排列与组合-2026高三一轮复习讲与练

10.2排列与组合

冢

1

1.理解排列、组合的概念，掌握排列数公式、组合数公式.

2.能利用排列、组合解决简单的实际问题.

鱼备知识回顾自主学习•皋就回扣

教材回扣

1.排列与组合

(1)排列：一般地，从八个不同元素中取出个元素，并按照一定的顺序排成一列,

叫做从〃个不同元素中取出m个元素的一个排列.

(2)排列数

从〃个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数，叫做

定义及表示

从〃个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号a翌表示

全排列的概念把〃个不同的元素全部取出的一个排列，叫做〃个元素的一个全排列

正整数1到〃的连乘积，叫做〃的阶乘，用且L表示.A；；=〃！，0!=

阶乘的概念

1

连乘式A7=〃(〃-1)•(〃-2)…(〃一/〃+1)

排列数公式(〃，

wGN*,mWn)阶乘式A^=—

(〃一/〃)！

(3)组合：一般地，从〃个不同元素中取出〃?个元素作为一组，叫做从〃个不同元

素中取出m个元素的一个组合.

(4)组合数

从〃个不同元素中取出〃町〃个元素的所有不同组合的个数，叫做

定义及表示

从〃个不同元素中取出加个元素的组合数,用符号C片表示

_AM_1)(〃一2)…(〃一6+1)

乘积式

组合数"一扇

公式

阶乘式C7=—

(〃一/〃)！

两个性性质1

质性质2cri=a,+cFi

2.常用公式

(1)A2=(〃一/H+1)A夕"=〃A^i=mAk\+ASL|；(〃+1)!—〃！=nn\.

(2)。=C赳।+CH+…+C妇i.

基础检测

D

1.判断(正确的画“J”，错误的画“X”)

(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.(X)

(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.(X)

(3)若组合式C£=C%贝成立.(X)

(4)/=〃阳.(V)

2.(人教A版选择性必修第三册P38T8改编)小明和妹妹跟着父母一家四口到游乐园游

玩，购票后依次入园，为安全起见，首尾一定要排家长，则这4个人的入园顺序的种数是

(A)

A.4B.6

C.12D.24

解析：先排首尾两个位置，有A之种排法，再排中间两个位置，有A当种排法，所以这4

个人的入园顺序的种数是A3A3=4.故选A.

A4c?

3.(人教A版选择性必修第三册P26T8⑴改编);1=(A)

A.24B.60

C.48D.72

解析：AK3=4!&=4a=24.故选A.

3!3!

4.(人教A版选择性必修第三册P38T3(2)改编)五一小长假期间，旅游公司决定从6辆旅

游大巴儿B,C,D,E,”中选出4辆分别开往紫蒙湖、美林谷、黄岗梁、乌兰布统四个景

区承担载客任务，要求每个景区都要有一辆大巴前往，每辆大巴只开往一个景区，且这6辆

大巴中48不去乌兰布统，则不同的选择方案共有(B)

A.360种B.240种

C.216种D.168种

解析：这6辆旅游大巴中力，〃不去乌兰布统，则不同的选择方案共有C1Ag=240(种).

故选B.

母键能力提升互动探究•考点希讲

考点1排列问题

【例1】有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法数.

(1)选5人排成一排；

(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；

(3)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；

(4)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边；

(5)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定.

【解】(1)从7人中选5人排列，有A=7X6X5X4X3=2520(种).

(2)分两步完成，先选3人站前排，有A孑种方法，余下4人站后排，有A才种方法，共有

A执?=5040(种).

(3)方法一(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有Ag种方法，共有5XAg

=3600（种）.

方法二（特殊位置优先法）左、右两边位置可安排另6人中的两人，有A看种方法，其他

有Ag种方法,共有A2A§=3600（种）.

（4）方法一（特殊元素优先法）甲在最右边时，其他的可全排列，有Ag种方法；甲不在最

右边时，可从余下的5个位置任选一个，有A，种，而乙可在除去最右边的位置后剩下的5

个中任选一个，有Ag种，其余人全排列，有人§种方法，共有A8+AgAgA§=3720（种）.

方法二（间接法）7名学生全排列，有A彳种方法，其中甲在最左边时，有Ag种方法，

乙在最右边时，有AR种方法,其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有AW种方法.

故共有A3-2Ag+AR=3720（种）.

