线段的垂直平分线（讲义）-2024人教版八年级数学上册

专题15.2线段的垂直平分线（举一反三讲义）

【人教版2024]

飕题型归纳

【题型I根据垂直平分线的性质求长度1.........................................................2

【题型2根据垂直平分线的性质求角度】.........................................................4

【题型3根据垂直平分线的性质求面积1.........................................................8

【题型4根据垂直平分线的性质求最值】.........................................................12

【题型5根据垂直平分线的性质求证明】.........................................................16

【题型6判断是垂直平分线】..................................................................21

【题型7尺规作垂直平分线】..................................................................25

【题型8垂直平分线的判定与性质的综合】......................................................28

【题型9互逆命题和互逆定理】................................................................31

举一反三

知识点1线段垂直平分线的定义及其性质

L定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.

2.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段西个端点的距离相等.

书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB.

3.尺规作线段的垂直平分线:

（1）以点A,B为圆心，以大壬3AB的长为半径作弧，两弧交于C、D两点:

（2）作为直线CD,CD为所求直线.

7c

八

力―TB

知识点2线段垂直平分线性质定理的逆定理

1.定义：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直壬分线上.

2.书写格式：如图所示，若PA二PB,则点P在线段AB的垂直平分线上.

知识点3互逆命题和互逆定理

两个命题的题设、结论正好相反，我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆血题，如果把其口一个叫作原

命题，那么另一个叫作它的逆命题.

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理,其中一个定

理叫作另一个定理的逆定理.

【题型1根据垂直平分线的性质求长度】

【例1】（2425八年级下•辽宁丹东期中）如图，在A/IBC中，4。垂直平分BC,在A/IC尸中，CE垂直平分力凡

若CF=6,CD=5,则△45C的周长为（）

A.24B.22C.20D.18

【答案】B

【分析1此题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得到AC=CF=6,AB=AC=6,CD=BD=

5,进而求解即可.

【详解】・・・。£垂直平分4/，CF=6

：.AC=CF=6

垂直平分BC,

,.AB=AC=6,CD=BD=5

AAABC的周长为AC+48+CD+BO=6+6+5+5=22.

故选:B.

【变式11】（2425七年级下•四川成都・期中）如图，将三角形纸片718c的一角沿4B的垂直平分线翻折，折痕

为DE,点B与点A重合,已知△.4C。的周长是20,AE=6,则aABC的周长是.

A

【分析】本题考查了垂直平分线性质，根据垂直平分线性质得到BE=AE=6,BD=4D,再结合以相。=4B+

BC-^-AC=4&+8占+4〃+〃（；+4（；求解，即可解题.

【详解】解：：0E为力8的垂直平分线，AE=6,

：,BE=AE=6,BD=ADf

vChACD=20=AD+AC+DC,

则CMBC=H8+8C+AC

=AE+BE+BD-{-DC+AC

=AE+BE+AD+DC+AC

=6+6+20

=32；

故答案为：32.

【变式12］（2425八年级上•江苏无锡•阶段练习）如图，FC=8cm,若MP和NQ分别垂直平分A8和/1C,则

△/.PQ的周长为cm.

A

【分析】本题考行了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键.由线段垂直

平分线的性质可得BP=4P,AQ=CQ,再根据三角形的周长公式计算即可得解.

【详解】解：:MP和NQ分别垂宜平分48和4C,

：.BP=AP,AQ=CQ,

/.AAPQ的周长=AP+AQ+PQ=BP+CQ+PQ=BC=8cm,

故答案为：8.

【变式13】（2425七年级下•河南郑州•期末）如图，在△A8C中，AB=AC,48的垂直平分线交边AB于点D,

分2种情况，①根据线段垂直平分线的性质推得“=^BAE.ZC=ACAD,根据题意得乙/1E0+^ADE=

120°,利用三角形的外角的性质求得乙8力E+4CAD=60°,根据48力C=LBAE+Z,DAE+即可求解;

②当点。与点B重合，点E与点C重合，^BAC=/.DAE=60°.

