高考数学一轮复习（新高考版） 强化训练4 三角函数中的综合问题

强化训练4三角函数中的综合问题

立基础保分练

1.（2020.北京东城区模拟）《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自

成体系的数学专著.书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几

何？"（一步01.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为

（）

A.135平方米B.270平方米

C.540平方米D,1080平方米

答案B

1124

解析根据扇形的面积公式，S=?r=；X45X空=270（立方米）.

2.（2021・日照联考）在平面直角坐标系xQy中，角a的顶点在原点O,以x轴非负半轴为始边,

终边经过点P（l,〃?）（〃?〈（）），则下列各式的值恒大于0的是（）

A.sina+coso.B.sina—cosa

八.sina

C.sinacosaD-

tana

答案D

解析由题意知sina<0,cosa>0,sina+cosa的符号不确定，A不成立；sina—cosa<0,B

不成立；sinacosa<0,C不成立；lana<0,;二：>0,D成立.

【ana

3.（2021•张家口质检）已知锐角a满足3cos2a=1+sin2a,则cosa等于（）

A羊B当落D芈

答案A

解析3cos2a=1+sin2a可化简为

3（cos%—sin%）=sin%+cos%+2sinacosa,

即3（cosa-sina）（sina+cosa）=（sina+cosa）2,

因为a为锐角，所以3（cosa-sina）=sina+cosa,

化简得到cosa=2sina,

代入siira+cos2a=1,解得cos

4.（2020•东三省四市模拟）已知直线），=-2与函数./U）=2sin（s—§（其中①>0）的相邻两交点

间的距离为冗，则函数人工）的单调递增区间为（）

r,n,.5n~

A[E-不依+不，kGZ

B^n—々兀+得

,kGZ

兀一器，女兀+半，女£Z

D.1E-卷，^TtH-yy,kRZ

答案B

解析Vy=-2与函数“r）=2sin（①x—窃（其中s＞0）的相邻两交点间的距离为心

・•・函数的周期7=兀，即普=兀，得①=2,

贝i」/U)=2sin(2x-?,

由2E—^W2E+4,及£Z,

得hr-gWxW尿+患，2£Z,

即函数©的单调递增区间为［e—冷E+招］,&WZ.

5.（多选）给出下列函数：①），=cos|2x|;@y=|cosA|；③y=cos（2_¥+器）；④尸匕皿❷一彳）其中

最小正周期为冗的有（）

A.①B.②C.®D.®

答案ABC

解析①中，＞,=COS|2A|=COS2X,其最小正周期为兀；②中，知y=|cos可是y=cosx将3轴下

方的部分向上翻折得到的，故周期减半，即y=|cosx|的最小正周期为兀；③中，），=cos（2用）

的最小正周期7=竽=兀；

④中，），=tan（2x—的最小正周期丁=与.

6.（多选）（2020.宁德模拟）已知函数"r）=sin（s+9）（Q）＞0,3祎）的最小正周期为兀，且将图象

向右平移自个单位长度后得到的函数为偶函数，则下列关于人工）的说法错误的是（）

A.关于点传0）对称B.关于直线尸热称

C同一多居上单调递增D.在［有居］上单调递减

答案ABD

解析:ZU)的最小正周期为兀,

••・丁=了=兀'得8=2,

此时/W=sin(2x+9),

将图象向右平移各个单位长度后得到

y=sin[2^-^+^]=sin(2x+^-^,

若函数为偶函数，则°一aE+.kGZ,

得°=E+岸27rkGZ,

,.,|研辱・••当<=-1时,8=一全

则_/U)=sin(2L§,

则/筒=sin(2X碧一§=sin>1,

故府)不关于点借0)对称，故A错误；

f(g=sin(2xH)=sin0=0,

故yu)不关于直线工=/对称，故B错误：

当一名鸨吮一*2r—长率此时函数段•)为增函数，故C正确:

当言时，一上标一黑芫此时函数危)不单调，故D错误.

7.(2020减阳模拟)若tana=g,tan(a+A)=J,则tan夕=.

答案I

解析因为£=他+/?)一0，

且tana=ytan(a+")=；,

,tan(a+//)—tana

所以tan^=tanl(a+^)-a]=l+tan(a+/?)Xtana

11

2-3ii

=i；=亍,所以tan/?=’

1+2X3

即3=1+2E,k£Z,

所以J（X）=cos（2x+g,

令2EW2X+^W7T+2E,kGZ,

解得一专+E这kGZ,

则函数y=_/U）在［。，方上单调递减，

故。的最大值是A

J

11.已知函数yU)=V5cos2K+sin(x+1)sin4

⑴求7U）的最小正周期及对称中心;

（2）若刎=卷,且

求cos2a的值.

