天津市天津市红桥区2025-2026学年高三年级上册开学考试数学试卷（解析版）

高三数学试卷

本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.答卷前，

考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答题时，

务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.

祝各位考生考试顺利！

第I卷

注意事项：

1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干

净后，再选涂其他答案标号.

2.本卷共9题，每小题5分，共45分.

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.集合”=｛一101｝,8=｛闻，若8=则（）

A.OB.1

C.0或一1D.0或T或1

【答案】C

【解析】

【分析】根据集合的互异性以及子集概念即可求出〃的值.

【详解】由集合元素的互异性可知axl,又因为3=人，所以，的取值只能是A中的元素，所以a=0或

a=-\.

故选：C.

2.已知名/?£/?,贝『七是“。-2>也一2|”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据不等式的性质以及充分不必要条件的判断，即可求解.

【详解】若4>〃>2时，则〃-2>0/一2>（）,因此〃-2>〃-2=忸一2|,

若时，比如。=5为=1,但不满足

因此“a>b>2”是“。一2>-2］"的充分不必要条件.

故选：A

3.已知复数z=」^m£R）是纯虚数，则。=（）

i

A.OB.IC.-1D.2

【答案】A

【解析】

【分析】先将z整理为。+初的形式,再由纯虚数的概念求解即可

\-aia+i

【详解】由题,z

因为z为纯虚数,所以一。二0,解得。=0,

故选:A

【点睛】本题考查已知复数类型求参数,考查复数的除法法则的应用

4.21一十）的展开式中x的系数是（）

A.84B.-84C.280D.-280

【答案】C

【解析】

3

【分析】先写出二项展开式的通项公式，令通项公式中1的疑指数7-大一=1,求得，•的值，再将，•代入通

2

项公式即可求解.

（_1Y3

【详解】由题意，二项展开式的通项公式为晨|=a（2力7-'（-1）'―=（一1）'⑵'-'C；卜尸'，

\/

令7-5=1,解得厂=4,所以X的系数为（-1）4X（2）7-4XC^=280.

故选：C

5.已知函数）〒/U）的图象是连续不间断的，有如下对应表:

XI23456

y122.521.4-7.44.5-53.1-125.5

那函数/U）在区间［1,6］上的零点个数是（）

A.只有2个B.至多3个C.只有3个D.至少3个

【答案】D

【解析】

【分析】结合题意，根据零点存在性定理判断即可.

【详解】因为函数），=/（"的图象是连续不间断的，且/（2）>0J⑶<0,

所以根据零点存性定理，函数y=/（x）在区间（2,3）上至少存在一个零点；

同理，由/（3乂0,〃4））0,得函数y=/（x）在区间（3,4）上至少存在一个零点；

由"4）>0,〃5）<0,得函数y=在区间（4,5）上至少存在一个零点.

但不能判断函数y=/（x）在其它区间上是否有零点.

因此，函数y="X）在区间［1,6］上至少存在3个零点.

故选：D.

6.若a=log23/=ln；,c=2i吗则db,c之间的大小关系为（）

A.b>a>cB.c>a>bC.a>b>cD.a>c>b

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，由指数函数以及指数函数的单调性，即可得到。力,c的范围，从而得到结果.

【详解】因为I=log22<log23〈k）g24=2,即1<〃<2,

ln-=-ln2<0,即bvO,

2

2,（,1>2,=2>即。>2,

所以c>a>Z?.

故选:B

7.己知函数/（1）是定义在上R的偶函数，若对于任意不等实数N，电不等式

（王一马）［/（石）一/（七）］<0恒成立，则不等式卜一1）的解集为（）

1r

A.〈X——<x<—B.x\x<-\^x>--

33,3

C.*x-1<x<-►D.…

3

【解析】

【分析】首先利用二倍角公式以及辅助角公式将函数

f(x)=cosMsinx-5/3cosx)=-sin2x--cos2x--=sinf2x-->|-—>

222I3J2

然后利用性质解题.

