分式方程-八年级数学上册（含解析）

专题15.3分式方程

典例体系（本专题共58题25页）

一、知识点

分式方程

1.分式方程：指含分式，且分母中含有未知数的方程

2.解分式方程的步骤：

（1）能化简的先化简

（2）去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程）

（3）解整式方程，得到整式方程的解。

（4）检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：如果最简公分母为0,则原方程无解，这个未知数的值

是原方程的增根；如果最简公分母不为0,则是原方程的解。

注意：产生增根的条件是①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。

列分式方程一基本步腺：审，设，歹U，解，答（跟一元一次不等式组的应用题解法一样）

①审一仔细审题，找出等量关系。

②设一合理设未知数。

③列一根据等量关系列出方程（组）。

@解一解出方程（组）。注意检验

⑤答一答题。

二、考点点拨与训练

考点1：解分式方程

典例：（2020•扬州市梅岭中学月考）解F列方程

【答案】（l）x=6；（2）分式方程无解.

【解析】（1）去分母得:2x=3（x-2）,

去括号得：2x=3x-6,

解得:x=6,

经检验x=6是分式方程的解；

（2）去分母得：（x+l）2・（x2・1）=4,

整理得:x2+2x+l-x2+l=4,

解得：x=l,

经检验X=1是增根，

・••该分式方程无解.

故答案为（l）x=6；（2）该分式方程无解

方法或规律点拨

本题考查了解分式方程，在解题过程中一定要注意检验所求解是否为增根，这是本题的关键，如果是增根,

则分式方程无解.

巩固练习

A.x-4=3-2B.x-4=3-2x+l

C.x-4=3-2x+2D.x-4=3-2x-2

【答案】D

【解析】分式方程去分母得：x-4=3-2(x+l),

去括号得：x-4=3-2x-2.

故选D.

A.x=3B.x=4C.x=5D.x=-5

【答案】C

【解析】方程两边同乘(xl)(x+3),得

x+32(xl)=0,

解得：x=5,

检验：当x=5时，(xl)(x+3)和,

所以x=5是原方程的解，

故选C.

A.x+2=2x(x+2)B.x+2(x2-4)=2x(x+2)

C.x+2(x-2)=2x(x-2)D.x+2(x2-4)=2x(x-2)

【答案】B

【解析】解：去分母得:x+2(x24)=2x(x+2).

故选：B.

【答案】D

【解析】解：分式方程的最简公分母为(xT)(x+l),

方程两边乘以(x-l)(x+l),得整式方程2(x-l)+3(x+l)=6,

解得：x=l,

经检验x=l是增根，分式方程无解.

故选D.

【答案】分式方程无解.

【解析】去分母得：於+1)-r+1=2,

去括号得：f+x・/+1=2,

解得：尸1,

经检验x=l是增根，分式方程无解.

【答案】(1)无解；(2)x=0

【答案】x=l.

去分母得:9x-7+4x-5=3x-2,

解得：x=l,

经检验X=1是分式方程的解.

【答案】X=l

【解析】解：方程两边都乘以x(xl)得3x(x2);。

解这个方程得x=l

当x=l时x(xl并0,

：.x=l是原分式方程的解，.

【答案】x=-3

【解析】去分母得：2x=x-2-1.

解得：X--3,

经检验x=-3是分式方程的解.

【答案】无解.

【解析】解：去分母得：15xl2=4x+103x+6,

移项合并得：14x=28,

解得:x=2,

经检验x=2是增根，分式方程无解.

【答案】x=l.

l+2(x-2)=-x,

l+2x-4=-x,

2x+x=4-1,

3x=3,

x=l,

经检验，x=l是原方程的根.

【解析】解：2(xl)+(x+2)(xl)=x(x+2)

x=4

检验：x=4是原方程的解

所以方程的解是x=4.

考点2：根据分式方程解得情况求参数取值

【答案】0.

VA>0,

・•・满足条件的非负整数A的值为Q、1,

.♦•满足条件的非负整数A的值为C.

故答案为：0.

故选c.

【答案】A

移项及合并同类项，得

故选A.

93

A.m<—m<—且m,一

222

3

4

【答案】B

【解析】解：去分母得：x+m-3m=3x-9,

9

所以-2m+9>0,解得mV—，

2

93

所以m的取值范围是：mV—且:nW-.

