人教版八年级数学 第十五章 轴对称 章节（17知识点回顾38题型巩固）

第十五章轴对称章节（17知识点回顾+38题型巩固）

。目录

1.轴对称图形2.成轴对称

3.轴对称的性质4.线段的垂直平分线的性质

5.线段的垂直平分线的判定6.互逆命题和互逆定理

知识

7.尺规作图一一作线段的垂直平分线8.作对称轴

梳理9.轴对称变换10.画轴对称图形

11.关于坐标轴对称的点的坐标12.在平面直角坐标系中画轴对称图形

13.等腰三角形的性质14.等腰三角形的判定

15.等边三角形的性质16.等边三角形的判定

17.含30°角的直角三角形的性质

一、轴对称图形的识别二、成轴对称的两个图形的识别

三、根据成轴对称图形的特征进行判断四、根据成轴对称图形的特征进行求解

五、台球桌面上的轴对称问题六、轴对称中的光线反射问题

七、折叠问题八、线段垂直平分线的性质

九、线段垂直平分线的判定十、写出命题的逆命题

十一、互逆定理十二、作已知线段的垂直平分线

题型

十三、作垂线（尺规作图）十四、画对称轴

巩固

十五、求对称轴条数十六、画轴对称图形

十七、车牌号码的镜面对称十八、钟表的镜面对称

十九、电子钟示数的镜面对称二十、坐标系中的对称

二十一、坐标与图形变化一一轴对称二十二、线段问题（轴对称综合题）

二十三、面积问题（轴对称综合题）二十四、角度问题（轴对称综合题）

二十五、等边对等角二十六、三线合一

二十七、斜边的中线等于斜边的一半二十八、根据等角对等边证明等腰三角形

二十九、根据等角对等边证明边相等三十、根据等角对等边求边长

三十一、格点图中画等腰三角形三十二、找出图中的等腰三角形

三十三、等腰三角形的性质和判定三十四、等边三角形的性质

三十五、等边三角形的判定三十六、等边三角形的判定和性质

三十七、大（小）边对大（小）角定理三十八、最短路径问题

知识梳理

知识点1.轴对称图形

1.定义：如果•个平面图形沿•条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形，

A/WSAA

这条直线就是它的对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点.这时，也说这个图形关于这条直4称.

注意直线两旁的部分全等

⑴轴对称图形是一个整体图形，它被对称轴分成的两部分能够互相重合，其对称点在同一图形上.

⑵对称轴是一条直线，而不是射线或线段.

⑶一个轴对称图形的对称轴可能有1条，也可能有多条，还可能有无数条.

2.常见的轴对称图形及其对称轴

名称图形及其对称轴对称轴的条数对称轴

角1角平分线所在的直线

等腰三角形底边上的高（或底边上的中线或顶角

A1的平分线）所在的直线

各边上的高（或各边上的中线或各内

等边三角形3角平分线）所在的直线

等腰梯形出1过上、下底中点的直线

对边中点的连线所在的直线

长方形izid*2

①对角线所在的直线；

正方形国4②过对边中点的直线

H簿无数条过圆心的直线

知识点2.成轴对称

1.定义：把•个图形沿着某•条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两注图形关于这条

鬻期岁，也称这两个图形关于这条直线对称.同样地,这条直线叫作对称轴，折叠后重合的《聚对应

这两个图4全等

点，叫作对称点.

2.成轴对称与轴对称图形的区别与联系

名称成轴对称轴对称图形

对象不同两个图形一个图形

意义不同两个图形的特殊位置关系一个具有特殊形状的图形

对称点位置不同对称点分别在两个图形上对称点在同一个图形上

区另两个图形成轴对称，其对称轴可能在轴对称图形的木称轴一定经

对称轴位置不同两个图形的外部，也可能经过两个图过这个图形的内部

形的内部或它们的公共边(点)

对称轴数量不同只有一条对称轴有一条或多条对称轴

(1)定义中都有一条直线，都要沿着这条直线折叠；

联系(2)把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形.把一个轴对称图形沿

对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条对称轴对称

拓展延伸：(1)成轴对称图形或轴对称图形上的每对对称点到对称轴的距离分别相等；

(2)成轴对称图形或轴对称图形上的对应线段或其延长线若相交，则交点必在对称轴上.

