高三数学一轮复习讲义（基础版）空间距离及立体几何中的探索性问题

§7.9空间距离及立体几何中的探索性问题

【课标要求】1.会求空间中点到直线以及点到平面的距离2以空间向量为工具，探究空间几何体中线、面的

位置关系或空间角存在的条件.

1.点到直线的距离

如图，已知直线/的单位方向向量为小A是直线/上的定点，P是直线/外一点，设正=°,则向量Q

在直线/上的投影向量而=(〃•〃)〃，在Rt^APQ中，由勾股定理，得自。=J|而门一|而F

2.点到平面的距离

如图，已知平面a的法向量为小A是平面a内的定点，尸是平面a外一点.过点?作平面a的垂线/,

交平面a于点Q,则〃是直线/的方向向量，且点。到平面。的距离就是Q在直线/上的投影向量炉

的长度，因此PQ=|泰*|=|鬻=-------------------------•

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“4”或“X”)

⑴平面。上不共线的三点到平面£的距离相等，贝ija〃氏()

(2)点到直线的距离也就是该点与直线上任一点连线的长度.()

⑶直线/平行于平面a,则直线/上各点到平面«的距离相等.()

(4)直线/上两点到平面a的距离相等，贝心平行于平面/()

2.(2024•新余模拟)已知A(—1,-1,-1),直线/过原点且平行于。=(0,1,2),则A到/的距离为()

A.延B.lC.叵D.叵

555

3.若平面〃，用分别经过坐标原点。和点A(2,1,1),旦平面a,夕的一个法向量分别为加=W5,0,-

A/3),〃=(—1,0,1),则两平面间的距离是.

4.设正方体ABCO-A81Goi的棱长为2,则点。到平面48。的距离是.

题型一空间距离

命题点1点线距国

例1四面体。48C满足NAO8=N8OC=NCQ4=90。，。4=1,08=2,OC=3,点。在棱OC

上，且OC=3OO,点G为△ABC的重心，则点G到直线A0的距离为（）

A.—B.-C.-D」

2233

命题点2点面距离

例2在棱长为2的正方体ABC。一A/iGQ中，E,b分别为棱44，8与的中点，G为棱上的

点，且4G=，0</lv2）,则点G到平面。之尸的距离为（）

A.2V3B.V2C.—D.—

35

异面直线之间的距点

已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的

线段，叫做这两条异面直线的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离.

典例在四棱锥P-ABCD中，底面/WC。是边长为3的正方形，P4_L底面ABCD,PA=6,点G在侧棱

PB上，且满足2PG=GB,则异面直线PC和。G的距离为（)

A3vH3V15c3>/21

DD磬

A.D.——C.

思维升华（1）点到直线的距离

①设过点P的直线/的单位方向向量为〃，A为直线/外一点，点4到直线B的距离d=J丽2一（同.用2.

②若能求出点在直线上的射影坐标，可以直接利用两点间距离公式求距离.

（2）求点面距一般有以下三种方法

①作点到面的垂线，求点到垂足的距离.

②等体积法.

③向量法.

跟踪训练1（多选）如图，在棱长为1的正方体A8CO—ABCQ中，点E在8。上，且跖=匏。；点

尸在四上，且b=[C8].则下列结论正确的是（）

A.EF=—

B.线段E尸是异面直线BD与C3的公垂线段

C.点D、到直线EF的距离为:

«3

D.点5到平面DEF的距离为当

«5

题型二立体几何中的探索性问题

例3（2024・桂林模拟）如图，在四棱锥P—A8C。中，BD上PC,ZB/4D=12O°,四边形ABC。是菱

形，PB=gB=&PA,£是棱P。上的动点，JLPF=APD(O<A<1).

（1）证明：E4_L平面48CD

（2）是否存在实数人使得平面尸AK与平面AC七夹角的余弦值是苛？若存在，求出人的值；若不存

在，请说明理由.

思维升华（1）对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程

组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”.

⑵对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知却结论列出等式，解出参数.

跟踪训练2如图，在直角梯形A8C。中，AB//CD,ND48=90。，4。=。。=1%以直线A8为釉，

将直角梯形ABCD旋转得到直角梯形ABEF,且AF1.AD.

B

D

(1)求证：。尸〃平面BCE；

(2)在线段。尸上是否存在点P,使得直线AE和平面8cp所成角的正弦值为三？若存在，求出空的值;

6DF

若不存在，请说明理由.

答案精析

落实主干知识

\.y/a2—(a-u)2

F

自主诊断

l.(l)X(2)X(3)4(4)X

2.C［由题意取P((),1,2),

则Q=(l,2,3),

所以A至IJ/的距离为

4j研一(鲁)2

"(M+22+32)-(左)

=乒=缥］

3.苧

解析因为m=-y［3n,

n=(~\,0,1),所以a//P,

所以平行平面a,4间的距离即为点。到平面/，的距离，

而成=(2,i,1),所以平行平面a/间的距离公噜=斐2鲁省；|=*=当

|H|y(-1)+U+1“V//

4%

3

解析如图，建立空间直角坐标系，则。(0,0,2),

4(2,0,2),

00,0,0),

8(2,2,0),

所以D]4

=(2,0,0),

西=(2,0,2),丽=(2,2,0).