【详解】解•：根据题意，有2种情况，

①如图，

•••4C与4?边上的垂直平分线。M、EN分别交BC于点、D、点、E,

•••AE=BE,AD=CD,

•••Z.B=乙BAE,zf=Z.CAD,

vZ.DAE=60°,

£AED+/-ADE=120°,

vZ.AED^L4BE的一个外角，Z.ADE^L力DC的一个外角，

二Z.AED=Z.B+Z.BAE=2/.BAE.Z.ADE=zC+Z-CAD=2/.CAD,

二2/.BAE+2Z.CAD=120°,

Z.BAE+乙CAD=60°,

Z.BAC=Z,BAE+/.DAE+Z.CAD=120°.

②如图，当点。与点8重合，点E与点C重合,

A

8(0C(E)

此时，Z.BAC=Z.DAE=60°.

・•・综上所述,LBAC=60。或120。.

故答案为:60。或120。.

【变式21】（2425八年级下•山西晋中•期中）如图，△/18C中，边的垂直平分线分别交4C,AB于点D,E,

连接BD.若乙。=24。，DB1BC,则44的度数为（）

A

D

-----------——

A.24°B.30°C.33°D.66°

【答案】C

【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰二角形的性质，二角形的外角性质等，由线段垂直平分线

的性质得40=8。，即得=由直角三角形两锐角互余得乙BOC=90。一4C=66。，进而由三角

形外角性质可得2乙4=66。，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键.

【详解】解：・・・DE垂直平分居，

.*.AD=BD

LA=乙DBA,

，：DB1BC,

・・・，D8c=90。，

VzC=24°,

：.LBDC=90°-ZC=90°-24°=66°,

■:乙BDC=^A+4DBA=244,

.\2z/l=66°,

：.LA=33°,

故选：C.

【变式22］（2425八年级下•辽宁丹东•期中）如图，在△48。中，LB=35°,乙C=50。，48的垂直平分线EF交

AB于点E,交BC于点"，dAC的平分线力。交FC于点D,则乙ZMF的度数为.

【答案】30730度

【分析】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质和三角形的内角和定理，属于常见题型，熟

练掌握上述基本知识是解题的关键.根据三角形内角和定理得出48力C=95。，根据等腰三角形的性质的性

质和线段垂直平分线的性质可得NB=々B/4F=35。，从而得N&4F=60。，然后根据角平分线印得答案.

【详解】解：=35。，ZC=50°,

・••Z.BAC=180°-50°-35°=95°,

•・•£尸垂直平分48,

FA=FB,

：,ZB=LBAF=35°,

Z.CAF=ABAC-Z-BAF=95°-35°=60°,

•••RD平:分

：

.LDAF=-Z2-FAC=30°,

故答案为：30。.

【变式23］（2425七年级下•山东威海•期中）如图，在△48。中，川平分48/平分-1BC,点。是AC、BC

的垂直平分线的交点，连接A。、BO,若=a,则44的大小为（）

A.900+-aB.90。+%

24

C.900--aD.1800+-a

42

【答案】B

【分析】本题考查角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角

形内角和定理，连接常用的辅助线是解题关键.

连接C。并延长，交8/于点。，由线段垂直平分线的性质可知。4=。。，OB=OC,即得出NOC4=

^OAC,4）CB="BC,结合三角形外角的性质可求出，力。8=2乙4C8=a,即N/C8二泉再根据三角形

内角和定理有2。48+乙。3力=180。一宗由角平分线的定义得出乙84/=：NC4B,乙ABI=："BA,再结

合三角形内角和定理即可求解.

【详解】解：如图，连接C。并延长，交BI于点D.

c

•・•点。是AC、BC的垂直平分线的交点，

・・・0A=OC,OB=OC,

：,LOCA=Z.OAC,Z-OCB=Z-OBC,

乙乙乙乙

：./.AOD=OCA+/-OAC=2Z-0CAtBOD=OCB+OBC=2z.0CBf

：.LAOB=Z.AOD+乙BOD=2/.0CA+2乙OCB=2/.ACB=a,

：,LACB=-,

2

：,LCAB+Z.CBA=180°-Z.ACB=180°-

2

•••/4/平分434。，3/平分乙A3C,

=\LCAB,LABI=

22

:.LBM+Z-ABI=：QCAB+Z.CBA）=90°-^,

）

:.LAIB=180°-{/-BAI4-LABI=90°+4

故选B.

