高考数学一轮复习讲义：平面向量与复数 第1节 平面向量的概念及线性运算

平面向量与复数

第1节平面向量的概念及线性运算

考试要求1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的

含义；3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；

5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性

运算的性质及其几何意义.

■知识诊断•基础夯实

知识梳理

1.向量的有关概念

(1)向量：既有大小乂有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的长度(或模).

(2)零向量：长度为0的向量,其方向是任意的.

(3)单位向量：长度等于1个单位的向量.

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定:0与任一

向量平行.

(5)相等向量：长度相等且方,向相同的向量.

⑹相反向量：长度相等且方向相反的向量.

2.向量的线性运算

向量运算定义法则(或几何意义)运算律

(1)交换律：

a+b=b-\-a.

a

加法求两个向量和的运算三角形法则(2)结合律：

(G+〃)+C=

平行四边形法则

a+(b+c)

减去个向量相当于

减法加上这个向量的相反个。一5=〃+(一〃)

向量三角形法则

(1)|〃|=回囹；

(2)当2>0时，〃的方

2(〃。)=)"；

求实数7与向量。的积向与a的方向相同:当

数乘(A+〃)。=：

的运算2V0时，痴的方向与。

2伍+力=痴+即

的方向相反;当％=0

时，

3.共线向量定理

向量〃mwo)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数九使得b=n

I常用结论►

|.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向

量终点的向量，即MAi+A2A3+A3A4H---\-A^An=AiAn，特别地，一个封闭图形，

首尾连接而成的向量和为零向量.

2.中点公式的向量形式：若P为线段A8的中点，。为平面内任一点，则称=；(。入

+两.

3宓=2循+"抗U，"为实数),若点A,B,C共线,则2+〃=1.

4.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是考

虑向量的方向；二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.

诊断自测

1.思考辨析(在括号内打“J”或“X”)

⑴⑷与I臼是否相等与》的方向无关.()

(2)若〃〃b,b//c,则。〃c.()

(3)向量篇与向量日)是共线向量，则A,B,C,。四点在一条直线上.()

(4)当两个非零向量〃，》共线时，一定有6=%，反之成立.()

答案(1)V(2)X⑶X(4)7

解析（2）若5=0,则a与c不一定平行.

（3）共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A,B,C,。四点不一定在一

条直线上.

2.（易错题）给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a,b都是

单位向量，则〃=。；③向量福与旗相等.则所有正确命题的序号是（）

A.①B.③C.0@D.①②

答案A

解析根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模

相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量油与布

互为相反向量，故③错误.

3.设M为△ABC所在平面内一点，且比=3面，贝1」（）

A..AM=-3筋+方位？

一1一4一

B.AM=^AB—^AC

C./iM=^Afi+|Ac

D.AM=^AB~^AC

答案A

解析由沈=3《而，得加=g反1,

所以加力=危+CM=AC+\BC

=AC+|（BA+AC）=—

4.（2021・长沙调研）已知点。为△A8C的外接圆的圆心，且万1+为+仍=0,则

△ABC的内角A等于（）

A.30°B.45。C.60°D.90°

答案A

解析由为+油+前=0,得81+励=沆.

又。为△A8C的外接圆的圆心，

根据加法的几何意义，四边形OACB为菱形，且/CAO=60。，因此NC4B=30。.

5.若四边形A8CO满足屐）〃成田|牯|=|反|,则四边形A8CQ的形状是______.

答案等腰梯形或平行四边形

解析当|而|=|反1时，四边形A8CD是平行四边形；当1ALiW|病|时，四边形48C。

是等腰梯形.

6.（2022•哈尔滨质检）设Q与力是两个不共线向量,且向量。+劝与一（力一2〃）共线，

则7=.

答案V

解析由已知2a—8W0,依题意知向量a+M与2q—力共线，设a+2b=左（2"一

b）,则有（1-2妁a+（%+/）~=0.

[1一2女=0,

因为。，〃是两个不共线向量，故。与b均不为零向量，所以V,「八解得女

[2+2=0,

==2=—

考点突破,题型剖析

L考点一平面向量的概念

1.给出下列命题，正确的命题为（）

A.向量初的长度与向量丽的长度相等

B.向量。与力平行，则。与力的方向相同或相反

C.\a\-\-\b\=\a-b\^a与b方向相反

D.若非零向量a与非零向量力的方向相同或相反，则与a,b之一的方向相

同

答案A

解析对于A,向量部与向量旗的长度相等，方向相反，命题成立；对于B,当

。=0时，不成立；对于C,当明》之一为零向量时，不成立；对于D,当

=0时，a+b的方向是任意的，它可以与明6的方向都不相同.

