线性规划综合应用 （讲+练）-高考数学二轮复习解析版

专题5-2线性规划综合应用

目录

讲高考...................................................................................1

题型全归纳...............................................................................4

【题型一】转化型.................................................................4

【题型二】向量转化................................................................6

【题型三】求参....................................................................9

【题型四】含参讨论画图...........................................................12

【题型五】绝对值和换元型.........................................................14

【题型六】函数和导数型...........................................................17

【题型七】条件画图...............................................................19

【题型八】线性规划综合应用.......................................................20

专题训练.........................................................................22

讲高考

1.（2022・全国•统考高考真题）若满足约束条件，x+2yW4,则z=2x-y的最大值是（）

y>0.

A.-2B.4C.8D.12

【答案】C

【分析】作出可行域，数形结合即可得解.

【详解】由题意作出可行城，如图阴影部分所示，

转化目标函数z=2x-y为y=2x-z,

上下平移直线y=2x-z,可得当直线过点（4,0）时，直线截距最小，z最大,

所以工皿=2x4-0=8.

故选：C.

x+l>0

2.（2021.浙江•统考高考真题）若实数-丁满足约束条件，x-.y<0,则2=工-；、的最

2x+3y-l<0

小值是（）

311

A.-2B.--C.——D.—

2210

[答案]B

【分析】画出满足条件的可行域，目标函数化为），=2x-2z,求出过可行域点，且斜率为2

的直线在y轴上截距的最大值即可.

x+l>0

【详解】画出满足约束条件•x-y<o的可行域，

2x+3>--l<0

如下图所示：

x=-l\x=-\

由C°I小解得11，设A（-l，l）,

2x+3y-\=0[y=l

当直线>=2x-2z过A点时，

13

Z=x_]y取得最小值为一1.

故选：B.

x+j>4,

3.（2021•全国•统考高考真题）若”,），满足约束条件r-）W2,则z=3x+），的最小值为（）

y43,

A.18B.10C.6D.4

【答案】C

【分析】由题意作出可行域，变换目标函数为y=-3x+z,数形结合即可得解.

【详解】由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，

由[”+：=4可得点

[y=3

转换目标函数z=3x+y为y=-3x+z,

上下平移直线y=-3x+z,数形结合可得当宜线过点A时,z取最小值，

此时Zmin=3xl+3=6・

故选：C.

x-2y+4>0,

4.(江苏•高考真题)已知实数M丁满足{2x+y-2Z0,则f的取值范围是

3x-}?-3<0,

4

【答案]1[3]

t详解】画出不等式组表示的平面区域，

由图可知原点到“线2x+y-2=0距离的平方为产+产的最小值，为|关原点到直线

公2》+4=0与版7—3=0的交点(2,3)距离的平方为9+),2的最大值为13,因此产+),2的

4

取值范围为[J3].

【考点】线性规划

【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实

线还是虚线(一般不涉及虚线)，其次确定R标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间

距离的平方、宜线的斜率、还是点到克线的距离等，最后结合图形确定目标函数最值或值域

斜率，由图象可知：直线始的斜率最大,由:y-_3=40=。=|.一r=1'即"

即一的最大值为:下川’因此“春的最大值为2,故选：A

x+\

3x+y-3>0

例题2.已知实数x,了满足〈23+3>，-940,则Z=/2)的取值范围是()

x-2y-\<0

A.(-<o,0]u(L3]B.[0,1)以1,3]

C.(f0]U[3,”)D.[0,l)kj[3,+oo)

【答案】C

【分析】画出可行域,根据斜率型表达式的取值范围的求法求得正确答案.

x+y-\x-2+y+1

【详解】z

x-2x-2

表示(X,y)与(2-1)连线的斜率加1.

画出可行域如下图所示，由图可知Ze(70』+^]u[l+k“，y).

"c==2,原=T，所以zW(Y,0]U[3,4<O).

3-乙Z-I

Xr+y-3=0

故选：C

【讲技巧】

1.分式型，如果是斜率型，要注意分离常数，还要注意x,y的系数要提出来。

2.齐次分式型，可以同除换元，但是要注意同除时，是否要讨论为0的情况。

3.复杂分式型，实质是划归后（主要是同除或者分离常数），可换元转为基础型

【练题型】

x-j-2<0

1.设实数X,了满足r+2y-5N0,则〃=;----强的取值范围是（)

y-2<0

2I

323I-C

9-4-

【答案】B

【分析】根据题意，画出可行域，结合斜率的坐标公式，以及对勾函数的图形性质，即可求

解.