（5）由于甲、乙、丙的顺序一定，则满足条件的方法共有个=840（种）.

A?

规律总结

排列应用问题的分类与解法

对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列

时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类

过多的问题可以采用间接法.

【对点训练1】（1）（2024•江西新余二模）两个大人和4个小孩站成一排合影，若两个大

人之间至少有1个小孩，则不同站法的种数为（D）

A.240B.360

C.420D.480

解析：若两个大人之间至少有1个小孩，即两个大人不相邻，故共有A?Ag=24X20=

480（种）站法.故选D.

（2）（2024•江西九江三横）考古发现在金字塔内有一组神秘的数字“142857”，我们把它和自

然数1到6依次相乘，得142857X1=142857,142857X2=285714,142857X3=428571,

142857X4=571428,142857X5=714285,142857X6=857142,结果是同样的数字，只

是调换了位置.若将这组神秘数字”142857”进行重新排序，其中偶数均相邻的排法种数为

（D）

A.24B.36

C.72D.144

解析：第一步：将三一个偶教看成一个整体，与三一个奇数进行全排列共A?种排法；第二

步：将三个偶数进行全排列共A§种排法.根据分步乘法计数原理可得，将这组神秘数字“142

857”进行重新排序，其中偶数均相邻的排法种数为AiM=144.故选D.

（3）（2024•安徽芜湖三楼）已知4B,C,D,E,b六个人站成一排，要求4和8不相邻，

C不站两端，则不同排法的种数为（D）

A.186B.264

C.284D.336

解析：先考虑力和8不相邻的排法，将C,D,E,r四个人进行全排列，有Aj种排法，

C,D,E,尸四个人形成5个空，选择2个排力和6,有Ag种排法，故有A2Ag=480（种）排

解析：设仇+1一斯=力,因为|斯+1—。〃|=2,所以d〃=2或-2.可设力，…，扇中有。个2

,.,[«9=。1+/+心+…+点=1+2。-2/)=9,a=6,

和b个一2,则，解得即力，…，心中

。+6=8,lb=2,

有6个2和2个一2,因此这样的数列｛z｝共有点&=28（个）.故选A.

考点3排列、组合的综合应用

命题角度1相邻与相间问题

【例3】（1）（2024•山东滨州二模）某单位安排5名同志在5月1日至5日值班，每天安

排1人，每人值班1天.若5名同志中的甲、乙安排在相邻两天，丙不安排在5月3日，则

不同的安排方案共有（B）

A.42种B.4（）种

C.36种D.3（）种

【解析】甲、乙相邻的安排方案有A送？种，其中甲、乙相邻且丙排在5月3E的安

排方案有2A；A并中，所以不同的安排方案共有ALM—2A认3=40（种）.故选B.

（2）（2024•浙江杭州三模）已知甲、乙、丙、丁、戊5人身高从低到高，互不相同，将他们

排成相对身高为“高低高低高”或“低高低高低”的队形，则甲、丁不相邻的不同排法种数

为（B）

A.12B.14

C.16D.18

【解析】依据题意，分两种情况讨论,情况一：高低高低高依次对应1〜5号位置，假

设甲在2号位，则乙在1号位或4号位，而甲、丁不相邻，若乙在1号位，此时有乙甲戊丙

丁，共1种，若乙在4号位，此时有丙甲戊乙丁，戊甲丙乙丁，共2种，易得倒序排列和正

序排列种数相同，故本情况共6种排法：情况二：低高低高低依次对应1〜5号位置，假设戊

在2号位，则丁在1号位或4号位，若丁在1号位，此时有丁戊甲丙乙，丁戊乙丙甲，共2

种，若丁在4号位，此时有甲戊丙丁乙，甲戊乙丁丙，共2种，易将倒序排列和正序排列种

数相同，故本情况共8种排法.故符合题意的排法有8+6=14（种）.故选B.

命题角度2分组分配问题

[例4]按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？

（1）分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；

（2）甲、乙、丙三人中，一人得I本，一人得2本，一人得3本；

（3）平均分成三份，每份2本；

（4）平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；

（5）分成三份，1份4本，另外两份每份1本.

【解】（1）依题意，先选1本有CA种选法：再从余下的5本中选2本有Cg种选法；最

后余下3本全选有种方法，故共有aCgG=60（种）.

（2）由于甲、乙、丙是不同的三人，在第（1）题基础上，还应考虑再分配，共有CBCKtAl=

360（种）.

