四川省泸县某中学2024-2025学年高一年级下册6月期末考试数学试题（含答案解析）

四川省泸县第五中学2024-2025学年高一下学期6月期末考试

数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合4={-1,0,1},8=[0,+巧,则A1B=()

A.{0,1}B.{1}C.[0,+oo)D.[1,+8)

2.己知命题〃:DxeR,e"-x-l>0,则3是().

A.VxsR,er-x-l<0

B.VxeR,cT-x-1<0

C.3x0G-A^-1<0

D.3x0GR,e"°-x0-l<0

3.复数匕1的虚部为()

1

A.-1B.1C.-iD.i

4.已知以是第一象限的角，P(x,3)为其终边上的一点，且sina=；,则人=()

A.-6B.±6C.±6>/2D.一6上

5.已知平面向量b»则“a=力或a=-〃"是“卜卜W”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

6,若41(冗-(1)=；,且]<(1<冗,则sin2a的值为()

A.一也B.—也C.逑D.逑

9999

7.设函数y=/(x)-f是奇函数若函数g(x)=/(x)+5J(4)=9,则g(-4)=()

A.28B.33C.38D.43

8.在VA8C中，点。在边8c上，且满足忸。=:忸C|,点E为线段A。上任意一点(除端

点外），若实数X，），满足地…A+*C,则r7的最小值为（）

A.2&B.4夜+6C.2&+5D.9

二、多选题

9.下列选项中，值为!的是（）

4

A.sinl5sin75B.cos36cos72

Csin56+sin4Dtan15

cos56+cos41+tan215

10.已知f（x）是定义在R上的偶函数,且是奇函数，当—Ivxvl时，/（力=/,

则（）

A./（力的值域为卜川B.〃力的最小正周期为4

C.在卜川上有3个零点D./（5）=/（4）

11.如图，在正方体4BCO-中，点尸在线段8c上运动，则下列结论正确的是（）

A.直线平面AC。

B.三棱锥AG。的体枳为定值

C.异面直线AP与AD所成角的取值范围是

D.当P为瓦。的中点时，直线CP与平面所成角的正弦值为由

3

三、填空题

12.已知向量〃=（3,0）,。=（1,-2）,则。在〃上的投影向量的坐标是

13.已知sin（a+g）=a,则sin（2a+看）=.

试卷第2页，共4页

14.在三棱锥尸-48C中，PA=PB=PC=2,AB=l,/ACB=j若该三棱锥的所有顶点均

6

在球。的表面上，则球。的表面积为.

四、解答题

15.已知向量|。卜6,卜卜|，

(1)求卜+力|;

⑵求〃与4-〃的夹角。.

16.已知函数/(')=4$以51+e)(/1>0,0>0,倒<5)的部分图像如图所示.

⑴求函数/(力的解析式，并求它的对称中心的坐标；

(2)将困数“X)的图像向右平移〃«0</〃<个单位，得到函数g(x)的图像，g(x)为偶函

数，求函数y=/(x)g(x)+=的单调递减区间.

4

17.如图，在四棱锥P-4BC£>中，底面48CD是菱形，N4BC=60,且加=2,侧棱小_L

底面ABC。，PA=\,E为PC中点、.

(I)证明：/比)_2平面尸AC；

(2)求三棱锥2-笈笈)的体积：

⑶求二面角尸-■的平面角的大小.

18.在VHBC中，角A,B,。所对的边分别为“，b,。，满足a(J5$in5+cos8)-8-。.

《四川省泸县第五中学2024-2025学年高一下学期6月期末考试数学试题》参考答案

题号12345678910

答案ADADAAADABDBCD

题号11

答案AB

1.A

【分析】利用交集的定义求解即可.

【详解】因为A={-I.O,I}I=[O,+8),所以ADB={0,I},故A正确.

故选：A

2.D

【分析】利用命题的否定的求法求出力即可.