【详解】根据题意，由线性约束条件画出可行域，如图中的阴影部分.

〃=外、=——=131

因为“+），）日+上+21+/+2,所以

yxt

故选：B.

2.、若实数无），满足不等式,则z=的取值范围是_______________；

x+y>\

【答案】（）《z<2y-0.故所求Z为定点Q（-:,0）与平面区域内动点P（x,y）连

~~12

八一（一耳）

线尸。的斜率，作图可知当尸（1,0）时斜率最小为0,当P（0,D时，斜率最大为2

【题型二】向量转化

【讲题型】

例题L在直角梯形相C。中，己知A3〃C。，=1.点P是梯形内一点(含

边界)，且满足,P府=2而+〃而，1W2+44|,Z〃GR),则P点可能出现的区域的面积

是()

A.立B.也C.1D.1

322

【答案】C

,、inniiuiimmi

【分析】建立平面宜角坐标系，设P(x,y),由AP=/L4B+〃A£>得x=2/l,y=〃，结合

以A为原点A氏AO所在直线为轴建立如图所示平面直角坐标系，则

A(0,0),B(2,0),D(0,l),没P(x,y),

M(x,y)=A(2,0)+//(0.1)=(2z,A),则x=24)，=〃，又则

乙乙乙

rr3

在坐标系中画出：+y=l却g+y=：,又点尸是梯形内一点(含边界)，则。点可能出现的

乙乙乙

区域是如图所示阴影部分，故尸点可能出现的区域的面积是:xlxl='.故选：C.

22

2x-y^0,

例题2.已知点P(x,y)满足不等式组r+y-2<0,,点&2,1),。为坐标原点，则赤.福的

x-2y-2<0,

取值范围是()

「88]「「8J-「8」-(81

[33」L3J|_3」I3」

【答案】B

[分析】画出不等式组表示的平面区域，因为丽•乐=2/)，，设z=2x+y,则y=-2x-z,

利用z的几何意义求出历.砺的取值范围.

【详解】解：。(乂丁)，A(2,l),所以不.砺=2x+y,设z=2x+y,则y=-2x+z,不等

2x-y>0,

式组r+y-240,表示的平面区域如图所示,

x-2y-2<0,

当直线y=-2x+z过时，z=2x+y取得最小，直，z,g；则而.画的取值范

~Q-

围是一宗4.故选:B.

【讲技巧】

向量型

1.把向量转化为截距型等各类常规型求解

2.借助向量几何意义进行转化。

【练题型】

x>\

1.已知点A的坐标*.），）满足线性约束条件yKO,。（0,0）,倒2,4）,则况•砺的最大值

x+y<3

为（）

A.10B.9C.8D.6

【答案】A

【分析】作出可行域，由数量积的坐标运算转化为求N=2x+4y的最大值，利用数形结合求

解.

【详解】作出可行域如图，

z=2x+4y过点。时，z有最大值，

联立《一钎解得。（1，2）,所以Za=2x1+4x2=10,故选：A

x+y=3

2.已知62为平面上的单位向量，以与62的起点均为坐标原点。，/与及夹角为］.平面

24-//<1

区域。由所有满足丽=曲+”2的点。组成，其中0&%,那么平面区域。的面积为

0<//

D.B

A.-2B.G

4

【答案】D

12

人二几0十一〃

【详解】设…,。）总弓争g），

则《

x+^=<i

x/3

2+//<1

围成一个三角形，面枳为Lxlx1=@,选D.

因为0</1,所以，.”尹,

224

0<//

,y>0

【题型三】求参

【讲题型】

x>\

例题1.已知X,>满足r+y44,目标函数z=2x+）的最大值为7,最小值为1,则b,

x+by+c<0

。的值分别为（）

A.-1,4B.-1,-3C.-2,-1D.-1,-2

【答案】D

【分析】如图所示，画出可行域，z=2x+y,则y=-2x+z,z表示直线与y轴的截距，计

算交点为（3』）和（1,-1）,代入直线方程得到答案.

z=2x+y,贝lj），=-2x+z,z表示直线与y轴的截距.