【题型3根据垂直平分线的性质求面积】

【例3】（2425八年级上•江苏南通•阶段练习）如图，在ZM8C中，8D是A48c的中线，EF是8c边的中垂线,

且8。与“相交于点G,连结AG,CG,若四边形CDGE与四边形4CEG的面积分别为8和13,则的面

积为（）

【答案】B

【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形的面积计算，线段的垂直平分线上的点到线段的两

个端点的距离相等.根据三角形的面枳公式计算，得到答案.

【详解】解：•••四边形CDGE与四边形力C£G的面积分别为8和13,

S^AGD=13—8=5，

•••BD是AABC的中线,

SQCGD—SAAGD—5，

S^CGE=3,

•••EF是8C边的中垂线，

••.E是3C的中点，

SsBEG=S&CGE=3,

SQBDC=3+3+5=11,

•**SMBC=22»

故选：B

【变式31】(2425八年级上•浙江湖州•期中)如图，4D是△4BC的对称轴，E,尸是力。上的两点，若BD=2,

AD=3,则图中阴影部分的面积是.

【答案】3

【分析】本题考查了轴对称图形的性质，垂直平分线的性质，仝等三角形的判定和性质，掌握轴对称图形

的性质是解题的关犍.

根据题意得到4。是8C的垂直平分线，可证△EEF"三△。石尸(555)，得到二5%七产，由此可得阴影部分的

面积为SM皿，由此即可求解•

【详解】解：・・N0是△48C的对称轴，

・・・HD是BC的垂直平分线，

：・BE=CE,BF=CF,

在A8EF和ACEF中，

（BE=CE

BF=CF,

（EF=EF

/.ABEF三"（SSS）,

JSABEF=SACEF，

'S阴影=S&ABD~QBD,AD=-x2x3=3>

故答案为：3.

【变式32］（2425八年级上•广东中山・期末）如图，在△力BC中，AB=AC,BC=6cm,AB的垂直平分线交

AB于点交AC于点E,点r为8c的中点，点M为线段0E上一动点，若△BFM周长的最小值为10cm,

则ZM8C的面积是cm2.

【答案】21

【分析】本题考查轴对称求最短距离、等腰三角形的性质、垂直平分线的性质等知识.

由垂直平分线的性原可得4与A关于对称，连接4尸，交EO于点连接2ML则当人、"、"三点共

线时，△M'BF周长最小，即当点M与“重合时，△8FM周长取得最小值，△8FM周长最小为力F+F8的长,

根据等腰三角形“三线合一''的性质可得AO1BC,根据三角形面积公式即可得答案.

【详解】解：・・・ED是线段AB的垂直平分线，

・・・4与8关于ED对称，

连接4F,交ED于点W,连接BM'

•：AMr=M'B,

ACAM/BF=M'B+M'F+FB=AM'+M'F+FB>AF+FB,

当A、M\尸三点共线时，△M'BF周长最小，即当点M与M'重合时，ABFM周长取得最小值，

•・N8FM周长的最小值为10cm,

:CMBF=AF+FB=10cm,

丁尸为BC边的中点，AB=AC,BC=6cm,

,\AF1BC,BF=CF=3cm,

/./IF=10—3=7cm,

2

•*»ShABC=|xBCxAF=1x6x7=21cm.

故答案为：21.

【变式33］（2425八年级上•河北邯郸•阶段练习）如图,在△ABC中,Z.BAC=45°,BC=4,S^ABC=12,

。为边BC上的动点，点。关于48,4C的对称点分别是点E,F,连接AE,AF,EF,△AEF面积的最小值

为.

【答案】18

【分析】本题考查求三角形面积最小值的问题，等腰直角三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，轴

对称的性质.根据轴对称的性质得力七二/九酢=/!。，Z.EAB=/-DAB,Z.CAD=Z-CAF,等量代换得力E=

AF=AD,^EAF=90°,得△区4F是等腰直角三角形，再根据垂线段最短得当4DJLBC时，AD取最小值，

即可作答.

【详解】解：连接4D,如图所示：

EB

D

A

•・•点。关于48,4c的对称点分别是点E,F,

・・・4B是。E的垂直平分线，4c是DF的垂直平分线，

：,AE=AD.AF=AD,^EAB=^DAB,Z.CAD=^CAF,

：-AE=AF=AD,Z.EAF=2/.BAC=90°,

是等腰直角三角形，

:.当jE最小即4D取最小值时，△AEF的面积最小，

・••当4D18C,AD取最小值,

*：BC=4»S&ABC=12,

：

.-2x4xAC=12,

/•71C=6,

力的面积的最小值=22

:.LEF-2XAE=2-XAC=18,

故答案为：18.

