特殊平行四边形（知识梳理+21个高频易错考点）解析版-九年级数学上册（北师大版）

特殊平行见边形（知识梳理+21个高频易错考点）

考点分类目录指引

知识梳理技巧点拨...............................................................................2

知识点梳理01：菱形.........................................................................2

知识点梳理02：矩形.........................................................................3

知识点梳理03：正方形.......................................................................3

优选题型考点讲练...............................................................................4

考点1：根据菱形的性质与判定求角度.........................................................4

考点2：根据菱形的性质与判定求线段长.......................................................6

考点3：根据菱形的性质与判定求面积.........................................................8

考点4：矩形与折叠问题.....................................................................11

考点5：斜边的中线等于斜边的半............................................................16

考点6：添一条件使四边形是矩形............................................................19

考点7：证明四边形是矩形...................................................................22

考点8：根据矩形的性质与判定求角度........................................................25

考点9：根据矩形的性质与判定求线段长......................................................29

考点10：根据矩形的性质与判定求面积.......................................................32

考点11：正方形折叠问题....................................................................35

考点12：求正方形重叠部分面积.............................................................38

考点13：根据正方形的性质与判定求角度.....................................................41

考点14：根据正方形的性质与判定求线段长...................................................43

考点15：根据正方形的性质与判定求面积.....................................................46

考点16：根据正方形的性质与判定证明.......................................................49

考点17：中点四边形........................................................................54

考点18：利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积.........................................57

考点19：（特殊）平行四边形的动点问题......................................................59

考点20：四边形中的线段最值问题...........................................................63

考点21：四边形其他综合问题...............................................................68

考点21：四边形其他综合问题...............................................................71

中考真题实战演练..............................................................................75

难度分层拔尖冲刺..............................................................................81

基础夯实...................................................................................81

培优拔高...................................................................................89

日外知识梳理技巧点拨

知识点梳理01：菱形

1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

2、菱形的性质

(1)边：四条边都相等.

即AB=BC=CD=AD；

对边平行.

即AD//BC.

(2)角：对角相等.

gPADAB=ZDCB,/ADC=/ABC

(3)对角线：对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角.

即AC1BD,OA=OC,OD=OB

平分NQ/4(N8C。)，BD(DB)平分/ABC(NADC)

(4)对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，有2条对称轴.

3、菱形的判定

(1)方法一(定义法)：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.

(2)方法二：四条边都相等的四边形是菱形.

(3)方法三：对角线互相垂直的平行四边形菱形.

4、菱形的面积

菱形的面积-底X高-两对角线乘积的一半.

即5=底乂高=工4。・8。

知识点梳理02：矩形

1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

2、矩形的性质

（1）边：对边平行且相等.

AC/ICD^LAB=CD,AD//BC^AD=BC

（2）角：四个角都是直角.

即/ABC=/BCD=ZCDA=NDAB=90°

（3）对角线：对角线相等且互相平分，

即AC=BD,OA=OC=OB=OD

（4）对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，有2条对称轴.

3、矩形的判定

（1）方法一（定义法）：有一个角是直角的平行四边形是矩形.

（2）方法二：有三个角是直角的四边形是矩形；

（3）方法三：对角线相等的平行四边形是矩形.

知识点梳理03：正方形

1、正方形的定义

有一组邻边相等，并且有一个角是直角的的平行四边形叫做正方形.

2、正方形的性质

（1）边：四条边都相等.

即AB=BC=CD=AD；

对边平行.

即4B//CD,AD!IBC.

（2）角：四个角都是直角.

即Z.ABC=NBCD=ZADC=ZBAD=90°

（3）对角线：对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线都平分一组对角（对角线与边的夹角为45。）.

即ACVBD.AC=BDADAC=NCAB=ZDCA=NACB=ZADB=ZBDC=NABD=ZDBC=45°

（4）对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，有4条对称轴.

3、正方形的判定

（1）方法一（定义法）：有一个角是直角，一组邻边相等的平行四边形是正方形.

（2）方法二：一组邻边相等的矩形是正方形.

（3）方法三：一个角是直角的菱形是正方形.

（4）方法四：对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形.

（5）方法五：对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形.

优选题型考点讲练

考点1：根据菱形的性质与判定求角度

【典例精讲】（2025•江西萍乡•二模）（1）计算：V9-（-l）2025-（-5）°.

（2）如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD,过点B作BE_LAD于点E,过点B作BF_LCD于点F.求

证：AE=CF.

【答案】（1）3

（2）证明过程见详解

【思路引导】本题主要考查实数的混合运算，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握算术平

方根，乘方，零次霜的计算，菱形的判定和性质是关键.

（1）分别计算算术平方根，乘方，零次塞的结果，再进行加减计算即可；

（2）根据题意得到四边形ABCD是菱形，△ABE-Rt△CBF（AAS）,即可求解•.

