第二章 有理数的运算-新定义型及规律探究题型梳理 专项练-2025-2026学年人教版七年级数学上册

第二章有理数的运算一新定义型及规律探究题型梳理专题练

2025.2026学年上学期初中数学人教版(2024)七年级上册

一、有理数运算中的程序问题

1.按如图所示匕也卫”亘□的程序计算，若开

始输入的数为0,则最后输出的结果为.

2.如图所示的是一个简单的数值运算程序.当输入x的值为4时，输出的值为一.

I输(-96)|~^[7(-0.25)1义*T—(—l)l~V输出/

3.按照如图所示的一个数值转换程序，若输入机的值是-2,则输出的结果是.

输入〃？一►nf-5+3—►X(-2)—►输出

4.小明同学编写了一个加密数据的代码，如图是这个加密代码的运算程序，按照这个运算程序，

当原始数据工=8时，加密后的数据是253：当原始数据x=40时，加密后的数据是235.如果输入的

原始数据x是正整数，加密后的数据是217,那么原始数据x的值可以是.

输入x1计算6x-5的值—输出结果

二、古代中的有理数运算问题

5.如图是中国古代“洛书”的一部分，洛书中用实心点或空心点的个数表示数字，纵、横、斜三

条线上的三个数字，其和皆相等，则右下角代表的数是一.

+

6.我国古代《易经》一书中记载，远占时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数如

图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，如图1,

孩子出生后的天数=3x72+1x71+6=147+7+6=160(天)，请根据图2,计算孩子自出生后的天数

是天.

7.第十四届国际数学教育大会(1CME-14)会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国

古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745.八进制是以8

作为进位基数的数字系统，有。〜7共8个基本数字.八进制数3745换算成十进制数是

3x83+7x82+4x8'+5x80=2021,表示ICME—14的举办年份.则十进制数2025换算成人进制数

是.(注：8°=1)

8.我国古代《易经》一书中记载，远古时•期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数一

位书生坚持每天五更起床读书，为了勉励自己，他用“结绳记数”的方法来记录自己读书的天数，如图

1是他从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，表示的天数为51天(1x6+2x6+3=51),按同

图1图2

三、有理数运算中的新定义型问题

9.对于有理数h,定义运算：a0b=-a2+ab,^11201=-22+2x1=-2.

⑴计算(-5)⑥3的值；

⑵计算口8(-3)］额-2)的值.

10.定义一种新运算“△"：a^b=b2-ab，例如：1△(-2)=(-2『—1x(—2)=4+2=6.计算:

(1)(-3)..(-5)；

⑵目△怛.

H.对于任意有埋数小b,我们定义一种新运算“※”，规定：4※8=〃2-时+。2,如:

(-2蟀3=(-2)、-(-2)x3+32=19.

⑴求(-8)※(-5)的值：

（2）求（-5怦（3※2）的值.

12.定义新运算：=a®b=-^~（右边的运算为平常的加、减、乘、除）.

abab

例如：3*7=i--=—,307=—=—.

37213x721

若a®b=a*b,则称有理数。，〃为“隔一数对

例如：2*3=9922住3=六卷2齿3=2*3,所以2,3就是一对“隔一数对”.

⑴下列各组数是“隔一数对''的是（请填序号）.

②a=-1,b=l.

⑵计算：（-3）*4-（-3虑4

（3）已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”.

计算：182+283+3笆)4+4笆)5++202302024.

四、有理数运算中的规律探究问题

111111

13.观察下列等式：3r4

2^3~2-33^4-3-4

1111111

把以上三个等式两边分别相加得:—+----+-H—+—1=1-1=2

1x22x33x42233444

这种求和的方法称为裂项求和法：裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能

消去一些项，最终达到求和的目的.规律应用：

计算：―+—+―++一!一的值

1x22x33x499x100

14.【观察思考】观察下列等式

11111111

将以上三个等式两边分别相加得：

111,11111,13

+----+------=J1-----------1---------=I=一

2x33x42233444

【探索规律】

1

（1）猜想并写出:

小+1)

（2）直接写出下列各式的计算结果:

足结合律.

能力练

1.我们定义i种新运算：a®b=a+b-ab.

⑴求3额-2）的值；

⑵求（T）⑥口㊁（-5）］的值.

2.现定义一种新的运算，规定：々※匕=/+〃匕一1,其中小〃均为有理数，例如:

隰2=F+lx2-1=2.求：

⑴（一3）※（一2）的值；

（2）2※信）—卜5）初的值.

3.根据下图所示的程序【可答问题:

⑴当小明输入-1和-2这两个数时，输出的结果是多少？

（2）当小明输入-I和这两个数时，输出的结果是4,求被墨水污染的数.

4.按图中程序计算，并根据要求求出输出的结果.

（I）当输入的数为3时，直接写出输出结果为

⑵设输入的数记作工，且忖=5,求出输出的结果.

5.观察下列等式：

LL

第1个等式：-----=-4-；

1x22x31x2x3

112

第2个等式：白-七=丁工：

2x33x42x3x4

I1?

第3个等式：

3x44x53x4x5

按照以上规律，解决下列问题：

⑴请直接写出第4个等式：

⑵利用规律计算:—：—+—：—+—:—的值

1x2x32x3x43x4x5

⑶直接写出际++际前的值.

