有理数的乘方-2023学年七年级数学上册

【讲练课堂】20222023学年七年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】

专题1.11有理数的乘方

【名师点睛】

(1)有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方.

乘方的结果叫做累，在心中，a叫做底数，n叫做指数.胪读作a的n次方.(将外看作是a

的n次方的结果时，也可以读作a的n次幕.)

(2)乘方的法则：正数的任何次嘉都是正数；负数的奇次嘉是负数，负数的偶次嘉是正数;

0的任何正整数次幕都是0.

(3)方法指引：

①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定嘉的符号，然后再计算基的

绝对值；

②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，

最后做加减.

【典例剖析】

[例I](2022春•商城县校级月考)计算：

(1)(-3)2X[-1+(-5)]；

(2)-14+(-3)X[(-4)2+2]-(-2)3・4；

(3)(-10)3+[(-4)2+(1-32)X2]-(-0.28)4-0.04X(-1)2020.

【分析】(1)原式先算乘方运算，再利用乘法分配律计算即可得到结果；

(2)原式先算乘方，再算乘除，最后算加减即可得到结果；

(3)原式先算乘方，再算乘除，最后算加减即可得到结果.

【解析】(1)原式=9X

2S

=9X(一司)+9X(—Q)

=-6-5

=-11；

(2)原式=-I-3X(16+2)-(-8)4-4

=-1-3X18+84-4

=-1-5412

=-53；

(3)原式=-1()00+[16+(1-9)X2]-(-0.28)4-0.04X1

=-1000+(16-8X2)-(-7)XI

=-1000+(16-16)+7

=-1000+7

=-993.

【变式I】(2021秋•高青县期末)计算：

1371

(1)-——)+亦

481224

(2)-234-8-ix(-2)2；

(3)-24+(3-7)2-2X(-1)2；

(4)[(-2)3+*+4+(-1).

【分析】(1)运用乘法对加法的分配律，简化计算.

(2)先算乘方，再算乘除，最后算加减.

(3)先算乘方，再算乘除，最后算加减.

(4)先算乘方，再算中括号里的，再算除法，再算加法.

X24

137

X24+-X24X24

4-8-位

=6+9-14

=1.

1

(2)原式=-8+8-1x4

=-I-1

=-2.

(3)原式=-16+(-4)2-2X1

=-16+16-2

=-2.

A9

(4)原式=(-8+3)+4+(一可)

2

-204+-

3(-3

52

---+IZ--

3V3

【例2】(2022春•祁江区校级月考)概念学习规定：求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做

除方，如2+2+2,(-3)+(-3)+(-3)+(-3)等.类比有理数的乘方，我们把2・2+2记作

2⑶,读作“2的圈3次方”，(-3)+(-3)+(-3)+(-3)记作(-3)④，读作“-3的圈4次

方"，一般地，把a+a+a...+〃个〃，。#0)记作a",读作“〃的圈〃次方

(1)直接写出计算结果：2③(-辨=-8；

1

(2)将下列运算结果直接写成暴的形式：5®=_-；

(3)想一想：将一个非零有理数，的圈〃(〃23)次方写成篇的形式为--:

—an-2—

(4)算一算：42x(—》④.

【分析】根据新定义内容列出算式，然后将除法转化为乘法，再根据乘法和乘方的运算法则进行化简计

算.

【解析】(1)2③=212+2=1(一与③二(-1)+(-1).(-1)+(-1)+(-|)=-8；

乙乙乙乙乙乙乙

⑵5。=5+5+5+5+5+5一点：(-办⑩一28：

(3)an=a-i-a-i-a...°匕

(4)原式=16X9=144.

【变式2.1](2022春•泰州月考)如果不=>那么我们规定(mb)=c,例如：因为23=8,所以(2,8)

=3.

(1)根据上述规定，填空：(3,27)=3,(4,4)=1,(2,16)=4；

(2)记(5,6)=a,(5,7)=b,(5,42)=c.求证：a^b=c.

【分析】(1)根据规定的两数之间的运算法则解答；

(2)根据积的乘方法则，结合定义进行计算.

【解析】⑴V33=27,

・•・(3,27)=3；

V4*=4,

・•.(4,4)=1；

V24=16,

J(2,16)=4；

(2)•:(5,6)=a,(5,7)=b,(5,42)=c,

・・・54=6,5b=7,5c=42,

V5W*5Z,=5(a+b，=6X7=42=5。，

:・a+b=c.

【变式2.212022春•邕宁区期末)材料：

一般地，"个相同的因数〃相乘：a•a…a记为0n.如2?=8,此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28

n个

(即log28=3).

