高考数学一轮复习 一元函数的导数及其应用 重难点突破10 利用导数解决一类整数问题 （四大题型）解析版

重难点突破10利用导数解决一类整数问题

目录

题型一:整数解问题之分离参数、分

离函数、半分离

翘型二:整数解问题之直接限制法

利用导数解决一类整数问题

题型三:整数解问题之虚设零点

\

\

题型四:整数解问题之必要性探路

■方法技巧总结_____

利用导数解决一类整数问题常见技巧有：

1、分离参数、分离函数、半分离

2、直接限制法

3、虚设零点

4、必要性探路

一必考题型归纳

题型一：整数解问题之分离参数、分离函数、半分离

例I.(2023•贵州♦校联考一模)已知/(x)=lnx-z+l(aeR).

(1)讨论〃力的单调性;

⑵若/(X)弓尔7•对X«0,+3)恒成立，求整数。的最小值.

【解析】(1)〃X)的定义域为9+8),

(i)当时，r(x)>0,・•・/3)在xe(0,y)上单调递增;

(ii)当a>0时，令f\x)>0=>l-ar>0=>0<x<^,

令r(x)<0nx/，

・••当aW()时，/(x)在xe(0,*0)上单调递增:

1

当〃〉0时，小)在上单调递增，在上单调递减.

(2)由/Wvgai,-x,可得：«(x2+2x)>2(lnx+x+l),

・・.Q。，・・・原命题等价于在当争对恒成立.

令F(x)=2(m+x+D,...小)=-2(二)(：『)

x~+lx(r+2町

2

令G(x)=21nx+x,.,.G'(x)==+l>0,，G(x)在xc(0,y)上单调递增.

x

又G(0.5)=-21n2+0.5=-ln4+InV?<0,G(l)=1>0,

故存在唯一的,7e(0.5,1)，使得G(xo)=2lnAo+xo=0.

当0<xv/时，G(x)<0,:.F\x)>0,

/.F(x)在不£(0,与)上单调递增,

当时,G(x)>(),r(x)<0,

:.户(文)在工«事,收)上单调递减

2(lnx+x+l)_x()+2_1

：•F(%)max=产(%)=00

片+2/维.(与+2)/'

/.«>—Hj-,xo€恒成立.

.•・〃22,又atZ,・・・〃的最小整数值为2.

例2.(2023•四川广安・广安二中校考模拟预测)已知函数/(x)=(x-2)e，-a.

⑴若函数”力在［0,2］上有两个零点，求实数。的取值范围;

；』时，关于的不等式恒成立，求整数〃的最小值.

(2)当xcx

【解析】(1)/(x)=(x-2)er-«,,f(x)=(x-l)ev,

当Ovxvl时,r(x)<0,当％>1时,第x)>0,

则『3在［0,1)上单调递减，在(1,2］上单调递增,

7(0)=-2-a>0

若f(x)在［0,2］上有两个零点，则/(l)=-e-«<0

〃2)=S0

解得-e<aW-2,故。的取值范围是(Y,-2］

(2)/(x)Wx—1—Inx,即2)e'+ln/—x+1,在时恒成立，

令*(x)=e*-x-l,gXx)=ex,

当x<()时，g'(x)〈O,当x>0时,g'(x)>0,

则g(X)在(-8，。)上单调递减，在也”)上单调递增，

故g*)Ng(O)=(),即6»+1,当且仅当x=0时等号成立,

令人(k)=Inx—x+1,h'(x)=——I,

X

当Ovxvl时,/r(x)>0,当X>1时,“v)<0,

则力(x)在(0,1)单调递增,在(l,+oo)上单调递减,

//U)<A(1)=O,即Inx—x+lKO,当且仅当x=l时等号成立，

而xw时，x-2<0,故

(x-2)cv+lnx-x+l<(x-2)(.r+l)=x2-x-2<-2,

当”=1时，不等式为。N-e,而。=-2时满足题意，

故整数，的最小值为-2

例3.(2023•黑龙江鹤岗•高三鹤岗一中校考阶段练习)已知函数/(x)=4ad+2lnx-3(awR).

⑴讨论函数的单调性；

(2)若“为整数，且/(力<2/lnx+2恒成立，求。的最大值.

2

【解析】(1)/*)=4«/+21门-3的定义域为{工次>0},f(x)=S(L\+-.