2兀

【详解】对于选项A,/*)的最小正周期7=2=兀，A选项错误；

7TJrJTjr57r

对于选项B,由一一<2x一一工一解得一一<x<—,B选项错误；

2321212

对于选项C,由2x—1=E+宗火wZ)解得工=今+工仅wZ),当左=一1时，x=--^,所以/(x)

的图象关于直线九二-二对称，选项C正确；

12

对于选项D,由2］一］二依(壮Z)解得x号+?丘Z),当左=一1时，x=%,所以，/(幻的图象

关于点(、当对称，D选项错误.

故选:C.

第n卷

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.

10.己知i为虚数单位，则上二=____________

1+i

【答案】一i

【解析】

【分析】用复数的除法及乘法法则即可求解.

1-i(I)?2i

L详加军JZ==-------------------==-1,.

1+i(l-i)(l+i)2

故答案：一i.

11.X2--的展开式中/的系数为

【答案】40

【解析】

【分析】先根据二项式定理求出(V-2)5展开式的通项公式，再通过令通项公式中X的暴次等于4,求出

厂的值，最后将，•的值代入通项公式中关于系数的部分，从而得到X4的系数.

22

【详解】根据二项式定理，对于(Y--)5,其展开式的通项公式为7；讨=(2；。2)5-，.(一一)「.

XX

进行化简，所以(+1=C；(X2)5-r-(--/=(-2)rC；・M2r•r,=(-2)「G•x,0-3r.

x

令10—3r=4.解得厂=2.

将r=2代入到(-2)'G中，所以(一2)?C；=4x10=4。，即/的系数为40.

故答案为：40.

12.已知。>0/>0,则4+土+人的最小值为.

a4b

【答案】2

【解析】

【分析】观察《与〃的积可视为定值〃，再将《与工结合使用基本不等式求解.

4b。

【详解】因为〃>0,b>0,

所以1+4-+匕之1+2.匕.9~=a-\-—>2.1a---2,

a4ba74ba\a

a~

b

4b,即。=1力二,时，等号成立,

当且仅当《

12

二Z

12

所以_L+±+〃的最小值为2,

a4b

故答案为：2

13

13.已知2,=24'=3,贝ij--------=_______

yx

【答案】1

【解析】

【分析】根据指数与对数的关系，将指数式转化为对数式，再利用对数的运算性质进行计算。

X

（详解】由2=24y=3,可得X=log23,y=log243,

24

—1——3—------1------------3-----

所以,log：24-3log；2=log324-log,8=log3—=log33=1.

yxlog243log23o

故答案为：L

14.袋中大小相同的3个红球，5个白球，从中不放回地依次摸取2球，在已知第一次取出白球的前提

下，第二次取出白球的概率是

4

【答案】-

【解析】

【分析】分别求出第•次取出白球和第•次取出白球且第二次取出白球的概率，再根据条件概率公式计算

即得.

【详解】设事件A为第一次取出白球，事件8为第二次取出白球,

因袋中一共有8个球，第一次取出白球的概率尸（A）=。，此时袋中还剩下7个球，其中白球4个,

O

/54s

那么第一次和第二次都取出白球的概率为尸（44=3乂：7=77，

8714

由条件概率公式，在已知第一次取出白球的前提下，第二次取出白球的概率是

5

P⑷小噌建』一

'7P(A)51457

8

4

故答案为：-

15.某公园有甲、乙两个相邻景点，原拟定甲景点内有2个A班同学和2个8班同学；乙景点内有2个A

班同学和3个8班同学，后由于某种原因，甲、乙两个景点各有一个同学交换景点观光，则甲景点恰有2

个A班同学概率为:甲景点A班同学数X的数学期望为.

【答案】①.3②•布

【解析】

【分析】（1）根据题意，甲景点恰有2个A班同学有两种情况，互换的是A班同学或互换的是3班同学，

利用组合及古典概型求出概率即可；（2）由题知X的取值可能为1,2,3,利用组合及古典概型求出概率，根

据公式得到期望.