22

故答案选B.

A.正数B.负数C.零D.无法确定

【答案】A

解得7Vk<14

；・整数2为6,5,4,3,2,1,0,I,2,3,4,5,6,7,8,9,10,II,12,13,

又•.•分式方程中x,2且xH3

，厚35且k翔

工所有符合条件的k中，含负整数6个，正整数13个，・・・k值的乘积为正数，

故选A.

【答案】C

•・•解是负数

故答案为：C.

【答案】k<6且k#3

方程两边都乘以(x3),得

x=2(x3)+k,

解得x=6k¥3,

x=6k>0,

k<6,且修3,

・・・k的取值范围是kV6且导3.

故答案为kV6且H3.

【答案】a>l且a声2

【解析】分式方程去分母得：2x-a=x-1,解得：x=a-I,

根据题意得：a-1>0,解得：a>l.

又当x=l时,分式方程无意义，，把x=l代入x=a-1得a=2.

・••要使分式方程有意义，a,2.

的取值范围是a>l且ar2.

・・、-2和,解得"2,

•・•方程的解是正数，

m+6>0且m+6,2,

解这个不等式得m>-6且m#-4.

故答案为：m>-6且n#-4.

【答案】kV3且k*.

(a2i(lx)=x+l,

(laix=3a,

•方程的角吊小于零，

【答案】m>1且n#3

【解析】解：方程两边同乘以xl,得，m3=2(xl),

m>1Km/3,

故答案为：m>l且m却.

【答案】k>2且k¥3

【解析】解：方程两边都乘以(x+3)(x+k)得,

3(x+k)=2(x+3),

解得x=3k+6,

•・•方程的解是负数，

，3k+6V(),

解得k>2,

又,；x+3¥0,x+k和,

x#：3»x^k

3k+6#3,3k+6#k

，k¥3,

Ak>2Kk/3.

故答案为：k>2且k#.

【答案】a>l

【解析】解：去分母得2x+a=xL

解得x=al,

・・,x>0且xrl,

，al>0且a"L解得aVl且a#2,

・••”的取值范围是aVl且a#2.

故答案为aVl且狎2.

【答案】〃?>・2且*-1

【解析】方程两边同时乘以x-1得，x-2（x-1）=-〃?，

解得x=〃?+2.

•b为正数，

：.nt+2>0f解得m>-2.

•・•加,

；・m+2#l,即，n*-1.

的取值范围是m>-2且机H-1.

故答案为机>-2且〃#-1.

【答案】a>3且a*

•••方程有一个正数解，

解得：a>3且存1,

故答案为：a>3且a力.

考点3：列分式方程

【答案】D

【解析】解：设施工队原计划每天铺工米，则

故选£）

方法或规律点拨

本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.

巩固练习

1.（2020・景泰县第四中学期末）为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款.已知

第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人

均捐款额恰好相等.如果设第一次捐款人数为x人，那么x满足的方程是（）

【答案】B

【解析】解：设第一次有x人捐款，那么第二次有（x+20）人捐款，由题意，有

故选B.

2.（2020•江西寻乌・期末）某电子元件厂准备生产4600个电子元件，甲车间独立生产了一半后，由于要尽快

投入市场，乙车间也加入该电子元件的生产，若乙车间每天生产的电子元件是甲车间的1.3倍，结果用33

天完成任务，问甲车间每天生产电子元件多少个？在这个问题中设甲车间每天生产电子元件x个，根据题

意可得方程为

【答案】B

【脩析】根据等量关系可列出方程：

3.（2020・河北灵寿・期末）八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分

钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍.设骑车学生的

速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（）

【答案】C

【解析】由题意可得，

x2x=3,

故选：C.

【答案】B

【解析】解：设新生产线加入前，每天生产口罩x万只，则根据题意可得：

故选B.

4.（2020•安徽临泉•期末）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展.据调查，湘潭某家小型

快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物

件所川的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件.若设小江每小时分拣X个物件，则可列方程

为（）

【答案】B

【解析】解：由题意可得，

故选B.