【规范解答】解：（1）内一（一1产025_（-5）。

=3+1-1

=3；

(2)VAB=BC=CD=AD,

・・・四边形ABCD是菱形，

AZA=ZC,

VBE1AD.BF1CD,

/.ZAEB=ZCFB=90°,

在Rt△ABE和Rt△CBF中，

，Z.A=Z.C

zAEB=Z.CFB,

AB=CB

:.Rt△ABE三Rt△CBF(AAS),

・・・AE=BF.

【变式训练】（22-23八年级下•广西桂林-阶段练习）在菱形ABCD中，AC与BD相交于点0,£为八8的中

⑴求乙ABC的度数；

⑵求菱形ABCD的面积.

【答案】（1）120。

（2）273

【思路引导】（1）根据/为AB的中点，且DE1AB,得到AD=BD,结合菱形性质得到AD=AB=BD,从

而得到△ADD是等边三角形，即可得到々ABC的度数；

（2）根据4ABD是等边三角形结合勾股定理求出DE直接求解即可得到答案.

【规范解答】⑴解：・・•£为AB的中点，且DE_LAB,

/.AD=BD,

・・•四边形ABCD是菱形，

,\AD=AB=BD,ZABC=2ZABD,

△ABD是等边三角形,

AZABD=60°,

.LABC=120°；

（2）解：・・・AB=2,〃为AB的中点，

AAE=|AB=1,AD=2,

VDE1AB,

/.DE=V22-l2=V3,

**•^ABCD=2Xyj3—2V3.

【考点剖析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是得到4ABD是等

边三角形.

考点2：根据菱形的性质与判定求线段长

【典例精讲】（24-25九年级上•陕西西安•期中）如图，在AABC中，BA=BC,。是边AC上的中点，延长

BO至点D,使得OB=OD,DE1BC于点E.

（1）求证：四边形ABCD是菱形.

（2）若CD=5,DE=4,求AC的长.

【答案】⑴见解析

⑵AC=275

【思路引导】本题主要考查平行四边形的判定，菱形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解

答本题的关键.

（1）根据平行四边形的判定和菱形的判定解答即可；

（2）根据勾股定理得出CE,BD,进而利用菱形面积公式解答即可.

【规范解答】（1）证明：・.・。是边AC上的中点，

:.AO=OC,

vOB=OD,

四边形ABCD是平行四边形，

vBA=BC,

四边形ABCD是菱形；

（2）解：DE1BC,CD=5,DE=4,

zDEB=90°,

由勾股定理可知，CE=VCD2-DE2=V52-42=3,

由（1）可得BC=CD=5,

:.BE=BC+CE=8,

在Rt△DBE中，BD=VBE2+DE2=V82+42=475,

,S菱形ABCD=BC.DE=-AC•BD,

.•.5x4=IACx475，

:.AC=2V5.

【变式训练】（24-25八年级下-山东青岛-阶段练习）如图1,在平行四边形ABCD中，ZA=600,

AD=DC,动点P从点A出发，沿折线ADTDCTCB方向匀速运动，运动到点B停止.设点P的运动路程为X,

△APB的面积为y,y与x的函数图象如图2所示，则AB的长为.

图1图2

【答案】2V6

【思路引导】本题考查了动点问题的函数图象，根据菱形的性质和函数图象，能根据图形得出正确信息是

解此题的关键.先证明四边形ABCD是菱形，根据图1和图2判定三角形ABD为等边三角形，它的面积为6仃

解答即可.

【规范解答】解：在平行四边形ABCD中，AD-DC,

・•・四边形ABCD是菱形，

D___________C

AAD=AB,

•••匕A=60°,

•・.△ABD为等边三角形，

设AB=a,由图2可知，当P,D两点重合时，4ABD的面积为6遍，

・•・△ABD的面积=^a2=673,

解得：a=2伤（负值已舍），

故答案为：2后.

考点3：根据菱形的性质与判定求面积

【典例精讲】（23-24八年级卜.•江苏苏州•阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点0,且

AO=C。，点E在BD上，满足4EA0=NDC0.

（1）求证：四边形AECD是平行四边形；

⑵若AB=BC,CD=5,AC=8,求四边形AECD的面积.

（3）在（2）的条件下，平行线AD与EC间的距离为______.

【答案】（1）见解析

⑵24

⑶g

【思路引导】此题考查了菱形的判定和性质、平行四边形的判断和性质、勾股定理等知识，证明四边形AECD

为菱形是关键.

（1）根据题意可证明aAOE三ZkCOD,得到OD=OE,从而根据“对角线互相平分的四边形为平行四边形”

证明即可：

（2）根据AB=BC,AO=CO,可证明BD为AC的中垂线，从而推出四边形AECD为菱形，然后根据条件求出DE

的长度，即可利用菱形的面积公式求解即可；

（3）根据等积法进行求解即可.

【规范解答】（1）证明：在AAOE和△8口中，

rzEAO=ZDCO

AO=CO

LAOE=4COD

:.△AOEwZkCOD(ASA).