知识点3.轴对称的性质

1.轴对称的性质：成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对■称轴垂直平分.

特别地：成轴对称的两个图形的对应线段所在直线平行或者重合或者相交于某一点，且该点一定在对称轴

上.（如图15.17）.

2.经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.

3.由轴对称的性质可知，无论是成轴对称的两个图形，还是轴对称图形，其对称轴都是其任意一对对称点

所连线段的垂直平分线(如图15.18)

001

知识点4,线段的垂直平分线的性质

1.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的弼机等.

条件：点在线段的垂直平分线上.八~1

结论：这个点到线段两个端点的距离相等.两点之间的距离

⑴分别以点A和点B为圆心，大于‘AB的度为半径作弧，两弧相交于C,D两点;

2

⑵作直线CD,CD就是线段AB窗霸般急.J

2.经过直线外一点作这条直线的垂线也可以用这种方法确定线段的中点

已知：如图15.125,直线AB和AB外一点C.

A-------------------B

图15.1-25

求作：AB的垂线，使它经过点C.

作法：如图15.12G.

015.1-26

⑴以C为圆心,甥文区为半径作弧，交直线AB于点D和点E；-------»确保CO=CE

特别提醒

所取半径要满足所作的弧与已知直线有交点.

⑵分别以点D和点E为圆心，大于IDE的长为半径作弧，两弧相交于点F；-------》确保尸。=尸石

2

⑶作直线CF,CF就是所求作的垂线.

知识点8.作对称轴

1.作对称轴的依据：成轴对称和轴对称图形的性质，即对称轴就是任意一对对称点所连线段的垂直平分线.

2.作对称轴的步骤

⑴找：找到任意一对对称点；

⑵连：连接这对对•称点；

⑶作：作出对称点所连线段的垂直平分线，就可以得到对称轴.

知识点9.轴对称变换

L定义：由一个平面图形得到它的轴时称图形叫作轴对称变换.轴对称变换的实质就是图形的折叠，折叠

前后（即成轴对称）的两个图形全等.

2.性质

⑴由一个平面图形可以得到与它关于一条直线I对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同，即

成轴对称的两个图形全等；

⑵新图形上的每一点都是原图形二的某一点关于直线I的对称点；

⑶连接任意一对对称点的线段均被劝称轴垂直平分.这是画轴对称图形的依据.

知识点10.画轴对称图形

1.方法：几何图形都可以看作由点组成.对于一些规则的几何图形，只要画出图形中的一些特殊点(如线段

端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.

2.步骤：画轴对称图形的方法可简单归纳为

“一找二画三连”.特别提醒

找一在原图形上找特殊点.1.常见的特殊点，除线段的端点外，还有线与线的交点

'A/vx/>-------------->等.

画一画出各个特殊点关于对2.不在对称轴上的点的对称点在对称轴的另一侧，在对

称轴上的点的对称点是它本身.

称轴的对称点;

连各对称点.

按照原图形中特殊点的连接方式连接

知识点1L关于坐标轴对称的点的坐标

1.关于坐标轴对称的点的坐标规律

(1)点仅，y)关于x轴对称的点的坐标是(x,-y),其学外坐标相同，纵坐标互为相反数；

简记为“横相同，纵相左”/简记为“纵相同，横相反”

(2)点(x,y)关于y轴对称的点的坐标是(一x,y),其特点是纵坐标相同，横坐标互为相反数.

2.关于非坐标轴对称的点的坐标规律(拓展)

⑴点(a,8)关于直线x=m对称的点为(2m—a,b)；

(2)点(。，办)关丁直线y=n对称的点为(a,2n—b);

(3)点(a,方)关于原点对称的点为(一a,-b).