【题型4根据垂直平分线的性质求最值】

【例4】（2425八年级上•江苏扬加•阶段练习）如图，在AABC中，AB=AC,BC=4,面积是12,AC的垂

直平分线EF分别交4B,4C边于点E,F.若点。为BC边的中点，点P为线段EF上一动点，则△PCD周长

的最小值是（）

A.8B.3C.6D.4

【答案】A

【分析】本题考查了轴对称一最短路线问题，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，连接力。，力R由43=

4C,点。是8c边的中点，则A0J.8C,再根据三角形的面积公式求出力。的长，再根据E尸是线段〃的垂直

平分线可知，点C关于直线E尸的对称点为点力，当力、P、。三点共线时，即AD的长为CP+PZ）的最小值，由

此即可得出结论，熟练掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】解：连接力D,AP,

,•MB=AC,点。是BC边的中点,

：.AD1BC,

：.S^ABC=\BCAD=^X4XAD=12,

,.AD=6»

・・・EF是线段力C的垂直平分线，

・••点C关于直线EF的对称点为点4

・••当A、P、。三点共线时，即力。的长为CP+P。的最小值，

:.4CDP的周长最短=（CP+P0）+CD=40+38C=6+：x4=6+2=8,

故选：A.

【变式41】（2425八年级上•河北邯郸・期末）如图，在△ABC中，直线m是线段BC的垂直平分线，点P是直

线n上的一个动点.若48=7,AC=4,BC=5,则△APC冏长的最小值是.

【答案】11

【分析】本题考查了轴对称，动点最值问题中的“将军饮马”问题，解法是：作定点关于动点轨迹的对称点,

由于点。关于直线血的对称点为点B，故当点尸在48上时，4P+C产值的最小，求出长度即可得到结论.

【详解】解：设直线m交于。，连接BP,如图所示：

•・•直线m是的垂直平分线，

•••8、C关于直线m对称，BP=PC,

・•.当P和。重合时，4P+CP的值最小，最小值等于48的长，

:.LAPC周长=AP+PC+AC,且AP+CP的最小值等于48,

JA4PC周长的最小值是48+4C=7+4=11,

故答案为：11.

【变式42］如图，在A/IBC中，AB=AC,AC的垂直平分线交AC于点N,交AB于点M,AB=12cm,△BMC

的周长是20cm,若点P在直线MN上，则P4-P8的最大值为.

【答案】8cm/8厘米

【分析】根据垂直平分线的性质得到M4=MC,再利用三角形两边之差小于第三边解答即可.

【详解】解：「MN垂直平分力C,

・•・MA=MC,

又：C^BMC=BM+MC+BC=20cm,BM+MA=AB=12cm,

•••BC=20-12=8cm,

在MN上取点P,连接24、PB、PC,

VMN垂直平分AC,

PA=PC,

PA-PB=PC-PB,

在AP8C中PC-PB<BC,

当P、B、C共线时，即P运动到与P'重合时，（PC—PB）有最大值,

此时PC-PB=BC=8cm.

故答案为:8cm.

【点睛】本题考查了线段之差的最大值，熟练运用三角形边角关系与垂直平分线的性质是解题的关键.

【变式43］（2425七年级下•江苏泰州•期末）在山△ABC中,=90。,IB=5,AC=12,BC=13,EF垂

直平分48,点P是EF上一动点，过P作P，_L8C,垂足为点〃，连接BP,则8P+P4的最小值为.

【答案】工

【分析】本题考查了垂直平分线的性质、三角形的高，利用垂直平分线的性质转化8P是解题的关键.连接力P,

根据垂直平分线的性质得到4P=BP,则有BP+PH=AP+PH>AH,分析可知当力,P,”三点共线时，BP+

PH有最小值，最小值为AH的长，此M4H是的高，再利用等面积法即可求解.