2=2工+），=7与%+丁=4的交点为（3,1）,2=2犬+旷=1与4=1的交点为（1,-1）.

故x+外+c=0过点（3,1）和（1,一1）,代入得到力=-1,c=-2,

故选：D.

3x-y-6<0

例题2.设MN满足约束条件｛x-y+220,若目标函数2=内+勿（〃/>0）的最大值是12,

X,）,20

则/+〃的最小值是（）

6「36〃6、36

135513

【答案】D

【详解】满足约束条件的区域如图所示，

目标函数2=於+打（々力>0）在过4（4,6）时，二取得最大值12即12=4”6儿・・・

6-2a-3i,而的最小值表示点（43与（0,0）两点间距离的平方的最小直J

6:36

小=,、=—.

（币—斤13

【点睛】一般地，在解决笥单线性规划问题时，如果目标函数+首先，作直线

AA

y=~x,并将其在可行区域内进行平移；当B<（）时，直线），=-4工在可行域内平移时截

£>£>

距越高，目标函数值越大，截距越低，目标函数值越小，当5<0时，直线y=-2x在可行

D

域内平移时截距越低，目标函数值越大，截距越高，目标函数值越小.

【讲技巧】

参数位置大概有以下几个：

1.参数在目标函数中：

2.参数在约束条件中：

含参线性求解的技巧方法：可以借助于目标函数与约束条件中两条宜线（•条含参）“三线共点”特征

来快速求解。

【练题型】

2x-y+6>0,

1.已知实数x,)'满足—+”。，若目标函数z=-3+>的最大值为-2〃?+10,最小值为

x<2,

-2//Z-2,则实数机的取值范围是()

A.[-2,1]B.[0,2]C.(F-1]3°，2]D.[-1,2]

【答案】D

【0析】作出可行域，将目标函数化为斜截式，分类讨论加，找到最优解，求出z的最值,

与已知最值比较可得结果.

【详解】作出可行域如图：

将Fl标函数z=-〃比+y化为y=/nr+z,

当m>2时,直线>=mr+z经过点N(—2,2)时，7皿=26+2,由2m+2=—26+10解得。=2

与〃?〉2矛盾，不符合题意；

当初<一1时,直线y="LZ经过点N(-2,2)时，z1nhi=2m+2,由2〃?+2=-2〃?一2解得勿=一1

与〃?<-1矛盾，不符合题意；

当一1W〃?W2时，直线产侬+Z经过点”(2,10)时,2皿=10-26,直线产侬+z经过点

」(2,-2)时,z1nsi.=-2m-2,符合题意;

故实数〃，的取值范围是[T'2].故选：D.

x-y+6>()

2.已知实数x、>满足y-yNO,若z=ar+y的最大值为3〃+9,最小值为3〃-3,则实

x<3

数。的取值范围为()

A.(-oo,2]B.(f,4]C.[-U]D.[-l,+oo)

【答案】C

【解析】画出可行域,设z=F(x,y)=ox+y,把A、B、C的坐标代入z=F(x,y)=ar+y,

列不等式，即可得解.

[详解】作图，43,-3)、8(3,9)、C(-3,3),

把A、B、。代入得2二尸（乂>）=0¥+丁，尸（3,9）=3a+9,

厂（-3,3）=-3〃+3,由题意得3。+92—%+323。一3,

解得一实数〃的取值范围为［-1,小

故选：C.

【题型四】含参讨论画图

【讲题型】

2x-y>0

例题1.实数人，）‘满足且z=2x+），的最小值为4,则实数。的值为（）

y^,-x+b

Q

A.0B.-2C.-D.3

3

【答案】D

【分析】作出不等式组对应的平面区域，由目标函数的最小值即可求出实数〃的值.

【详解】解：不等式组对应的平面区域如下图

>­=-2x4-4

=2x

yrt]Z=2x+y的最小值为4即2x+y=4且），=—2x+z,

则直线y=-2x+z的截距最小时.，Z也取得最小值。则不等式组对应的平面区域在直线

的上方

由9一；=0'解得：|厂2。即点（⑶也在直线尸e"上。得:2=T+b°解得"=3'

故选：D.

x>2

例题2.己知实数-），满足条件若目标函数z=3x+y的最小值为5,则c的值

-2x+y+c>0

为（）

A.5B.10C.15D.20

［答案］A

【分析】由约束条件画出可行域，根据目标函数最小值的几何意义确定其在取最小值时所过

的点，进而求参数c的值.

