幂的运算（讲义）-2024沪教版（五四制）七年级数学上册【附答案】

专题11.1塞的运算（举一反三讲义）

【沪教版五四制2024】

题型归纳

【题型1同底数幕的乘法及其逆用】

【题型2塞的乘方及其逆用】

【题型3积的乘方及其逆用】

【题型4利用嘉的运算比较大小】

【题型5利用寨的运算求字母或代数式的值】

【题型6利用第的运算求嘉的值】

【题型7利用幕的运算确定字母之间的关系】

举一反三

知识点1同底数幕的乘法

1.一般地，对于任意底数。与任意正整数小，小

g•a•aa^n

k(nrn)个a

因此我们有屋•a"=am+n（ni,“都是正整数）.

2.同底数幕的乘法法则：同底数累相乘，底数不变,有数相加.

3.同底数幕的乘法法则的推广与逆运用：p都是正整数）:

]+"=/*a"例〃都是正整数）.如23.24.25=23+4+5=22；28=23.25.

知识点2幕的乘方

1.一般地，对于任意底数”与任意正整数机，〃，

因此,我们有（力”=亡但，〃都是正整数卜

在将汨名物"（叫"〃为偶数'

底数〃为负数时，（-）=」叫〃为奇数.

2.赛的乘方法则：幕的乘方，底数不变,指数相乘.

试卷第1页，共6页

3.同底数幕的乘法法则与乘方法则的异同点

知识点3积的乘方

1.一般地，对于任意底数b与任意正整数〃,

..（。"）二0♦。二…q■bb.....b=anbn

'----V----'

\"个〃7

因此，我们有（•）"=式?（〃为正整数）.

2.积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的事相乘.

知识点4同底数塞的除法

一般地，我们有1"（"0,利，〃都是正整数,并且〃?〉〃）.即同底数幕相除:底

数不变,指数相减.

【题型1同底数嘉的乘法及其逆用】

【例1】

（24-25八年级上•全国•单元测试）

1.若|3'_2|+,_4卜0,则3""2=.

【变式1-1]

（24-25七年级下•安徽安庆•阶段练习）

2.计算的结果是（）

A.3mnB.TnC.3"""D.6'""

【变式1-2】

（23-24六年级下•山东泰安・期末）

3.已知》+y+3=0,则2,.2、的值是.

【变式1-3]

（2225七年级下•江苏无底・期中）

4.若整数机=2"x5'是一个1（）位数，则〃的所有可能值是（）

A.11,12,13B.1（）,12,14C.12,13,14D.13,14,15

【题型2嘉的乘方及其逆用】

【例2】

（24-25七年级下•河北保定•期末）

5.若x,y均为正整数，且2'8'=32，贝i]x+3y的值为.

试卷第2页，共6页

【变式2-1】

（24-25七年级下•四川成都,期中）

6.若(a?)'=a"'»a,则m=

【变式2-2】

7.若。+3。­2=0,则3"・27分=

【变式2-3]

（24-25七年级下江苏泰州•期中）

m

8.我们定义：三角形P•心若9,则

16y

4X

【题型3积的乘方及其逆用】

【例3】

（24-25七年级下♦江苏淮安•期末）

9.已知川=*+2”，则正整数小的值为（)

A.84B.86C.94D.96

【变式3-11

（2025七年级下•湖南长沙•专题练习）

1().(-X2)(--V)2(-X)3

【变式3-2】

（2025•四川泸州•二模）

11.已知旭=83〃=98,则72〃可以表示为（)

A8'99

A.mnB.M/JC.mnD.mn

【变式3-3】

（24-25八年级上•天津滨海新•期中）

2023

12.计算-X1.52022X（-l）2闫的结果是（）

223

A.-BC.D.

3-i32

试卷第3页，共6页

【变式6-1】

（2225七年级下•安徽合肥•期中）

22.已知2“一3），+7=0,则代数式4川・82-，的值为.

【变式6-2]

（2023•福建莆田・模拟预测）

23.若17。=32，贝IJ51。的值是_____.

【变式6-3】

24.已知x"=2,y"=3.

（1）（个）2"的值为；

（2）若”"J"+I=64,则肛的值为.