2.设〃，8都是非零向量，下列四个条件中，使步自成立的充分条件是（）

A.a=~bB.a〃b

C.a=2bD.a%且同=|可

答案C

解析因为向量各勺方向与向量〃方向相同，向量台的方向与向量力方向相同，

且L，所以向量。与向量方方向相同，故可排除选项A,B,D.当。=2/＞时,

r=盖=春故。=28是*jfj成立的充分条件.

3.给出下列说法：

①非零向量。与力同向是a=b的必要不充分条件；

②若屈与病共线，则A,B,C三点在同一条直线上；

③。与〃是非零向量，若。与b同向，则。与一力反向；

④设九〃为实数，若、=〃"则。与力共线.

具中错误说法的序号是.

答案④

解析根据向量的有关概念可知①②③正确，对于④，当/="=()时，。与b不

一定共线，故④错误.

感悟提升1.相等的向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平

行向量，而平行向量未必是相等向量.

2.向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负数，可

以比较大小.向量可以平移，与起点无关，平移后的向量与原向量相等.

3.单位向量的特征是长度都是1个单位，零向量的特征是长度是()，并规定零向量

与任何向量平行.

k考点二向量的线性运算

角度1平面向量的加,减运算的几何意义

例1在△A8C中，AO为3c边上的中线，E为AO的中点，则说=()

C翔十%&D.拗+证

答案A

解析作出示意图如图所示.

丽=或+历=；历+缶&通+及7）+；（磊-欣?）=%&一:最?.

BD

角度2向量的线性运算

例2在△A8C中，BD=TBCf若寿=〃，AC=b,则疝等于（

A,w+*B»下

-12,-21,

C3a~3b叼中

答案A

解析如图，过点。分别作AC,4B的平行线交AB,AC于点E,F,则四边形

AED/为平行四边形，所以历=崩+后'.

因为反）=Q比，

.2ff1一

所以屈=§油，Af'=^AC,

角度3利用向量的线性运算求参数

例3（2022・长春调研）在△ABC44,延长BC至点M使得BC=2CM,连接AM,点

N为AM上一点旦病=轲/,若病=见丽+〃危，贝lJ%+〃=（）

A.1B.|C.—D.一（

答案A

解析由题意，知病=!翁/=3（油+而f）=/^+3X距&=；油+寺（屐?一籥）=

-春诵+g危.

又俞=2彳&+〃危，所以[=一不〃=],贝I」，+"=].

感悟提升1.解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向

量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.

2.在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三

角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把

未知向量转化为用已知向型线性表示.

3.与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角

形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程(组)即可求得相关参数的值.

训练1(1)在△ABC中，BC=^BD,/为A。的中点，则班等于()

(2)(2021・济南质检)在正六边形A8CDE产中，对角线8。，。/相交于点P.若淳=

xAB-\-yAFf则x+y=()

57

2氏-C3-

A.2D.2

答案(1)B(2)B

解析⑴丽=4丽+夕方=一%+袅日肥又因为比=病一后，所以而=孤?

ZZZZ4o

(2)如图，记正六边形4BCDE尸的中心为点。，连接OB,0D,易证四边形08CZ)

为菱形，且P恰为其中心，

BC

.3f3f

于是成=1元)=;油，

L乙

因此崩=#+币=1浦+办.

因为由.口方+)，#,

35

-

2

r考点三共线定理及其应用

例4设两个非零向量«与b不共线.

(1)若筋=°+4比=2〃+85,金=3(〃一6).求证：A,B,。三点共线；

(2)试确定实数上使品+力和。+奶共线.

⑴证明二•油=〃+b,BC=2a+Sb,

CD=3(a-b).

：.BD=BCJi-Cb=2a+^b-\-3(a-b)

=2。+88+3〃-3力=5(。+8)=5靠.

AAB,前共线，又它们有公共点8,

AA,B,。三点共线.

(2)解•:ka+b与a+kb共线，

・•・存在实数2,

使ka-\-b=X(a-\~kb)9即ka+b=ia+/kb,

••(k—X)a—(M—1)b.

・・・〃，方是不共线的两个非零向量，

:•k—2=Ik—1=0,AT—1=0,*.k=±\.

感悟提升利用共线向量定理解题的策略

(1加〃》=。=H(万关0)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思

想的运用.

(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A,B,。三点共线o窈，

屐决线.

⑶若a与b不共线且履=曲,则2=4=0.

(4)为=/的+〃沆”，”为实数)，若A,B,C三点共线，则/l+〃=l.

