-2m2+477?-1

m2(I-2〃?)~

B或生"（舍）

令「（帆）=0,则〃?=

22

且当mw0.三版

时，r（，〃）〈ojw）递减

（y_JyiA

当阳£一，一，彳时，/'（〃?）>（）,/（〃。递增

乙乙

所以当〃一三巨时，/（,〃）有极小值，即最小值,

,，（〃?）_=----l4---7---=r=3+25/2

且“小n2—a1-（2->/2）

F

故答案为：1;3+2JL

题型四：平面向量基本定理、交叉分解定理及应用

【典例4-1】给定平面上的一组向量［、则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（）

A.20+6和q-/B.q+3e2和e2+3q

C.3e（-e2和2e2-64D.e］和e,+e2

【答案】C

【解析】对A：不存在实数％,使得24+E=4何-可，

故24+可和1-可不共线，可作基底；

对B：不存在实数4,使得0+3a=/1伍+3可，

故1+34和1+3冢不共线，可作基底；

对C：对宓-晟和2^-61，因为4方是不共线的两个非零向量，

且存在实数一2,使得2e?-6q=-2（3q-ej,

故和区-6e；共线，不可作基底;

对D：不存在实数4,使得1=2怎+可,故4和4+最不共线，可作基底.

故选:C.

【典例4-2］如图，在A44C中，点Q,D,K分别为"C和"4的三等分点，点。靠近点段月。交CE于

点P，设碇=3，丽=万，则8户=（)

C./+夕

A,-，+力B.-a+-bD.

777777

【答案】B

【解析】设Q=2而，£户="£。,

所以丽=/_丽=丸和一丽=亢（而—或）_而,

।2

又2力=5初，所以而=§配+（1-4）雨,

—2—

因为8E=§84,

所以8户=8启+£户=日函+〃50=日函+〃（86;-3左）=弓（1一4）8.+〃86；,

A

A=-

3=〃7

所以；2，解得'

1

------u=1—A.

33户

所以丽=醇+押*+/,

故选：B.

【方法技巧】

应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或

数乘运算，基本方法有两种：

（1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止.

(2)将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解.

(3)三点共线定理：A,B,。三点共线的充要条件是：存在实数44，使加=%)+〃而，其中

尤+〃=1,。为AB外一点.

【变式4-1］在中，点。在边A8上且满足罟=2,E为BC的中点，直线。E交AC的延长线于点

凡则际=()

A.丽+2而B.一丽+2阳C.WA-RCD.-2R4+BC

【答案】B

【解析】

由题，A,C,尸三点共线，则/丽+(1-2)雨,

D,E,产三点共线，则8户=〃B/5+(l—〃)8^=3函+彳8。,

2=A

1,得，2=­I

1一〃〃二一3

2

-BF=-BA+2BC.

故选:B.

【变式4・2】如图，平面内有三个向量悯，丽，0C，其中8,08=120：0Aoe=30,且

|研=|函=1，］国=20,若灰=m赤+nU§，则加+〃=

6k)20°

OA

连接AB，交0C户点。.

则CDOA=NOAO=4)BD=30,N8OO=90\|OZ)|=|西tan30=与,

叫网邛网=半

____I_9_1一

法一：由平面向量基本定J[P.WOD=OA+AD=OA+-AB=-OA+-OB.

|0C|=2x/3=6|0D|,

/.OC=6(：O.+；0g)=4OA+20反m+〃=6.

\0C\_°C_2丛—

法二：根据等高线定理可得画一2-"+"'&一而一方一6…〃什〃-6.

T

故答案为：6

【变式4・3】已知△A8C为等边三角形，分别以C4,C8为边作正六边形，如图所示，则（

—7——

B.EF=-AD+3GH

2

-9——

C.EF=5AD+4GHD.EF=-AD+3GH

2

【答案】A

【解析】选取池，而为基底，

TF=EH+HF=3AB+AC

AD=BG=2BC=-2AB+2AC，

GH=GB+BH=2CB+AB=2AB-2AC+AB=3AB-2AC，

^EF=xAD+yGH=-2xAB+2xAC+3yAB-2yAC

=(-2x+3yYAB+(2x-2y)AC,

9

-2x+3y=3x=—

.X"2)，'=1，.二〈[…2,

即M=]AO+4G”.

