高考数学一轮复习 一元函数的导数及其应用 重难点突破05 极值点偏移问题与拐点偏移问题（七大题型）原卷版

重难点突破05极值点偏移问题与拐点偏移问题

目录

题型一：极值点偏移:加法型

题型二：极值点偏移:减法型

题型三：极值点偏移:乘积型

极值点偏移问题与拐点

题型四：极值点偏移:商型

偏移问题

题型五：极值点偏移:平方型

题型六：极值点偏移:混合型

题型七：拐点偏移问题

■L方法技巧总结

1、极值点偏移的相关概念

所谓极值点偏移，是指对于邑极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对

称性。若函数/（X）在x=%处取得极值，且函数y=/（x）与直线y=b交于4芭/）,8（々,勿两点，则A5

的中点为M（后上/），而往往如下图所示。

g(x)

图2极值点偏移

fM在区间(a,b)内只有一个极值点与，方程fW的解分别为

司、4，且。＜无1＜%＜〃，(I)若~广工与,则称函数9二/(X)在区间(龙|，工2)上极值点与偏移；

(2)若”乜＞%,则函数y=/(x)在区间(为,当)上极值点与左偏，简称极值点与左偏；(3)若

然匹VXo,则函数y=/(x)在区间(石,8)上极值点/右偏，简称极值点X。右偏。

2、对称变换

主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题.其解题要点如下：(1)定函数(极值点为

.%)，即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点XO.

(2)构造函数，即根据极值点构造对称函数尸")=/(幻-/(2%-x),若证工也＞其，则令

X

(3)判断单调性，即利用导数讨论b(x)的单调性.

(4)比较大小，即判断函数FQ)在某段区间上的正负，并得出/(工)与/(2%-])的大小关系.

(5)转化，即利用函数/(口的单调性，将/(x)与/(2x0-.v)的大小关系转化为x与2玉)-x之间的关

系，进而得到所证或所求.

【注意】若要证明/'(左二]的符号问题，还需进一步讨论上手与X。的大小，得出土手所在

的单调区间，从而得出该处导数值的止负.

构造差函数是解决极值点偏移的一种有效方法，函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿

于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在

联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性

进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构迨一个适当的

函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁

明快的思路，有着非凡的功效

3、应用对数平均不等式国<]"一：<然乜证明极值点偏移:

in—inz

①由题中等式中产生对数；

②将所得含对数的等式进行变形得到言苔口;

③利用对数平均不等式来证明相应的问题.

4、比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的曲调性证明题

中的不等式即可.

一必考题型归纳

题型一：极值点偏移:加法型

2

例1.(2023•河南周口•高二校联考阶段练习)已知函数/("=£麦，a^R

⑴若〃=2,求/(M的单调区间；

(2)若。=1,巧，与是方程/("=坐”的两个实数根，证明：X+%>2.

e

例2.(2023•河北石家庄•高三校联考阶段练习)已知函数〃x)=fInx-a(aeR).

⑴求函数/("的单调区间；

2

(2)若函数〃力有两个零点演、巧,证明1<奴+「〈不.

例3.(2023•广东深圳摘三红岭中学校考期末)已知函数〃

(I)讨论函数g(x)=/(%)-⑪(awR)的单调性;

⑵①证明函数2(e为自然对数的底数)在区间(1,2)内有唯一的零点；

②设①中函数/(X)的零点为％,记加(其中min{".〃}表示41,中的较小值)，若

C

/〃(x)=〃(〃eR)在区间(l,y)内有两个不相等的实数根冷天(与〈赴)，证明：内+/>2/.

变式1.(2023•重庆沙坪坝•重庆南开中学校考模拟预测)已知函数/(”=x-s哨xj-aln31为其极小

值点.

(1)求实数”的值；

(2)若存在用工为，使得/(内)=/(当)，求证：%+%>2.

3、

变式2.(2023・湖北武汉•高二武汉市第六中学校考阶段练习)已知函数/(x)=YIn%-彳。，。为实数.