训练2(1)(2022♦南昌质检)已知m》是不共线的向量，AB=ka+b,危=a+”仅2,

"&R),若A,B,C三点共线，则九〃的关系一定成立的是()

A.A/z=1B/"=一]

C.2—//——1D.2+4=2

(2)已知O为AA5c内一点，且2Ab=励+沆AD=tAC,若B,O,D三点共

线，则7的值为.

答案(1)A(2)|

解析(1)二•油与危有公共点，，若A,B,C三点共线，则存在一个实数心使荏

一4=八一

=MC,即入a+b=ia+}Ub,则J消去参数/,得〃=1；反之，当川=1时，

W=I,

AB=ja+b,此时存在实数赳值=)"故油和危共线.・・・B与启有公共点，

B,。三点共线.

(2)设线段8C的中点为M,则无+定=2a.

因为2位)=①+无，所以位)二说/,则启=插力=(0通+危)=；口务+:国))=

；油十%1).由B,0,0三点共线，得(+==1，解得'=(.

拓展视野/“等和线”的应用

一、等和线定理

平面内一组基底苏，丽及任一向量沆，无=2宓+〃成(2,〃£R),若点C在

直线A8上或在平行于A3的直线上，则2+4=依定值)，反之也成立，我们把直

线A8以及与直线48立行的直线称为“等和线”.

(1)当等和线恰为直线时，k=i；

(2)当等和线在。点和直线48之间时，攵6(0,1)；

(3)当直线A8在O点和等和线之间时，攵£(1,+8)；

(4)当等和线过O点时,火=0；

(5)若两等和线关于O点对称，则定值Z互为相反数：

（6）定值k的变化与等和线到。点的距离成正比.

二、定理的运用

1.基底起点相同

例1（2017.全国III卷）在矩形A8C。中，43=1,AD=2t动点尸在以点C为圆心

且与BQ相切的圆上.若酢=2蕊+〃俞，则的最大值为（）

A.3B.25C.小D.2

答案A

解析如图，由平面向量基底等和线定理可知，当等和线/与圆相切于点M时,

2.基底起点不同

例2设。，E分别是△A8C的边A8,8c上的点，且有AO=|AB,BE吾BC,

若无=为筋+22危（力，A2eR）,则AI+22的值为.

答案!

解析过点A作能=踮，设AF,8。的延长线交于点”，易知AF=FH,即。尸

为△AB”的中位线，因此为+於=；.

3.基底一方可变

例3在正方形A8C。中，如图，E为中点，P是以A为圆心，AB为半径的四

分之一圆弧上的任意一点，设充=工场+、/，则x+y的最小值为.

套案-

解析由题意，作京=无，连接PK,则直线AC与直线尸K相交于点M,设刀力

=）ACy则有赢/=设次+办MA.由等和线定理，知Zx+加=1,从而x+y=!.当点

A

P与点8重合时如图，又K,B（P）,7三点共线，4M最长，此时，AM=2AC,所

以Zmax=2,此时，（x+），）min=1

4.基底合理调节

例4如图所示，A,B,。是圆。上的三点，。。的延长线与线段54的延长线交

于圆0外的点D,若无=〃?为+〃励，则m+n的取值范围是__________________.

答案（一1，0）

解析作宓，油的相反向量以1,仍I,如图所示，则A8〃48i,过。作直线/〃A8,

则直线/,48为以宓，丽为基底的平面向量基本定理系数等和线，且定值分别

为0,—1.由题意。。的延长线与线段BA的延长线交于圆。外的点。，所以点。

在直线/与直线A]3i之间,所以1,0）.

■分层训练,巩固提升

A级基础巩固

1.已知下列各式:①命+反1+以；②命+加+肠+而;③为+反）+历;

④福一危+防一日），其中结果为零向量的是（）

A.①B.②C.①@D.①④

答案D

解析利用向量运算，易知①，④的结果为零向量.

2.在△ABC中，。为△ABC的重心.若反）=2筋+"沅，贝lj2—2〃=（）

144

A.-5B.—1C.QD.一Q

答案D

解析如图，连接30并延长交AC于点M,因为。为△ABC的重心，所以M为

AC的中点，

.2f21f]f

所以反）=§丽=§（2就+耳反7）

=—

又知庆）=疝?+〃危，

21

所以/=_?f.l=y

214

所以A—2^=—3—X3=~3,

3.（2021•衡水调研）如图所示，在正方形A3CO中，E为3C的中点，尸为4E的中

点，则方＞=()

A.-3部+前7)

1一1一

C.^AB-jAD

答案D

解析DF=AF-ADyAE=AB+BE.

•・•£1为3c的中点，尸为AE的中点，

.\AF=^AE,BE=^BC,

：.DF=AF-AD=^AE-Ab

=^AB-\-BE)-AD

=^AB-\-^BC—Ab.