（3）先分三步，则应是c/aca种方法，但是这里出现了重复.不妨记6本书为4B,C,

D,E,F,若第一步取了力&第二步取了CZ>,第三步取了EE记该种分法为（力乩CD,

EF),则C菰:宽之种分法中还有(力从EF,CO),(CD,AB,EF),(C。，EF,AB),(EF,CD,

AB),(EF,AB,CD),共Aj种情况，而这Aj种情况仅是CD,石尸的顺序不同，因此只

能作为一种分法，故分配方式有CKf=]5(种).

Ai

(4)在(3)的基础上,还应考虑再分配，共有15A3=90(种).

(5)无序均匀分组问题,有℃=15(种).

」规律总结

1.相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条

件的排列问题的常用方法.

2.对于分堆与分配问题应注意三点：

(1)处理分配问题要注意先分堆再分配.

(2)被分配的元素是不同的.

(3)分堆时要注意是否均匀.

【对点训练3】(1)(2024・浙江金华三模)在义乌，婺剧深受民众喜爱.某次婺剧表演结

束后，老生、小生、花旦、正旦、老旦各一人排成一排合影留念，其中小生和老生不相邻且

老旦不排在最右边的不同排法种数是(C)

A.36B.48

C.60D.72

解析：首先按照小生知老生不相邻的要求共有AtA3=72(种)排法，其中老旦排在最右边

的情况，左侧4个位置，光排花旦、正旦有A之种方法，由此所成的3个空中将小生、老生

插入有A孑种方法，所以排法有ALM=12(种)，所以满足题意的不同排法种数是72—12=60.

故选C.

(2)(2024•辽宁葫芦岛二模)某校要派4名教师到甲、乙两个社区开展志愿者服务，若每个

教师只去一个社区，且两个社区都有教师去，则不同的安排方法有(B)

A.20种B.14种

C.1()种D.7种

解析：第一步：将4名教师分成两组，有两种情况：一种情况是1组1人、1组3人,

一种情况是每组2人，共有"⑶­™„两

个不同社区，有A3种分法，则不同的安排方法有IA21人之=14(抻).故选民

口高考创新方向创新考法

◎1

【例】记/金)为函数危)的n阶导数且/2)(x)=[/,(x)]S产(x)=[/吸x)TM23,

若/")(x)存在，则称/(大)〃阶可导.英国数学家泰勒发现：若/(x)在xo附近〃+1阶可导，则可

构造Tfl(x)=J(xo)十"“°)。-xo)+'0°)(x—xo)2H---J('°%—Xo)"(称为〃次泰勒多项式)来逼

1!2!n!

近/(.丫)在xo附近的函数值.据此计算/(x)=e，在xo=O处的3次泰勒多项式7Xx)=l+x+；+

r；g(x)=-l在X0=-1处的1()次泰勒多项式中3的系数为型.

6x

【解析】；危)=以

：.fn\x)=e,/力(0)=1,〃£N*,

・・・73(x)=/(0)+(x-0)+；(x-0)2+*(x-0)\

:.A(x)=l+x+'-+”.

26

•・・g(x)=-l・W(X)=*,严(幻=_2巴Q3)(x)=3!…，/)a)=9!r1%/⑼(x)

X

=-10!r11,AgX-l)=l,严(一1)=2,#)(-1)=3!,…,逑-1)=9!,/⑼(-1)=10!,

:.Tio(x)=1+(x+l)+(x+l)2+(x+1)3+…+(x+1)2

故V的系数为C9+C1+C3+…+cC=a+a+cS+…+Go=c§+cS+…+c%=~=

Cfo+Clo=Cti=33().

创新解读

本题以高等数学的泰勒展开式为载体，把导数、组合数的性质与计算交汇命题，综合性

较强，命题角度新颖，解等本题需先求函数次刈=眇的〃阶导数，根据泰勒多项式求八任)，

求人工)=-7(1/))的1阶至10阶导数，求出其10次泰勒多项式，再根据二项式定理求始的

系数化简求其值.

课时作业69

▲;亚基础巩固.

1.(5分)(2024•河北保定三模)某地下雪导致路面积雪，现安排9名男志愿者，5名女

志愿者参与扫雪和铲雪工作，其中3名女志愿者，2名男志愿者参与扫雪工作，其余志愿者

参与铲雪工作，则不同的安排方法共有(B)

A.240种B.360种

C.720种D.2002种

解析：根据分步乘法计数原理可知，不同的安排方法共有仪&=360(种).故选B.