【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示.

作直线/：），=-3x,平移i可知：当x=2,y=4-c时，z取得最小值,

***zmin=3X2+4-<?=10-C=5,所以C=5，故选：A

【讲技巧】

参数在约束条件中，可以通过分类讨论来画图。在分类讨论时，要注意对应的不等区域

的变化.

【练题型】

x-y-3<0,

1.曲线y=2、上存在点（内）满足约束条件y+y-320,贝J机的最小值为（）

y<m,

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】作出可行域和函数y=2、的图象，进而通过数形结合求得答案.

且/（1）=（），则点。的坐标为（1,2）,所以〃?的最小值为2.

故选：B

x+y-2>0

2.函数y=ln(ar+V77TW>0)为奇函数，设变量％y满足约束条件卜7-240,则目标

二1

函数z=av+2y的最小值为()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】利用奇函数求得4=1，再由约束条件画出可行域，根据目标函数值最小的几何意

义确定直线z=x+2y所过的点，进而求其最小值.

【详解】由题设，h】m+J(r)2+l)=-ln(ax+&+I)

.\-ar+Vx2+l=------U=,可得〃=±1,又。＞0,

ax+\Jx'+\

工4=1,故z=x+2,,

由约束条件可得可行域如F：

・••要使目标击/值媪小，即z1x+2y所在直线与可行域有交点的同时，在数轴上的截距最

小，故当z=x+2y经过图中的4点时，值最小，

x+y-2=0x=\

联立《:，可得故41/)，・・・2„1访=1+2乂1=3.故选：B.

y=Iy=\

【题型五】绝对值和换元型

【讲题型】

2x-y<0\x

例题1.已知实数)，满足「+)」5之0,则4的取值范围是()

>'<4

一

-_--一

1111-11

O-

O‘

BC-D‘

---------

—

99—

662-64

一

一

一

一

-41一

【答案】D

1

【分析】画出约束条件对应的可行域，并将目标式化为z=R,应用数形结合知只需确

ZH---

X

定可行域卜的点与原点所成白线的斜率范围,即可得Z的范围.

【详解】由约束条件可得如下可行域：

XI，

由图知：可行域在第一象限内，则寄7D,y,只需可行域上的点(元,刃与原点所成

Zn--

直线的斜率范围即可.

当(x,y)在直线2x-y=0上，(2)而n=2,

当(2)为直线K+y=5与y=4的交点(1.4)时，(马2=4,

x

所以2K』K4,故zeJJ].故选：D

x64

x-2y+\>0

例题2.•已知实数x,)‘满足：<2,2=|2%一2)，一1|,则2的取值范围是()

工+)，-1之0

D.[1,5)

A.[-,5]B.[0,5)C」0,5]

3

【答案】B【详解】由约束条件作出可行域如图：

x=2/、x-2y+\=0

x+y-i=OI)x+y-1=0=哈I)

令〃=2x-2y-l,变形可得)，=x-誓，平移目标函数线y=x-等使之经过可行域,

当目标函数线过点4(2,-1)时，纵截距最小，此时〃取得最大值，即

〃mx=2x2—2x(—1)—1=5.当目标函数线过点白]时，纵截距最大，此时〃取得

125

最小值，即小„=2、丁2*丁1=-4.

JJJ

因为点4(2,-1)不在可行域内，所以一.•.zHMWO®.故B正确.

【练题型】

x-y+l>0

1.已知点P（x,y）满足‘x+），TWO,|2x+y-6|+卜，-2不+8］的取值范围是________

x>0

【答案】［2,+8）

【解析】

详解：画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示.

MA六

1X_A._4__▲_k___«_A»_A.

zpr--

|2x+；6|+…+8函包*+咯啡目匕

，-6|\2x-v-8|

；‘不

1111IV5行J1在

.・.|2x+y-6|+|），-2x+8|表示可行域内的点到直线2x+y—6=0和2x•一），―8=0的距

离之和的6倍，结合图形可得|2x+y-6|+|y-2x+8|无最大值.

由|x+；_］=0解得上,=_2’所以点人的坐标为（3「2）.此时

|2x+），-6|+|y-2x+8|=2.