设平面48。的法向量为

〃=(x,y,z),

n-DA=0,

则1

n•丽=0,

即产+2z=。，

.2x+2y=0,

令x=1,

则n=(\,-1,-1),

所以点Di到平面A】BD的距离

力」瓯叫_2_243

探究核心题型

例1A[四面体Q48C满足NAO8=N3OC=NCOA=90。，即。4,03,OC两两垂直，

以点。为原点,OA,OB,沆的正方向分别为工，)，，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如写，

因为04=1,

06=2,

OC=3,

OC=3OD,

则A(1,0,0),

D(0,0,1),

G(bri)•

于是布1),

AD={-\,0,1),

面尸J(号)2+修)2+12=亨,而布=-2-1)+1W,

所以点G到直线A。的距离

仁］而,一（鬻）

二5南哼

例2D［以。为坐标原点，D4所在直线为x轴，OC所在直线为）•轴，。9所在直线为z轴，建立如图

所示的空间直角坐标系，则G（2,A,2）,

"(0,0,2)，反2,0,1),尸(2,2,1),

所以再=(一2,0,1),

EF=[0,2,0),EG=(0,A,1).

设平面。化/的法向量为

〃=(x,y,z),

则『•西=-2x+z=0,

In-FF=2y=0,

取x=1,得/i=(l,0,2),

所以点G到平面。力”的距离为

?_|E6n|_2_2^5

一|n|一展-5•」

微拓展

典例A［如图，以点A为原点，而，而，通的方向分别为工，），「轴正方向，建立空间直角坐标系，

则8(3,0,0),C(3,3,0),

D(0,3,0),P(0,0,6),G(1,0.4).

所以而=(1,-3,4),

PC=(3,3,-6),DC=(3,0,0),

设〃=(x,y,z)为直线PC和QG的公垂线的方向向量，

n•DG=x-3y+4z=0,

则有

n-P?=3x4-3y-6z=0,

可取〃=(1,3,2),

所以异面直线PC和。。的距樵为

\DCn\_3_3714

|n|yfl414"

跟踪训练1ABD［以。为坐标原点，。A,DC,。。所在直线分别为x轴、)，轴、z轴，建立如图所示的

空间直角坐标系.则0(0,0,0)M(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A,(l,0,1),B,(l,1,1),

£>i(0,0,1),

EB=^DB=[1,1,0),

6F=icK=Q,0,I),

所以E(93。)，喏，L1)■

前=("L口，

\333/

所以|EF|=Jg+g+g=斗，故A正确；

DB=d,1,0),CX=(1,0,1),

所以豌•而=_¥g=o,

乔西=一¥|=0,

即EFLDB,EFLCBx,所以线段E尸是异面直线"。与CBi的公垂线段，故B正确；

庠=G，I，T)，

DlEEF=~^,

所以点口到直线E尸的距离为j席,一(喉92

=乒1=半，故c错误；

设平面QE尸的法向量为

n={x，>，z),DF=G，1,,

•丽=0,

-DF=O,

x+y=O,

即

袅+y+卜=0,

令4=1,得y=-I,N=2,

所以〃=(1,一1,2),

又西=(0,0,1),

所以点U到平面。样的距离d=喀型=2=粤，故D正确.]

|n|V63

例3⑴证明因为四边形A8C。是菱形，所以BDJ_AC.

因为BDA.PC,AC,

PCu平面PAC,且ACC\PC=C,

所以BOJ_平面PAC.

因为PAu平面PAC,

所以BO_LP4

因为PB=V2AB=>/2PA,

所以PB2=AB2+PA2,

即ABLPA.

因为48,BOu平面A8CD,

^.ABQBD=B,

所以PA_L平面A8CD

(2)解取棱CQ的中点E,连接AF,

因为四边形/WC。是菱形，/3人。=120。，

所以△AC。为等边三角形，故"_LC。，

又PA_L平面ABCD,AB,ARz平面ABCD,

所以PA_LA8,PA±AF,故A8,4尸，AP两两垂直，

故以A为原点，分别以而，AF,而的方向为x,)，，z轴的正方向，建立空间直角坐标系.

设48=2,则A(0,0,0),

C(1,V3,0),£>(-1,V3,0),P(0,0,2),

故元=(1,B,0),

PD=(-1,V3,-2),

而=10,0,2),

所以通=^+^=Q+/l而=(-7,V32,2-2A),

设平面ACE的法向量为

n=(x,y,z),则

(n-AC=x+V3y=0,

{n-AE=-+V3Ay+(2-2A)z=0,

令x=V5,得〃=(V5,-1/涔).

平面PA8的一个法向量为/n=(0,1,0),设平面P48与平面八CE的夹角为0,

—Inm|=l=2g

则cos6=|cos〈〃,m)

1nlim|I3A219

•J4+A^H7T

整理得3乃+22—1=0,

解得或2=-1(舍去).

故存在实数2=],使得平面与平面ACE夹角的余弦值是等.

跟踪训练2(1)证明由题意得EF//CD,EF=CD,

所以四边形OCEF为平行四边形.

所以D尸〃CE

因为DbC平面BCE,CEu平面BCE,所以£>〃〃平面BCE.

(2)解线段。尸上存在点P,