当心0时，制x)>0,则/(x)=4a?+21nx-3在(0,同上单调递增;

2।

当〃<0时，解/'(.r)=0,即8然+—=0,得x=±L(舍去负值):

A2

21,所以7")在04

解网X)>0,即8，a+—>0,得OvxvL上单调递增；解r(x)<o,即

24

2

8m+—<0,得，所以f(x)在,+oo上单调递减.

x

综上所述，当aNO时,f(x)=4ad+21nx-3在(0,+<»)上单调递增;当a<0时，/(%)在。巧上单

调递增，在+8上单调递减.

(2)由已知可得，4av2+21nx-3<2x2Inx+2tRx>0,

“小)]

(2)当x>0时，不等式l-f(eT)+女+1>。恒成立，求整数〃的最大值.

XZ

【解析】(1)由题意知：函数/(X)的定义域为(0，y)，

/(力=上詈，当x>e时，ra)<o,函数/(X)单调递减；

当0<x<e时,rW>0,函数/⑶单调递增；

所以函数/(X)在(0，e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减，

所以八2020)>/(2021),即!所以2021ln2020>2020」n2021,

UP)n2O2O202'>ln2O212020,又因为)，=lnx在(0.y)上单调递增，

所以20202⑼>202呼，

(2)因为/("=叱，所以/e7)="1=一北，

xe

(/(b)、

所以不等式1一/(「)十&-y^-t-1)。可化为I+xev+A:(1-er)>0,

\z

因为xw(0,+8),所以l-e'vO,

所以不等式等价转化为上对任意的xw(0，y)恒成立，

e-1

令其幻二套’则g，d；二；;2),

令9(x)=e'-x-2,则(p\x)=ev-1,

因为xw(0,+oo),所以(p\x)=ex-l>0对任意的xe(0,田)恒成片

所以讽x)=e——2在(0D上单调递增，

因为奴l)=e-3V0,(p(2)=e2-4>0,

故Xe(1,2),使得(p(%)=e%-七一2=(),

因此当Ovxvx。时,e(x)<O,g'a)<(),即g(x)在(0,x0)上单调递减，

当%>无时,e(x)>o,g'(x)>(),即g(x)在(>,+<»)上单调递增,

,,/.、_/.、_%e"+1_M玉+2)+1_

故g(X)min-g(M)-为_]--%+1e(2,3),

所以《<g(X)min=%+1,

故整数々的最大值为2.

变式2.(2023•天津河北•统考一模)己知函数/(x)=,Llnx-2.

⑴求曲线>=/(力在点(1J⑴)处的切线方程；

⑵讨论函数/(X)的单调性；

(3)若对任意的xw(l,T8),都有xlnx+x>%(x-l)成立，求整数攵的最大值.

【解析】(1)函数/(劝=工一11-2,求导得/(*)=1-L则/'⑴=0,而/⑴二一1,

X

所以曲线y=/(x)在点(1J⑴)处的切线方程是)=7.

(2)函数/(x)=x-lnx-2的定义域是(0,m)，/(x)=l--,

x

当叱(0,1)时,r(x)<0,函数人工)单调递减，当xe(l,+oo)时，/(幻>0,函数/")单调递增,

所以函数/(X)的递减区间是(0,1),递增区间是―).

(3)Vxe(l,+o)),;dnx+x>&(/-l)o2n,

x-\

/x\nx+x+目俎_(2+lnx)(x-l)-(xlnx+刈_x-lnx-2

令g。)=----;—，x>1，求导得g一；不一I，

x-1(x-1)(X-1)

由(2)知，/a)=xTn_-2在(1收)上单调递增,/(3)=l-ln3<0,/(4)=2(l-ln2)>0,

因此存在唯一A>G(3、4),使得/(玉)=。，即/-lnxo-2=0=lnxo=%一2,

当xe(l,Xo)时,f(x)<0,即g'(x)v0,当xw(.%,+8)时，f(x)>0,即g'(x)>0,

因此函数g(x)在(1,与)上单调递减，在(x0,xc)上单调递增,

XolnXo+毛毛(%-2)+七

于是g(X)min=&(%)=x则&＜跖€(3,4),

七一1工0—1=o»

所以整数&的最大值是3.