AOD=OE.

又・・・AO=CO,

.•.四边形AECD是平行四边形.

(2)VAB=BC,AO=CO,

・•・EO为AC的垂直平分线，BOIAC.

工平行四边形AECD是菱形.

VAC=8,

:.CO=^AC=4.

在KtaCOD中，CD=5,

•••OD=VCD2-CO2=V52-42=3,

DE=2OD=6,

S菱形AECD=叔E•AC=5x6x8=24,

・•・四边形AECD的面积为24.

(3)VOD=3,AO=1AC=4,zAOD=90°,

/.AD=VAO2+DO2=5

设平行线AD与EC间的距离为x,

则SgAECD=AD-x=24,

解得X=g

故答案为：

【变式训练】(23-24九年级上-山东淄博・期末)我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的3

倍的三角形叫做和谐三角形，例如：某三角形三边长分别是百，3,2,因为(国产+32=12=3x22,所

以这个三角形是和谐三角形.在平行四边形ABCD中，AC1BD于点。AB=K，且4ABD是和谐三角形,

则该平行四边形ABCD的面积为.(温馨提示：«xVE=痴，a>0,b>0)

【答案】百或3

【思路引导】本题考查了新定义，菱形的判定及性质，勾股定理，埋解新定义，掌握性质，能根据“和谐

三角形”中不同的第三边进行分类讨论是解题的关键.

由菱形的判定方法得四边形ABCD是菱形，①BD为第三边时，由新定义得AD2+AB2=3BD2,再由菱形的性

质得08=知=多由勾股定理得0A=JAB2—0B2=手，由菱形的面积得S菱形ABCD=3C.BD,即可

求解；②AB（或AD）为第三边时，同理可求解.

【规范解答】解：•♦•四边形ABCD是平行四边形，

ACJLBD,

四边形ABCD是菱形，

AD=AB=V3；

①如图，BD为第三边时,

△ABD是和谐三角形,

AD2+AB2=3BD2

2

••・(75)2+(b)2=3BD,

解得：BD=V2：

OB=ABD=乌

22

OA=VAB2-OB2

=，(母-仔)

_/To

一T;

:.AC=20A=V10>

1

'S芟形ABCD=，AC•BD

1,—广

=-xV10xV2

=心

②如图，AB(或AD)为第三边时,

△ABD是和谐三角形,

AD2+BD2=3AB2

(V3)2+BD2=3x(V3)2,

解得：BD=V6：

/.OB=2BD=匹

2

0A=VAB2-OB2

=（可一售）

=渔

_T,

:.AC=2OA=V6>

1

S菱形ABCD=aAC.BD

1=「

=-xV6xV6

乙

=3；

综上所述：该平行四边形ABCD的面积为遥或3.

故答案：诉或3.

考点4：矩形与折叠问题

【典例精讲】（23-24九年级上•江苏盐城•期末）如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，洛矩形ABCD

沿BE所在的直线折叠，C,D的对应点分别为C',D',连接AD'交BC'于点F.

/0

(1)若NDED'=68。，求4DAD'的度数；

(2)连接EF,试判断四边形C'D'EF的形状，并说明理由.

【答案】(1)34。

⑵矩形，见解析

【思路引导】本题主要考查矩形的性质，矩形的判定，折叠的性质，全等三角形的判定和性质的综合，掌

握矩形折叠的性质，全等三角形的判定和性质，图形结合分析是解题的关犍.

(1)根据点:E是AD的中点，沿BE所在的直线折叠，可得AAED’是等腰三角形，根据三角形的外角的性质即

可求解：

(2)如图所示，连接EF,点H是BE上的一点，根据矩形和折叠的性质可得四边形BED'F是平行四边形，如

图所示，连接EC,EC',过点E作EG_LBC于点G,可证四边形C‘D'EF是平行四边形，再根据折叠的性质得比’=

ZD=zC=ZD=90°,由此即可求证.

【规范解答】(I)解：•・•叫边形ABCD是矩形,点E是AD的中点.

/.AE=DE,

•・•沿BE所在的直线折叠，C,D的时应点分别为C',D,

DE=DE,

・•・AE=D'E,则△AED'是等腰三角形，

Z.ZD'AE=4AD'E,

VZDED'=68°,即ND'ED-ZD'AE+zAD'E-68°,

AZD'AE=zAD'E=IzDED'=68。=34°,

・・・/DAD'的度数为34。.

