2025年大学《数理基础科学》专业题库-大学数理基础科学的微分代数拓扑

2025年大学《数理基础科学》专业题库——大学数理基础科学的微分代数拓扑考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、设M是n维光滑流形，X是M上的一个向量场。证明：存在M上的一个光滑函数f，使得X在任意点p∈M的值与df(p)成正比（即存在一个常数γ(p)≥0，使得X(p)=γ(p)df(p)）。二、设M是紧致、无向、连通的光滑流形。证明其上存在一个光滑向量场X，使得其上任何点p处的向量X(p)都垂直于该点的切空间T_pM（即X(p)与T_pM的任何向量v都满足g(X(p),v)=0，其中g是M上的Riemannian度量）。三、设π:E→B是一个光滑向量丛，L是E上的一个光滑联络形式。定义L在E的截面σ:B→E上的作用为σ^*L。证明：对于B上的任何光滑函数f，有(df)*L=f*(σ^*L)。四、设M是一个n维紧致、可定向的光滑流形。证明：M的上同调群H^(n)(M;Z)同构于Z。给出这个同构的具体形式。五、设M是一个n维紧致、无向的光滑流形。定义M的Euler示性数χ(M)为其基本群的Abel化群的阶数的(-1)^(n-1)倍。证明：对于M上的任何闭n形式ω，都有∫_Mω=χ(M)*(1form的单位)。六、设E→B是一个光滑向量丛，C^∞(E)和C^∞(B)分别是E和B上的光滑函数全体。定义C^∞(E)上的一个微分形式为Λ^k(E)=C^∞(E)⊗...⊗C^∞(E)(k次，向量场ε_i与函数f_i配对)→C^∞(E)的一个k-线性映射，满足对任意X_1,...,X_k∈Γ(E)(E的截面)和f_1,...,f_k∈C^∞(B)，有Λ^k(E)(X_1,...,X_k)(f_1,...,f_k)=det(g(X_i,X_j)*f_i)，其中g是丛上的Riemannian度量。证明：这个Λ^k(E)是一个光滑的k-形式（即对截面和函数的微分化是线性的）。七、设M是一个n维紧致光滑流形，L_M是M上的庞特里亚金类P_k(M)。证明：对于M上的任何闭(k-1)-形式ω，都有dω∧L_M是一个整数倍的L_{k+1}(M)。八、设E→B是一个具有结构群G的纤维丛，F是E的一个子丛（即F是G的一个子群，且π(F)=B，且π|_F的限制是G/F的主丛）。定义E/F为商丛。证明：如果L是E上的一个联络形式，那么E/F上存在一个自然的联络形式L_F，使得对于E的任何截面σ，有π^*(L_F)=(L-σ^*dσ)|_F，其中π:E→E/F是商丛投影。九、设M是一个4维紧致、可定向的光滑流形。证明：如果H^(1)(M;Z)=0且H^(3)(M;Z)=0，则M的Euler示性数χ(M)=0。十、设π:E→B是一个光滑向量丛，F⊂E是一个子丛。考虑E上的Stiefel-Whitney类w_F。证明：对于B上的任何光滑函数f，有f*w_F是E/F上的一个Stiefel-Whitney类。试卷答案一、证明：由于X是M上的向量场，可以定义一个函数f:M→R满足f(p)=α(p)||X(p)||，其中α(p)是X(p)与df(p)方向相同的单位向量（如果X(p)=0，则可以取f(p)为任意常数）。那么对于任意点p，有X(p)=f(p)*(df(p)/||df(p)||)=f(p)*γ(p)*df(p)，其中γ(p)=1/||df(p)||>0。因此X(p)=γ(p)df(p)，其中γ(p)=1/||df(p)||是点p的函数。二、证明：由于M是紧致的，向量场X的某个整流形（flow）会在有限时间内将点推向无穷远或某个固定点（Liouville定理的推论）。如果推向无穷远，则X在其轨迹上是非零的，且方向一致，矛盾于M的紧致性。如果推向固定点，设固定点为q，则X(q)=0。考虑在q处的切空间T_qM，由于X在q处为0，其任何分量在此处均为0，即X的值与T_qM垂直。由于M连通，这个局部性质可以通过紧致连通性延拓到全局。因此存在一个局部标量场γ，使得X=γ(df)。由于M是紧致的，γ必须是常数。若γ=0，则X=0，矛盾。故存在全局光滑函数f，使得X=df。三、证明：由联络形式的定义，L是E的一个截面π^*L'的对偶（在切空间内）。对于E的截面σ，σ^*L是σ(T_pE)上的一个1-形式。对于B上的一个向量场X，(σ^*L)(X)=L(π_*X)。由截面定义，π_*X是T_pE中的一个向量。另一方面，(f*(σ^*L))(X)=f(p)*(σ^*L)(X)=f(p)*L(π_*X)=L(π_*X)*f(p)。由于L是在E的切空间上定义的，而π_*X是E在p处的切向量，L(π_*X)是一个实数。所以(df)*L=L*(df|_E)=f*(σ^*L)。四、证明：由于M是紧致的，其上存在一个闭n形式ω_n，其同调类[ω_n]≠0。考虑映射φ:H^n(M;Z)→Z，φ([ω_n])=∫_Mω_n。这个映射是良定义的（因为同调类唯一）。同时，根据Euler示性数的定义，∫_Mω_n=χ(M)。因此φ([ω_n])=χ(M)。由于[ω_n]是H^n(M;Z)中的生成元，φ是满射。又因为M可定向，H^n(M;Z)≅Z，且φ是同态，所以φ是同构。具体形式为φ([ω])=∫_Mω。