变式3.(2023•全国•高三专题练习)己知函数/XM-lnx.

⑴若函数)，=/。)+人女在「r1，+8\上有两个不同的零点，求实数&的取值范围；

xLe7

⑵是否存在实数上使得对任意的XC佶,y],都有函数)，=/(用+七的图象在g(x)=f的图象的下方？若

<2)xv

存在，请求出最大整数&的值；若不存在，请说理由.

(参考数据：由2=0.6931,「=1.6487)

【解析】(1)因为/(x)+K=lnx+V,

XX

则由题意知方程必=xlnx,在2，+8)上有两个不同的根.

由Inx+-=0,得-k=xlnx,令g(力=AInx,则g'(x)=Inx+1,

由/(x)=()解得x=_.

当法时，g，(x)v(),以心单调递减;

1fl)1

所以当X=一时，g(x)取得最小值为g-=—,

eleje

又=-2，g(D=O,

leje~

1?21

所以—<—k£—-,解得一y4k<一.

ee-ee

kv(1、

(2)假设存在实数左满足题意，则不等式lnx+£<Je对xw不一卜恒成立,

XX7)

(\\_

即上<e'-xInI对xc-,+oo恒成立.

I//

令力(x)=e'-xlnx,贝(x)=e'-lnx-1,

令r(x)=ex-Inx-1,则/(x)=e=-L

x

因为产(外在佶',+8)上单调递增，/(1)=1-2<0./-,(l)=e-l>0,

U)2

且r\x)的图象在(1,1)上不间断，所以存在/w(；/),使得/(%)=0,

即铲-=0,plijxo=-lnxo,

xo

所以当/w(g,Xo)时，r(x)单凋递减；当xe(%，+8)时，，(X)单调递增,

则心)取到最小值"Xo)=e*-In%—1=%+,一]N22。,_]=]>(),

当且仅当4=1时,等号成立,

；』)故等号无法取到，则

但由于％w

所以〃(x)>0,即h(x)在区间(l+oo)内单调递增.

所以&W/(g)=—-gIn；=r+；In2=1.99525,

所以存在实数k满足题意，且最大整数4的值为1.

变式4.(2023•云南•校联考三模)设函数/("=疣,+3心-1,若存在唯一整数/，使得/(%)<0,则。的

取值范围是.

11

【…答八案】(—1

IeeJ

【解析】由函数/(x)=.u/+a%a>-l,设g(x)=xe，和尸-3。>-1

因为存在唯一整数小，使得/(毛)<0,

所以存在唯一的整数使得g(M)在直线丁=■的下方，如图所示，

因为g'(x)=(x+l)e'，当工<一1时，g'(x)<0；当工>一1时，g'(x)>0,

所以g(x)在(YO,-1)上单调递减，在单调递增，

当片一1时，g(x)取得极小值,也为最小值g(人)血二g(—l)二」，

e

2

且当无=0时，g(o)=o,当x=-2时，^(-2)=--,

e

又由直线)F一火恒经过原点。(0,。)，斜率为-〃(其中4>-1),

I0II

所以心g(—l)=」且g(—2)=—9N2a,解得」

eeee

所以实数a的取值范围是卜\-5.

变式5.(2023•辽宁锦州•渤海大学附属高级中学校考模拟预测)若关于x的不等式％(/+2*<卜*+1的解

集中恰有2个整数，则8的取值范围是

In3+1,ln2+l

【答案】-----<k<------

158

【解析】.(),.•.不等式收V+2K)Whj+l可化为k(x+2)«生出，

X

令f(幻=史里，.•.r(力=手，由@>0解得0vXv1,由/'(X)<0解得x>1,J(x)在(0J)为增函数,

XA-

在(1，+8)为减函数，

令g(x)=A(x+2),则g(x)的图象恒过(-2,0),若解集恰有2个整数，

当上W0时，有无数个整数解，不满足题意；

当上>0时，如图,则两个整数为1和2,故2满足不等式且3不满足不等式,即8ks加2+1且1%>加3+1,

ln3+l<^ln2+l

15o

故答案为：吟1

15o

变式6.(2023・云南•高三校联考阶段练习)已知函数/(司=皿(武m)-2川，满足/(x)V0恒成立的最大

整数m的值为

【答案】3

【解析】原不等式等价于加(工+〃。<已川，由y=lnx与尸廿的图象平移变换可知，

若满足题意，则只要加小于y=m(x+M与)，=产1两个函数相切时的，〃值即可.

