高考数学一轮复习（新高考版） 抛物线

§8.7抛物线

【考试要求】1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质2通过圆

锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.

主干梳理基础落实^

知识梳理

I.抛物线的概念

（1）定义：平面内与一个定点尸和一条定直线/（/不经过点用的距离相等的点的轨迹.

⑵焦点：点尸叫做抛物线的焦点.

（3）准线：直线/叫做抛物线的准线.

2.抛物线的标准方程和简单几何性质

标准方程)2=2〃4(〃>0)产-2PMp>0)/=2〃必>0)-2/?v(p>0)

*

图形黑不怖

范围x2O,xWO,u£Rv20,x£RyWO,x£R

焦点(-M（。乡

准线方程

对称轴%轴y轴

顶点(00)

离心率e=\

【微思考】

1.抛物线定义中，若/经过点尸，则点的轨迹会怎样？

提示若/经过点F,则到产与到/距离相等的点的矶迹是过点尸且与/垂直的直线.

2.怎样计算抛物线的焦半径（抛物线上的点到焦点的距离）？抛物线的焦点弦的最小值是多

少？

提示抛物线VnZpxOAO）上一点P（xo，W）到焦点的距离（焦半径）为4o+*抛物线的焦点弦

的最小值是2P（通径的长度）.

基础自测

题组一思考辨析

1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“J”或“X”）

（1）平面内与一个定点厂和一条定直线/的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.（X）

（2）方程），=加5工0）表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是0）,准线方

程是l=一*（X）

（3）抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.（X）

（4）若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切.（X）

题组二教材改编

2.过抛物线）2=4%的焦点的直线/交抛物线于P（%i，V）,Qg力）两点，如果XI+%2=6,

则|PQ等于（）

A.9R.8C.7D.6

答案B

解析抛物线产=44的焦点为"1,0）,准线方程为l=一1.根据题意可得，\PQ\=\PWQF]

=x\+1+幻+1=x\+及+2=8.

3.抛物线）2=8x上到其焦点尸距离为5的点的个数为.

答案2

解析设Pgyi）,则|PF|=xi+2=5,得即=3,雄=±2&.故满足条件的点的个数为2.

4.已知A（2,0）,4为抛物线）1=人・上一点，则的最小值.为.

答案号

解析设点8（x,>-）»则工=尸》0,

所以当4=5时，归用取得最小值，且|AB|min=乎.

题组三易错自纠

5.（多选）顶点在原点，对称轴为坐标轴且过点p（—2,3）的抛物线的标准方程是（）

9

-

-戈

2

94

AC.--

-2-v3

答案BC

94

解析设抛物线的标准方程是产=日或炉=冲，代入点P(—2,3),解得仁一宗加=去

JJ

94

所以＞2=--A-或/=袁.

6.设抛物线＞2=84•的准线与x轴交于点Q,若过点。的直线/与抛物线有公共点，则直线/

的斜率的取值范围是_____.

答案[-1,1]

解析0(-2,0),当直线/的斜率不存在时，不满足题意，故设直线/的方程为y=Mx+2),

代入抛物线方程，消去)，整理得公小+(4公-8)x+442=0,

由4=(4/-8)2-4&2.软2=64(1—&2)2。，

解得一1WAW1.

题型突破核心探究

J题型一抛物线的定义和标准方程H主演练

1.(2020.全国I)已知4为抛物线C：)2=2W(〃＞0)上一点，点A到。的焦点的距离为12,到

)，轴的距离为9,则〃等于()

A.2B.3C.6D.9

答案C

解析设A(.r,y),由抛物线的定义知，点4到准线的距离为12,即x+?=l2.

又因为点A到)，轴的距离为9,即x=9,

所以9+乡=12,

解得p=6.

2.设抛物线)?=2/»的焦点在直线2A+3y-8=0上，则该抛物线的准线方程为()

A.x=—4B.x=—3

C.x=-2D.x=~\

答案A

解析直线2x+3y—8=。与x轴的交点为(4,0),・•.抛物线尸=2px的焦点为(4,0),・,•准线方

程为x=-4.

3.动圆过点(1.0),且与直线上=-1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为.