乙)

(1)求函数/(*)的单调区间：

(2)若函数/(力在x=e处取得极值,尸(力是函数f(x)的导函数,且广(司)=/伍)，证明：

2<x1+x,<e

变式3.(2023•江西景德镇•统考模拟预测)已知函数/,(%)=①曳"1;竺1

X

(1)若函数/(X)在定义域上单调递增，求。的最大值；

(2)若函数/(X)在定义域上有两个极值点XI和々，若再，2=e(e-2),求回+%的最小值.

变式4.(2023•全国•模拟预测)已知函数/(x)=3J+lnx-R).

⑴讨论函数/(X)的极值点的个数；

(2)若函数/(X)恰有三个极值点为、才2、七(与<工2<玉)，且&-匹工1，求为+々+石的最大值.

变式5.(2023•广西玉林•高二广匹壮族自治区北流市高级中学校联考阶段练习)已知函数/(2=12-公.

(1)讨论函数7U)的单调性；

⑵当a=l时，若/(%)=/但)(芭<乙)，求证：品+占>2

变式6.(2023・安徽•高二安徽师范大学附属中学校考阶段练习)已知函数

13

“X)=4V一不V+log“x(a>0,4H1).

J6

⑴若/(x)为定义域上的增函数，求。的取值范围；

(2)令。=©,设函数8(“二/(X)一；/一41nx+9x,且g(xj+g(&)=。，求证：芭+々之3+而.

变式7.(2023•全国•高二专题练习)己知函数/(x)=lnx-a(x-2)(aeR).

⑴试讨论函数/(x)的单调性；

3

⑵若函数“X)有两个零点阳，X,(x,<x2),求证：x}+3x2>--a+2.

变式8.(2023・全国•高二专题练习)已知函数〃x)=a/+(a—2)x-hu(〃eR).

(1)讨论f(%)的单调性:

2

(2)若/(“有两个零点外,玉，证明：玉+占>一.

变式9.(2023・全国•高三专题练习)设函数〃刈=1"工-1)-史二9.

⑴若/(.r)之0对Vx«2,E)恒成立，求实数〃的取值范围：

(2)已知方程伯(“-1)=_1有两个不同的根为、X",求证：x,+x,>6e+2,其中e=2.71828.，为自然对数的

x-13e

底数.

变式10.(2023•江西宜春•高三校考开学考试)已知函数/(司=%12-(〃-3)-aeR.

⑴当々=1时，求曲线g(力=/(x)—31nr—s加在x三处的切线方程；

(2)设巧,巧是〃3=/(6一(3〃-2)欣一3工的两个不同零点，证明：c(%+s)>4.

变式1L(2023•海南・海南华侨中学校考模拟预测)已知函数/")=lnx+x(x-3).

⑴讨论/*)的单调性；

⑵若存在用,/，工3e(°，+8),且王〈占〈当，使得，(内)=/*2)=/(&)，求证：2内+/>E.

题型二：极值点偏移:减法型

例4.(2023•全国•模拟预测)己知函数〃x)=(x-e-l)e'-；ex2+e4.

⑴求函数/(X)的单调区间与极值.

⑵若/(阳)=/(&)=/(七)(3<毛<4)，求证：W<e—1.

例5.(2023•全国•高三专题练习)己知函数/(力=仁—―—(〃+1),g(x)=f+(a-l)x-(a+2)(其中

ep2.71828是自然对数的底数)

⑴试讨论函数/(月的零点个数；

⑵当时，设函数力(x)=/(x)-g(x)的两个极值点为巧、々且用<占，求证:Q-e*v4a+2.

例6.(2023•四川成都•高二川大附中校考期中)已知函数/-ai+lnx(awR).

(1)若/(x)在定义域上小单调，求。的取值范围;

(2)设a<e+L，〃,〃分别是/*)的极大值和极小值，且S=/〃-〃，求S的取值范围.

e

题型三：极值点偏移:乘积型

例7.(2023・全国•高三统考阶段练习)已知函数f(x)=xe'—ai+l,xe(TM),(a>O),g(x)="—/.

⑴当人=1,/(x)和g")有相同的最小值，求〃的值；

(2)若g(x)有两个零点百求证：x(x2>e.

例8.(2023・全国,高三专题练习)已知函数/(x)=Inx.