故选：A

题型五：平面向量的直角坐标运算

【典例5-1］已知。为AABC的外心，若A(0,0),4(2,0),AC=l,N/MC=120,且2A月+〃/,则

%+〃=()

A2

A-3B.2C.1D-T

【答案】D

【解析】若A(0,0),B(2,0),AC=l,N84C=120。,则有C,如图所示,

设的外心。(乂丁),由|。4|二|。臼，得产了=后手，，解得x=l,

,解得),=竽

由|3|二|0C|,得出行=

得小平,则"=(邛

由=+〃/,即(1,半)r_i勾

2(2,0)+//

5'2'

22-1//=1

得解得

石254

一N=---//=—

233

故儿+〃=片.

6

【典例5・2】已知梯形A8C。中，AB//CD,AB=2CD,三个顶点A(4,2),8(2,4)((1,2).则顶点。的坐

标.

【答案】(2,1)

【解析】•••在梯形A8CD中，AB=2DC,AB//CD,442),6(2,4),C(l,2).

^AB=2DC.设点。的坐标为“，y).

贝IJ比二(1一天2-)，)，而=(-2,2).

.•.(-2,2)=2(1-x,2-y),即(-2,2)=(2-2xA-2y)f

9-2r=-2fr=2

•••,r°,解得:故点。的坐标为(2/)・

4-2.v=2,(y=l.

故答案为：(2,1).

【方法技巧】

(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算法则进行，若己知有向线段两端点的坐标,

则应先求向量的坐标.

(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.

【变式5・1】已知点0(0,0),向量8=(1,3),砺=(-3,5),点P满足存=2万，则点尸的坐标为.

【—答案】b(5T13]

【解析】因为点0(0,0),向量9=(1,3),丽=(-3,5),

所以A(l,3),8(—3,5),

设P(x,y),则AP=(x,y)-(l,3)=(x-l,y-3),

丽=(-3,5)-(x,y)=(-3-x,5-)，),

_5

[X-1=2(-3-A)X=-3(513、

因为*2两所以仁=2(5.J解得_j所以NF力

7"3

故答案为：[

题型六：向量共线的坐标表示

【典例6・1】已知d=(4,—2),5=(6,)，)，且d/区，则)'=—.

【答案】-3

【解析】由可得4)，=-2X6,解得，产-3.

故答案为：-3.

【典例6・2】已知向量福二(2,3),配=(2科5),①=(3,-1),若A,B,7)三点共线，则〃?=

【答案】-7

6

【解析】由丽=而+右方=(2〃?+3,4),又从田。三点共线，

所以A*=(2,3)与丽=(2〃?+3,4)共线，得2x4-3X(2〃7+3)=O,解得〃?=—1

6

故答案为：

0

【方法技巧】

(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若&=a，x)，b=(x2>y2),则的充要条件是

x}y2-x2y\=0：②若(l//b(b00),则a=Ab.

(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时,

也可以利用坐标对应成比例来求解.

【变式6・1】已知向量。二(3,4),〃二(一1,5)忑二(2,3),若乙一乙与化+5共线，则实数，=.

【答案】-6

【解析】因方Y=(3,4)—(2,3)=(1,1),tc+b=r(2,3)+(-1,5)=(2r-1,3r+5),

则由G-守与笈+B共线可得，3r+5=2/-l,解得，=-6.

故答案为：-6.

［变式6・2】在平面直角坐标系方丹中,已知点4T2),B(l,l),C(-3J).则AB的中点坐标为；当

实数阳=时，5OC+O*MAB.

【答案】(0,|1/(0,1.5)3

【解析】因为4T2),仅1,1),C(-3,l),所以"的中点坐标为:二手，手}即

又初=(1,1)一(一1,2)=(2-1),丽=(1,1),OC=(-3,1),

则mOC+9=5(-3,1)+(1,1)=(-35+1,+1),

因为(〃?OC+O8)〃A8,则2(〃?+l)=-1(—3〃?+1),解得〃?=3.