一般地，若。〃=b(。>()且aWl,b>0),则〃叫做以〃为底6的对数，记为log川(即log，=〃).如

34=81,则4叫做以3为底81的对数,记为log381(即log381=4).

问题：

(1)计算以下各对数的值：Iog24=2,105216=4,Iog264=6.

(2)观察(1)中三数4、16、64之间满足怎样的关系式为4X16=64log24、log216、bg264之间又

满足怎样的关系式：Io224+log216=log264_

(3)由(2)的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？1。二,W+loe“N=MN且M>0,

.V>0).

【分析】(1)根据对数的定义求解；

(2)认真观察，不难找到规律:4X16=64,Iog24+log216=log264；

(3)由特殊到一般，得出结论：10gaM+l0gaN=10g“MN.

【解析】(1)log24=2,log216=4,log264=6,

故答案为：2、4、6：

(2)4X16=64,Iog24+log216=log264,

故答案为：4X16=64,Iog24+log2l6=log264；

(3)logOM+log“N=log.MM

故答案为：MN.

【例31(2021秋•安居区期末)观察下列各式:

11

13+23=9=^X4X9=^X22X32

11

I3+23+33=36=4x9X16=4x32X42

44

I3+23+334-43=100=1X16X25=1x42X52

(1)计算：/+23+33+43+…+1()3的值；

(2)试猜想-+23+33+43+…+'的值.

【分析】观察已知的几个式子可以得到规律：等号的左边是从1开始的连续整数的立方和的形式，右边

1

是：与两个数的平方的积，第一个是左边的整数中的最大的一个，第二个是比这个数大1的相邻的整数,

4

据此规律即可求解.

【解析】(1)13+23+33+43+-+103,

=1x102x(10+I)2,

=1xl00X121,

=3025：

(2)13+23+33+43+-+H3=in2(n+l)2.

【变式3】.(2020秋•吴兴区校级期中)请你研究以下分析过程，并尝试完成下列问题.

13=12

13+23=9=32=(1+2)2

13+23+33=36=62=(1+2+3)2

13+23+33+43=100=102=(1+2+3+4)2

(1)13+23+33+•••+103=3025

(2)13+23+33+•••+203=44100

qaqqn2(n+l)2

(3)0+23+33+…+〃3=。——L

4

(4)计算：“3+123+133+…+2()3的值.

【分析】根据已知一系列等式，得出一般性规律，计算即可得到结果.

【解析】(1)13+23+33+-+103=3025；

(2)13+23+334--+203=44100；

(3)户+23+33+…+〃

(4)113+123+133+―+203=44100-3025=41075.

，，底…、，、、n2(n+l)2,、

故答案为：(1)3025；(2)44100；(3)————；(4)41075.

4

【满分训练】

一.选择题(共10小题)

1.(2019秋•祁阳县期末)下列计算正确的是()

A.-22=-4B.-(-2)2=4C.(-3)2=6D.(-I)3=1

【分析】原式各项利用乘方的意义计算得到结果，即可做出判断.

【解析】A、原式=-4,正确；

B、原式=-4,错误；

C、原式=9,错误；

D、原式=-1,错误，

故选：A.

2.(2022•泗洪县一模)(-2)3的值为()

A.-6B.6C.-8D.8

【分析】根据有理数乘方的法则计算：正数的任何次辱都是正数；负数的奇次累是负数，负数的偶次耗

是正数；。的任何正整数次事都是0.

【解析】(-2)3=-8,故选C.

3.(2021♦河北模拟)(一》3表示的意义是()

(-1)x(-1)x(-1)B.(_.)+(_}+(_》

(-l)x(—l)x(—l)(T)

D.

33x3x3

【分析】根据乘方的意义即可得出结果.

【解析】•1(―£)3表示3个(—£)相乘,

*DO

；.(一[)3表不的意义是(―J)X(―!)X(―1),

JOOO

故选：A.

4.(2021•河北模拟)下列各对数中，相等的是()

A.-3和2B.(-2)4和-24C.-2和-(-2)D.-(-2)和|-2|

【分析】根据有理数的乘方、绝对值、相反数的意义逐个判断即可得出结果.

【解析】-3W2,选项A不符合题意；

•・•(-2)4=]6,-24=-16,

・•・(・2)4工・24,选项8不符合题意；

・2W・(-2)选项。不符合题意；

V-(-2)=2,|-2|=2,

・•・-(-2)=|-2|,选项。符合题意：

故选：Q.