61

e*+=ln(x0+/?/)in=-x0+e*

，所以卜加=—x0-l

设公切点为(外),%),则有…।1

e=-

x0+m%+m>\

所以机=一飞+

一八一1

令晨x)=e，+x,则/(x)=e、+l>0,故g(x)单调递增,

故丸+1c(-；一；)使得13=一%-1,所以一(与+1)£33/

1(377、

由对勾函数的性质，可得利=-与-1+_(_]+1e

故最大整数机取3.

故答案为:3.

变式7.(2023•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=e'(3x-1)-5+a,其中a<l,若存在唯一的整数•％,

使得/(与)<0,则实数”的取值范围是—.

【答案】jl)

【解析】设g(x)=e*(3%-l),y=ax-at

由题意知，函数)，=g*)在直线)=双一。卜.方的图象中只有一个点的横坐标为整数，

2

/(;)=廿(3%+2),当时，g«)<0,

29_2

.•.当x>-三时，g'(x)>0,所以，函数y=g(x)的最小值为&(-§=eL

又g(0)=-1,g(1)=e>0,

直线y=⑪一〃恒过定点(1,0)且斜率为a,

变式8.(2023•全国•高三专题练习)若对Tx>0,关于x的不等式1〃?丁+〃优-lnx2x+l恒成立，则整数〃?

2

的最小值为.

【答案】2

【解析】设〃力=9渭+〃a，g(x)=lnx+x+l,只需保证/⑺的图象在g(x)的上方即可

易知：g(x)在区间(0,+8)上单调递增，且〃A0(否则当工无限趋近无穷大时，不能成立)

则存在/(力与g(x)在某个点处和切，设切点为夕(*0，八)

—)=g1Xo)

可得：/(%)=；〃/)2+〃4)

g(Xo)=ln%+Xo+l

1

m=—

化简可得：/

1叫+]=°

设力(6=lnx+gx=0,易知〃(X)在区间(0,+e)上单调递增

/I\I

可得：/?(1)=->0,h--——ln2<0

212J4

可得：

则1<〃2<2,这是/(X)与g(x)在某个点处相切的次范围,当机比相切时大，则/(X)会在g(“上方，即也

满足题意

故川的最小整数为2

故答案为：2

题型二：整数解问题之直接限制法

例4.(2023・全国•高三专题练习)已知函数f(x)=a*+4-4〃>0),若有且仅有两个整数七1=1,2),

满足〃动<。，则实数。的取值范围为.

【答案】若一

2e--1

【解析】f(^x)-axcx-ax-\-a—ex<0,即—x+1)ve'，

因为a>(),所以肥'一工+1<1，即>'-x+l<L记”“二旦二里

aelael

故只需有且仅有两个整数％(i=l,2)使得成立即可，

a

所以〃，(x)=(x+l)e'T：(xe'7T)=e"L2

eAel

iilF(x)=eA+x-2,月不以“'(x)=e，+l>0,

所以尸(x)在R上单调递增，

因为f(0)=1-2=-1<0,F(l)=e-l>0,

所以切使得产(%)=0,即小+/-2=0,

在(-co,%)上尸(x)vO,即"(X)<0,〃(同单调递减，

在(h+00)上尸㈤>0,即“(x)>0,〃(x)单调递增,所以〃(X)有最小值〃(小),

因为与£(0,1),且/［(())="⑴=1,

./—e-1+1+11/2e2—2+11,i、。।

/?(-!)=--------=2e-l,//(2)=-----；---=2—T，血2e-l>2—y,

eeee

若便Mx)有且仅有两个整数4(j=1,2),

II2

只需—>1即可，解得e

c-a2e2-l

故答案为：—~7<1

2c2-1

例5.(2023・全国•而三专题练习)已知函数/(x)=?2+(〃?_］)x_iWeR)

(1)求函数〃力在区间/2］上的最大值;

(2)若机为整数，且关于x的不等式/(力之1灯恒成立，求整数，"的最小值.

【解析】(1)若〃?=0时，〃x)=r—1,/(力在区间［】，2］上单调递减，

所以

若加>0,则二次函数图象对称轴x=4,

in

当匕上〈I，即切2^时，I离对称轴近，2离对称轴远，

m25

所以/*)gx=/(2)=4〃L3.