知识点12.在平面直角坐标系中画轴对称图形

在平面直角坐标系中画轴对称图形的步骤

(1)计算一一计算已知图默亲型J对称点的坐标;

⑵描点一一根据对称点的坐株描点；

⑶连接一一按原图对应的顺序依次连接所描各点，即可得到要画的图形.

特别提醒

所找的特殊点一定要能确定原图形，如多边形的顶点等，否则画出的图形与原图形不一定对称.

知识点13,等腰三角形的性质

文字语言符号语言图示

等腰三角形的两个底如图，在0ABe中,1

性质1角相等（简写成“等边团AB=AC,00B=0C

对等角〃）

等腰三角形底边上的如图，在团ABC中，AB=AC.

①团AD平分团BAC,

性质2中线、高及顶角平分0AD0BC£LBD=CD；

线重合（简写成"三线②团AD团BC,

国AD平分团BAC且BD=CD；

合一〃）③团BD=CD,

BAD平夕）'I3BAC且AD0BC

轴对称性等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角的平分线、底边上的高）所在

直线就是它的对称轴

知识点14.等腰三角形的判定

1.等腰三角形的判定方法

文字语言符号语言图示

定义法有两边相等的三角形是如图，在0ABC中，.A

等腰三角形0AB=AC,励ABC为等腰三角形

有两个角相等的三角形如图，在0ABe中，

判定定理是等腰三角形（简写成“等00B=0C»

法角对等边"）0AB=AC

辨析：等腰三角形的判定与性质的区别

条件结论作用

性质（等边对等角）在同一个三角形中，两边相等这两边所对的角也相等证明角相等

判定（等角对等边）在同一个三角形中，两个角相等这两个角所对的边也相等证明线段相等

2.已知底边及底边上的高作等腰三角形

已知：一个等腰三角形底边长为a,底边上的高为h（如图15.35）.

求作这个等腰三角形.

fl15.3-5

知识点15.等边三角形的性质

文字语言符号语言图示

等边三角形的三个角如图，在团ABC中，

性质1都相等，并且每一个0AB=AC=BC,

角都等于60°03A=@B=0C=6O°A

等边三角形每条边上如图，在（3ABC中，①宛ABC为等边三角形，

的中线、高和所对角的AD平分［3BAC,0AD0BCH.BD=CD；②图3ABC

性质2平分线相互重合，即为等边三角形，AD0BC,0AD平分IDBAC且

“三线合一”BD=CD：③00ABC为等边三角形，BD=CD,0AD

平分E1BAC且AD0BC△

轴对称性等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，对称轴为三边上的中线所在直线（或三个角的平分

线所在直线或三边上的高所在直线）

知识点16.等边三角形的判定

1.等边三角形的判定方法

方法文字语言符号语言图示

定义法三边都相等的三角形是如图，0AB=AC=BC,

等边三角形变ABC为等边三角形

判定方法1三个角都相等的三角形如图，EQA=0B=0C,

是等边三角形酿ABC为等边三角形

判定方法2有一个角是60。的等腰三如图，0AB=AC,鼬=60°（或回B=60°或

角形是等边三角形0C=6O°）,八

V物ABC为等边三角形

可以是顶角，也可以是底角

2.判定等边三角形的思维导图（如图15.325）

知识点17.含30°角的直角三角形的性质

1.性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

几何语言:如图15.328,在Rt0ABe中，

而C=90°.HA=^0°.

0BC=-AB.

2

2.作用：应用于证线段的倍分关系和计算角度.

拓展：该性质反过来说也成立.在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的角等于

30°.

题型巩固

题型一、轴对称图形的识别

1.（2025八年级上•全国•专题练工）下列图形中，是轴对称图形的是

【答案】D

【知识点】轴对称图形的识别

【分析】本题考查了轴对称图形的概念，掌握概念是解决问题的关键.如果一个图形沿一条直线折叠，直

线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对•称轴，根据定义逐一进行分析即

可.

【详解】解：A,B,C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分

能够互相重合，所以不是轴对称图形.

D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴

对称图形.

故选：D.