答案炉=4]

解析设动圆的圆心坐标为(x,y),则圆心到点(1.0)的距离与到直线工=-1的距离相等，根

据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为产=4工

4.（2020•佛山模拟）已知抛物线r=2〃）。＞0）的焦点为凡准线为/,点P（4,）叫）在抛物线上,

K为/与y轴的交点，且|尸园=也|尸Q，则和=,〃=.

答案24

解析作PA/_U,垂足为以由抛物线定义知|PM=|PQ，又知俨川=地俨?1，

・•・在RtAPKM中，3]/尸长0=黑=黑=#，

：,/PKM=45。,•••△PMK为等腰直角三角形，・・・|PMTMK|=4,又知点P在抛物线f=

2〃），（p＞0）上,

2yo=8,

〃=4,

解得,

泗+齐4,yo=2.

思维升华（1）应用抛物线定义的两个关键点

①由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.②抛物线焦点到准线的

距离为p.

（2）求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程

的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p,只需一个条件就可以确定抛物线

的标准方程.

J题型二抛物线的几何性质及应用多维探究

命题点I焦半径和焦点弦

例1⑴已知抛物线炉=22。＞0）上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9,则该抛物线

的焦点到准线的距离为（）

A.4B.9

C.10D.18

答案C

解析抛物线产2Px的焦点为像0）,准线方程为尸一与

由题意可得4+3=9,解得〃=10,

所以该抛物线的焦点到准线的距离为10.

（2）设尸为抛物线C：）2=3x的焦点，过尸且倾斜角为30。的直线交。于A,8两点，。为坐

标原点，则△Q48的面积为（）

.3小c岖"「9

A-4B-8C-32D4

答案D

解析由已知得焦点坐标为帽，0）,

因此直线AB的方程为即4x—4小y—3=0.

方法一联立直线方程与地物线方程化简得4）。-12小y—9=0,/>0显然成立,

则划+ys=3小,yAyB——7,

故M—冲I=叱）7+冲）2-4%卅=6.

II39

-xX6=

因此S^OAB=2\OF\^A>'d=J44-

91Q

方法二联立直线方程与抛物线方程得f一号工+7=0,

216

21

/>（）显然成立，故心+切=3~.

213

根据抛物线的定义有|A=m+.18+”=K+]=12,

1-313

同时原点到直线A/3的距离为4=

^42+(-4<3)281

因此SAOA8=3B科d=*

命题点2与抛物线有关的最值问题

例2（1）已知抛物线），2=4月过焦点F的直线与抛物线交于4,B两煎,过A,4分别作），轴

的垂线，垂足分别为C,。,则|AC|+|B/）|的最小值为.

答案2

解析由题意知F（l,0）,\AC\-\-\BD\=\AF\-\~\FB\-2=\AB\-2,即|AC|+|8Q|取得最小值时当且

仅当|/W|取得最小值.依据抛物线定义知，当H网为通径，即|A阴=2〃=4时为最小值，所以HC|

+|BD|的最小值为2.

（2）设P是抛物线）2=4x上的一个动点，则点P到点4一1,1）的距离与点P到直线A--1

的距离之和的最小值为.

答案小

解析如图，易知抛物线的焦点为“（1,。），准线是工=一1,

由抛物线的定义知点P到直线x=-1的距离等于点P到尸的距离.

于是，问题转化为在抛物线上求一点P,使点〜到点A（一U）的距离与点P到R1.0）的距离

之和最小，

显然，连接人厂与抛物线相交的点即为满足题意的点，

此时最小值为叱1一（一1升+（0-1）2=木.

思维升华（1）由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离，

从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程.

（2）与抛物线有关的最值问题的两个转化策略

转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到位点的距离，构造出“两点之间线

段最短”“三角形两边之后大于第三边”，使问题得以解决.

转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的

连线中垂线段最短”原理解决.

跟踪训练1（1）已知抛物线f=4〉，上有一条长为6的动弦A&则48的中点到x轴的最短距

离为（）

33

A]B，2C.ID.2

答案D

解析由题意知，抛物线的准线/：y=-l,过点A作A4i_L/交/于点4,过点8作

交/于点8,设弦A8的中点为M,过点M作MM_L/交/于点Mi,则附跖|=出与幽.

因为HB|W|AF|+|BF|（/为抛物线的焦点），即HQ+IBF126,所以|A4i|+|BB庐6,2|MM」26,

故点M到x轴的距离d22,故选D.