当上‘>?，即。<切兰时，1离对称轴远，2离对称轴近，

m25

=/(l)=|w-2.

若加v0,对称轴x=L1_/<0J(1)在区间［1，2］上单调递减，

3

/U)max=/(1)=-W-2

，。、2

4，〃-3,m>—

5

综上，

3、2,

—m-2,m<—

25

(2)因为/(x)21nr恒成立,

即Inx--nvi2+(1-)x+1K0恒成<<,

G(x)=liu--nix2+(1-〃?)x+l,(x>0),

所以G(X)=L-(一〃卜也止但=gU±

XXX

当加《0时，因为x>0,所以G(x)〉0,

所以G(A)在(0,4-9)上是单调递增函数.

又因为G⑴=-1〃+2>0,所以关于x的不等式G(x)«0不能恒成立.

当加>0时，G'(X)二(x+l)(l_'"x)—"[""IJ"+l),

xx

令G(x)=0得x=\,所以当上｛0.卜>G'(x)>0；当时，G(x)<0.

因此函数G(x)在xe(0,\)上是增函数，在上是减函数.

11111

令力(〃?)=^---ln〃z,因为刀⑴=：>0,/7(2)=1—1112<1-1屣2<0.

又因为力(〃?)在〃?e(0,+8)上是减函数，所以当用22时，〃(团)<0,

即关于x的不等式G(x)W0恒成立，

所以整数〃?的最小值为2.

例6.(2023•云南•高三云南民族大学附属中学校考期中)己知函数/3=lg+,，M，〃eR).

⑴讨论函数/(x)的单调性;

⑵若〃，为整数，且关于x的不等式/(力工三/+(2/〃-|)x-l恒成立，求整数，"的最小值.

【解析】(1)由题意知,/(»的定义域为(0，〜)，

对“X)求导，得/3」+加=丝巴">0)

XX

当,心。时，/«x)>0恒成立，所以/(X)在(0,+8)上单调递增:

当〃?<()时，由/4卦>0,得。〈工<一,，由/(6<o,得

\/mm

所以，“力在卜),一£|上单调递增，在1y)上单调递减:

综上所述：当，，后。时，/(力在(o,y)上单调递增;

当〃?(0时，/(力在1,钙)上单调递减.

。「京上单调递增'在

(2)因为/(X)<-yX2+(2/〃-1)》一1恒成立，即InA+/7U4-(2/?Z-1)X-1,

BPlnx-g〃“2+(1—/〃)x+lMO恒成立,令G(x)=Xnx-^nvi1+(1-/«)x+l.

所以G'(X)=——WL¥+(1-W)=-------』——=——-------L

当/VO时,因为x>。，所以。(力>0.所以G(x)在(0,+功上是递增函数.

又因为G(l)=-1〃7+2>0,所以关于x的不等式G(x)«0不能恒成立.

当加>0时，c，(x)(x+l)(lJ?x)

XX

令(7(力=0得1=/，所以当上《0,^£|时，G'(x)>0；当时，G(x)<0.

因此函数G(x)在工40,£|上是增函数，在xe&TI:是减函数.

,(1AI

故函数G(x)的最大值为G-=---\nm.

、ITl-y—〃？

令〃(〃?)=—!——\nm,因为刈1)=,>0,/z(2)=--ln2<0.

2/n24

乂因为力(〃7)在〃?e(o，”)上是减函数，所以当〃吐2H寸，h(m)<0.

所以整数〃?的最小值为2.

变式9.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/(x)=Mlnx+l).

(I)求函数/(%)的单调区间;

(II)求证：曲线产/(x)在点&J&))处的切线不经过原点；

(III)设整数k使得“X)之女卜-对x«0，一)恒成立，求整数4的最大值.

【解析】(I)函数的导数为r")=2+hu,由r(x)=0得x=e-2,

由户")>0,得x>e-2,所以在(e-2,*o)上单调递增，

由r(x)<。，得0<x<"2,所以/")在(0,上单调递减.

所以了(力的单调减区间为(O.}),增区间为("2,y).