(2)解：如图所示，连接EF,点H是BE上的一点，

・・•四边形ABCD是矩形，

ADE||BC,zC=zD=90°,即CD1BC,

•・•沿BE所在的直线折存，C,D的对应点分别为C',D,

・・.，C'=ZD*=zc=ZD=90°,C'FIIDE,BE是ZCBC/DED.的角平分线,

由(1)可知，ZEAD'=zED'A=|zDED',

AZED'A=ZD'EH,

AAD'IIBE,且BF||ED',

・•・四边形BED'F是平行四边形，则BF=ED',FD'=BE,

如图所示，连接EC,EC',过点E作EGj.BC于点G,

•・•点E是AD的中点,EGIBC,

・••点G是线段BC的中点,则AE=DE=BG=CG,

在△BEG,△CEG中,

(BG=CG

ZBGE=ZCGE=90°,

IEG=EG

:.△BEGwZkCEG(SAS),

/.BE=CE,Z.EBG=Z.ECG,

•・•沿BE所在的直线折叠，C,D的对应点分别为C',D,

/.ZC=Z.D=Z.C=ZD=90°,CF||DE,ZGBE=Z.FBE,

在ABCEGBCE中,

BC'=BC

ZCBE=ZCBE,

BE=BE

・•・△BC'EwZkBCE(SAS),

EC=EC,Z.BCE=Z.BCE,

AEC=EC=EB,

AEC'=FD',

・•・四边形C'D'EF是平行四边形,

vzc'=ND'=zC=zD=90°,

・・・平行四边形C'D'EF是矩形.

【变式训练】如图，在矩形ABCD中，AD=5,AB=8,点E为射线DC上一个动点，将△ADE沿直线AE折叠,

当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，DE的长为

【思路引导】本题考查了矩形的性质和判定，折叠的性质，垂直平分线性质，勾股定理.根据题意分两种

情况①点D的对应点F落在矩形ABCD的内部，②点D的对应点F落在矩形ABCD的外面，过点F作FN1AB于点N,

延KNF交DC于点M,构造直角二的形.结合矩形的性质和判定,折叠的性质.垂直平分线性质.勾股定理

求解，即可解题.

【规范解答】解：①点D的对应点F落在矩形ABCD的内部,

过点F作FNJLAB于点N,延长NF交DC于点M,

•••四边形ABCD为矩形,

.-.zD=zDAN=90°,

vzFNA=90°,

四边形ANMD为矩形，

vAD=5,AB=8,

...MN=AD=5,

•••点F刚好落在线段AB的垂直平分线上，

.•.AN=AAB=4=DM,

由折叠的性质可知AF=AD=5,DE=EF,

NF=VAF2-AN2=3,

:.MF=MN—NF=2,

VME=DM-DE=4-DE,ME2+MF2=EF2,

(4-DE)2+22=DE2,

解得DE.

②点D的对应点F落在矩形ABCD的外面，

过点F作FN1AB于点N,延长NF交DC于点M,

由①同理可得Al；=AD=5,DE=EF,四边形ANMD为矩形,

MN=AD=5,DM=AN=4.

NF=3,

vMF2+ME2=EF2,

.•・(5+3产+(DE—4产=DE2,

解得DE=10,

综上所述DE的长为2.5或10,

故答案为：2.5或10.

考点5：斜边的中线等于斜边的半

【典例精讲】（2025•河南周口•三模）如图，菱形ABCD中，BC=10,对角线AC与BD相交于点0,过点A

作AE_LBC,交边BC于点E,连接EO,若EO=0M,则菱形的面积为.

【思路引导】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理，由菱形的性质可得A0=co=JAC,

AC1BD,BD=2BO,由直角三角形的性质可得OC=E。=g,AC=2依，由勾股定理求出BO=3

VTO,即可得出BD=6SM,最后由菱形的性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的

关键.

【规范解答】解：•・•四边形ABCD为菱形,

/.AO=CO=1AC,AC1BD,BD=2B0,

VAE1BC,EO=Vlo,

AOC=EO=V10,AC=2-/10,

BO=VBC2-OC2=3V10,

BD=2BO=6^10>

・•・菱形的面积为xAC=lx6y/wx2Vw=60,

故答案为：60.

【变式训练】（2025•安徽阜阳•三模）在△ABC中，zABC=a（a>90°）,AB=BC,D是AC上一点，连接

BD,将BD绕点B顺时针旋转a,得到BE,作EH_LAB交直线AB点H,交直线AC于点F.

(1)若〃重合，求证：点D是AF的中点；

⑵若点E在4BAC内，作EG||AB交AC于点G,判断AD与FG之间的数量关系，并证明.

【答案】(1)见解析

(2)AD=1FG,见解析

【思路引导】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，直角三角形的性质，全等三

角形的性质与判定等待，正确作出辅助线是解题的关键.

(1)先由等边对等角和三角形内角和定理得到4A=ZACB=90。一天，则由由旋转的性质可得BD=BE,Z

DBE=a,则4BDE=NBED=90O—ga,据此可证明4A=/BED,得至iJAD=DE,再证明NF=4DEF,得到

DE=DF,据此可证明结论；

(2)取FG的中点为M点，连接EM.由平行线的性质得到NFEG=zH=90。，则EM=GM=抑，即有NMGE=

4MEG,进而得到NCME=24MGE：进而可得4CME=2NA：由旋转的性质可得BD=BE/DBE=4

ABC=a,则可证明△ABD三△CBE（SAS）,得到AD=CE,Z.BCE=Z.A=Z.ACB,则可证明z_ECM=z_CME,

得到CE=EM,则AD=EM=1FG.