【题型7利用幕的运算确定字母之间的关系】

【例7】

（24-25七年级下•安徽六安•阶段练习）

25.规定两数。之间的一种运算，记作（。/）：如果/=/），那么（〃/）=c.例如：因为

2=16,所以（2/6）=4.因为3-3=：,所以=

（1）根据上述规定，填空：（5,125）=______,（4,击）=______；

（2）证明：（2",3"）=（2,3）；

（3）若（16,25）=不，（64,216）二九（16,900）=z,探究x,八z的关系.

【变式7・1】

（22-23七年级下•安徽亳州•期中）

26.已知2"=〃，5"=八20"=c＞那么。、b、c之间满足的等量关系是.

【变式7-21

（24-25七年级下•江苏无锡•阶段练习）

27.若2“・3,2』2,则。，c的关系:①c=«+2；②c-b=l；③a+c=2b；④a+b=c+l,

其中正确的是.

【变式7-3]

（22-23七年级下•浙江杭州•单元测试）

试卷第5页，共6页

28.若43、=2021,47)=2021,试探究代数式①与%+=之间关系.

试卷第6页，共6页

1.72

【分析】此题考查了同底数'曷的乘法的逆运算，绝对值的非负性，解题的关键是掌握以上运

算法则.首先得到31=2,3『=4,然后根据同底数哥的乘法的逆运算求解即可.

［详解］V|3V-2|+|3*,-4|=0,

.•.3,=2,3"=4,

•3"i=3'x3,x32=2x4x9=72.

故答案为：72.

2.C

【分析】本题考杳了同底数幕的乘法法则的知识，掌握以上知识是解答本题的关键；

根据同底数暴的乘法法则进行作答，即可求解.

【详解】根据同底数塞相乘的法则,当底数相同时，指数相加,即:37=32,

选项A为3皿，对应暴的乘方法则(指数相乘)，但题目中是乘法，故错误；

选项B为严"错误地将底数相乘，不符合法则；

选项D为底数被错误地相加，结果显然不成立；

选项C符合同底数累相乘的法则，因此正确答案为C：

故选：C.

3-I

【分析】此题考查同底数弃乘法的逆用，先求出“+，=-3,然后根据2-2'=2"＞，整体代

入求解即可.

【详解】解:・.・x+y+3=0,

x+^=-3,

...2-2、=2""=2-3=1，

8

故答案为：

O

4.C

【分析】本题考杳同底数累乘法法则、枳的乘方法则以及对整数位数的理解.解题关键是熟

练掌握同底数累乘法法则.

首先利用同底数塞乘法法则将用=2"x58变形为用=2隈5乜2”-8=10隈2”8,因为

28x58=(2x5)8=10,是9位数.根据〃，是10位数，得1炉乘一个数后变为10位数，这个数

答案第1页，共11页

2"8的范围是1042A8<100.最后根据2"-8的取值范围，进而得出〃的可能值.

（详解】m=2"X5S=28X58X2W-8,

2隈5*=l（r是一个9位数，

整数〃[=2、5'是一个10位数，

.-.10<2^<100,

・•・〃-8可能是4,5,6,

•••〃可能是12,13,14.

故选：C.

5.5

【分析】本题考查了累的运算，求代数式的值，逆用哥的乘方法则，根据同底数累相乘法则

计算即可.

【详解】解:•,20=32,

CQ），=2$,

.•,2*.2"=2$,

.♦•2"”=2$,

工x+3y=5,

故答案为：5.

6.5

【分析】根据幕的乘方，同底数幕乘法，一元一次方程的解法解答即可.本题考杳了累的乘

方，同底数寻乘法，解方程，熟练掌握公式是解题的关健.

【详解】解：由（*3=/・%

得八尸，

故〃?+1=6,

解得m=5,

故答案为：5.

7.9

【分析】本题主要考查了事的乘方，同底数累的乘法，解题的关键是熟练掌握以上运算法则.

利用哥的乘方和同底数鬲的乘法对原式进行变形得产2?"=3鹏•将〃+3/，=2代入求值即可.