题型二、成轴对称的两个图形的识别

2.下列两个电子数字成轴对称的是（）

【答案】D

【知识点】成轴对称的两个图形的识别

【分析】把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直

线对称，也称轴对称，这条直线叫做对称轴.根据定义逐一分析即可.

【详解】解：选项A,B,C的两个数字都不能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则都不是轴对

称，

选项D中两个数字能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则两个数字成轴对称，

故选：D.

【点睛】本题主要考查了轴对称图形，止确掌握轴对称图形的定义是解题关键.

题型三、根据成轴对称图形的特征进行判断

3.如图，阴影三角形与哪些三角形成轴对称？它们分别以哪条直线为对称轴的？

【答案】三角形1,3,5,7与阴影三角形成轴对称，对称轴分别为直线80,直线G",直线AC,直线EE.

【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断

【分析】本题考查的是轴对称的识别，根据轴对称的性质即可得出结论.

【详解】解：由轴对称的性质可知，阴影三角形与三角形1,3,5,7可形成轴对称图形，阴影三角形与1

关于直线8。为对称轴，阴影三角形与3关于直线G”为对称轴，阴影三角形与5关于直线AC为对称轴，

阴影三角形与7关于直线EF为对称轴.

题型四、根据成轴对称图形的特征进行求解

【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、全等三角形的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解

题型五、台球桌面上的轴对称问题

【知识点】点坐标规律探索、台球桌面上的轴对称问题

【详解】解：如图，根据反射角与入射角的定义作出图形,

根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点(0,3),

【点睛】本题考查了矩形的性质、点的坐标的规律；作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是

解题的关键.

题型六、轴对称中的光线反射问题

图①图②图③

⑵两平面镜OP，仇?相交于点。，一束光线从点A出发，经过平面镜两次反射后恰好过点。.

【答案】（1）见解析

【知识点】几何图形中角度计算问题、三角形的外角的定义及性质、轴对称中的光线反射问题

【分析】本题考查了角的和差，轴对称反射问题，以及三角形内角和等知识，解题的关键是利用镜面反射

中反射角等于入射角的性质，结合角的和差关系进行推导.

题型七、折叠问题

【知识点】折叠问题

【分析】利用折叠的性质得到线段相等关系，再结合三角形周长公式求出8C的长.本题主要考查了折叠的

性质以及三角形周长的计算，熟练掌握折叠前后对应线段相等是解题的关键.

【详解】解：回沿直线OE折叠后，点6与点A重合，

回BD+DC=BC=7cm.

故选：B.

题型八、线段垂直平分线的性质

8.（2425八年级上•江苏徐州•阶段练习）国庆期间小红外出游玩时看到了鲜花拼成的”〃字样以及“7〃内部的

两个花坛M、N,将其抽象为数学图形如图所示），请用尺规作图帮助小红找一处观赏位置P,满足观赏

点P到八8和AC的距离相等，并且观赏点P到点M、N的距离也相等.（保留作图痕迹）

【答案】见解析

【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线（尺规作图）、线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分

线

【分析】本题考查基本尺规作图、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，熟练掌握基本尺规作图是解

答的关键.

【详解】解：如图，点尸即为所求：

题型九、线段垂直平分线的判定

（2）试判断点0是否在8。的垂直平分线上，并说明理由.

【答案】⑴12

⑵点。在8c的垂直平分线上，理由见解析

【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定

【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质.

（1）利用线段垂直平分线的性质得出相等线段，然后利用等量代换进行求解即可；

（2）解：点。在8c的垂直平分线上，理由如下：

色点。在的垂直平分线上.

题型十、写出命题的逆命题

10.写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立.

⑴两直线平行，同位角相等；

（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；

⑶全等三角形的对应角相等.

【答案】（1）同位角相等，两直线平行，该真命题

（2）如果两个实数的绝对值相等，那么它们也相等，为假命题

⑶如果两个三角形的对应角相等，那么它们为全等三角形，为假命题

【知识点】判断命题真假、写出自题的逆命题

【分析】本题主要考查了逆命题以及判定命题的真假，熟练掌握相关知识是解题关键.一个命题的题设和

结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆的命题，我们称其中的一个命题为原命题，

另一个则为逆命题.