⑴证明：/(x+l)<x.

(2)若函数〃(力=2犹(力,若存在多<七使力(町=〃(占),证明：Xj-Xj<4-.

e

例9.(2023•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=x-sinr-tan_r+alnx+/;,xw0,1J.

⑴求证：2.r<sinx+tanx,A：e^0,yJ；

(2)若存在储、K2《0或｝且当司。々时，使得/(5)=/(毛)成立，求证：竽<1.

变式12.(2023•全国•高二专题练习)已知函数/(x)=e'-xlnx+/-or.

(1)证明：若〃Ke+l,则/(xRO；

(2)证明：若〃力有两个零点伊，/，则百工2<L

变式13.(2023.江西南昌.南昌县莲塘第一中学校联考二模)已知函数〃x)=Mlnx-a),g(x)=@+a-ai.

X

(I)当时，/(x)2—lnx—2恒成立，求〃的取值范围.

(2)若g(x)的两个相异零点为阳，巧，求证：中2>。2.

变式14.(2023•湖北武汉•华中师大一附中校考模拟预测)已知f(x)=2."sinx-^lnx.

(1)当a=1时,讨论函数/(x)的极值点个数;

(2)若存在/，毛(0<内<々)，使/1演)=/(―)，求证：XR<”.

变式15.(2023•北京通州•统考三模)已知函数/(x)=ar-g-lnx(a>0)

X

⑴已知/(x)在点(I,/(D)史的切线方程为y=x-l,求实数a的值；

⑵已知/(x)在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.

⑶己知g(x)=/(x)+色有两个零点七，演，求实数〃的取值范围并证明为声“2.

题型四：极值点偏移:商型

例10.(2023•浙江杭州•高三浙江大学附属中学校考期中)已知函数/(X)=(2e-x)lnx,其中《=2.71828…为

自然对数的底数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)若大,々且>ln百一$111二=时工(1呻-111天),证明：2e<—+—<2e+},

例11.(2023•全国•统考高考真题)已知函数/(x)=x(l-Inx).

(1)讨论/(力的单调性；

(2)设〃，方为两个不相等的正数，且加na-aln〃=a-〃，证明：2<-+^-<e.

例12.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/(x)=x(—nx).

⑴讨论了("的单调性；

(2)设“，。为两个不相等的正数，J2〃na-alnZ?="。，证明：+

变式16.(2023•广东茂名•茂名市第一中学校考三模)已知函数f(x)=»+(a-l)lnx+LaeR,

X

(1)讨论函数/'(X)的单调性；

⑵若关于X的方程/(x)=xe'-lnx+，有两个不相等的实数根巧、々，

X

(i)求实数〃的取值范围；

,、4丁炉eX22a

(H)求证：---H-->----.

x2Xjx1x2

题型五：极值点偏移:平方型

例13.（2023•广东广州•广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知函数=--以）

⑴讨论函数/（"的单调性：

⑵若公电是方程/（"=。的两不等实根，求证：x：+x；>2e；

例14.（2023・全国•高二专题练习）已知函数〃x）=——3

⑴若/（刈4-1,求实数。的取值范围；

（2）若/（工）有2个不同的零点知巧（不<巧），求证：2x,2+3^>—.

例15.（2023・全国•高二专题练习）已知函数/（月=上士竺，«>0.

（1）若求〃的取值范围；

（2）证明：若存在为，巧,使得〃%）=/（口）,则可+考>2.

变式17.（2023・全国•高三专题练习）已知函数/（力=上也

（1）讨论7U）的单调性;

⑵若®［户=（%）“，且%>0,&>0,内=勺，证明：>1.

变式18.（2023.全国•高三专题练习）已知函数/（x）=.r-sin.rcos.r-aln.r,awR.

(1)当4=0时，求曲线)，=/*)在点停/图)

处的切线方程;

(2)若/("?)=/(〃)，0<m<n,求证：m2+n2>\a\.