【详解】解：如图，连接4P，

BHC

r垂直平分AB,点P是E尸上一动点，

：,AP=BP,

+PH=AP+PH>AH,

，当A,P,H三点共线时,BP+PH有最小值,最小值为AH的长,

•：PHLBC,A,P,H三点共线,

・•・此时4”是RtA4BC的高，

.„„ABAC5x1260

..AH=------=------=—

BC1313

・・・BP+P，的最小值为黑

故答案为:黑

【题型5根据垂直平分线的性质求证明】

【例5】(2425八年级上•广东潮州•期中)如图，在AABC中，边的垂直平分线匕交BC于点D,AC边的垂

直平分线G交BC于点£。与。相交于点O，连接。4OB,0C.

(1)若△ADE的周长为8cm,线段8c的长为；

(2)判断点O是否在BC的垂直平分线上：

(3)若血C=120°,求血B的度数.

【答案】(l)8cm

(2)点。在8C的垂直平分线上

(3)LDAE=60°.

【分析】本题主要考查了垂克平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线

上的点到线段两个端点的距离相等.

(1)根据垂直平分线的性质得出ZL4=DB,EA=EC,求出BC=BD+DE+EC；

(2)根据垂直平分线的性质得出=08,0A=0C,推出。8=0C,即可证明点。在BC的垂直平分线上;

(3)根据三角形内角和得出乙i8C+\C8=60。，根据等腰三角形的性质得出=4ABC,^EAC=

乙4CB,根据4£ME=LBAC-乙BAD-4E4C求出结果即可.

【详解】(1)解：是力8边的垂直平分线，

：.DA=DB,

•・，2是AC边的垂直平分线，

：,EA=EC,

•・N4DE的周长为8cm,

：.BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=8(cm)：

故答案为：8cm；

(2)解：点。在BC的垂直平分线上，

理由：•・•"是48边的垂直平分线，

・・・0A=0B,

•・，2是力。边的垂直平分线，

：,0A=0C,

：,0B=OC,

•••点O在的垂宜平分线上；

(3)解：*：£.BAC=120°,

：.LABCZ.ACB=60°,

*：DA=DB,EA=EC,

J.£BAD=^ABC,Z.EAC=/-ACB,

：,LDAE=/-BAC-乙BAD-^EAC=120°-60°=60°.

【变式51】(2425八年级上,河南南阳•阶段练习)演绎推理的方法是研究图形属性的重要方法，请你认真阅

读并完整解答.

图1图2

(1)如图1,直线MN是线段A8的垂直平分线，户是MN上任一点，连接/M、PB,将线段88沿直线MN对折,

我们发现P/1与完全重合，由此可得线段垂直平分线的性质定理：.

(2)请你结合图形把已知和求证补充完整，并写出证明过程.

已知：如图1,MN1AB于点C,，点P是直线MN上的任意一点.求证：.

证明：

(3)如图2,CD是线段AB的垂直平分线，^CAD=22°,Z.CBA=50°,则=IDP=.

【答案】(1)线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等

(2)AC=BC；PA=PB-,证明见解析

(3)62°

【分析】此题考查的是轴对称图形、线段垂直平分线的性质，经过某一条线段的中点，并且垂直了这条线段

的直线，叫做这条线段的垂直平分线(中垂线)垂直平分线，简称“中垂线

(1)根据线段垂直平分线的性质及全等三角形的判定与性质即可解答：

(2)根据线段垂直平分线的性质及全等二角形的判定与性质即可解答；

(3)根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质及直角三角形两锐角互余即可解答.

【详解】(1)解：・••直线MN是线段4B的垂直平分线，

AC=BC,乙4cp=Z-BCP=90°

在小"和中

l^ACP=Z-BCP

(PC=PC

.••△4CP^CP(SAS)

•••AP=BP.

即线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.

(2)解：已知：如图1,MN14B于点C,4c=8C,点P是直线MN上的任意一点.求证：PA=PB.

故答案为：AC=BC；PA=PB；

证明：解：；MN1AB,

:.LACP=Z.BCP=90°

在ZMC尸和aBCP中

(AC=BC

\/LACP=Z-BCP

(PC=PC

:心ACP=△5CP(SAS)

AAP=BP.

(3)解：•••CO是线段AB的垂直平分线，

:.AC=BC,Z.APC=90°.

•••"AB=LCBA=50°.

Z.CAD4-(DAP=乙CAB,

•••/DAP=/.CAB-ACAD=50°-22°=28°.

vZ.DAP+Z.ADP=90°,

二Z.ADP=90。-^DAP=90°-28°=62°.