【详解】因为命题〃：心€^^7-1>0是全称命题，

所以是*oWR,e"-故D正确.

故选：D.

3.A

【分析】根据复数的乘法与除法运算法则，直接计算，再由复数的概念即可求解.

1-i_]i

【详解】因为./八、所以复数上+1的虚部为-1,

1IS)1

故选：A.

4.D

【分析】利用三角函数的定义，建立方程，结合象限角的定义，可得答案.

31

【详解】依题意，x<0,r=|OP|=V7+9,其中，。为坐标原点，则sina=&+9=不,

所以x=-6>/^•

故选：D.

5.A

【分析】根据向量的基本概念，结合充分，必要条件，即可判断选项.

【详解】若a=b或〃=-〃，则忖=M，反过来，若卜|=1|，两个向量的方向不确定，不能

推出a=〃或a=—b，

答案第1页，共14页

所以％〃或a=-二是力卜W”的充分不必要条件.

故选：A

6.A

【分析】利用诱导公式求得sina的值，再利用同角三角函数的基本关系求得cosa,再利用

二倍角公式，求得sin2a的值.

【详解】解：vsin(n-a)=sina=1,K^<a<n,

/.cosa=-\/l-sin2a=一,则sin2a=2sinacosa=一皿^,

39

故选A.

【点睛】本题主要考查利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，二倍角公式进行化简三角

函数式，属于基础题.

7.A

【分析】首先利用函数的奇偶性列出等式，然后根据g(4)的值求出g(-4)的值.

【详解】由函数)=/(可-/是奇函数可知〃力—月+/(—力—(—4=0,

因止匕可得/(x)+/(—x)=2d；

又g(x)=/(X)+5,因此g(4)=f(4)+5,g(T)=〃-4)+5；

两式相加可得g(4)+g(-4)=〃4)+5+〃T)+5=2x42+10=42；

又g(4)=f(4)+5=14,因此g(-4)=42-14=28.

故选：A.

8.D

【分析】利用平面向量基本定理及共线向量定理的推论可得x+4y=l,且x>0,)>。，再根

据“1”的代换，运用基本不等式可得答案.

【详解】由步力|=(1HC|,BE=xBA+yBC=xBA+4yBD,

而点E为线段AO上除端点外的任意一点，则x+4〉，=l,且x>0,)，>0,

因此！+!=('+!)*+4丫)=5+竺+土之5+2/空・2=9,

xyxy'xyyxy

当且仅当匕=土，即x=2y=：时取等号，

*y3

答案第2页，共14页

所以一+一的最小值为9.

故选：D

9.ABD

【分析】根据二倍角公式，诱导公式，两角和与差的正弦余弦公式等对每个选项逐一求解,

看值是否为:即可.

4

【详解】对于A选项：sinl5sin75=sin15cos15=^sin30，符合题意；

apcqc—sin72cos72—sin144

对于B选项：cos36cos72==36cos36cos72=2___________=4

sin36sin36sin36

：；sin36二i,符合题意,

sin364

-MT〃・小岳sin56+sin4sin(30+26)+sin(30-26)2sin30cos26

对于C选项：=——-----=

cos56+cos4cos(30+26)+cos(30-26)2cos30cos26

=tan30=—，不符合题意；

3

sin15

一3Htan15rnci5sin15cos151.21”人

对于D选项：-——=_cosi^=__^----------=-sin30=-,符合，

I+tan'15,.sin15、■>sin'15+cos1524

1+(-------)-

cos15

故选：ABD.

10.BCD

【分析】根据函数的奇偶性与对称性得到函数图象，即可判断A、C,再求出周期，即可判

断B、D.