解（1加工）=小「2A+$访'+止―§皿1］（1一5）一坐

=^cos2Y+JX2CO$G

小।1以储

\"cos2r+^sinl2x—I

=2cos2x+^sin2x-^-cos

^sin2d+cos2x•唱)

=/m(2x+g.

所以於）的最小正周期r=y=7c.

由2x+1=E,kGZ得x号-/kCZ,所以©的对称中心为（竽一志0）,&£Z.

⑵由刎=看得sin（2a+§=；,

因为所以2a+捐0

2'兀，

所以cos(2a+g1—siir^2a+^

=-4一跌=-2^2

3，

所以cos2a=co{(2“+力n

3_

=cos(2a+?cos全+sin(2a+?.siny71

3

_2A/211小小一21

一一32十彳2-6

12.设./U)=2小sin(7t-x)sinx-(sinx-cosA)2.

(1)求函数、/U)的单调递增区间；

(2)把函数,，=/3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象

向左平移亨个单位长度，得到函数丁=8。)的图象，求的值.

解(1)由y(x)=2小sin(兀-x)sinx—(sinx—cosA)2

=2V3sin2x—(1—2sinxcosx)

=小(1—cos2x)+sin2v—1

=sin2r-\/3cos2x-\-y［3—1

=2sin(2r—§+小一1.

由2E—4W2A•一与W2E+与(Z：£Z),

乙3j

得E—

所以«r)的单调递增区间是［e一古，E+招］(&£Z)(或(e-盍，E+患)(%£Z)).

(2)由(1)知Qx)=2sin(2x一3+小一1,

把)，=/")的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，

再把得到的图象向左平移々个单位长度,

得到j=2sinx+，5—1的图象，

即g(x)=2sinx+5—I.

所以痣)=2sin5+小-1=小.

立技能提升练

-一

13小

13.(2020•厦门质检)已知函数=sin+C，

2-一

实数切的取值范围是()

A[iI]B[?2]c-[i2]D-[?I

答案A

解析y（x）=sin[a＞x+*）+cosG;x=^sins+^costox=A/5sin（o＞x+9，

因为x£[0,n],所以sx+1七W，3兀+弥，

因为负x）在[0,n]上的值域为修A/5,

所以弊09冗+畀卷所以卜3

14.已知函数人幻=280（口工+0）+1（幻＞0,期与，其图象与直线y=3相邻两个交点的距离为

空，若府）＞1对任意工£（一有§恒成立，则夕的取值范围是.

答案[一去0

解析由题意可得函数J（R=2cos（Qr+3）+1的最大值为3.二/（x）的图象与直线y=3相令3两个

交点的距离为亨，.g）的周期T=尊•号=条解得①=3,

，/（x）=2cos（3x+e）+1.力（4）＞1对任意大《（一五，恒成立，，2cos（3x+0）+l＞l,即cos（3x

+8）＞0对任意（一言，恒成立，.•.一多AWZ且冷十夕或2左兀+冬k£Z,解

得夕22*九一:，旦夕£2〃兀，k^Z,即2〃冗一空W夕＜2匕r,Z.结合囱苣可得，夕的取值

范围为一点,0.

用拓展冲刺练

15.（2020-安庆模拟）已知函数fix）=2（|cosx|+cosx）-sinx,给出下列五个命题:

①/"）的最小正周期为兀；

②AQ的图象关「直线人=翔•称；

③/U）在区间[一去彳]上单调递增；

④/U）的值域为[-2,2]；

勒⑴在区间[―2兀，2汨上有6个零点.

其中所有正确的编号是（）

A.②④B.O@⑤

C.③④D.②®©

答案c

解析7U)=2(|cosM+cosx)sinx=2|cosx|sinx+sin2

关/(果，故函数;(x)的最小正周期不是兀，故①错误;

由于/任一'==|cos(j-x)

故段)的图象不关于直线x—g对称，故②错误；在区间［一?T上，2xe［一冬知

Xx)=2|cosA|sinx+sin2K=2sin2A•单调递增，故③正确；当cosx20时，XA)=2|COSx|s:nx+

sin2x=2sinxcosx+sin2c=2sin2x,故它的最大值为2,最小值为一2；当cosx<0时，人工)

=2|cosx|sinx+sin2x=—2sinxcosx+sin2.v=0,综合可得，函数凡0的最大值为2,最小值

为一2,故④正确；当COSTWO时，凡1)=0,在区间［—2%,2兀］上有无数个零点，故⑤错误.

16.如图所示，四边形ABCD是一块边长为7米的正方形铁皮，其中ATN是一半径为6米的

扇形，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用.工人师傅想在未被腐蚀部分截下一个有边

落在BC与CD上的长方形铁皮PQCR,其中P是弧TN上一点、.设N7AP=H,长方形PQCR

的面积为S平方米.

D.

N