5.（2020•福建省泉州实验中学期天）A,B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每

小时多搬运40千克，A型机器人搬运1200千克所用时间与B型机器人搬运800千克所用时间相等.设B

型机器人每小时搬运化工原料x千克，根据题意可列方程为（）

【答案】A

6.（2020•河南遂平・期中）某煤矿原计划x天生存120t煤，由于采用新的技术，每天增加生存33因此提前

2天完成，列出的方程为（）

【答案】D

7.（2020•广西百色♦期末）A,4两地航程为48千米，一艘轮船从A地顺流航行至“地，又立即从“地逆流

返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方

程（）

【答案】C

【解析】解：由题意可得，

故选:C.

8.（2020,衡阳县井头镇大云中学期末）某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成,

后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x件，则x应满足的方程为（）

【答案】D

故选:D.

9.（2020・四川巴州・期末）为响应“科技扶贫”，我区某单位向一贫困村赠送1080本农村实用书籍，现用A、B

两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱多用6个；已知每个B型包装箱

比每个A型包装箱可少装15本课外书.若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（）

【答案】B

故选:B.

1（）.（2020.广东禅城.期末）轮船顺流航行60千米后返回，共用了5小，己知水流速度是3千米/时，如果轮

船在静水中的速度为x千米/时，则所列方程正确的是（）

【答案】C

【解析】解：设轮船在静水中的航行速度为x千米/时，

故选：C.

II.（2020・四川南江・期末）某中学为了创建“最美校园图书屋”，新购买了一批图书，其中科普类图书平均每

本刊的价格是文学类图书平均每本书价格的L2倍.已知学校用12000元购买文学类图书的本数比用这些钱

购买科普类图书的本数多100本，那么学校购买文学类图书平均每本书的价格是多少元？设学校购买文学

类图书平均每本书的价格是x元，则下面所列方程中正确的是（）

【答案】B

故选B.

12.（2021.浙江瑞安・开学考试）抗击新冠肺炎疫情期间，某口罩厂接到加大生产的紧急任务后积极扩大产能，

现在每天生产的口罩比原来多4万个.已知现在生产100万个匚罩所需的时间与原来生产60万个口罩所需

的时间相同，问口罩厂现在每天生产多少个口罩？设原来每天生产x万个口罩，则由题意可列出方程（）

【答案】B

【解析】解：设原来每天生产x万个口一罩，则现在每天生产（x+4）万个口罩，

故选:B.

13.（2020・江苏宿迁•二模）小明坐滴滴打车前去火车高铁站，小明可以选择两条不同路线：路线A的全程是

25千米，但交通比较拥堵，路线B的全程比路线A的全程多7千米,但平均车速比走路线A时能提高60%,

若走路线B的全程能比走路线A少用15分钟，若设走路线A时的平均速度为x千米/小时，杈据题意，可

列分式方程.

【解析】解：设走路线A时的平均速度为x千米/小时，则走路线B时的平均速度为（l+60%）x千米/小时，

15.（2018•河北邢台•一模）两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的!，这时

3

增加了乙队，两队又共同工作了半个月.总工程全部完成，设乙队单独施1个月能完成总工程的工，根据

x

题意，得方程.

【解析】解：设乙队单独施1个月能完成总工程的X,

16.（2020•北京海淀•人大附中其他）一所中学组织学生去某市进行研学活动，原计划乘坐特快列车前往，为

了节省时间，现改为乘坐高铁列车前往.已知北京与该市的距离约为1200千米，高铁列车的平均速度是特

快列车的平均速度的2.4倍，且乘坐高铁列车所用时间比乘坐特快列车所用时间少用7小时，设特快列车的

平均速度为R千米/时，则可列方程为.

17.（2020・四川开江•期末）疫情期间，某工厂一生产车间获得只口罩的生产订单，加工60000个口罩后，采

用了新的生产工艺，效率调高到原来的2倍，任务完成后，发现比原计划少用了10小时.设采用新工艺之

前每小时可生产口罩x个，依据题意可得方程.

【解析】解：设采用新工艺之前每小时可生产口罩x个，则采用新工艺之后每小时可生产口罩2x个，

考点4：分式方程应用题

（1）求购进的第一批医用口罩有多少包；

【解析】（1）解：设购进的第一批医用II罩有X包，

⑵解：设该医用口罩每包的售价为），亓，

答：该药店销售该医用口罩每包最高售价为3元.

方法或规律点拨

此题主要考查列分式方程和一元一次不等式解应用题，理解题意，找出实际问题中的等量关系和不等关系

是解题关键.