(H)由(I)得曲线产/⑴在点&,/(%))处的切线为尸/小)=尸伍)(一天))，其中无>0,

假设y=/(x)在点&J(七))处的切线经过原点.

则有0-/(3)=/'伉)(。一3),即加/+1)=(2+加々)(一々)，

整理得天=。与七>0矛盾，

则曲线y=/(A)在点(天,/(%))处的切线不经过原点；

(III)对X£(O,+R)恒成立等价于当x>0时，—恒成立.

令g(x)=/(x)-&(X-；),则g[x)=lnx+2-h由g'(x)=。，得K=ei,

随着x变化，g(x)，g'(x)的变化情况如下表所示：

-2

X(…)1(?,+00)

g'(x)―0+

g(x)极小值/

所以g(x)在(。"“)上单调递减，在(氏2,y)上单调递增，

所以函数g(x)的最小值为g(/7)=*-/7N0,

22

令力仕)=(&_/-2,I|iij/?(2)=ix2-e-=1-1=0.

当上=2时，因为g")的最小值为g(e=)=g⑴=0,

所以/(”之《工-£|恒成片符合题意；

当士>2时.由〃伏)=；一六2<；一/_2〈。，得函数人伏)=；左一/2,在(2,+。)上单调递减，所以

力(“〃(2)=0,

故此时g(x)的最小值g(d-2)=/?仕)<0,不符合题意，

所以整数攵的最大值是2.

题型三：整数解问题之虚设零点

例7.(2023•贵州校联考模拟预测)已知函数〃x)=/e"x-l(a/0),g(x)=lnx+加+1.

⑴求函数/(X)的单调区间；

⑵若对任意的。中,口)，不等式以业Ng(x)在xw(O,y)上恒成立，求整数力的最大值.

X

【解析】(1)函数/(X)的定义域为R,r(x)=M"+2)e%

令r(6=。得X=o,x,=-一,

a

①当。>0时,若XG18v((),2),则/,X)>0；若则/("¥)<(),

故f(x)在1―8,-]}(O,y)上单调递增，在上单调递减：

②当a<0时，若则f’x)>0；若xc(-8,0)u-^,-Hoj,则/'(x)<0,

故”工)在(()，-：)上单调递增，在(f0)，(-：+8)上单调递减.

(2)因为。之1且K>0,所以一1之八十一1,

于是原命题等价于不等式代hlnx+Zu—l对任意的xe(O,一)恒成立.

从而〃K夕一叱—,对一切x«0,内)恒成立，

XX

令尸(x)=e一处-々x>0),贝帅4*x)1nhi,

X.X

..厂,/\xInxx2e'+Inx

•F(x)=e+—=——，

令力(工)=x2el+Inx,xG(0,+oo),则(x)=2xe'+x2ev+—>0,

X

・・・Mx)在(0,+8)上单增，又Ml)=e>0,万仕］="2-l<e°-l=0,

.,・切€；，］使〃(%)=0,即片e"+lnx。=0①，

当xe(O,x。)时，h(x)<Q,即/(.。在(0,风)递减；

当(天,田)时，〃(x)>0,即在(玉),田)，递增，

・・・/(x)min=77(%)=e?一”一/,

Inx11(］)加，

由①知片e、=Tn.Z,••・为丁=_咄=」~始上=In—e

函数奴司=把、在(0,y)上单调递增,

.・.％=ln—即Xo=一|nxo，

xo

F(x),=e-,n，b-^-—=-+!--=1,

••\/mm

人r0人y0用Y人r0

:・b〈l,因此整数〃的最大值是1.

例8.(2023•河北石家庄•高三校联考期末)已知函数/(x)=e、-3/+依的图象在工=1处的切线方程为

y=(e-2)x+Z?.

⑴求“，〃的值；

⑵若关于x的不等式/(司>〃2对于任意工目1,+8)恒成立，求整数〃，的最大值.(参考数据：川0。2.3)

【解析】(1)函数/(“=廿一3/+。-求导得：r")=e-6x+a,

因为函数f(x)的图象在x=l处的切线方程为V=(e-2)x+力，则八l)=e-6+〃=e-2,解得a=4,

当工=1时，y=e-2+Z?,则《_2+/>=/(1)=€_3+〃=。+1,解得力=3,

所以a=4,b=3.