【详解】对于A,因为/(X-1)是奇函数，所以/(x)的图象关于(-1,0)对称，且

/(0-1)=/(-1)=0,

因为/(X)为偶函数，图象关于)'轴对称，且当—1VXV1时，f(x)=x\作出“X)的图象,

如下图所示：

答案第3页，共14页

由图可知,由X)的值域为(-1,1),故A错误;

对于B,因为/(xT)是奇函数，所以f(r-l)=-/(xT),

gp/(-x-2)+/(x)=0,因为/(")为偶函数,

所以/(T—2)=〃X+2),即〃%+2)=-/(力，

所以/(X+4)=-/(X+2),即f(x)=/(x+4),所以函数/(%)的最小正周期为4,故B正

确；

对于C,由图象可得在［-1,1］上，/(x)的图象与x轴有3个交点，所以函数/(“在［-川上

有3个零点，故C正确；

对于D,由题意得〃5)=〃1)=0,/(4)=/(0)=0,所以/(5)=/(4),故D正确.

故选：BCD.

11.AB

【分析】对于A：利用线面垂直的判定定理，结合正方体的性质进行判断即可；对于B：根

据线面平行的判定定理、平行线的性质，结合三棱锥的体积公式进行求解判断即可；对于C：

根据异面直线所成角的定义进行求解判断即可；对于D：利用等体积法求点B到平面AG。

的距离，结合线面夹角的定义运算求解.

【详解】对于选项A：因为4万GA为正方形，则AG18Q,

又因为平面A£GA，AC|U平面A4GR,则

且BRc,BR,BB［u平面BBR,

所以AG_L平面MQ,

且3Ru平面BBR,可得4G

同理可得：D”BD、,

且4GCOG=c,AG，DGU平面AG。，

所以直线平面AG。，故A正确：

对于选项B：因为A4〃co,且A4=C。，则A4C。为平行四边形，可得AO〃BC，

答案第4页，共14页

且AQu平面AG。，平面4G。，所以8c〃平面AG。，

又因为点p在线段与。上运动，则P到平面4G。的距离为定值，

且；AG。的面积是定值，所以三棱锥P-AG。的体积为定值，故B正确;

对在选项c：由选项B可知：%。〃卅c,

所以异面直线AP与A。所成角为直线A尸与直线的夹角.

又因为A4=AC=8C，则△ABC为等边三角形，

当〃为4c的中点时，直线AP与直线B.C的夹角最大，

可得AP_LBC，即直线心与直线4C的夹角为5；

当尸与点片或C重合时，直线AP与直线8c的夹角最小，

可得直线"与直线BC的夹角为：；

所以异面直线AP与所成角的取值范围是故C错误；

对于选项D：当尸为片。的中点时，直线GP即为直线CB,

所以直线C/与平面4G。所成角即为直线GB与平面AG。所成角，

设点笈到平面4G。的距离为d,正方体的校长为2,

11Q

0^^.ACIO=2X2X2-4X-X2X-X2X2=-,

由等体积法可得：xdx:x2&x2jix*=：,解得d=拽，

32233

48

所以直线C避与平面4£八所成角的正弦值为d；_屉,

8G2V23

即直线CP与平面AG。所成角的正弦值为如，故D错误；

3

答案第5页，共14页

故选：AB.

【点睛】关键点睛：I.利用平行关系可知异面直线AP与4。所成角为直线A尸与直线用C的

夹角，进行分析求解;

2.利用等体积法求点〃到平面AG。的距离，可知直线与平面AG。所成角的正弦值为

BCJ

36

12.5，-5

【分析】根据投影向量的定义及向量的数量积、模运算即可.

【洋解】结合题意可得：〃=1x3-2x0=3,

同=\?32+02=3,卜卜^（-2）-+12=技

设4与力的夹角为氏则8®箭=焉=冬

故面上的投影向量为同cos喧=停-1

故答案为：(|,三

【分析】根据已知条件，使用诱导公式及一倍角公式.化筒3n(2a+当=2淅2(a+小-1,然

63

后代值即可.

【详解】由题意，因为sin(a+?)=3，

34

所以

in（2a+t）=sin[2（a+g）-]71-C・0（兀•14

sin=-cos2ra+—=一1一2sirra+—=2sm-a+—1=2x

I3LI3；I3J-S

答案第6页，共14页

故答案为：-.