（2）若抛物线产=4X的准线为/,2是抛物线上任意一点，则P到准线/的距离与P到直线3戈

+4y+7=0的距离之和的最小值是（）

1314

A.2B.yC.yD.3

答案A

解析由抛物线定义可知点P到准线/的距离等于点夕到焦点尸的距离，由抛物线）2=4X及

直线方程3x+4），+7=0可得直线与抛物线相离.，点P到准线/的距离与点P到直线3x+4y

13+71

+7=0的距离之和的最小值为点尸（1,0）到直线3x+4y+7=0的距离，即2.故选A.

^32+42

,题型三直线与抛物线师生共研

例3（2021・湖州模拟）如图，已知抛物线/=»点4（一去；），破，?，抛物线上的点P（x,

），）（一过点8作直线4P的垂线，垂足为Q.

（1）求直线AP斜率的取值范围；

（2）求|网・|PQ的最大值.

解（1）设直线A〃的斜率为

v2_1

41

k=j-=x—z,

x+g

13

因为一可，

所以直线AP斜率的取值范围是（一1,1）.

（2）联立直线AP与4Q的方程

（左丫一女+[=0,

I93

Ix+A>?—jZ：—2=0,

解得点Q的横坐标是x°=2（/+1）.

因为附|=W+/（X+£）=卜1+22伏+1）,

小尸肝心。-幻=-（匕船『，

yJk-+1

所以照卜|尸。|=一伏一1）伏-1）3.

令必）=一也一1）（4+1）3,因为，仕）=一（软一2）优+1）2,

所以火攵）在区间（一1,9上单调递增，G，1）上单调递减，

1?7

因此当攵=]时，|%IMQ|取得最大值正.

思维升华（1）求解直线与抛物线问题，一般利用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离

等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用.

（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点（设焦

点在工轴的正半轴上），可直接使用公式|人用=占+及+〃，若不过焦点，则可用弦长公式.

跟踪训练2（1）（2020・济南期末）直线y=x^b交抛物线产%于A,3两点，O为抛物线顶点,

OA1OB,则人的值为（）

A.-1B.0C.1D.2

答案D

解析设A(%i,yi),Bg,J2),将y=x+b代入丁="，化简可得x2—2x—2/?=0,故©+也

=2,.iiX2=—2仇所以)叮2=工工2+〃(总+12)+岳=〃.又OA_LO&所以工工2+》)，2=0,即

—2b+b2=0,则6=2或方=0,经检验》=0时，不符合题意，故〃=2.

(2)已知尸为抛物线C)N=4x的焦点，过尸作两条互相垂直的直线八，h，直线6与C交于

A,B两点,直线々与C交于。，E两点,则H/3|+|QE|的最小值为()

A.16B.14C.12D.10

答案A

解析抛物线C:)2=4%的焦点为尸(1,0),由题意可知/i，/2的斜率存在且不为。.不妨设直线

八的斜率为火，则直线/2的斜率为一；，故人y=k(x-l),

，2：y=-^x-i).

y-=4j,

由消去y得好/一(2女2+4口+好=0.

ly=k(x~\),

2好+44

设4汨，J|),8(X2,)'2),.，.X|+X2=；L^2~=2+后，

4

由抛物线定义可知，\AB\=x\+X2+2=4+73.

KT

同理得|。芯|=4+必2,

.•・H3|+|Q£]=8+4R+W28+2代=16.

K

当且仅当！=N,即左=±1时取等号.

/C

故H8I+IOE]的最小值为16.

课时精练

应基础保分练

I.(2019・全国II)若抛物线./=2〃即＞0)的焦点是椭圆会+5=1的一个焦点，则p等于()

opP

A.2B.3C.4D.8

答案D

解析由题意知，抛物线的焦点坐标为g,0),椭圆的焦点坐标为(士折，0),所以§=后,

解得〃=8,故选D.

2.（2020・全国III）设0为坐标原点，直线x=2与抛物线C：）2=2外。>0）交于。，E两点,若

OD±OE,则。的焦点坐标为（）

A.Q,0）B.&0）C.（1,0）D.（2,0）

答案B

解析方法一•・•抛物线C关于x轴对称，

•••。，E两点关于工轴对称.