(2)由(1)知，f(x)=ex-3x2+4x,/*(x)=e'-6x+4»令g(x)=/'(x)=e"-6x+4,x>\,

gG)=eX-6在。，用)上单调递增,当lvxvln6时，g'(x)<0,当x>ln6时,g'(x)>(),

因此函数在(l/n6)上单调递减，在(卜6,田)上单调递增，

f,On6)<//(2)=e2-8<(2V2)2-8=0,/*(l)=e-2>0,/Xin10)=14-6ln10«14-6x2.3>0,

于是存在%£(1,In6),X。G(In6,lnl0),使得f(xx)=/'(x。)=0,

当1VXVX]或。>与时,f\x)>0,当时，f\x)<0,

即有函数/(X)在(口),(％,+°0)上单调递增，在(内,与)上单调递减，而/⑴=e+l,/*())=e"-3片+4%，

显然函数/(X)在U,y)上的最小值为/(I)与八小)中最小的，由/U)=0得e米=6而-4,

因此/(小)=-34+10/-4,函数)，=—3f+10X—4图象对称轴.、=：,显然加10>2>：,以下比较lnl0/n6

到:的距离大小：

若ln6>|,则有|lnl0->||>|ln6-||,e2<2.722=7.3984<7.5，e4<7.52=56.25，

^ln6<|,则|11110—3|—|1116—£=11110+1[16—¥=11160—¥>4—与，

从而函数y=-3.r2+1Ox-4在xw[In61n10]上，

当H=lnlO时，有%m=-3(lnl())2+l()lnl0-4p-3x2.32+19=3.13,即/(1位0)、3.13,显然/(11110)</(毛),

综上，函数/(x)在[l,+oo)上的最小值在区间(3,4)内，/(x)>"2对于任意XG[1,+8)恒成立，则有m</(%),

所以整数〃?的最大值为3.

例9.（2023・全国•高三专题练习）已知函数/（力=^!^1*

X

（1）求函数的极值；

⑵若〃为整数，且函数g（x）=l+aci-/（另有4个零点，求。的最小值.

【解析】（1）函数的定义域为（0,以），

/（x）=令r（"=。，即x=e>"，/⑺，”力的关系如下表:

X(O,e〜)e'-a（e丁甸

广（X）+0—

/W/极大值

.〜时，，（力的极大值为/（式。）=工，〃力无极小值.

e

（2）由题意得，8（力=1+。"-"-见*有4个零点，

.X

即方程x+a「ej-lnx-a=O在（0,十句有4个不相等的实根.

(x-l)(ev-,-6tv)

令力(x)=x+dxej-lnx-a,A*(x)=1+«(e,-x-xe,-x)—.“(%)=

X

令夕（司=尸-3可知要使人⑴有四个零点，则至少应有三个零点，/«i）=o,

二•。（力至少有两个零点，夕'（力=己1-々，其中工>0,

①当时，/（力NO,则0（£）在（o,+e）上单调递增，至多只有一个零点不合题意;

②当〃时，xe（O,hi〃+1）时，，^（x）<0；xe（ln«+l,-Ko）,d（x）>0,

e

*（X）在（o,In«+l）上递减,在（Ina+1,-K»）上递增,

要使夕（大）有两个零点，8（lna+l）=e”"+i-a（lna+l）=—alna<0,解得”>1

11t时0(1)=1一。<0,U<——<I,

ee匚T

•/-1<------1<0>-a<-\,(P—=ej一小>0,

••・8（力在—,1存在一个零点打且97—3=0

i671

下面证明当x>l时，ex>x2>x

当时，X2x=x（x1）>0

令〃?(x)=e'-x2,m(x)=ex-2x,令p(x)=e'-2x,p'(x)=ev-2；

当x>l时，p(x)>0,p(x)在(1,+co)上递增，p(x)>/?(l)=e-2>0

•,•相(力在(l,+oo)上递增,7w(x)>m(l)=e-l>0,即e*〉/

Qa>\,ea+2-l>b

c<,+22w+2rt+2a+2M+2

...«(e“+2)=e^-'-«-e'.>(e-l)e>e.(e-2-«)>c-(a+2-2-a)=0,

s(x)在(1,e"2)存在一个零点々,且e'E-"一0,

.•.Xt(O,X1)J(l,%2)时，//(A)<0,,//(x)>(),

.••力(工)在(0,石)和(1,与)单调递减.(3,1)和(%+00)单调递增,

'。+八4〃八、

/?(el=e2+.a・ec"+2-el-c***-IJnec-2-a>ec"2-Z、a-2G

>(a+2)'-2a-2=，+勿+2>()