题型六：极值点偏移:混合型

例16.(2023•全国•高三专题练习)已知函数/。)="7一"(％>0)(e为自然对数的底数，〃wR).

e

⑴求/(x)的单调区间和极值；

⑵若存在工产/，满足/(%)=/(%)，求证：VXI+X2

例17.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/(x)=|x-H-L+a4eR.

x

(1)若/(I)=2,求。的值；

(2)若存在两个不相等的正实数中々，满足/(X)=/(£)，证明：

①2Vxi+W<2a；

②上</+1.

演

例18.(2023.全国•高三专题练习)已知函数/(x)=xl…卦7+&4CR),在其定义域内有两个不同的

极值点.

⑴求。的取值范围；

⑵记两个极值点为演，X?,且王<々，当九.1时，求证：不等式西•方恒成立.

变式19.(2023•陕西宝鸡•校考模拟预测)已知g(x)=a(x+l).

\-x

(1)求y=/(x)的单调区间；

(2)当。>0时,，若关于"勺方程/(x)+g(x)=o存在两个正实数根八,七(5〈w)，证明：4>『且"+修.

变式20.(2023•全国•高三专题练习)已知函数/Cr)=xeT*eR).

(1)判断函数/*)的单调性；

(2)若方程/。)+2/-3〃+1=0有两个不同的根，求实数。的取值范围;

(3)如果再。々，且/(%)=/但)，求证：历(芭+再)>〃?2.

变式21.(2023•天津河西•统考二模)设kcR,函数f(x)=lnx-".

(1)若1=2,求曲线)，=/3)在21，-2)处的切线方程：

(2)若/(灯无零点，求实数&的取值范围；

(3)若/(幻有两个相异零点.占，求证：lnx+ln/>2.

变式22.(2023・四川成都•高二四川省成都列五中学校考阶段练习)已知函数〃x)=Ml-awR.

(1)讨论/(制的单调性；

⑵若时，都有〃工)<1,求实数。的取值范围；

(3)若有不相等的两个正实数4，*2满足”=+，证明：Xl+X2<eX\X2-

1I111.Ai.*•

变式23.(2023•全国•高三专题练习)已知函数/("=&,-加+辰-1,其中〃，力为常数，e为自然对数底

数,e=Z7】828….

(1)当4=0时，若函数/。)20,求实数力的取值范围;

⑵当〃=2〃时，若函数/(X)有两个极值点天，须，现有如下三个命题:

①73+bx2>28；②26(玉+七)>3X}X2；③Jq-1+a-1>2：

请从①②③中任选一个进行证明.

(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)

变式24.(2023・陕西咸阳•武功县普集高级中学校考模拟预测)已知函数/("=Hna+2)-MaeR)・

(1)讨论/*)的单调性和最值；

⑵若关于x的方程。=2-'也」的:^有两个不等的实数根不天，求证：炉+e*>2.

tnmx+2m

变式25.(2023・湖南长沙•长沙市实验中学校考三模)已知函数A(x)=x-alnx(a€R).

⑴若〃(x)有两个零点，。的取值范围；

2

e

⑵若方程Ae,-a(lnx+x)=0有两个实根巧、x2,且用工占，证明：炉'”>---.

变式26.(2023・广东佛山•高二统考期末)已知函数"x)=Ae'-aInx-a,其中。>0.

⑴若a=2e,求的极值：

(2)令函数g(x)=f(x)-"+a,若存在玉，须使得g&)=g(w),证明：中”+占炉>2〃.

变式27.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/(x)=x(l-ahuhaNO.

⑴讨论“力的单调性;

⑵若时，都有/(刈＜1,求实数。的取值范围;

1+Inx,x,

⑶若有不相等的两个正实数与毛满足亡；=一，求证：5+%〈。径.

1।1n.x।Aj

题型七：拐点偏移问题

例19.(2023・全国•高三专题练习)已知函数〃x)=2lnx+Y+x.

(1)求曲线y=/(A)在点(1J⑴)处的切线方程.

(2)若正实数不占满足八内)+/出)=4,求证：A-,+X2＞2.

例20.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/(x)=21nx+f+(a_i)x_4,(aeR),当/多时，/(x)20恒

成立.

(1)求实数〃的取值范围；

(2)若正实数毛、工(人工.)满足/(再)+/(超)=。，证明：x