【规范解答】（1）证明：・・・AB=BC,ZABC=a（a>90°）

・•・ZA=ZACB=I8。丁"=90°-1a

由旋转的性质可得BD=BE,ZDBE=a,

18O0-ZDBE

ZBDE=ZBED==90。一件

2

/.ZA=ZBED,

AAD=DE.

VEFlAB,

・•.ZA+zF=90°,zBED+上DEF=90°,

AZF=zDEF,

ADE=DF,

--.AD=DF,即点D是AF的中点；

（2）解：AD=1FG,证明如下：

如图,取FG的中点为M点,连接EM.

VEG||AB,

AZFEG=ZH=90°,

•・•,#是FG的中点，

.'EM=GM=1FG,

AZMGE=4MEG,

Z.zCME=zMGE+zMEG=2zMGE；

VEG||AB,

zMGE=zA,

ZCME=2Z.A；

由旋转的性质可得BD=BE/DBE=zABC=a,

zABD=Z.CBE=a—zDBC,

XVAB=BC,

△ABDsACBE(SAS),

AD=CE,Z.A=zBCE,

VAB=BC,

/.zBCE=NA=Z.ACB,

Z.zECM=zACB+zBCE=2zACB,

.,.ZECM="ME,

,\CE=EM,

AAD=EM=1FG.

考点6：添一条件使四边形是矩形

【典例精讲】（24-25八年级下•江苏扬州•阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交

于点0,动点E以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿AC方向运动，点F同时以每秒2个单位长度的速度从

点发沿CA方向运动，若AC=8,BD=5,则经过秒时，四边形BEDF是矩形.

【答案】9或?

【思路引导】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定，熟练掌握矩形的判定是解题关键.设经

过t秒时，四边形BEDF是矩形，先根据平行四边形的性质可得0A=0C=：AC=4,OB=0D=|BD=|,

再分两种情况：①0<tv2和②2<t<4,证出四边形BEDF是平行四边形，根据矩形的判定可得要使平行

四边形BEDF是矩形，贝懦EF=BD,即0E=0B,由此即可得.

【规范解答】解：设经过t秒时，四边形BEDF是矩形，

由题意得：AE=CF=2t,

VAC=8,

・••点E从点A运动到点C所需时间为募=4秒；当点E,F相遇时，2t+2t=8,

解得t=2,此时。£=(^=4=#(：,点£下在点。相遇，

•.•四边形ABCD是平行四边形,AC=8,BD=5,

OA=OC=IAC=4,0B=OD=1BD=|.

①如图1,在点E,F相遇前,即0vtv2,

图1

.•・OA-AE=OC-CF=4-2t,即OE=OF=AEF,

XVOB=OD,

・•・四边形BEDF是平行四边形，

要使平行四边形BEDF是矩形，则需EF=BD,即。E=OB,

.\4-2t=1,

解得t=；，符合题设；

②如图2,在点E,F相遇后,即2vt<4,

图2

・•・AE-OA=CF-OC=2t-4,即0E=OF=1EF,

又YOB=OD,

・•・四边形BEDF是平行四边形，

要使平行四边形BEDF是矩形，则需EF=BD,即0E=0B,

解得t=f,符合题设：

综上，经过，或?秒时，四边形BEDF是矩形，

故答案为：［或

【变式训练】(24-25九年级上•河南平顶山•期中)如图，AH是aABC的高，D,E分别是AB,AC的中点,

点P在BC上，F,G分别是BP,PC的中点，连接AP,DE,DF,GE.

⑴求证：四边形DFGE是平行四边形；

(2)若AH=8,BH=8,HC=2.填空：

①当BP=_时，四边形DFGE是矩形；

②当BP=_时，四边形DFGE是菱形.

【答案】⑴见解析

⑵①8：②2

【思路引导】本题考杳了平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定、勾股定理、三角形的中位线等知

识，熟练掌握知识点推理证明是解题的关键.

(1)根据中点，得出DE是△ABC的中位线，DF是aABP的中位线，EG是4ACP的中位线，根据三角形中

位线的性质，得出DEIIBC,DFHAP,EGHAP,则DE||FG,DF||EG,根据“两组对边分别平行的四边形是平行

四边形”，即可证明四边形DFGE是平行四边形；

(2)①当BP=8时，点:P和点H重合，得出DF是AABH的中位线，则DF||AH,推出乙DFG=/AHC=90。，

根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，即可得出此时四边形DFGE是矩形；

②当BP=2时，求出BC=BH+HC10,根据三角形中位线的性质，得出DE=5,DF=|AP,当BP=2时,

求出PH=BH-BP=6,根据勾股定理计算AP=，AH2+P#=10,得出DF=DE,根据“一组邻边相等

的¥行四边形是菱形”，即可得出此时四边形DFGE是菱形.