5.(2021秋•原阳县期末)下列各组的两个数中，运算后的结果相等的是()

A.23和32B.-33和(-3)3C.-22和(-2)2D.-|-2|和|-2|

【分析】根据有理数的乘方，绝对值的意义分别计算，然后作出判断.

【解析】A,2?=8,32=9,

A23^32,故此选项不符合题意；

B.-33=-27,(-3)3=-27,

・•・-33=(-3)3,故此选项符合题意；

C.-22=-4,(-2)2=4,

・•・-22#(-2)2,故此选项不符合题意；

D.-|-2|=-2,|-2|=2,

-I-2|刊-2|,故此选项不符合题意；

故选：B.

6.(2021秋•本溪期末)平方等于它本身的数是()

A.0B.1C.-1D.0或1

【分析】根据有理数乘方的计算法则由()2=0,12=1,即可得出答案.

【解析】因为()2=0,[2=],

所以平方等于本身的数为0或1.

故选：D.

7.(2021•长安区二模)在数轴上标出下列各式的值所对应的点，其中落在原点左侧的是(

A.|-2|B.(-2)2C.-(-2)D.-(+2)

【分析】根据绝对值、相反数及有理数的乘方运算可得结果，然后作图，据图回答即可.

【解析】I-2|=2.(-2)2=4、-(-2)=2、-(+2)=-2,

作图如下：

-(-2)

-52)|.2|(-2)2

JIII1IJL-

-2-1012345

由图可知，落在原点左侧的是-(+2).

故选：D.

8.(2020秋•阳信县期末)下列说法中，正确的是()

A.正有理数和负有理数统称为有理数

B.有限小数和无限循环小数都是分数

C.一个有理数的绝对值一定是正数

D.平方等于它本身的数是-1,0

【分析】根据有理数的概念与分类、分数的定义、绝对■值的性质及乘方逐一判断即可得.

【解析】人正有理数和负有理数及0统称为有理数.此选项错误：

B.有限小数和无限循环小数都是分数，此选项正确；

C.一个有理数的绝对值一定是非负数，此选项错误；

D.平方等于它本身的数是1,0,此选项错误；

故选：B.

9.(2021秋•霍邱县期中)如果|。+2|+1)2=0,那么代数式(a+b)2必的值是()

A.IB.-1C.±1D.2021

【分析】首先根据非负数的性质求出。、力的值，然后再代值求解.

【解析】由题意，得：。+2=0,b-1=0,

即a=-2,b=1：

所以(。+。)2°2』(-1)2021="j

故选:B.

10.(2021•永州)定义：若10V=M则4=10810乂x称为以10为底的N的对数，简记为IgN,其满足运算

法则：lgM+lgN=lg(M・N)(M>0,N>0).例如：因为1()2=100,所以2=/gl00,亦即/g100=2；/g4+/g3

=/gl2.根据上述定义和运算法则，计算(/g2)2+々2・々5+侬的结果为()

A.5B.2C.1D.0

【分析】根据题意，按照题目II勺运算法则计算即可.

【解析】vio^io,

・・・如0=1,

・•・原式=(伙2)2+/g2”g5+/g5

=/g2(Ig2+lg5)+/g5

=/g2X/glO+/g5

=女2+伙5

=k10

=1.

故选：C.

二.填空题(共8小题)

11.对于(・2)3,指数是3,底数是-2,(-2)3=-8；对于-42,指数是2,底数

是4>鼎是-16

【分析】根据乘方的定义可解决本题.

【解析】根据乘方的定义，得(-2)3的底数是-2,指数是3,(-2)3=-2X(-2)X(-2)=-

8.

同理，-42的底数是4,指数是2,幕是-16.

故答案为：3,-2,-8,2,4,-16.

12.(2021秋•耒阳市期末)在数-(-3),0,(-3)2,|-9|,中，正数有3个.

【分析】根据相反数定义、有理数乘方的运算法则、绝对值性质逐一判断可得.

【解析】在所列5个数中，正数有-(-3)、(-3)2,|-9|这3个数，

故答案为:3.

13.(2021春•靖江市月考)计算:

【分析】先根据积的乘方的逆运算变形为［(-|x|)I9,然后再根据乘方运算法则计算即可.

【解析】原式=[(-1

故答案为：・1.

14.(2020秋•阳信县期末)已知|x|=5,|>'-3|=0.且x+y<0.则*=-125.

【分析】先根据绝对值的性质得出x=±5,)，=3,由x+)Y0得出x=-5,)=3,代入后利用乘方的定

义计算可得.

【解析】:国=5,|y-3|=0,

.*.x=±5,y=3,

Vx+>'<0,

；・x=-5,y=3,

则"=(-5)3=-125,

故答案为：・125.