可得出直线x=2与抛物线的两交点的坐标分别为（2,2办），（2,—2⑺）.

不妨设。（2,2近）,E（2,一2办），

则而=（2,2办），赤=（2,-2办）.

又・・・OO_LOE,

，"历=4一4〃=0,解得〃=1,

・・・C的焦点坐标为弓，0）.

方法二•••抛物线。关于x轴对称，

・•・/）,E两点关于x轴对称.

•・・OO_LOE,・・・O,E两点横、纵坐标的绝对值均相等.

不妨设点。（2,2）,将点D的坐标代入C：）2=2明，

得4=4〃，解得〃=1,故C的焦点坐标为（：，0）.

3.中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非

凡智慧.一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽8m.若水面下降1m,则水面

宽度为（）

A.2加mB.4-76mC.4小mD.12m

答案B

解析由题意，以拱桥顶点为原点，建立平面直角坐标系,

设抛物线方程为x2=-2/?v（p>0）,

由题意知，抛物线经过点A（-4,—2）和点8（4,—2）,

代入抛物线方程解得〃=4,

所以抛物线方程为』=一8），，

水面下降1米，即），=—3,解得不=2#,也=-2加，

所以此时水面宽度d=2xi=4#.

4.（2020•北京）设抛物线的顶点为。，焦点为凡准线为/.P是抛物线上异于。的一点，过P

作I/于Q,则线段FQ的垂直平分线（）

A.经过点。B.经过点P

C.平行于直线OPD.垂直于直线O尸

答案B

解析如图所示，P为抛物线上异于。的一点，

则|PF|=|PQ,

・・・。尸的垂直平分线经过点P.

5.（多选）设抛物线＞，=加3＞0）的准线与对称轴交于点P,过点P作抛物线的两条切线，切点

分别为A和8则（）

A.点，的坐标为（0，一方

B,直线AB的方程为），£

C.PALPB

D.H用=土

答案ABC

解析由丁=卅得，］2=%,则焦点*，土）.

OO，A2p=-,・•・〃=?，

其准线方程为尸一看认0,-£）,A正确；

卜=加，

设切线方程为），=履一了;（AW0）,由＜1

。…F，

得or2—攵r+5=0,

令4=A2-4XaX*=0,解得2=±1.

・••设切点A£,e'4一=5

因此直线/W的方程为尸。B正确;

又从=隔/p&=（'/

・••丽•丽=_a+表=0.

从而无_L无，即附03,C正确;

明=岗-（014D错误.

6.（多选）已知抛物线C：＞2=2〃的＞0）的焦点为F,斜率为小且经过点尸的直线/与抛物线C

交于4,8两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点。，若|AQ=4,则以下结论正确

的是（）

A.〃=2B.尸为AO的中点

C.\BD\=2\BF\D.|B尸|=2

答案ABC

解析如图.

咯，。），直线/的斜率为小，

则直线/的方程为），=小（工一匀，

y=2/xv,

联斗尸对T）.

得12^—20妙+3〃2=0.

/31

解得XA=R）,XB=@,

3

由H/]=Xp+?=2p=4,得p=2.

，抛物线方程为/=4.v.

I1

切十巧,

14

则|8F|=q+l=w；

4

\BF\38

\BD\=

cos60°13'

2

：.\BD\=2\BF\t

84

|8D|+|BQ=Q+3=4,则尸为A。的中点.

故选ABC.

7.（2020・新高考全国I）斜率为小的直线过抛物线C：）R=4X的焦点，且与C交于A,B两点、,

则|4阴=.

Mg16

答案—

解析如图，由题怠得，抛物线焦点为尸（1,0）,

设直线A8的方程为y=小（工一1）.

产小(1),

由“

y=4x,

得3/一10=+3=0.

设A(xi,yi),8(x2,刈，

则1]+/2=¥，所以|4阴=；1|+12+2=号.

8.已知直线/是抛物线y=2px（p>0）的准线，半径为3的圆过抛物线顶点O和焦点F与/相

切，则抛物线的方程为.

答案炉=8]

解析•・•半径为3的圆与抛物线的准线/相切,

・••圆心到准线的距离等于3,

又•・•圆心在O尸的垂直平分线上,|0月二5

§+§=3,・・・p=4,故抛物线的方程为尸=8.