【规范解答】(1)证明：YD,E分别是AB,AC的中点，点P在BC上，F,G分别是BP,PC的中点，

・・・DE是aABC的中位线，DF是4ABP的中位线，EG是4ACP的中位线，

ADEIIBC,DFHAP,EGHAP,

ADEHFG,DFHEG,

・•・四边形DFGE是平行四边形；

(2)解：①当BP=8时，四边形DFGE是矩形，理由如下，

VBH=8,

・••当BP=8时，点P和点H重合,

・•・此时点F也是BH的中点,

・.”是AB的中点，

・•・此时DF是AABH的中位线，

•••DFIIAH,

•・・AH是aABC的高，

AZAHC=90°,

AZDFG=ZAHC=90°,

由：由(1)得四边形DFGE是平行四边形，

・•.此时四边形DFGE是矩形，

故答案为：8：

②当BP=2时，四边形DFGE是菱形，理由如下，

VBH=8,HC=2,

ABC=BH+HC=8+2=10,

rtl(1)得DE是△ABC的中位线，DF是AABP的中位线，四边形DFGE是平行四边形,

ADE=1BC=1x10=5,DF=；AP,

当BP=2时，PH=BH-BP=8-2=6,

・・・AH是4ABC的高，AH=8,

/.AP=VAH2+PH2=V82+62=10,

ADF=1xl0=5,

・•・此时DF=DE,

.,.当BP=2时,四边形DFGE是菱形,

故答案为：2.

考点7：证明四边形是矩形

【典例精讲】(2025•贵州贵阳•模拟预测)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD交于点0,过点A作AF,

BC于点F,延长BC到点F,使得CE=BF,连接DE.

(1)求证：四边形AFED是矩形；

(2)连接OF,若AB=5,OF=3,求BD的长.

【答案】(1)见解析

(2)BD=8

【思路引导】本题考查了矩形的判定，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线

性质，勾股定理等知识；正确的识别图形是解题的关键.

(1)根据菱形的性质得到AD||BC且AD=BC,再证BC=EF,推出四边形AFED是平行四边形，根据矩形的

判定定理即可得到结论；

(2)由直角三角形斜边上的中线性质得OF=/C=OA=3,再由勾股定理得0B=4,即可得出答案.

【规范解答】(1)证明：♦.•四边形ABCD是菱形，

，ADIIRC旦AD=BC,

vCE=BF,

/.BC=EF,

:.AD=EF,

vAD||EF,

二四边形AFED是平行四边形，

VAFlBC,

zAFE=90°,

・••平行四边形AFED是矩形；

(2)解：•••四边形ABCD是菱形，

0A=OC,OB=OD,ACJLBD,

由(1)可知,ZAFC=90°,

...OF=|AC=OA=3,

222

在Rt△AOB中，OB=A/AB2—OA=V5-3=4,

:.BD=2OB=8.

【变式训练】（24-25九年级上-吉林・期中）“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图①，在RtZiABC

中，4ABe=90。，BD为AC边上的中线.将，其△ABD沿射线BC的方向平移，得至iJ^EFG,其中点A、B、D

的对应点分别为E、F、G.如图②，当线段EF经过点〃时，连接DG、GC,请判断四边形DFCGf勺形状，并说

明理由.

数学思考

（1）请回答老师提出的问题；

深入探究

（2）老师将图②中的4EFG绕点川按逆时针方向旋转得到APEQ,其中点E、G的对应点分别为P、Q,线

段PF、QF分别与边BD交于点M、N.如图③，当PQ||BD时,让同学们提出新的问题.“勤学小组”提出问

题：试猜想线段PM和FM的数量关系，并证明.

【答案】（1）矩形，理由见解析；（2）PM=FM,见解析

【思路引导】（1）四边形DFCG是矩形,由平移的性质得到DG=BF,DG||BF,EF||AB,从而得到/EFC=4

ABC=90°,根据BD为AC边上的中线，推出BD=CD=AD=加，进而证明△BCD是等腰三角形，推出

BF=CF,CF=DG,证明四边形DFCG是平行四边形，再根据/DFC=90°,即可证明四边形DFCG是矩形：

（2）由平移的性质得到乙E=ZA,AD=EG,BD=FG,BD||FG,从而得到乙EFG=ZBDF,由（1）可得

BD=AD,进而得到NE=NEFG=NA=NBDF,在图3中，由旋转的性质得到NP=々E,EF=PF,根据平行

线的性质推出4P=4DMF,证FM=FD,再根据四边形DFCG是矩形，推出FD=：PF=FM,即可证明PM=FM.