【详解】解：由。+3b—2=0得。+3力=2,

答案第2页，共11页

3"•27"=3°-(33/=3“•3功=3rt+3Z>

将。+3/)=2代入上式得，

原式=32=9,

故答案为：9.

8.16

【分析】本题考查了新运算、冢的乘方逆运算、同底数扉的乘法、整体代入法求代数式的

|161

值.首先根据规定的新运算可得=9,求出x+2y=2,从而可得：=16",,

[4__J

根据塞的乘方逆运算法则和同底数幕的乘法的运算法则整理可得：4-2匕然后再整体代入

计算即可.

【详解】

=42

=16.

故答案为：16.

9.D

【分析】本题考查同底数索的乘法，幕的乘方，积的乘方等的逆运算，合并同类项.将等式

右边的两个暴次项提取公±1数，转化为平方数的乘积形式，进而开平方得到〃?的值，即可

解答.

【详解】解:Vm2=210+2l3=210+23x210

=2,0+8x2,0=9x2,0=(3x25)2,

二机二3x2'=96.

故选D.

10.x7

答案第3页，共11页

【分析】本题考查了乘方、同底数密的乘法，熟练掌握以.上知识点是解答本题的关键.根据

乘方以及同底数幕的乘法运算法则计算即可.

【详解】解：原式=（-/）•一•（--）

x'X'-X

故答案为:X7.

11.A

【分析】本题主要考查案的乘方与积的乘方，将原式进行正确地变形是解题的关健.逆用塞

的乘方与积的乘方法则将原式变形后即可解答.

（详解】解：m=83〃=炉，

.-.7272=（8x9f=872x972=（89）\（98丫=

故选：A.

【分析】本题考查了积的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.先把原式变形为

2

x|—xl.5x（-l）2021,进一步变形得到，据此求解即可.

3

2

【详解】解：原式=2xx(T)

声71x(-1)

-3

故选：C.

13.C

【分析】本题考查了幕的乘方的逆运用，根据整理得3"5=（3s）"=243ul

43=（44）"=256",5田=（53）"=125",再比较底数的大小，即可作答.

【详解】解:依题意，3555=（35）1，，=243,",4444=（44），l，=256,",5333=（53）H，=125'",

v125<243<256,

答案第4页，共11页

故选：c

14.<

【分析】根据两数的特点，先把他们变成底数分别是8和9,指数为4的形式，然后再比较

大小.

【详解】⑵）"=代，（34）2=02）4=94；

•••8<9,.-.84<9\.-.（23）4<（34）2.

故答案为V.

【点睛】本题考查了比较乘方的大小.解答本题的关键是把它们转化为指数相同的乘方的形

式.

15.4

【分析】本题主要考查了完全平方公式，癌的乘方的逆运算，同底数塞乘法的逆运算，利用

作差法求出4"+4"-2w,+n+,=（2W-2"『之（），据此可得答案.

【详解】解：4阳+4*-2…

=（22），H+（22），，-2w-2nx2

二（2吓+（2"）2-2-2"><2

=（2ra-2n）2>0,

4W+4">2n,+n+l>

故答案为：<.

16.a>h>c

【分析】本题主要考查了有理数比较大小，鼎的乘方的逆运算，辕的乘方计算，先根据‘标的

乘方和暴的乘方的逆运算法则得到。=3.，6=3⑵，c=3“2,据此可得答案.

6，

【详解】解：4=8产=（3'『=3,，/）=274|=（33『=33，c=（y）=3'^,

•.•产>3⑵>3⑵，

:.a>b>c,

故答案为：a>b>c.

17.3

【分析】本题考查了塞的乘方与积的乘方和同底数塞的乘法，掌握其运算法则是解题的关键.

答案第5页，共11页

根据相关运算法则计算即可.

【详解】解：2"卬=12B,

22X+'-22V=128,

22X+,+2V=128,

22X+2刈=128,

7

即2总+力+|=2，

二2（x+y）+1=7,

二x+y=3.

故答案为：3.

18.4

【分析】本题考查哥的乘方的逆运算及同底数基相乘的逆运算，根据(/')"="""及

求解即可得到答案：

【详解】解：・・・2X8"X16"=229,

.­.2x(23)flx(24)"=2M,

即：2,+3"+4W=2W,

••・1+3〃+4〃=29,解得：〃=4,

故答案为：4.