【详解】（1）甲、乙两景点各有一个同学交换后，甲景点恰有2个A班同学有两种情况:

互换的是A班同学，此时甲景点恰有2个A班同学的事件记为4,

C；C；1

m)==

C；C「5

互换的是8班同学，此时甲景点恰有2个A班同学的事件记为”,

I31

所以甲景点恰有2个A班同学的概率尸=P（A）+。（&）=二+历=5.

（2）由题知X的取值可能为1,2,3,

P（X=1）=器=[,P（X=2）=；,尸（x=3）=器4，

l/S।3r1r119

E（X）=1xF2x—F3x—=—.

''102510

故答案为：；i；—19.

-10

三、解答题：本大题共5个小题，共75分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.在VA4C中，内角A3,C所对的边分别是〃涉,c,已知t7=7,/?=3,cosC=—.

14

（1）求c的值；

（2）求角A的值；

（3）求cos（A+C）的值.

【答案】（1）c=5；

（2）A=­x

3

⑶u

14

【解析】

【分析】（1）利用余弦定理可求得

（2）根据同角三角函数关系求得sinC,再利用正弦定理求得sinA,根据三角形内角关系可得角A的值;

（3）根据（2）所求三角函数值，利用两角和的余弦公式代入计算即可.

【小问1详解】

根据余弦定理，c2=^2+Z?2-2^cosC=49+9-2x7x3x—=25,

解得c=5.

【小问2详解】

因为cosC=N，且Cw（O,万），所以sinC二Jl—cos2c二5G

14R

75

a-------=—=0.»Q

根据正弦定理,,即sinA5百，得sinA=—，

sinAsinC2

14

因为A«0,万），所以人=q或A二寺,

又因为。＞c＞。，根据大边对大用可知人＞工，

3

所以A卷.

【小问3详解】

由（2）可知，sinC=—M=—

143

所以cos（A+C）=cosAcosC—sinAsinC=」』xU—@x^二—U

v721421414

17.在VA4C中，内角A,B,。所对的边分别是“，b,c,己知3（a-c『=3〃一2〃c.

（1）求cos8的值;

（2）求sin2B+—；

4J

若b=4,VA3c的周长为9,求VA3c的面积.

【答案】（1）!

3

⑵4屈-6

18

⑶呼

【解析】

【分析】（1）借助余弦定理计算即可得;

（2）借助同角三角函数基本关系及三角恒等变换公式计算即可得;

（3）借助余弦定理及面积公式计算即可得.

【小问1详解】

则&。。=。2+/-/?2,故a2+c2-b23"。2；

3cosB=---------=--=—

2ac2ac3

【小问2详解】

sin2B+—=^y(sin2B+cos2B)=^y(2sinBcosZ?+2cos2B-l)

I4

1^14x/10-V2

9—nr

7

【小问3详解】

由余弦定理〃*=a2+c2-2accos3可得16=c『+c，—ac，

3

，410

又。+c=9—4=5,则16=(a+c)-lac——ac-25---ac,

27

即ac=—,G.▲CSEBJXNX人地.

10""2210320

18.如图，已知四棱锥P—A8CQ中，底面48co为矩形，期_1平面88。。,幺=88=2

（1）求证：当AD=2时，平面尸8O_L平面PAC;

（2）当4。=拒时，

①求二面角B-PD-C的大小;

②求心与平面PDC成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；

⑵①工②五

66

【解析】

【分析】（1）利用线面垂直证明线线垂直，再结合正方形对角线垂直，可证明线面垂直，即证明面面垂直;

（2）利用空间向量法来求法向量，从而可求二面角的大小和线面角的正弦值.