【规范解答】解：（1）四边形DFCG是矩形，

理由如下：•••△ABD平移得到AEFG,

二DG=BF,DG||BF,EF||AB,

.•./EFC=zABC=90°,

•••BD为AC边上的中线，

BD=CD=AD=1AC,

•••△BCD是等腰三角形，

vZEFC=4ABC=90°,

:.EF1BC,

BF=CF,

.-.CF=DG,

vCF||DG,

四边形DFCG是平行四边形，

•••zDFC=90°,

四边形DFCG是矩形；

(2)PM=FM,

证明：在图2中，•••△ABD平移得至“△EFG,

:.zE=z.A,AD=EG,BD=FG,BD||FG,

:.zEFG=zBDF

由(1)可得，BD=AD,

EG=FG,

zE=Z.EFG=zA=Z.BDF,

在图3中，4EFG旋转得到aPEQ,

zP=z.E,EF=PF,

vPQIIBD,

zP=Z.DMF,

ZBDF=ZDMF,

FM=FD,

由图2可知，四边形DFCG是矩形.

zFDG=90°,

...ED=FD=1EF,

...FD=|PF=FM,

PM=FM.

【考点剖析】本题考查平移的性质，旋转的性质，矩形的判定，直角三角形的特征，等腰三角形的判定与

性质，综合性较强，熟练运用平移与旋转的性质是解题的关键.

考点8：根据矩形的性质与判定求角度

【典例精讲】(23-24八年级下•辽宁大连•期中)如图，四边形ABCD为平行四边形，点/在边BC上，连接

AE,BD交于点F,4BFE=24DBC.

(1)如图1,若AB=BC=AE,则乙DBC的度数为°

(2)如图2,若乙ABC=90。，AF=5,四边形ABCD的周长为28,求四边形ABCD的面积.

【答案】(1)36；

⑵四边形ABCD的面积为48.

【思路引导】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，利用完全平方公式求面积是解题的关键.

(1)设乙DBC=x，根据菱形的性质和等腰三角形的性质，得出&BEF三个角的度数，列方程得出X,即可得

到，DBC的度数；

(2)连接AC,求出对角线BD的长度，从而得出四边形ABCD的边长，求出面积.

【规范解答】(1)解：•・•四边形ABCD是平行四边形，AB=BC,

・•・四边形ABCD是菱形，

设/DBC=X,则ZJXBD=x,ZBFE=2x,

.•./ABE=2x,

VAB=AE,

zAEB=Z.ABE=2x,

VzAEB+zBFE+zDBC=180°,

/.2x+2x+x=180°,

...X=36°,

AZDBC=36°,

故答案为:36；

（2）解：连接AC交BDF点、0,如图:

设NDBC=x,则乙BFE=2x,

•・•四边形ABCD是平行四边形，4ABe=90°,

・•・四边形ABCD是矩形，

AA0=OD,

zDAO=zADO=Z.DBC=x,zAOB=zBFE=2x,AF=AO=5,

ABD=10,

设AB=a,AD=b.

a4-b=14,a24-b2=100,

...ab=0+b）2铲士¥）=48,

・•・四边形ABCD的面积为48.

【变式训练】（2024•福建三明•二模）如图，在AABC中，"BC=90。，BA=BC,把AABC绕点/逆时

针旋转得到AADE,点〃与点8对■应，点〃恰好落在AC上，过夕作EFIIAB交BC的延长线于点匕连接BD并

延长交EF于点G,连接CE交BG于点//.下列结论：①BD=DG；②CE=&BD；③CH=EH；④FG=&

【答案】A

【思路引导】连接DF、HF,可证四边形ABFE是矩形，4ABC三AADE,即可判断①③：根据①③的结论可

推出CE垂直平分DF,进而可得△HDF是等腰直角三角形，从而可判断②；证明△BCDW^DEG,推出

CD=EG=CF,设AB=BC=m,推出EG=CF=（变一i）m,FG=EF-EG=（2-V2）m,判断④即可.

【规范解答】解：连接DF、HF,如图所示:

AE

G

BC

VZABC=90°,BA=BC,

AZBAC=ZBCA=45°

由题意得：△ABCwaADE

AAD=AB/ADE=90°/DEA=乙DAE=45°

1800-45°

/ABD=zADB==67.5°

2

AZBAE=90°

VEFIIAB.

AZAEF=90°

・•.四边形ABFE是矩形,

AZGFB=90°,EF=AB=AD=ED,ZDEF=90°-ZAED=45°

・•.ZGBF=90°-ZABD=22.5°

•"EDC=zEFC=90°,ED=EF,EC=EC

/.△EDCm△EFC

.\CD=CF

AZCFD=乙CDF=izACB=22.5'=zGBF

AZGFD=90°-"FD=67.5°=4FGD

ABD=FD=GD

・••点D是BG的中点

即：BD=DG,故①正确；

VZGDC=zADB=67.5°,,

.\zEDG=90o-zGDC=22.5°

△EDC三△EFC

AZDEH=ZFEC=IzDEF=22.5°=zEDG

.\DH=EH

同理可证DH=CH

ACH=EH,故③正确;

△EDC三△EFC

・・・CE垂直平分DF

AHD=HF

VZHDF=zDBF+zDFB=45°

・•・aHDF是等腰直角三角形

・・・DF=&DH

VCE=2DH,BD=DF

.\CE=V2BD,故②正确；

VBC=DExBCD=Z.DEG=45°,zFBG=EDG=22.5°,

/.△BCD三△DEG.