【变式52］如图，在。中，ADIBC,E尸垂直平分AC,交力C于点F,交BC于点、E,且80=DE,连接力£

⑴求证：AB=EC；

（2）若AABC的周长为42cm,AC=16cm,求OC的长.

【答案】（I）证明见解析

（2）DC=13cm

【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相

等是解题的关键.

（1）根据垂直平分线的性质，可4E=EC,再根据A0J.8C,BD=DE,得到4。是BE的垂直平分线，等量

代换，即可；

（2）根据题意，则4B+BC+4C=42cm,求出/B+BC=42cm-l6cm=26cm,再根据AB+BD+DE+

FC=26cm,得到DE+EC=13cm,最后根据DC=DE+EC,即可.

【详解】（1）解：证明如下：

••飞/垂直平分AC,

*.AE=EC,

*：AD1BC,BD=DE,

・・・4）是BE的垂直平分线，

:・AB=AE,

：.AB=EC.

(2)解：的周长为42cm,

••AB+BC+AC=42cm.

AC=16cm,

*.AB+BC=42cm-16cm=26cm,

•:BD=DE,AB=EC,

,'.AB+BD+DE+EC=26cm,

*.2DE+2EC=26cm,

DE+EC=13cm,

*：DC=DE+EC,

*.DC=13cm.

【变式53](2425八年级上•山西临汾•期末)如图，在△48。中，AB=AC,Z,BAC=50°,ADLBC,垂足

为D,4C的垂直平分线交AC于点E,交力。于点八连接。尸.

（1）求［正：AF=BFx

⑵求“8。度数.

【答案】（I）见解析

（2）LFBD=40°

【分析】本题考查了等腰三角形的性质及判定、线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理等知识，具有

一定的综合性，但难度不大，属于常见题型，熟练掌握上述知识是解题的关键.

（I）连接CF,根据线段垂直平分线的性质可得AF=C"，再根据等腰三角形•,三线合一”的性质证明力。是8c

的垂直平分线，得BF=CF,即可证得结论；

（2）由三角形的内角和定理求出"8。=^ACB=65。,再根据等腰三角形“三线合一”的性质证明""=

^BAC=25°,根据线段垂直平分线的性质可得=进而可求得乙GIF=乙4。F=25。，然后根据角

的和差即可求出48CF,由CF=可得上FBD=4BCF,即可求出答案.

【详解】（1）证明：连接CF,

•••E?是力C的垂直平分线，

二AF=CF,

vAB=AC,AD1BC,

二BD=CD,

.•.49是BC的垂直平分线，

DF=CF,

•••AF=BF；

(2)解:AB=AC,LBAC=50°,

：,£ABC=/-ACB=1(180°-ABAC)=65°,

*：AD1BC,

AZ.CAFAC=25°,

2

•••AF=CF,

:.£CAF=^ACF=25°,

•••/FBD=乙BCF=40°.

【题型6判断是垂直平分线】

【例6】（2425八年级上•江苏南通•阶段练习）已知：如图，AB=AC,BELAC.CD1AB,垂足分别为E、D.

(1)求证：AD=AE-,

(2)连接40、BC,判断直线4。与BC的关系.

【答案】(1)见解析

(2)40垂直平分8c

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定，掌握全等三角

形的判定方法是本题的关键.

(I)由“AAS”可证A/IOC三△力E8,可得4D=4E；

(2)由全等三角形的性质和等腰三角形的性质可得NDCB=ZJ?BC,进而可得。B=OC,即可得结论.

【详解】(1)证明：•••BEJ.力C,CDLAB,

乙ADC=LAEB=90°,

在A/WC和△4EB中，

(Z.A=LA

\/LADC=Z.AEB,

(AC=AB

•••△ADC三△AEB(AAS),

:.AD=AE；

(2)解：4。垂直平分BC,理由如下：如图，

BCvAB=AC,

•••/.ABC=Z.ACB,

△ADCAEBt

:.Z.ABE=Z.ACD,

:.Z.DCB=Z.EBC,

:.BO=CO,

又・・」8=4C,

:.40垂直平分8C.

【变式61］（2425八年级下•陕西西安•阶段练习）如图所示，在AABC中，。是A8上的一点，且4）=AC,

DEWBC,CD平分4EOF,求证：人/垂直平分CD.