答案

一、有理数运算中的程序问题

1.解：开始输入的数为0,

解：Ox22-(-5)=O+5=5<8返回继续运算；

5、22-(-5)=20+5=25>8输出结果；

故答案为：25

2.解：当x=4时，

4X(-96)X(-0.25)X±-(-1)

=4x(-96)x(一扑京+1

=4x96x—X—+1

448

=2+1

=3,

故答案为：3.

3.解：5+3卜(一2)

=(4-5+3)x(-2)

=2x(-2)=4

故答案为：—4.

4.解：如果输入的原始数据x是正整数，加密后的数据是217,

则(217+5)+6=37；

(37+5)^6=7；

(74-5)4-6=2；

故答案为：2或7或37.

5.解：最左边的一列三个数字和为4+3+8=15,

・•・山最下面一行数字可得右下角代表的数是1581=6,

故答案为：6.

6.解：由题意得，图2,计算孩子自出生后的天数=2x72+3x71+4=98+21+4=⑵,

故答案为：123.

7.解：3X83+7X82+5x8'+1x8°=2025，

・••十进制数2025换算成八进制数是3751.

故答案为:3751.

8.解：图2表示的天数是：1x63+2x62+3x6+2=308

故答案为：308.

三、有理数运算中的新定义型问题

9.(1)解：依题意得：

(-5)@3=-(-5)2+(-5)X3

=-25-15

=-40；

(2)解：[l®(-3)]0(-2)

=[-12+1X(-3)]®(-2)

=(-1-3)@(-2)

=5(-2)

=-(Y)2+(T)X(—2)

=-16+8

=—8.

10.(1)解：(-3)A(-5)

=(-5)2-(-3)X(-5)

=25-15

=10；

(2)解：f-^A4

(jAli

42-4x——△-

I2)3

=18A-

3

心)-184

53

=----

9.

11.⑴解:(一8)※(一5)=(—8)、(—8)X(—5)+(—5)2

=64-40+25

=49.

所以(-8)※(-5)的值为49.

(2)解：3X2=3?-3x2+2?

=9-6+4

=7；

(-5)^7=(-5)2-(-5)X7+72

=25+35+49

=109.

所以(-5法(3派2)的值为109.

41

12.(1)@Va--—,b-

3939

/.«*/?=——+3=—,«©Z?=——x(-3)=—

4444

/.a®b=a&b,

①是“隔一数对”

©,•a=-l,b=\

：.a*h=-\—\=-2,6/0/?=—1x1=—1

a®b^a*b

・•・②不是“隔一数对''

故答案为：①

⑵原H-31X4

111

-3-4+12

2

11

(3)原式=+-----FH------------

1x22x33x42023x2024

1

-2+2-3+3-4+

20232024

1

2024

2023

2024

四、有理数运算中的规律探究问题

1111

13.解:---T----+-----+

1x22x33x499x100

111I

=1+-----1-...H-------

4233499100

1

100

99

100

14.(1)解:=1

1x222x3233x434

I

/?(/!+1)n+\,

11

故答案为:

⑵解「,++白+£+

+2023x2024

11111

一+----+-----+••,+------------

2233420232024

1

2024

2023

2024

2222

⑶解:一十一—+

1x33x55x72023x2025

1

3355720232025

2025

2024

2025

15.解：(1)@|7-21|=21-7；

4

②一一1+一41

2552'

7777

③------

171817-?8

4177

故答案为：21-7；

521718

(2)①解：原式：15()1

557-2

1

=—，

5

故答案为：-1；

4A〃211111111

②解：原式=----H-----+----++---------।--+---।--------

2334452022202320232024

__1

-2-2024

1011

=2024

16.(1)㊉〃=卜+4,

/.©3©(-4)=|3+(-4)|=1；@(-4)©3=|(-4)+3|=l；

17

12

由以上运算可得，“绝佳”运算满足交换律；

1717

故答案为：①1,②1,③立，④五；满足;

(2)①:a㊉8=|。+可，

3㊉%=|3+4=7,

二3+x=7或3+工=-7,

x=4或工=-10；

②Va®b=\a+t\,

(-3)®x=|-3+;t|,x㊉彳=0+H=国,

(-3馋X=不㊉工=卜3+彳=|2凡,

:.一3+x=2x或一3十人=一2人,

解得犬=-3或x=l；

故答案为：①4或TO；②1或-3：

(3)㊉人=卜+可，

・・・6㊉(-7)=|6+(-7)|=1,I㊉(-8)=|1+(-8)|=7,

・•・[6©(-7)]0(-8)=7；

V(-7)e(-8)=|-74-(-8)1=15,6e15=|6+15|=21

.*.60[(-7)0(-8)]=21

・•・等式[6㊉(-7)]㊉(-8)=6㊉](-7)创-8)]不成立,

・•・“绝佳”运算不满足结合律.

能力练

1.(1)解：原式=3+{-2)-3x(—2)

=3-2+6

(2)解：原式=(-4)矶1+(-5)-以(一5)]

=(T)®1

=(T)+l-(-4)xl

=1

2.(1)解：(-3)※(-2)

=(-3『+(-3)x(-2)-1

=9+6-1

=14；

(