2.(5分)甲、乙、火、J4名男子短跑运动员参加男子4XlOOm接力比赛，如果甲不

能跑第一棒，乙不能跑第四棒，那么参赛方法共有(C)

A.10种B.12种

C.14种D.18种

解析：当甲跑第四棒时，参赛方法有A5=3X2X1=6(种)：当甲跑第二或第三棒时，

参赛方法有QQA，=2X2X2=8(种).参赛方法共有8+6=14(种).故选C.

3.(5分)(2024・湖南岳阳三模)把5个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，

每天安排一人，甲、乙安排在不相邻的两天，乙、丙安排在相邻的两天，则不同的安排方法

共有(D)

A.96种B.60种

C.48种D.36种

解析：依题意，设这5个人分别为甲、乙、丙、丁、戊.第一步，将乙、丙看成一个整

体，考虑2人之间的顺序，有A3=2（种）情况，第二步，将这个整体与丁、戊全排列，有

A^=6（种）安排方法，第三步，排好后产生4个空位，因甲、乙不相邻，则只能从3个空

中任选1个安排甲，有AJ=3（种）安排方法.则由分步乘法计数原理，不同的安排方法共

有2X6X3=36（种）.故选D.

4.（5分）（2024•黑龙江哈尔滨三模）3男3女站成一排拍照，左、右两端恰好是一男一

女，则不同的排法种数为（C）

A.240B.720

C.432D.216

解析：3男3女站成一排拍照，左、右两端恰好是一男一女，先排左、右两端，有C1CJA8

=18（种）排法，再排中间4个位置，有Ai=24（种）排法，所以不同的排法种数为18X24

=432.故选C.

5.（5分）（2024•河北邯郸二模）某班联欢会原定5个节目已排成节目单，开演前又增

加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目既不排在第一位，也不排在最

后一位，那么不同的插法种数为（C）

A.12B.18

C.20D.60

解析：根据题意，可分为两类：①当新节目插在中间的四个空隙中的一个时，有C1A3=

4X2=8（种）方法；②当新节目插在中间的四个空隙中的两个时，有A3=4X3=12（种）

方法.由分类加法计数原理得共有8+12=20（种）不同的插法.故选C.

6.（5分）（2024•浙江金华三模）从数字1,2,3,4中选出3个不同的数字构成四位数，

且相邻数位上的数字不相同，则这样的四位数个数为（D）

A.36B.54

C.60D.72

解析：根据题意，完成这件事可分三步：第一步，选数字，有a=4（种）；第二步，将

选好的三个数字确定一个重复的数字，有CJ=3（种）：第三步，先安排两个不同的数字，再

让两个相同的数字插空，则有A+Q=6（种）排序方法.由分步乘法计数原理可得这样的四

位数共有4X3X6=72（个）.故选D.

7.（5分）（2024•河北秦皇岛三模）三人被邀请参加同一个时间段的两个晚会，若两个

晚会都必须有人去，去儿人自行决定，且每人最多参加一个晚会，则不同的去法有（B）

A.8种B.12种

C.16种D.24种

解析：第一种情况，只有两人参加晚会，有A3=6（种）去法：第二种情况，三人参加

晚会，有C3A3=6（种）去法，故共有12种去法.故选B.

8.（5分）（2024•安徽安庆三模）A,B,C,D,E5所学校将分别组织部分学生开展研

学活动，现有甲、乙、丙三个研学基地供选择，每个学校只选择一个基地，且每个基地至少

有1所学校去，则彳校不去甲地，乙地仅有2所学校去的不同的选择方法共有（B）

A.36种B.42种

C.48种D.6（）种

解析：①力校去乙地有aaA，=24（种），②力校与另一所学校去丙地有ac=121种），

③总校单独去丙地有C4=6（种），所以共有24+12+6=42（种）.故选B

9.（6分）（多选）下列关于排列数、组合数的等式中成立的是（ACD）

A.a=aB.cg+ci=ce

C.Ai=C3AtD.A殳=8A寸

解析：对于A,因为所以Cl=a,故A正确：对于B,因为c*+c”=c蝴，

所以C&+CN=CS,故B错误；对于C,因为C3=A*所以A《=aA3,故C正确；对于D,

Aj

8A3=8X7X6X5X4=A《，故D正确.故选ACD.