故答案为：(0卷)；3

题型七：平面向量的数量积运算

【典例7-1】设平面向量々=(1,3),1^1=2,且5|=痴，则(20+5)(万一5)=()

A.1B.14C.714D.V10

【答案】B

【解析】因为Z=(l,3),所以同=亚，又历|=2,

贝IJm-6|2=。2-2办6+户=14—2〃万=10,

所以4•〃=2,

则伽+B)(g_5)=d~-ab-b2

=20-2-4=14,

故选：B.

【典例7・2】在R"ABC中，ZC=90°,AH=4,AC=2t。为△ABC的外心，则行.前=()

A.5B.2C.—4D・-6

【答案】D

【解析】在RSA8C中，A8=4,AC=2,BC=742-22=25/5»ZB=30°

.•.河明二150。

又。为"AC的外心，」.o是48的中点，..皿人？

ULIULUKIIUIIUI|ULM|(IA

.­.ZO-fiC=|/lO|-|5C|-cosi50o=2x2V3xl-1l=-6

故选：D

【典例7・3】如图，圆M为AABC的外接圆，A8=5,47=7,N为边8c的中点，则而•磁二

【分析】由三角形中线性质可知AN=；（A月+AC）,再由外接圆圆心为三角形三边中垂线交点可知

|AA/|COSZBAM=1|AB|,同理可得kMcosNC4M=；A3,再由数量积运算即可得解.

【详解】N是BC中点，

.•.布=：（而+硝，

为.ABC的外接圆的圆心，即三角形三边中垂线交点，

俞.丽=|网网cos4M=||A5|2=^x52=y,

同理可得初•而=；|码2=g,

____________1/___、1______1_______12514937

/.AMAN=AM—{AB+AC]=-AM=——=—.

2、]2222222

37

故答案为：y

【方法技巧】

(1)求平面向量的数量积是较为常规的题型，最重要的方法是紧扣数量积的定义找到解题思路.

(2)平面向量数量积的几何意义及坐标表示，分别突出了它的几何特征和代数特征，因而平面向量

数量积是中学数学较多知识的交汇处，因此它的应用也就十分广泛.

【变式7・1】已知向量心.满足|司=2,向=有，且力与方的夹角为2，则仅+孙(21-勾=()

A.6B.8C.10D.14

【答案】B

【解析】'

由|司=2,向二右，且a与万的夹角为‘

所以+万）・（2a—方）=2a+ab-b

=阴+耶卜哈印

=2x2?+2xGx*-（可

8.

故选：B.

【变式7・2］已知同=6,*3,向量口在囚方向上投影向量是4工，则小6为()

A.12B.8C.-8D.2

【答案】A

【解析】4在B方向上投影向量为同coseG=4&

.".同cos6=4,cib=|d||^|cos^=4x3=12.

故迄A

【变式7・3】已知边长为I的正方形4BCQ,点E,尸分别是8C,。。的中点，则赤・乔=()

3131

A.—B.-C.—D.—

4444

【答案】D

【解析】边长为1的正方形ABC。,/SAD=O»|AB|=|AD|=I,

DC

EF=^BD=^AD-AB),

2

所以4心E户=(4月+gA£j)(；A£j-gA月、=

故选:D.

题型八：平面向量的夹角问题

【典例8・1】已知单位向量”满足卜-3+3,则cos@N

【答案】2

6

【解析】因为卜”3可=3,且|不|=出|=1,

所以|"3刃产=9,

所以东-6〃出+952=9,

即,力」

又。出=|司卡际(25),同=忖=1,

所以cos0/；)=1.

故答案为：!

o

【典例8・2】已知G=(2,l),5=(k-2)欢eR.万与5的夹角为夕.若夕为钝角，则2的取值范围是—.

【答案】A<1且&WT

ab2k-2

【解析】由c°s®=丽二石.”二4,且。为钝角，所以2"2<。，解得“<1,

当》/a时，则2X(—2)—A=0,解得&=-4,此时△与坂夹角为兀，不成立,

../<1且&wT.

故答案为：A<1且AwT.

【方法技巧】

求夹角，用数量积，由|R?|B|COS夕得cosq=°"二=/XL+y已进而求得

⑷皿।7^77斤W7

向量。出的夹角.