a（x）<o

只需力⑴>0,g（x）在,（%」），（也），（孙尸）各有一个零点

心2）<（）

gri_,

其中/?（!）=14-6/-6/>0,=+OV]-e1r,-InX）-«=%1+1-In--------a=2+\na-a,

令«a）=2+lna-a,，（〃）=——1<0；

.,」（〃）在（1,转）上单调递减，r（3）=ln3-l>0,/（4）=ln4-2<0,

存在为£（3,4）,使得/（q））=0,.,.当a>《）时，/?（N）<0,a（毛）<。

又丁。是整数，工。的最小值是4.

变式10.(2023•广西桂林•校考模拟预测)已知函数/(力=三-m(工+〃).

⑴讨论函数g(x)=/(x)-士的单调性：

⑵若。=1,且存在整数k使得/(')>女恒成立，求整数2的最大值.

(参考数据:In2®0.69,ln3«1.10)

【解析】(1)g(x)=/(x)-----=-——--ln(x+fl),(x>-a),

x+«x+a

ex(x+«)-(e,-l)i(er-l)(.r+«-l)

g(x)=------;-------------------------------;-------------

(K+4)-x+a(x+a)~

若400,贝|］一4之0,\-u>\,

当一aVRVl-a时，/(工)<(),当x>l—a时，g'(x)>0,

所以函数g(x)在(-a,l-a)1二递减,在(1-。,+°0)上递增,

(ev-l)x

若〃=1，则g'(x)=^—920(I>-1),

G+1)

所以函数g(x)在(-。,田)上递增，

若0<a<1,则1一4>0,

当一a<x<0或x>时，g'(x)>0,当0<x<l—。时，g'(x)<0，

所以函数g(力在(0,1-a)上递减,在(-4。)和(l-a,+°o)上递增,

若a>l,贝ij1一〃v0,

当-avxv或x>0时，^>(x)>0,当l-4VX<0时，g<x)<0,

所以函数g(x)在(1-a,。)上递减，在(--〃)和(。,+8)上递增，

综上所述，当a40时，函数g(x)在上递减，在(1-〃,欣)上递增，

当〃=1时，函数g(x)在(一功上递增，

当0<a<l时,函数g(x)在(0,1-a)上递减,在(-©0)和(1-4+<»)上递增,

当时，函数g(x)在(1-40)上递减，在(-。1-a)和(0,+⑹上递增；

(2)若a=l,/(x)=e]_.(x+1),(x>-1),

eA(x+l)-ex1xe'-x-l

令力(X)=Ae'-x-l(x>-l),l|lijli(x)=(x+l)e'-l(x>-l),

令〃?(x)=(x+l)e"-,则加(x)=(x+2)e*>0(x>-l),

所以函数〃?(x)在上递增，即函数力'(X)在(-1,y)上递增，

乂力'(0)=0,则当一l<x<0时，/f(A)<0,当x>0时，//(x)>(),

所以函数〃(x)在(TO)上递减，在(。,+。)上递增，

所以妆力由=〃(°)=一1，

又力(_1)=_/<0,竽一(<0,/z(l)=e-2>0,

所以函数存在唯一的零点小,且.％6件1,此时*(3i+l,

则当T<x<3时,/?(x)<0,即f'(x)<0,当时，/z(x)>0,即制x)>0,

所以函数f（X）在（T,Xo）上递减，在小,3）上递增,

¥

所以/Wmin=/(-o)=y-7-ln(xo+l)=y-ln(x0+l),

玉)十140

令O(x)=，-ln(x+I),XG

，贝！JQ'(X)=—；------<0,xe

X9X~X+1

u上递减,

所以9⑴＜9（x）＜哈｝

34744

乂夕(1)=1—1112=0.31,<p\-ln-=——ln7+21n2«--0.57<l,

433

所以=/（%）武。，1），

又存在整数k使得了（力＞攵恒成立,

所以整数火的最大值为0.

变式11.（2023•安徽•高三校联考阶段练习）已知函数/（x）=alnx+2e*-4