15.(2020秋•奉化区校级期末)平方等于36的数与立方等于・64的数的和是2或・10.

【分析】分别利用平方根的定义和立方根的定义进行求解即可.

【解析】V36=(±6)2,

・••平方等于36的数是±6；

•••(-4)3=-64,

.•.立方等于-64的数是-4,

・••平方等于36的数与立方等于-64的数的和是6+(-4)=2或-6+(-4)=-10.

故答案为：2或・10

16.(2020秋•织金县期末)计算：2-1=1,2?-1=3,23-1=7,24-1=15,2$-1=31,…•归纳各计

算结果中的个位数字规律，猜测22006-1的个位数字是

【分析】由外-1=1,22-1=3,23-1=7,24-1=15,2‘-1=31,…而题目中间22006-I的个位数

字，可以猜想个位数字呈现一定的规律.

【解析】2-1=1,22-1=3,23-1=7,24-1=15,

25-1=31,26-1=63,27-1=127,28-1=255,

由此可以猜测个位数字以4为周期按照1,3,7,5的顺序进行循环，

知道2006除以4为501余2,而第二个数字为3,

所以可以猜测Z2006-1的个位数字是3.

故答案为3

17.（202（）春•南岗区校级月考）1米长的小棒，第1次截去一半，第2次截去剩下的一半，如此下去，第6

63,

次后截去的小棒总长为.—热一米.

【分析1求出每次截取小棒的长度，再计算截去小棒的总长.

【解析】第1次截去小棒的长度为抓第2次截去小棒的长度为京米,第3次截去小棒的长度为系……

所以扛茅媒+T卷-熹喑（米）,

63

故答案为：—

64

18.如图所示，将一长方形的纸对折1次，可得到I条折痕，对折2次可得到3条折痕，对折3次可得到7

条折痕，如果对折5次可得到工条折痕.

(1)

【分析】对前三次对折分析不难发现每对折1次把纸分成的部分是上一次的2倍，折痕比所分成的部分

数少I,求出第4次的折痕即可;

再根据对折规律求出对折〃次得到的部分数，然后减1即可得到折痕条数.

【解析】由图可知，第I次对折，把纸分成2部分，I条折痕,

第2次对折，把纸分成4部分，3条折痕,

第3次对折，把纸分成8部分，7条折痕,

所以，第4次对折，把纸分成16部分，15条折痕,

依此类推，第〃次对折，把纸分成2〃部分，2〃-1条折痕.

当〃=5时，25-1=31,

故答案为：31.

三.解答题（共6小题）

19.计算下列各题，并说说它们的区别.

(1)令；

33

(2)•

5，

3

(3)葭

【分析】(1)根据有理数的乘方运算法则进行计算;

(2)根据有理数的乘方运算法则进行计算；

(3)根据有理数的乘方运算法则进行计算.

【解析】⑴(|)3=|x|x|=^；

333x3x327

(2)1•

555'

333

(3)

535x5x5125

3

区别：有理数的乘方运算，底数不同，第(I)题进行有理数为乘方运算，其底数是J第(2)题分子部

分进行有理数的乘方运算，其底数是3,第(3)题分母部分进行有理数的乘方运算，其底数是5.

20.(2021秋•大余县期末)把下列各数填在相应的括号里.

122

-|-2|,0,-(-1)9,-(-5),—.

22

正数集合｛-(-5),7…｝；

负数集合｛7-21，-(-1；2,一

非负整数集合[0,-(-5)…｝.

【分析】先化简这些数，再分类即可.

【解析】-|-2|=-2,

-(-1)2=-1,

-(-5)=5,

22

正数集合｛・(-5),—,•••)；

负数集合｛-|-2|,-(-I)2,-1-｝；

非负整数集合｛0,-(-5),…｝;

224

故答案为：-(-5),—；-|-2|>-(-I)?,—于0>-(-5).

7，

21.(2021秋•庆阳期末)计算：-32+[X[2+(-2)3]-3+(-3.

【分析】根据有理数的乘方、有理数的乘除法和加减法可以解答本题.

[解析]_32+|X[2+(_2)3]_3+(_/)

2

=-9+(X[2+(-8)]-3X(-4)

=~9+wX（-6）+12

=・9+（・4）+12

=-1.

22.（2021秋•龙泉驿区校级期末）计算:

（1）一|+[—22x（—|）2一（—2）3];

（2）100+5?-I，-（：-1+》x12.

【分析】（1）原式先算中括号中的乘方，乘法，以及减法，再算括号外的除法即可得到结果:

（2）原式先算乘方，再算乘除，最后