10.（6分）（多选）（2024•山西晋中模拟）某中学的3名男生和2名女生参加数学竞赛，

比赛结束后，这5名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是（ACD）

A.若要求2名女生相邻，则这5名同学共有48种不同的排法

B.若要求女生与男生相间排列，则这5名同学共有24种排法

C.若要求2名女生互不相邻，则这5名同学共有72种排法

D.若要求男生甲不在排头也不在排尾，则这5名同学共有72种排法

解析：对于A,将2名女生捆绑在一起，再与3名男生进行全排列，则有A3A才=48（种），

故A正确：对于B,要求女生与男生相间排列，采用插空法，先将3名男生进行全排列，再

将2名女生插到3名男生所形成的2个空中，则有A以孑=12（种），故B错误；对于C,先

将3名男生进行全排列，再将2名女生插到3名男生所形成的4个空中，则有A+A3=72：种），

故C正确；对于D,将5名同学排成一排，相当于将他们放到排成一排的5个空位中，先将

男生甲排在中间的3个空位中，再将剩下4名同学进行全排列，则有AJA?=72（种），故D

正确.故选ACD.

11.（6分）（多选）现有编号分别为1,2,3,4,5的五个球，则（AC）

A.全部放入4个不同的盒子里，共有45种放法

B.放入4个不同的盒子里，每盒至少一个，共有4种放法

C.将其中的4个球放入4个不同的盒子里的一个（另一个球不放入），共有20种放法

D.全部放入3个不同的盒子里，没有空盒，共有140种不同的放法

解析：对于A,由分步乘法计数原理，五个球全部放入4个不同的盒子里共有45种放法，

故A正确：对于B,五个不同的球放入4个不同的盒子里，每盒至少一个，共有CgAj=240

（种）放法，故B错误；对于C,将其中的4个球放入一个盒子里（另一个球不放入），共

有C¥CJ=2O（种）放法，改C正确：对于D,全部放入3个不同的盒子里，没有空盒，共有

aAHC^A]=150（种）不同的放法，故D错误.故选AC.

A3

12.（6分）若C张5=CH+Ck，则正整数x的值为

解析：由组合数性质C#+I=C尸+C孔可得CH+a$=Cf6,则C播s=C%,所以％—5

=x或2x—5+x=16,解得x=5或x=7.

13.（6分）（2025•安徽合肥一模）北京时间2024年10月30日12时51分，神舟十八

号航天员乘组（叶光富、李聪、李广苏3人）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十九

号航天员乘组（蔡旭哲、宋令东、王浩泽3人）入驻“天宫”.随后，两个航天员乘组拍下“全

家福”，共同向全国人民报平安.若这6名航天员站成一排合影留念，叶光富不站最左边，

蔡旭哲不站最右边，则不同的排法有但种.

解析：第一种情况，叶光富站在最右边，此时剩余的5人可以进行全排列，共有A?=120

（种）排法；第二种情况，叶光富不站在最右边，根据题目条件叶光富不站最左边，此时叶

光富有4种站法，根据题目条件蔡旭哲不站在最右边，可知蔡旭哲有4种站法，剩余的4人

进行全排列，共有4X4XA|=384（种）排法.由分类加法计数原理可知，总共有120+384

=504（种）排法.

14.（6分）（2024•上海闵行区三模）某羽毛球俱乐部，安排男、女选手各6名参加三场

双打表演赛（一场为男双，一场为女双，一场为男女混双），每名选手只参加1场表演森，则

所有不同的安排方法有4050种.

解析：先考虑两对混双的组合有2cg-Cg种不同的方法，余下4名男选手和4名女选手各

有3种不同的配对方法组成两对男双组合、两对女双组合，故共有2cz•CWX3X3=4050（种）

不同的安排方法.

理素养提升4

15.（8分）（2024•四川德阳三模）2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生夏

季运动会在成都市举行，组委会将5名大学生分配到/,B,。三个路口进行引导工作，每个

路口至少分配一人，每人只能去一个路口.若甲、乙要求去同一个路口，则不同的分配方案

共有（C）

A.18种B.24种

C.36种D.48种

解析：第一步：先将5名大学生分成三组，每组人数为1,1,3或1,2,2.当分为1,1,

3时，且甲、乙要求去同一个路口，则甲、乙必须在3人组