/.CD=EG,

AEG=CF,

设AB=BC=m,

则：BF=AE=AC=&m,EF=m,

/.EG=CF=（V2—l）m,

・，.FG—EF—EG-（2—V2）m,

FG=V2EG；故④正确;

故选：A.

【考点剖析】本题综合考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、斜中半定理等知识点，综合

性较强，需要学生具备扎实的几何基础.

考点9：根据矩形的性质与判定求线段长

【典例精讲】（2025•福建南平•三模）如图，P是线段AB所在直线上的一动点，点C、D在AB的两侧，CA1

AB.DB1AB,AB=4,AC=3,DB=2,连接PC、PD,分别取PC、PD的中点M、N,连接MN.随着点P

的运动，线段MN的长（）

c

A.随着点P的位置变化而变化B.保持不变，长为］

C.保持不变，长为2D.保持不变，长为浮

【答案】I）

【思路引导】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的性质，连接CD,过点C作CE1DB,

交DB的延长线于E,可得四边形ABEC为矩形，即得BE=AC=3,CE=AB=4,得到DE=DB+BE=5,

进而由勾股定理得CD=，DE2+CE2="T,再根据三角形中位线的性质得到MN=#D=浮，据此即可求

解，正确作出辅助线是解题的关键.

【规范解答】解：如图，连接CD,过点C作CE1DB,交DB的延长线于E,

VCA1AB,DB1AB,

.\zCAB=zABE=ZE=90°,

・・・四边形ABEC为矩形，

ABE=AC=3,CE=AB=4,

/.DE=DB+BE=2+3=5,

ACD=VDE2+CE2=7s2+42="T,

•・,点M、N分别为PC、PD的中点，

・・・MN为APCD的中位线，

,-.MN=1CD=251,

即MN的长保持不变，长为手，

故选：D.

【变式训练】（2025•江苏连云港•中考真题）如图，在菱形ABCD中，AC=4,BD=2,E为线段AC上的

动点，四边形DAEF为平行四边形，贝IJBE+BF的最小值为.

【答案】V13

【思路引导】利用四边形DAEF为平行四边形，得出EF=AD,EF=AD,由E为线段AC上的动点，可知E、F

运动方向和距离相等，利用相对运动，可以看作EF是定线段，菱形ABCD在AC方向上水平运动.过点B作AC

的平行线MN,过点E作关于线段MN的对称点E',由对称性得BE=BE',则BE+BF=BE'+BF工E,F,当且

仅当E'、B、F依次共线时，BE'+BF取得最小值E'F,此时，设AC与BD交于点0,EE,交MN于点H,延长E'E交

FD延长线于点G,分别证明四边形E0BH和四边形D0EG是矩形，求出GF=GD+DF=E0+AE=A0=2,

GE=EH=E'H=1,再利用勾股定理求出E'H即可.

【规范解答】解：•・•四边形DAEF为平行四边形，

・・.EF=AD,DF=AE,

•・・E为线段AC上的动点，

・••可以看作EF是定线段，菱形ABCD在AC方向上水平运动，

则如图，过点B作AC的平行线MN,

过点E作关于线段MN的对称点E；

由对称性得BE=BE',

・・・BE+BF=BE'+BFKE'F,当且仅当E'、B、F依次共线时,BE'+BF取得最小值E'F,

此时如图，设AC与BD交于点0,EE,交MN于点H,延长E,E交FD延长线于点G,

E,

「菱形ABCD中，AC=4,BD=2,

AAO=|AC=2,BO=DO=1BD=1,AC1BD,

由题可得AC||MN,

・•・由对称性可得EH_LHB,

AAC1GH,

AZOEH=ZEOB=ZEHB=90°,

・•・四边形EOBH是矩形，

AEH=EH=OB=1,

•・•四边形DAEF为平行四边形，

:.DF=AE,DF||AC,

AGD1DO,

AZGDO=乙DOE=4GEO=90°,

・•.四边形DOEG是矩形，

・・.GD=EO,GE=DO=1,

/.GF=GD+DF=EO+AE=AO=2,GE=GE4-EH+EH=3,

AEF=JGF2+GE?=V22+32=V13,

即BE+BF的最小值为g,

故答案为：V13.

【考点剖析】本题考查菱形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质,

两点之间线段最短，根据题意结合相对运动得出运动轨迹，再利用将军饮马解决问题是解题的关键.

考点10：根据矩形的性质与判定求面积

【典例精讲】（2023•贵州贵阳•二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相