（1）根据逆命题的定义确定原命题的逆命题，然后根据平行线的判定定理即可确定该逆命题为真命题；

（2）根据逆命题的定义确定原命题的逆命题，然后根据绝对•值的性质即可确定该逆命题为假命题；

（3）根据逆命题的定义确定原命题的逆命题，然后根据全等三角形的判定定理可知该逆命题为假命题.

【详解】（1）解：同位角相等，两直线平行，该真命题；

（2）解：如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等，为假命题；

（3）解：如果两个三角形的对应角相等，那么它们为全等三角形，为假命题.

题型十一、互逆定理

11.下列定理有逆定理的是（）

A.对顶角相等

B.等角的补角相等

C.同角的余角相等

D.线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等

【答案】D

【知识点】同（等）角的余（补）角相等的应用、对顶角相等、线段亘直平分线的性质、互逆定理

【分析】本题主要考查了逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

分别写出各个选项的条件和结论互换的说法，然后进行判断即可.

【详解】解：A、逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，错误，故没有逆定理，不符合题意：

B、逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是等角的补角，错误，故没有逆定理，不符合题意；

C、逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余侑，错误，故没有逆定理，不符合题意;

D、逆命题为：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，且是逆定理，符合题意，

故选：D.

题型十二、作已知线段的垂直平分线

【答案】D

【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线

【分析】本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的

性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂

作图拆解成基本作图，逐步操作.

二点户在4c的垂直平分线上，

即点尸为AC的垂直平分线与8c的交点.

故选：D.

题型十三、作垂线（尺规作图）

13.如图，某地有两所大学和两条交叉的公路.图中点M,N表示大学，0A,08表示公路，现计划修建

一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库。应该建在

什么位置吗？请在图中画出你的设计.（尺规作图，不写作法，煤留作图痕迹）

【答案】见解析

【知识点】作角平分线（尺规作图）、作垂线（尺规作图）

【详解】解：如图，点尸、点尸为所作.

题型十四、画对称轴

14.下列图形中，对称轴最多的图形是（）

【答案】D

【知识点】画对■称轴

【分析】本题考查对称轴，对称轴指的是一个图形沿着对称轴对折后,折痕两侧能够完全重合的直线.画

出各图形的对称轴即可求解.

【详解】

解:A.力对称轴有1条；

B.对称轴有4条;

C.--------------------对称轴有2条：

D.对称轴有5条；

故选D.

题型十五、求对称轴条数

15.（2223八年级上•全国•期中）地对称图形的对称轴的条数（）

A.只有一条B.至少一条C.2条D.3条

【答案】B

【知识点】求对称轴条数

【分析】本题考查轴对称图形，根据轴对称图形至少有•条对称轴，进行判断即可.

【详解】解：轴对称图形至少有一条对称轴；

故选：B.

题型十六、画轴对称图形

16.如图，有一个英语单词，四个字母都关于直线/对称，请在试卷上补全字母，并写出这个单词所指的物

品是•

WIX-/

【答案】书，图见解析

【知识点】画轴对称图形

【分析】本题考查了轴对称图形，解题的关键是根据轴对称的性质作出图形.

根据轴对称图形的性质画出图形即可解答.

【详解】解：如图，

BOOK/

这个单词所指的物品是书.

故答案为：书.

题型十七、车牌号码的镜面对称

17.0425八年级上•黑龙江哈尔滨♦阶段练习）一个汽车牌照在水中的倒影为七23223,则该汽车牌照

号码为.

【知识点】车牌号码的镜面对称

【分析】解决本题的关键是找到相应的对称轴；难点是作出相应的对称图形.根据所求的牌照与看到的牌

照关于水面成轴对称，作出相应图形即可求解.

【详解】

解：作汽车牌照在水中的倒影七2d2g3关于水平方向的轴对称图形，如图所示：

F59583

112d283

题型十八、钟表的镜面对称

18.小明上午在理发店时，从镜子内看到背后普通时钟的时针与分针的位置如图所示,此时的时间是

【知识点】钟表的镜面对称

【分析】本题考查镜面对称的原理与性质.解题的关键是掌握镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中

的事物恰好左右对换，且关于镜面对称.据此解答.