A

【答案】见解析

【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质.根据平行线的性质得到

乙CDE=LDCF,根据角平分线的定义得到NCD尸=NCDE,等量代换得到乙。。尸=求得点尸在线段

co的垂直平分线上，根据己知条件得到点人在线段co的垂宜平分线上，于是得到结论.

【详解】证明：・・・。臼|8。，

：,LCDE=乙DCF,

•••CO平分匕EDr，

:.乙CDF=LCDE,

:.乙CDF=乙DCF,

:,DF=CF,

・••点尸在线段CD的垂直平分线上，

*：AD=AC,

:.点人在线段CO的垂直平分线上，

••"尸垂直平分CD.

【变式62］如图，在四边形中，AB=AD,BC=DC,我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝

形

(1)求证：△ABCw/MDC；

(2)直线4C是线段80的垂直平分线吗？请说明理由.

【答案】(1)见解析

(2)电线AC是线段BD的垂直平分线，理由见解析

【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分的判定；

(1)根据全等三角形的判定和性质进行证明即可；

(2)根据垂直平分线的判定即可得出证明；

【详解】(1)证明：在和△ADC中，

(AB=AD

8c=DC，

(AC=AC

**•AABC—△ADCi

(2)AC是线段BO的垂直平分线，理由如下：

*：AB=AD,BC=DC,

・・・4C在80的垂直平分线上，

即是线段80的垂直平分线.

【变式63］如图，在△ABC中，AB=AC,BD,CE分别是边4C,43上的中线，BD,CE相交7点O.

(1)求证：OB=0C.

(2)连接04，试说明直线。力是线段8。的垂直平分线.

【答案】(I)见解析

⑵见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质和等腰三角形的判定与性质.

(1)由“SAS”可证△ABDWAACE,由全等三角形的性质可得N/IBD=N/CE,由等腰三角形的性质可得

/.ABC=/-ACB,可证NOBC=NOCB,可得OB=0C.

(2)根据。8=0C,AB=AC,得出4、O在线段BC的垂直平分线上，即可证明结论.

【详解】(1)证明：・・・BD,CE分别是边力C,上的中线，

：.AD=-AC,AE=-AB,

22

♦：AB=AC,

••AD=AEf

在与△ACE中,

(AB=AC

Z./1=Z71,

^AE=AD

・•・AABE三△4CD(SAS),

：,LABD=Z.ACE.

°：AB=AC,

：,LABC=乙ACB,

J.LABC-Z.AHD=Z.ACB-4ACE,

：.LOBC=乙OCB,

：.0B=OC.

(2)证明:'：0B=0CfAB=AC,

・•・4、O在线段8C的垂直平分线上，

•・•两点确定一条直线，

直线0A是线段8c的垂直平分线.

【题型7尺规作垂直平分线】

【例7】(2425七年级下•河南郑州•期末)如图所示，在△ABC中，点七是边4c上一点，且8E平分乙48c.

(1)请用无刻度的直尺和圆规作出线段BE的垂直平分线，且与边BC交于点Q.(要求：不写作法，保留作图

痕迹)

(2)连接ED,求证：EDIIAB.

【答案】⑴见解析

(2)见解析

【分析】本题主要考杳了线段垂直平分线的性质及其尺规作图，等边对等角，平行线的判定，熟知相关知识

是解题的关键.

(1)根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可；

(2)由线段垂直平分线的性质可得。E=D8,再由等边对等角和角平分线的定义可证明乙48E=NDEB,则

可证明DEIIAB.

【详解】（1）解：如图所示，即为所求;

（2）证明：•・•线段BE的垂直平分线与边8C交于点

：.DE=DB,

：.LDEB=乙DBE,

〈BE平分乙48C,

：.LABE=乙DBE,

：.LABE=乙DEB,

：.DE||AB.

【变式71】（2425八年级下•陕西西安•阶段练习）如图，请在上找一点P,使得乙B=^PCB.

【答案】作图见解析

【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，等腰三角形的性质，作线段8c的垂直平分线，交48于

点P,可得PB=PC,即得=故点P即为所求，掌握线段垂直平分线的作法和性质是解题的关键.

【详解】解：如图所示，点P即为所求.