【变式8・1]已知2,1均为非零向量,若|21一向=|勿=2|吊,则2与石的夹角为.

【答案】y

【解析】由|2力-力=|/；|,可得|26-5『=|/开，即4|讨一4。•万十|开=万＞,解得2./；="“，

因为|向=2|3|,所以85@今=言曾=《%=:，

'/\a\\b\2\a\-2

又因为。斗孙4兀，所以@万〉=三,

故答案为：y.

【变式8-2】已知单位向量4与鼻的夹角为名则向量4与2]3瓦的夹角为一.

【答案】曰/120。

【解析】因为单位向量，与月的夹角为三，

所以]运=同•同8S^=1X|X；=；,

所以（6+2«2＞（24_362）=26+61.4—6«2=2+[-6=—,

伍+2.）=冢~+4e；运+4]=l+4xg+4=7,散e、+2e?=不,

3]-3.）=4e）-12^-^2+9e2~=4-12x—+9=7,故,_34=近,

所以cos（4+2最2心3⑥=（：「羽”2。-3m==」，

㈠2,2/#+2可忸—3qgx/2

又（4+2£2冢-30«0,兀],

所以向量q+21与2,-3晟的夹角为

故答案为：

题型九：平面向量的模长

【典例9・1】已知向量5满足同=1，|5卜3,万一5=(2,")，则枢+坂=.

【答案】3正

【解析】同=1,k卜3,=(2,后)可得,一同一="+犷一2—&2?+(")2=10=>«/>=0,

故忸+b\=>]9a2+b+6ah=y/9+9=3&，

故答案为：3后

【典例9・2】平面向量aG满足彳=(2,1),aHb,祗6=-质,则M卜一.

【答案】a

【解析】设向量，；=(x,y),由白〃5可得]=:,

【方法技巧】

求模长，用平方，\a\=VF.

【变式/1】若向量比，而满足恻=1,同=2,且(历T)_L比，则恒一同=()

A.1B.&C.V7D.2

【答案】B

【解析】因为(而一万)J_庆，所以(沆-万)•所=0,

所以|加「-|而||”|cos0=O,所以cose=g,其中。是所，万的夹角，

所以同一句=y](m-fi)2=J1+4_2x2xlx,=.

故选：B.

【变式9・2】已知平面向量2,4的夹角为:，若同=1,|22-4=而，则恸的值为

【答案】3行

【解析】由2〃-目=\/!75两边平方得(2Z-q=10,4«2-4ab-ib~=4-4x1x|5|-cos^+|^|2=10,

怀一26忖一6=0胴-3直咽+旬=0,解得％=3后

故答案为：3&

题型十：平面向量的投影、投影向量

【典例10・1】平面直角坐标系宜内中，点P在直线工+2），+1=0上.若向量：=。,2）,则而在Z上的投

影问量为（）

(_\_二I2

A.「M3B.

<555

(旧2石)

C.D.(-1,-2)

55

【答案】A

【解析】由题可设P（-2/-l,f）,则。户=（一2/-1,/），

所以OA£=（-2r-l"ML2）=—l，又同=4+22=逐,

故而在2上的投影向最为

|加|cos伊国百=|丽|OP*aa_OPKI-_I-

丽就1-1)

故选：A.

【典例10・2】在直角梯形ABC。中，4。〃4。且8c=24O,A8_L4Q,AC与8。交于点。，则向晟丽

在向量丽上的投影向量为（）

|一1__.2—3一

A.-BAB.-BAC.-BAD.-BA

2334

【答案】C

【解析】在直角梯形A8CO中，AD//8C且8c=2AD,ABJ.AD,过。作OEJLABfE,

则0E/MD//8C,故\B局E\=IB扁OI=\B局C\=2,从而\BE周\二曲\BF\可二而2三2.

因此击•丽=|前||而|cos/O8E=|诙||丽|二§|丽『，

所以向量而在向量丽上的投影向量为

故选：C

【方法技巧】

设6是两个非零向量，它们的夹角是与/;是方向相同的单位向量，AB=a,CD=b,过A月的

起点A和终点4,分别作历所在直线的垂