O

【分析】由三棱锥三条侧棱相等可知三棱锥的外接球球心在正三棱锥的高上且点尸在底面的

射影即为［ABC的外心，可先由正弦定理求得二ABC外接圆半径，再由勾股定理求得外接球半

径/?,即可求得球的表面积.

【详解】因为必=心=尸。=2,所以点P在平面ABC上的射影G为，A8C的外心，

如下图，又AB=l,/AC8=m，所以V48c的外接圆的半径iGCk'』：一

62sin—

6

从而三棱锥P-ABC的高为|PG|=7|rc|2-|GC|2=V22-l2=石.

2

2

设该二棱锥外接球的半径为R，则I*+|GC|=|。。『，即（行一2?产十产一A2,解得R「F，

15.(1)2

（2）?

【分析】⑴求出卜「力『=4,利用向量数量积运算法贝闱到〃.0=（）,故|〃+力『=4,求出

模长；

（2）利用向量夹角余弦公式得到cos9=；,得到0=1.

【详解】（1）1—q=jM）"=2,

故卜-陷=（〃-〃）=a-2ab+b=4,

答案第7页，共14页

故3-2々4+1=4，解得力=0，

故,+b=(〃+/?)=，+2。力+。~=3+0+1=4,

所以卜+@=2；

22

a-b3-11

(2)cos〃=

卜+4,-42x2~~2

又。£[0,可，故。=1•

16.(l)f(x)=＞/3sin2x+$对称中心的坐标为偿*0)(2€Z)

6)

nkitkitit

—+一,—4--,kwZ

62212

【分析】⑴根据函数的图像，求得A=G，0=2,再将点信⑹代入求得。哈

得到函数f(x)=VJ$in(2x+：J,结合二角函数的性质，即可求解;

(2)根据三角函数的图象变换，得至lJg*)=6sin(2x-2〃?+t＞由g(x)为偶函数，求得

机=三，得至必。)=—百cos2x，化简得至打=一声却4/+小，结合三角函数的性质，即可

求解.

【详解】⑴解：根据/⑴的图像知A=6且音，所以「吟小可得

(0=2.

将点仔，百]代入得sin(2x^+e)=l且冏＜3解得e=g

koJ626

所以/(x)=x/5sin2%+.).

^2x+-=k7t(keZ),^x=--—(keZ),

6v7212

所以/("的图像对称中心的坐标为1Mll,0)(丘Z).

(2)解：由将/(x)的图像向右平移机(。＜，〃＜；)个单位，得到g(x)=Gsin2x-2m+^

因为g(x)为偶函数，可得一2〃?+m=E+g(我Z),所以〃一”一部wZ),

6226

又因为0＜根＜],可得川=方，所以g(x)=6sin(2x-5)=-6cos2x,

2\o

371

所以y=/(x)g(x)+：=-3cos2xsin2x+—+-=-3cos2x^sin2x+—cos2x+—

4I6；422J4

答案第8页，共14页

42242122J2V6J

令」+2EW4x+2K2E+£,AGZ,nj^-—+-<x<—+—,/:eZ,

26262212

所以函数产/@)g*)+=的单调递减区间为「一介"刍+』McZ.

4L62212

17.(1)证明见解析；

⑵《；

O

(3)45.

【分析】(1)由题设及线面垂直的性质有8。J.AC、PAA.BD,再由线面垂直的判定证明

结论；

(2)由题设/一痛)=匕is=(%.)=(%一再应用棱锥的体积公式求体积；

(3)设ACC80=O,连接0尸，OE,利用线面垂直易得NPO£为二面角P-B/)-石的平

面角，结合已知求其大小即可.

【详解】(1)因为底面ABCD是菱形，所以8。_LAC,又加_L底面ABCD,80u平面ABCD,

所以R4J.BO,又PA14C=A,PA,ACu平面Q4C,所以8OJ.平面Q4C.