【变式72］（2425八年级上•河北俣定・期末）某社区经业主商讨决定在街道〃?上建一个垃圾站点。和鲜奶站

E,按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不要求写作法）.

⑴如图1，小区A,8在街道，〃的异侧，要使垃圾站点。到小区48的距离相等，请确定垃圾站点。的位

置(要求利用尺规作图)；

(2)如图2,小区A,C在街道〃[的同侧，要使鲜奶站上到小区4。的距离之和最短，请确定鲜奶站£的位

置.

【答案】(1)见解析;

(2)见解析.

【分析】本题考查作图一应用与设计作图、线段垂直平分线的性质、轴对称一最短路线问题，熟练掌握线段

垂直平分线的性质、轴对称的性质是解答本题的关键.

(I)结合线段垂直平分线的性质，作线段48的垂直平分线，交直线，〃于点/),则点。即为所求.

(2)取点C关于直线〃?的对称点C',连接4。'交直线小于点E,则点E即为所求.

【详解】(1)解：如图1作线段的垂直平分线，交直线加于点。，则点。即为所求.

(2)解：如图，取点C关于直线w的对称点C',连接4C'交直线加于点E.此时\4E+CE=AE+CE=AC,

【变式73](2425八年级上•江苏无锡•期末)如图,与CO相交于点E,EC=ED,AC\\BD.

4二------c

o;

(1)求证：△4EC三△BED；

(2)用无刻度的直尺和圆规作图：求作等腰ACMN,使得点“在AC上，点N在80上，且MN经过点E.(不

写作法，保留作图痕迹，标明字母)

【答案】(1)见解析

Q)见解析

【分析】本题考查了垂直平分线的作法，平行线的性质，三角形全等的判定，菱形的判定，熟练掌握垂直平

分线的作法及三角形全等的判定定理是解题的关键.

（1）根据平行线的性质得到N/1=48,乙C=m结合EC=E。，利用AAS即可证明△力EC三ABED；

（2）作G）的垂直平分线，分别交房8。于点时,从连接CM,CN即可.

【详解】（1）-ACWBD,

•••NA=乙B,乙C=乙D,

S.LAEC和△BED中，

（Z.A=乙B

[EC=ED

.•.△4EC三△8EO（7L4S）；

（2）如图：等腰△CMN即为所求作的三角形.

：.DN=CN,

VzC=Z-D,DE=CE/DEN=4CEM,

/.ADENCEM,

：,CM=DN,

：.CM=CN,

•••△CMN即为所求.

【题型8垂直平分线的判定与性质的综合】

【例8】（2425七年级下•河南郑州•期末）如图，在四边形4BCD中，AB||CD,E为BC的中点，且4E1DE,

延长DE交48的延长线于点F.若4。=12,CD=5,则4B的长为.

A

【答案】8

【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定与性质,准确推导出全等三角形并理解

线段垂直平分线的性质是解题关键.由“AAS”可证ABE尸三△CE。，可得EF=DE,BF=CD=4,由线段

垂直平分线的性质可得710=AF=12,进一步求解即可.

【详解】解：••・E为BC的中点，

:.BE=EC,

•••ABIIDC,

•••LF=乙CDE，乙FBE=乙DCE,

在Z.BEF与△CED中，

(LF=乙CDE

UFBE=Z.DCE,

(BE=CE

:.t.BEF=ACFD(AAS),

AEF=DE,BF=CD=4,

*：AEIDE,

：,AD=AF=12,

:.AF=AB+BF=AB+4=12,

•••AB=8,

故答案为：8.

【变式81】(2425八年级下•陕西西安・期末)如图，点力、8在直线m上，点P、”在直线n上，m1n于点0,

连接/P、BP、AH.BH,AP=BP,若=11,则8,的长为()

A.11B.10C.9D.8

【答案】A

【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和线段垂直平分线的判定定理，根据题意可证明PH垂直平分

AB,则由线段垂直平分线的性质即可得到答案.

【详解】解：・・NP=8P,

・•・点户在线段43的垂直平分线上，

又*•7711九，

・"”垂直平分力8,

；・BH=AH=11,

故选：A.

【变式82】（2425八年级上•江苏常州•期中）如图，在△4BC中，是BC边上的高，力。的垂直平分线交。。于

点E,RBD=DE,求证：AB+BD=DC.

【分析】连接力E