2x+y-6=0x=5/、

由工+：-1=0解得彳=Y'所以点八的坐标为G，-4）.此时

、-¥+yy

|2x+y-6|+|J?-2A:+8|-6.

•••|2%+y-6|+|y-2x+8|的最小值为2,

故得|2x+y—6|+|y-2x+8|的取值范围为［2,+8）.

x>\

”二的取值范围

2.设点尸（x,y）在不等式组｛2x-y<0所表示的平面区域内，则z二1

一+y

_¥+y-6V0

为（）

【答案】B【解析】目标函数,画出可行域如下图所示，由图可知,

z二9孙二J_

9x2+y2-雪上

y9x

的取值范围是，，令,=］厂则目标函数化为加，、

2［%GH2,5］-"）心（问2,5］）

X4

/2、/，故函数在J,a]上递增，在陵上递减且

9o(Z+3)(/-3)[2,3][3,5」

JV/~~(/9+厂7)\2

/⑵邛J⑶=Q(5)嗯故目标函数的取值范围是「453

11J4«3452

【题型六】函数和导数型

【讲题型】

3x+y25

例题1.已知X,>满足，x+）Y4,求上的取值范围。

不

x>0,y>0

解答作出（总y）所在平面区域（如图）。求出产，的切线的斜率e,设过切点「（孙％）

的切线为）=ex+〃?（〃亚0）,贝IJ也二弛士丝=e+2,要使它最小，须〃F0。

%与N）

，上的最小值在夕（与，九）处，为八此时，点P（%，%）在y=/上A,8之间。

x

,,、一一,y=4-x[5v=20-5xyv-

当（x,y）对应点C时，r=!’八=>产71=2=7,.・.上的

最大值在C处，为7。

・・・工的取值范围为[e，7],即2的取值范围是卜7]。

-XCI

例题2.已知函数/（幻=£+/求+。的图像与4轴交点的横坐标分别为公与，且

0<X,<KX2<2,则8+2c的取值范围是

A.（-2,-1）B.（-4,-2）C.（-4,-1）D.（-2,1）

【答案】D详解：由函数/。）=/+法+。的图像与X轴交点的横坐标分别为.与，

f/（0）=c>0

且。<不<1<々<2,则•/（Dnb+c+lcO,设z=/?+2c,作出约束条件所表示的

/⑵=20+c+4>0

平面区域，如图所示，

由图象可知，当z=〃+2c经过点A时，F1标函数z=b+2c取得最大值，当z=0+2c经

仿+C+1=0

过点8时，目标函数z=/?+2c取得最小值，又由，八，解得A（—3,2）,此时

2/?+c+4=0

c=0

由,八，解得4(一2,),此时Zmm=-2+2x0=-2,所以8+2c的取值范围是

2〃+。+4=0

(-2,1),故选D.

【练题型】

V2-2

一f-2Mx<OHA:工)

2

1.、函数/(x)=«,若/2(幻+(/(x)+〃=O恰有五个不同的实

小>°)

根，则2a+b的取值范围为

113、

A.(-3,--)c.(z——，——)

242卜。

【答案】B

【解析】作出了(X)的图象如图所示:令/(%)=，,由/(X)的图象可得,

7?>0,

1(11

/+R+力=0的两根分别为4W0,-,Ge-,1，故，—+—ci+b<O由线性规划可

2I2yf

1+。+/?〉0,

得2a+bwr-1〃二2时，3〃+人取最大彳直II,当

=1,〃=()时，3。+人取最小值3,则3。+/?的取值范围是(3,11)故选D

2.、己知〃，b,c为正实数，且a+Z?W6c,-+则如出的取值范围为

abcc

ab,，

ccc—+-<6

Q123?r

【答案】27,?【解析】由题意得，因为。+人06配一+—〈一，所以｛crc

2abc2c3c

—+—<2

ab

3J<6-A

x+y<6

设x=0,y=2,则有｛23,c3r

所以作出如图所示的平面区域令

cc—i—<22x—2

大)'1cx<6

3〃+8〃3z

z=-------=3x+8)，，则y——x+一,

c88

由图象可知当直线)，=-3工+三经过点A时，截距最大，即z的最大；当直线)，=-3/+三

y=6-x

3r39)