9.直线/过抛物线C)，2=2px(p>0)的焦点”(1,0),且与C交于A,8两点，则〃=,n方

1

m

答案21

解析由题意知g=1,从而〃=2,

所以抛物线方程为)，2=4.r.

当直线4B的斜率不存在时，将x=l代入抛物线方程，解得|AQ=|8F1=2,

从而由+丽=L

当直线A8的斜率存在时，设A8的方程为)=《%—1),

y=k(x-i)

联立)t

y=4.v,

整理，得&2/-(2d+4)x+〃2=o,

设A(»,yi),BCm%),

2好+4

汨+'=个

则<

X\X2=1，

口一1,1_____]_____I______为+-+2XI+42+2_

“'便丽十丽=汨+1+丁7=箝+1+.叫氏+1=K+也+2=L

综上，丽+丽=L

10.点尸为抛物线)2=4x上的动点，点A(2,l)为平面内定点，尸为抛物线焦点，则：

(1)1网+|PQ的最小值为：

⑵解|一俨/]的最小值为,最大值为.

答案⑴3(2)-72也

解析(I)如图1,由抛物线定义可知，|PF]=|P，|,|%|+|PF|=|以|+|P"1，从而最小值为A

到准线的距离为3.

(2)如图2,当P,A,产三点共线，且尸在用延长线上时，|力|一|PF|有最小值为一闪回=一小.

当尸，A,尸三点共线，且尸在A/延长线上时，|以|一『外有最大值为故|阴|一|P网

的最小值为一小，最大值为港.

11.定长为3的线段A8的端点A,B在抛物线32=x上移动，求A8的中点到），轴距离的最

小值，并求出此时A8中点的坐标.

解如图所示，F是抛物线），2=工的焦点，

过A,B两点作准线的垂线，垂足分别为C,D,

过A8的中点M作准线的垂线MN,垂足为N,

则|M/M=；（|/1C|+|BQ|）.

连接人凡BF,由抛物线的定义知HC|=|AP|,|8。|=旧八

所以|MN1=|（h4F|+|8司）2y48|=*

设点M的横坐标为x,则MN]=r+1,

3I5

所以1一不=不

当弦4B过点尸时等号成立，

此时，点M到），轴的距离最短，最短距离为京

设A。〕，yi）,8（X2,竺），则为+工2=2匕

当x=Z时,易知》”=_,=一：,

所以8+父）2=5+於+2yly2=2Y_g=2.

所以巾+丁2=力，得y=弯,即M修，±^.

12.（2021・沈阳模拟）已知抛物线C：x2=2py（p>0）,其焦点到准线的距离为2,直线/与抛物

线C交于A,B两点、,过A,3分别作抛物线。的切线小，b,且人与心交于点M.

⑴求〃的值；

（2）若八_L/2,求△M4B面积的最小值.

解（1）由题意知，抛物线焦点为（0,

准线方程为尸一岁

焦点到准线的距离为2,即〃=2.

（2）由（I）知抛物线的方程为#=4），，

即丁="必，所以=5,

设4汨，yi),8(X2,>2),

/1：y_、=翔一川,

/2：y~J=^(X-X2),

由于［JJ2,所以日若=-1,

即X|X2=-4.

设直线,的方程为)，=履+，〃，与抛物线方程联立，

得。'=履+〃?，

lx2=4)',

所以炉一4米一4〃?=0,/=16尸+166>0,

XI+X2=4A,jqx2=-4〃?=—4,所以〃?=1,即/：y=Ax+l.

X|X?

y=2x~7f鼠=2限

、得即M(2k,-1).

(y专-半尸一葭

，上门士,…-匚+,K2A+1+1I2|F+1|

M点到直线/的距离4后’

HBl=yj(l+^2)l(xi+x2)2—4xiX2j=4(1+F),

?|P4-11

所以S=±X4(1+公)X=4(1+/户24,

\1+公

当2=0时，△MAB的面积取得最小值4.

用技能提升练

13.抛物线炉=4)，的焦点为E过点尸作斜率为坐的直线/与抛物线在)，轴右侧的部分相交

于点A，过点A作抛物线准线的垂线，垂足为"则厂的面积是()

A.4B.3小C.4小D.8

答案C

解析由抛物线的定义可得HF|=|A"|，

TA户的斜率为当，，直线A