又比=能，：.DF=^AB-^Ab.

4.（2021•郑州模拟）设ei与e2是两个不共线的向量,AB=3e\+2e2,CB=ke\-\-ei,

CD=3ei-2ke2,若A,B,。三点共线，则攵的值为（）

答案A

解析因为A,B,D三点共线，所以必存在一个实数人使得磊=2减）.

又AB=3ei+2e2,CB=kei+e2,CD=3e\—2%。2,所以8D=C。-CB=3e\—Ikei

一伏均+及)=(3—Z)ci—(2Z+l)e2,

所以3ei+2e2=，3—k)e\—4(22+1)62.

9

3=2(3T),解得

女--

又ei与e2不共线,所以-

2=-A⑵+1)4-

5.已知向量〃，〃不共线，且。=加+儿"=〃+（22—1）心若。与d共线反向，则

实数人的值为（）

A.lB.—zC.zD.-2

答案B

解析由于c与d共线反向，

则存在实数%使。=〃也＜0）,

于是Xa~\~b=k[a~\~（2X-1）加，

整埋得加十》=版十（2旗一攵劭

由于％b不共线,所以有七二'，f

\2Xk—k=\t

整理得2/—2—1=0,

解得2=1或4=—）

又因为Y0,所以/IVO.故4一；.

6.（2022•东北三省三校骁考）如图，在平行四边形A8CO中，E为BC的中点，F为

OE的中点，若乔=人脑+沥，则工=（）

答案C

解析连接AE（图略），因为尸为OE的中点，所以能斗彷+小

而立=施+命=筋+屈

=AB+^AD,

所以而=贬&+硝

=^1A（D—-\-।ABf-\J~^AD^、=^AIBf-\r-3^Df.

又办=入储+,布），所Xx=^.

7.已知向量ei,62是两个不共线的向量，若a=2ei—e2与》=ei+ie2共线，则2

答案得

x=2

解析因为〃与〃共线，所以存在实数x,使。=地成立，即「一

l/Lx=—1,

故丸=-g.

8.如图，在平行四边形A8CQ中，£为。C边的中点，n.AB=a,AD=b,则砺=

答案b-；a

解析BE=BA+AD+^DC

=­〃+力+3。=》—

9.若点0是△ABC所在平面内的一点，且满足|为一浣|=|丽+沆-2苏则

/\ABC的形状为.

答案直角三角形

解析丽+沆—2次=（访一次）+（沆—后）=嘉+危，OB-OC=CB=XB-

Ac,

：.\AB-\-AC\=\AB-AC\.

故A,B,C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形.

10.已知。不共线，OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,OE=e,设/RR,如果

3a=c,2》=d,e=f®+3，是否存在实数，使C,D,E三点在一条直线上？若

存在，求出实数，的值，若不存在，请说明理由.

解由题设知，E=d-c=2b—3a,

CE=e-c=(L3)a+成

C,D,E三点在一条直线上的充要条件是存在实数攵，使得雄=攵诙,

即。-3)。+必=—3ka+2kb,

整理得(f—3+3k)a=QI)b.

因为。，分不共线，

t—3+3/=(),

所以有解得t=5,

2k-1=3

故存在实数使C,D,E三点在一条直线上.

11.如图，在△40C中，。为8c的四等分点，且靠近8点，E,尸分别为ACAD

的三等分点，且分别靠近A,Q两点，设辐=〃，AC=b.

⑴试用a,b表示灰,AD,旗;

(2)证明：B,E,尸三点共线.

(1)解在△A3C中，因为筋=a,AC=bt

所以说=加一筋=8一o,

AD=AB-\-BD=AB+^BC

131

=。+中一°)=平+/

BE=BA-\-AE=-AB-\-^AC=-a~\~\b.

(2)证明因为砥=—a+£〃，

济=及+酢=一筋+泌

=—+聆+%）=_/+》

9一a+切

所以泳=g丽,即济与添共线，且有公共点B,所以B,E,尸三点共线.

B级能力提升

12.（多选）（2022・济南调研）下列命题正确的是（）

A.若A,B,C,。四点在同一条直线上，且AB=CO,则蕊=诙

B.在△ABC中，若O点满足苏+画+定=0,则。点是△45C的重心

C.若〃=（1,1）,把。向右平移2个单位，得到的向量的坐标为（3,1）

D.在△ABC中，若a=2/C"A+匚油），则P点的轨迹经过△48C的内心

\iCA\\CB\）

答案BD

解析对于A,如图，

1111

ABDC

A,B,C,。四点满足条件，但油工⑦，故A错误；

对