【小问1详解】

因为PA上平面ABCD,且BDu平面A3C。，所以

又因为底面A3CO为矩形，AB=AD=2,所以底面ABC。为正方形，即AC上30,

乂因为AC1PA=AAC,PAu平面PAC,所以8。1平面PAC,

又因为3Du平面P6D，所以平面28。_L平面PAC;

①如图建立空间直角坐标系，由八。二J5,B4=A8=2,

可得：P（2,0,0）,B（0,2,0）,D（0,0,&）,

则PD=（-2,0,V2）,DC=AB=（0,2,0）,PB=（-2,2,0）,

设平面/弟。的法向量为勺=Cw，y,zJ,

%-PD=(X，y,Z])«-2,0,。2)=0

则<

册-PB=(x,,yl,zI)(-2,2,0j=0

即-2x+®=0,令&则％=1,y=],所以若=0,1词,

[-2%+2y=07

设平面PDC的法向量为%=(超,当，z2)，

「J%•尸£>=伍，力，z?）•卜2,0,五）二0

[%•。。=，％，Z2）•（0,2,0）=0

厂”】拒马°，令々=6，PWx2=1,y2=0,所以〃2=（1,。,血了

即

二(LL立卜(1.0,五)二3二百

由cos,n2

74x73―2百一2

时•卜2

因为勺,%£[(),兀],所以“，巧=看，

由图可知二面角8—PQ—C是锐角，

则二面角8—2£)一。的大小为$；

6

②设PB与平面PDC成的角为0,

(-2,2,0)(i,0,V2)

-2二迈

则sin°=cosPB,n2

|(-2,2,0巾(1,0,匈78x73-T

即即与平面POC成角的正弦值为逅.

6

io,已知正方体A3。-A2GA的棱长为4,凡"分别为的中点，G在线段CG上，且

CG=3GC\

(1)求证：GF上面EBF;

(2)求平面仍尸与平面E8G夹角的余弦值;

(3)求点。到平面£3厂的距离.

【答案】(1)证明见解析；

4

(2)-；

5

⑶座.

5

【解析】

【分析】(1)法一、利用正方形的性质先证明/G_LM,再结合正方体的性质得出所J_平面

BCCR,利用线面垂直的性质与判定定理证明即可；法二、建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线

面垂直即可；

(2)利用空间向最计算面面夹角即可；

(3)利用空间向量计算点面距离即可.

【小问I详解】

(1)法一、在正方形BCG用中,

由条件易知tanNC/G="g=J=q^=lanN8/F,所以/qFG=NB&F,

CjFZDD1

则4BFB+NB&FW=NC】FG+NBFB,

取4BFG=+ZB\FB)=三,即

在正方体中，易知2G_L平面3CG瓦，且EF//DC，

所以石尸1.平面5CG4，

又FGu平面BCqa，\EF_LFG,

,:EFC\BF=F,石£8”1=平面£即，・・・6/_1_平面后环；

法二、如图以。为原点建立空间直角坐标系，

则8(4,4,0),石(2,0,4)/(2,4,4),G(0,4,3),

所以即=(0,4,0),£8=(2,4,-4),R?=(—2,0,T),

设m=(a,"c)是平面EBF的法向量，

m•EF=4b=0

则＜,令。=2,则。=0,c=l,

mEB=2a+4b-4c=0

所以而=(2,0,1)是平面旗b的一个法向量，

易知尸G=-m，则产G也是平面EBF的一个法向量，,GFJ_平面EBF；

【小问2详解】

同上法二建立的空间直角坐标系，

所以EG=(—2,4,—l),3G=(-4.0,3),

由(l)知〃2=(2,0』)是平面石跖的一个法向量，

/、n-EG=-2A+4y-z=0

设平面EBG的一个法向量为〃=(x,y,z),所以《

n-BG=-4x+3z=0

令工=6,则z=8,y=5,

所以x=(6,5,8)平面EBG的一人法向量，

设平面£8尸与平面£8G的夹角为。，

।.,|\m-n\204

11\m\-\h\&辰5

4

所以平面EBF与平面EBG的夹角的余弦值为不；

【小问3详解】

因为。(0,0,0),石(2,0,4),所以。£=(2,0,4%

又历=(2,0,1)是平面硕尸的一人法向量,

腿8_8逐

则D到平面EBF的距离为d=

帆网5

所以点。到