题型十九、电子钟示数的镜面对称

19.在镜子中看到的数字|R匚！[F，则实际数字是

【知识点】画轴对称图形、电子钟示数的镜面对称

【分析】利用作轴对称图形即可求解.

I05D25D2H

【点睛】本题考查了轴对称，解题关键是会作轴对称图形.

题型二十、坐标系中的对称

(1)若点A,8关于x轴对称，求小〃的值；

(2)1

【知识点】坐标系中的对称

【分析】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，代数式求值.

(1)根据“关于4轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数"列方程组求解即可；

(2)根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列方程组求出。、b的值，然后代入代数式

进行计算即可.

【详解】（1）解：（3点4、8关于.r轴对称，

（2）解：（3点A、B关于），轴对称，

题型二十一、坐标与图形变化一一轴对称

【答案】D

【知识点】坐标与图形变化一一轴对称

【分析】本题考查坐标与轴对称，根据关于y轴对称的点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标相同，即可

得出结果.

故选D.

题型二十二、线段问题（轴对称综合题）

【答案】见解析

【知识点】作垂线（尺规作图）、画轴对称图形、线段问题（轴对称综合题）

【分析】利用轴对称的性质，找到点A关乎NO两边的对称点，将三角形周长转化为两点间的线段，从而

确定使周长最小的点8、C.

本题主要考查了轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键.

题型二十三、面积问题（轴对称综合题）

23.（2425八年级上•陕西西安•期末）如图所示.

【知识点】画轴对称图形、坐标与图形变化一一轴对称、面枳问题（轴对称综合题）

【分析】此题考查了轴对称作图，利用割补法求网格中三角形的面积，正确理解轴对称的性质是解题的关

键.

（1）分别作出点4、B、C关于y铀对称的点，然后顺次连接；根据图示以及直角坐标系的特点写出点用的

坐标;

（2）利用割补法求三角形的面积.

【详解】（1）如图所示:

题型二十四、角度问题（轴对称综合题）

B

【答案】D

【知识点】最短路径问题、三角形内角和定理的证明、角度问题（轴对称综合题）

【详解】解：如图，作点P关于的对称点尸，点尸关于ON的对称点?〃，

故选:D.

【点睛】本题考查了轴对称最短路径问题，掌握轴对称的性质是解题的关键.

题型二十五、等边对等角

A.88°B.46°C.92°D.67°

【答案】A

【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、根据成轴对称图形的特征进行求解

【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角的和差，熟练掌握相关知

识点是解题的关键.

【详解】解：。点关于。4、08的对•称点为4，P?,

故选:A.

题型二十六、三线合

【答案】D

【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、三线合一

故选：D.

题型二十七、斜边的中线等于斜边的一半

【答案】5

【知识点】斜边的中线等于斜边的一半

【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可.

故答案为：5.

题型二十八、根据等角对等边证明等腰三角形

【答案】（1）见解析

【知识点】作角平分线（尺规作图）、根据等角对等边证明等腰三角形

【分析】本题考查了基本作图，作角平分线，氽角的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握基本以上知识是

解题的关键.

（1）根据作已知角的角平分线的作法，画出图形即可；

【详解】（1）解：如图，角平分线8Q即为所求.

题型二十九、根据等角对等边证明边相等

【知识点】根据等角对等边证明边相等、折叠问题

【分析】本题主要考查折叠的性质和等腰三角形的判定，掌握折叠的性质和等角对等边是解题的关键.

故答案为：12.

题型三十、根据等角对等边求边长

【知识点】全等的性质和SAS综合(SAS),根据等角对等边求边长

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等角对等边，解题的关键是熟练掌握以上性质.

团AD为8c边的中线，

故答案为：2.4.

题型三十一、格点图中画等腰三角形

31.（2023•四川广安•二模）如图是由边长为1