(2)因为E是PC的中点，所以Vp_BED=VE_PBD=TVc-PB〉=TVp-BCD»

乙乙

因为sBCD=LS,\BCD=S个=6,又R4=l,PA_L平面4BCD,

V

所以％BFD=-PBCD=-X-5BCDPA=LXL义氐"曲.

r-or.lJ2•IJ[3,oC1/236

(3)设ACTBD=O,连接。尸，OE,

由(1)知，B。工平面PAC,又PO,EOu平面尸4C,

所以8O_LPO,BDLEO,则/PO石为二面角2-BD-E的平面角，

因为四边形A8C£)是菱形，/1ABC—60»AB=2»所以4c=2,

因为R4_L底面A3CO,47u平面A3。。，所以%_LAC,

在RtZXPAC中，^4=1,0为AC的中点，所以/<4=49=1,NPOA=45,

答案第9页，共14页

又E是PC的中点，。是AC的中点，所以PA//OE,所以4OE=90,

所以/POE=90-45=45，二面角P-AO-E的平面角为45.

18.(1)ZA=-

3

⑵①痒1;②[2&+6同

【分析】(I)由正弦定理化简求值即可.

(2)①由平面向量基本定理、向量的运算表示人。与人，c关系，根据余弦定理及基本不等

式运算即可.

②由正弦定理表示8。,A8利用基本不等式求值即可.

【详解】(I)v«(\/3sinB+cosB)=Z?+c,

由正弦定理得：sinA(君sin8+cos8)=sinB+sinC,

展开得：V3sinAsinA+sinAcos4=sinA+sin(A+A),

x/3sin4sinS=sinfi+sinBcosA，而Be(0,7C),sin3H0，

故GsinA-cos4=1,

”/吟i./吟1

zsinA---=I,..sinA----=—,

6jI6)

Ac(0,7t),故/A=^.

(2)

3

=AB+'AC-AB)

］一2-

=-AB+-AC,

33

答案第10页，共14页

.•.AZ）2=（；A3+|AC）

I--4•>41—--iJr

=-AB~+-AC~+-\AB\\AC\COS-

9991Hl3

=^ab2+^AC;2+l\AB\\AC\'

•.•AO=2,

、124,22,

:.4=-c+—b-+—be,

999

根据余弦定理：BC2=^+c2-2^cosp

,,、36（b2+c2-bc）

：.BC2=b2+c2-bc=-A-；------

4b2+c2+2hc

,36（/7十|）3（r+l））

则8c2=7------^=36

厂+2/+4厂+2/+4）

3

则当且仅当/+1=」7时等号成立,

1+1

解得：，=8-1时，

.•.£=6-1时，BC取最小值.

n

AO为24)8的角平分线

AnBDAB

在△人、力中,由正弦定理得

sin^BAD~sin2LADB

答案第11页，共14页

2BDAB

即3一：-帅+1)，

“、12sinf^+-

sinBAB=---------------

sinB

2sin(Z^+-)+3.2B、.2B

I6.1Gsin4+cos3+3_6+4cos"—+2sm~—

AB+3BD=22

r.RR

sinBsinB2sin—cos-

22

n2B

=V3+-----尸+tan—

tan—B2.

2

又Be(0,1,•,■■je^0,y^,/.tan-1e(0,>/3),

2B、仄n

-—^+tan->2V2>当且仅当tan：=及时等号成立,

tan—2

J

故A8+3BOw[2夜+后-oo)

19.（l）g（x）不是“力的"2重覆盖函数”;理由见解析

⑵[0』

f4047，…

(3)1—J0I2

【分析】⑴根据“〃重覆盖函数''的定义判断即可;

（2）由题意可得即对任意％wR,存在2个不同的实数羽毛目-2,转）），使得鼠七）二〃鹏）

（其中，=1,2）,即g（%）=log2（l+/g）c（