与曲线y二」一相切时，截距最小，即z最小；解方程组［3不，得A

2x-2y=2,2)

2x-2

所以最大值为z=3x±3+8x9N=8电1，

222

Q73Y

设直线y=--x+-与曲线y的切点为小,%)，则

88-2x-2'勺07

—=解得x=3,

2x-28（2x-2）-8

切点坐标为卜,'9所以如生的取值范围是

，所以z的最小值为3x3+8x—=27,

4c

cr81

273

【题型七】条件画图

【讲题型】

x<2,

例题1.设4>0,不等式组</lx-y>0,所表示的平面区域是W.给出下列三个结论：

x+22y>0

①当；1=1时，卬的面积为3；②mX>0,使W是直角三角形区域；

③设点〃（x,y）,对于VPwW有x+}w4.其中，所有正确结论的序号是.

【答案】①、③如图阴影部分，即AO48内部及边界表示平面区域W,可求得

4（2,一；）,例2,24）;

A

W的面积为5二,乂2乂芳8=2/1+,,；1=1时，S=3;①正确；

22

②若W表示直角三角形区域，只有/4。8=90°,即直线/Lr-y=0与R+24y=0垂克;

两直线斜率分别为人=几，自二一」-次#2二-1工一1•所以②不正确；

242

③直线x+』=4表示过（4,0）和A（2,乃的直线，平面区域W在直线工+上=4的下方；所

以VPwW,有X+£«4;③正确；

A

例题2.已知满足条件V+）,2Kl的点*,）,）构成的平面区域面积为酬，满足条件

[月2+卜]2«1的点（不）,）构成的平面区域的面积为s?,其中[幻、[却分别表示不大于乂）,

的最大整数，例如：[-0.4]=-1,[1.7]=1,则3与52的关系是

A.S1<S2B.S}=S2C.Si>S2

D,S[+S?=4+3

【答案】A满足条件/+y2Kl的点（乂）,）构成的平面区域是一个以原点为圆心，以1为半

径的圆面，所以面积为巴二4="

M2+[y]2<1的点（x,.y）构成的平面区域的面积为S2,其中[幻、[却分别表示不大于

的最大整数，

当0Wx<1,-1<y<2,满足[x]2+[y]2<1；当一1Wx<0,-0<y<\»满足

[x]2+[y]2<l

当1<XV2,0<），VL满足[x]2+[），]2其总面积为5,即&=5所以S1VS2

【练题型】

1.在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A={(x,y)|x+y<>0},则平面区

域B={(戈+y,x-y)I(x,y)eA}的面积为.

【答案】1令x+y=a,x-y=b,则x=—.y=—,因为

22

A={(x,y)\x+y<L且x>0,y0},

a+b>0

所以-8NO,‘卜可行域如图(阴影部分)，此三角形是腰长为J2的等

67<1

腰直角三角形，所以面积为S=Lx&xC=l

2

2.已知实数乂)，满足卜-1+2|\(1，则由点P(x,y)构成的区域面积为()

11C

A.-B.-C.1D.2

42

【答案】C【解析】此题考杳分类讨论思想，考查不等式组所表示的平面区域的画

法；

\r+2y-2<0U>l,y>0)

x-2y-2<0(x>1,y<0)

次不等式组化为：/c八[1，表示的图形如下图阴影部分，为

x-2y>0(x<l,y^0)

x+2y>0(x<l,y<0)

平行四边形A3CO.面积为2x‘x2x’=l,所以选C；

22

【题型八】线性规划综合应用

【讲题型】

|[2x-y+l>0'

例题1.已知集合M=(x,y)卜+)，-1工。­,集合N={(x,)，)kcose+ysin"iNO},若

|[x-2y-l<0

MDNW0,则()

A.0<r<lB.1</•<V2C.r>x/2D.0<r<\/2

【答案】D

【分析】根据线性约束条件作出可行域可得集合M中元素，根据计算可知集合N中的元素

是圆f+),2=/上以及圆外的点数形结合即可求出厂的范围.

【详解】因为xcose+ysin®=+y,sin(6+e)Nr,卜in(8+砌Wl,

所以•即r+产，所以集合N中的点是圆/+丁=/上以及圆外的点，

根据线性约束条件作出可行域如图：

阴影区域内的点即为集合M中元素，圆外以及圆上的点即为集合N中的元素，

由图知当点A