巩固练习

1.（2019•河北南宫•期末）甲、乙两同学的家与学校的距离均为6400米.甲同学先步行400米，然后乘公交

车去学校（由步行改乘公交车的时间忽略不计），乙同学骑自行车去学校，已知甲步行速度是乙骑自行车速度

的;，公交车的速度是乙骑自行左速度的3倍.甲、乙两同学同时从家出发去学校，结果甲同学比乙同学

早到8分钟.

（1）求乙骑自行车的速度；

（2）当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？

【答案】（1）乙骑自行车的速度为400m/min；（2）乙同学离学校还有3200机

【解析】解：（1）设乙骑自行车的速度为xm/min,则公交车的速度是3xm/min,甲宓行速度是-.rm/min,

解得：尸400.

经检验x=400原方程的解

答：乙骑自行车的速度为400m/min.

⑵当甲到达学校时，乙同学还要继续骑行8分钟，所以8x400=3200（"。.

答：乙同学离学校还有3200〃?.

2.（2020♦广西右江•一模）节能乂环保的油电混合动力汽车，既可以用油做动力行驶，也可以用电做动力行驶，

某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动力行驶，则费用为80元；若完全用电做动力

行驶，则费用为30元，已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多0.5元.

（1）求：汽车行驶中每千米用电费用是多少元？甲、乙两地的距离是多少千米？

⑵若汽车从甲地到乙地采用油电混合动力行驶，旦所需费用不超过50元，则至少需要用电行驶多少千米？

【答案】（1）每千米用电费用是0.3元，甲、乙两地的距离是100千米；（2）至少需要用电行驶60千米.

【解析】解：（1）设汽车行驶中每千米用电费用是x元，则每千米用油费用为（x+0.5）元，

解得：x=0.3,

经检验x=0.3是原方程的解.，

・••汽车行驶中每千米用电费用是0.3元，甲、乙两地的距离是30:0.3=100千米；至少需要用电行驶60千米.

（2）汽车行驶中每千米用油费用为0.3+0.5R.8元，

设汽车用电行驶ykm,

可得：0.3y+0.8（100y）W50,

解得：y>60,

所以至少需要用电行驶60千米.

⑴求第•次所购水果的进货价是每千克多少元？

（2）在实际销售中，两次售价开始均相同，但第一次购进的水果在销售过程中，消费者挑选后，由于水果品

相下降，最后50千克八折售出：第二次购进的水果由于同样的原因，最后100千克九折售出，若售完这两

批水果的毛利不低于940元，则每千克开始售价至少为多少元？

【答案】（1）2元；（2）3元

【解析】解：（1）设第一次所购水果的进货价是每千克x元.由题意，得

检验，是原方程的根，

答：第一次所购水果的进货价是每千克2元.

每千克开始售价至少为〃?元.由题意，得

即每千克开始售价至少为3元.

4.（2019・广东潮州•其他）甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独施工完成此项任务比乙队单独

施工完成此项任务多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同.

(1)甲、乙两队单独完成此项任务各需多少天？

(2)若甲、乙两队共同工作了3天后，乙队因设备检修停止施工，由甲队继续施工，为了不影响工程进度，

甲队的工作效率提高到原来的2倍，要使甲队总的工作量不少于乙队的_L作量的2倍，那么甲队至少再单

独施工多少天？

【答案】(1)甲队单独完成此项任务需30天，乙队单独完成此颊任务需20天(2)甲队至少再单独施工3天

【解析】解：(1)设乙队单独完成此项任务需x天，则甲队单独完成此项任务需(x+10)天，

解得,x=20,

经检验x=20是原方程的解.

:.x+10=30.

答：甲队单独完成此项任务需30天，乙队单独完成此颊任务需20天.

答：甲队至少再单独施工3天.

5.(2020•海东市教育研究室期末)枇杷肉质厚实，鲜甜微酸，营养价值很高，是初夏里受人们喜爱的水果之

一.枇杷一上市，某水果店的老板就用1350元购进一批枇杷，艰快售完.老板又用190()元败进第二批枇

4

杷，所购箱数是第一批的二倍，但进价比第一批每箱多了5元.

(1)求第•批枇杷的每箱进价.

(2)老板以每箱145元的价格销售第二批枇杷，但出80%后，为了尽快售完，决定将剩下的打折促销.要使

得第二批枇杷的销售利润不