19.3

【分析】本题主要考查了同底数察的乘法及幕的乘法，熟知法则是关键.观察各底数，发现

都可以用3的塞的形式表示，转化成同底数塞的形式，再利用法则简化式子，最后根据底数

相同，指数相等列方程，解出方程即可.

【详解】解：v3w(32f-(33f-(34f=330,

.3树+2"i+3/n+4m_^30

m+2m+3m+4m=30,

解得〃?=3.

故答案为：3.

20.3

【分析】此题主:要考查了察的乘方运算以及二元一次方程组的解法，直接利用事的乘方运算

答案第6页，共11页

性质将原式变形，进而得出关于X，），的方程组求出答案.

【详解】解：•••2、=4川=2?丹2,27,=33>=,

x=2y+2

3y=x-\

x=4

解得：

尸1

贝I」x-y=4-1=3.

故答案为：3.

21.-162

【分析】本题主要考查了累的乘方计算，枳的乘方计算，先根据某的乘方计算法则求出

x6n=93,=92,再由积的乘方计算法则和累的乘方计算法则得到

-3,厂=*6-3”，据此代值计算即可.

2

【详解】解：•••[”）9,

•••”=9,

.•.(X町=9、(/)2=92,

/二炉，”=92,

13(打

=-x6n-3x4n

9

=-X93-3X92,

9

=-162,

故答案为：762.

22.2

【分析】本题考查了同底数幕相乘、鼎的乘方，求代数式的值等知识，先求出2x-3），=-7,

然后根据哥的乘方法则、同底数基相乘法则把4H⑻-，变形为2?…L然后把2工-3），=-7整

体代入计算即可.

【详解】解：•••2x-3y+7=0,

答案第7页，共11页

2x-3y=-7,

.“r+l.82r

=27・8

=2♦

故答案为：2.

23.9

【分析】逆用同底数昂的除法和积的乘方进行计算即可.

【详解】解：•••170=32,

...17"=3?+3",

•••17"x3"=3\

•••（17x3）"=9,即51a=9,

故答案为：9.

【点睛】要是主要考查了靠的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

Q

24.362

27

【分析】（1）利用幕的乘方与积的乘方的法则进行计算，即可得出结果；

（2）利用制的乘方与积的乘方的法则进行计算，即可得出结果.

【详解】解：（1）门”=2,7=3,

•••⑶产

=(x")2(y”产

=22X32

=4x9

=36,

答案第8页，共11页

故答案为：36；

(2)vx3w+,-/n+,=64,

.•.产.》3。力,=64,

・••(x")Y/)3可=64,

Z=3,

/.2「x33•孙=64,

8

••xy=,

27

Q

故答案为：合.

【点睛】本题考查了暴的乘方与积的乘方，掌握累的乘方与积的乘方的法则是解决问题的关

键.

25.（1）3,-4

（2）证明见解析

⑶x+y=z

【分析】（1）根据新定义计算即可求解；

（2）设（2",3"）=x,可得（2"）'=3",即得（2、）"=3",得到2=3,即得到（2,3）=x,即可

求证；

（3）利用（2）的结论可得（4,5）=孙（4,6）二九（4,30）=2,即得4、=5,4'=6,

4。=30,进而得到4*x4>=43即得x+»=z,即可求解;

本题考查了新定义运算，兔整数指数基，箱的乘方和同底数箱的乘法运算，理解新定义运算

是解题的关键.

【详解】（1）解：•.S=125,

.1.（5,125）=3,

故答案为：3,-4：

答案第9页，共11页

（2）证明：设（2",3"）=x,

.•.（2"）r=3",

.•.（2）=3",

2、=3,

.•・（2,3）=r,

.•.（2〃,3"）=（2,3）；

（3）解：由（2）知（16,25）=（4,5）,（64,216）=（4,6）,（16,900）=（4,30）,

.•.（4,5）=x,（4,6）=y,（4,30）=z,

.♦.4、=5,4v=6,4：=30，

•.•5