五、证明：根据Poincaré-Hopf定理，对于M上的任何光滑向量场X，∫_M(i_Xdθ)=(-1)^(n-1)|FundamentalGroupofM|。这里θ是M的体积形式。令X=∂/∂x_i，则i_Xθ=θ_i。所以∫_Mθ_i=(-1)^(n-1)|FundamentalGroupofM|。根据上题，∫_Mdf=χ(M)。令f为M的一个体积函数，则df=∑θ_i。所以∫_Mdf=∫_M∑θ_i=∑∫_Mθ_i=∑(-1)^(n-1)|FundamentalGroupofM|。由于M是可定向的，Euler示性数χ(M)=(-1)^(n-1)*∫_Mdf。六、证明：需要证明Λ^k(E)对截面和函数的微分化是线性的。设X_1,X_2,...,X_k,X_1',...,X_k'是截面，f,g是函数。考虑线性性对函数的微分：(Λ^k(E)(X_1,...,X_k))(f+g)=det(g(X_i,X_j)+h(X_i,X_j))=det(g(X_i,X_j))+det(h(X_i,X_j))=Λ^k(E)(X_1,...,X_k)(f)+Λ^k(E)(X_1,...,X_k)(g)。考虑线性性对截面的微分：(Λ^k(E)(X_1+X_1',...,X_k+X_k')(f))=det(g(X_i+X_i',X_j))=det(g(X_i,X_j)+g(X_i',X_j))=det(g(X_i,X_j))+det(g(X_i',X_j))=Λ^k(E)(X_1,...,X_k)(f)+Λ^k(E)(X_1',...,X_k')(f)。因此Λ^k(E)对截面和函数的微分化是线性的，即Λ^k(E)是一个光滑的k-形式。七、证明：根据庞特里亚金类的定义，P_k(M)是k-形式θ的同调类的代表，其中θ满足dθ=(1/k!)*(vol(M)∧L_k)，其中vol(M)是M的顶点形式。对于任何闭(k-1)-形式ω，考虑(dω∧L_k)。由于d(dω)=0，ω∧L_k是(k+1)-形式。由上题，∫_M(ω∧L_k)=χ(M)*∫_Mω_*(vol(M))。其中ω_*是ω的拉回映射。由于ω是(k-1)-形式，ω_*(vol(M))是一个(k+1)-形式。又由于L_k是(k+1)-形式，ω_*(vol(M))与L_k的拉回(vol(M)∧L_k)在M上积分的结果是一个整数。所以(dω∧L_k)是庞特里亚金类L_{k+1}的整数倍。八、证明：考虑E/F上的一个截面σ_F，它是E的截面σ在商丛E/F上的投影。对于B上的一个向量场X，π_*(X)是E上的一个截面。我们需要证明L_F(σ_F)=(L-σ^*dσ)|_F。计算L_F(σ_F)：L_F(σ_F)=(π^*L_F)(X)=L(π_*X)。另一方面，(L-σ^*dσ)|_F=(π^*L-π^*(σ^*dσ))|_F=(π^*L-(σ^*π^*)dσ)|_F=(π^*L-(π_*(σ))dσ)|_F。由于π_*(σ)是E的截面，所以(π_*(σ))dσ是E上的一个截面。因此(π_*(σ))dσ|_F=(π_*(σ))dσ|_{π(F)}=0。所以(L-σ^*dσ)|_F=(π^*L)|_F=π^*L_F。因此L_F(σ_F)=L(π_*X)=(L-σ^*dσ)|_F。九、证明：由上题，如果E是B上的实向量丛，那么H^(k)(E;Z)=H^(k)(B;Z)。考虑E的Whitney覆盖{U_i}，以及每个U_i上的标准正交补丛E_i^⊥。商丛E/U_i≅E_i^⊥。由上题，E_i^⊥上的Stiefel-Whitney类w_{E_i^⊥}=w_{E_i}(1form的单位)。由Whitney拼接定理，E上的Stiefel-Whitney类w_E是所有U_i上的w_{E_i}的上极限。由于H^(1)(M;Z)=0，E_i^⊥是可定向的，所以w_{E_i^⊥}=0。因此w_E=0。由Stiefel-Whitney类的乘法，w_E=w_F∧w_{E/F}。所以w_{E/F}=w_E/w_F=0。由庞特里亚金类的定义，如果商丛E/F是可定向的，则其上的庞特里亚金类P_k(E/F)=0。由上题，对于任何闭(k-1)-形式ω，有∫_M(ω∧L_{k+1}(E/F))=χ(M)*∫_Mω_*(vol(M))。由于w_{E/F}=P_k(E/F)=0，所以对于任何闭(k-1)-形式ω，有∫_M(ω∧0)=0。这表明M是可定向的。因此M的Euler示性数χ(M)=∫_Mvol(M)=0。十、证明：设π:E→B是一个光滑向量丛，F⊂E是一个子丛。考虑商丛E/F。根据Stiefel-Whitney类的定义，w_F是F的对偶丛F^*上的一个上同调类，满足w_F*w_F^c=w_{E/F}，其中w_F^c是F^*上的类，w_{E/F}是E/F上的类。对于B上的一个光滑函数f，f*w_F是E/F上的一个类。根据Whitney拼接定理，E/F上的Stiefel-Whitney类是所有U_i上的Stiefel-Whitney类的上极限。对于每个U_i，F在U_i上的局部化F_i是E_i上的一个子丛。根据子丛的Stiefel-Whitney类的性质，w_{F_i}=w_{E_i}*w_{E_i/F_i}。由于E_i/F_i是F_i的商丛，且F_i是E_i的子丛，所以w_{E_i/F_i}=w_F^c。因此w_{F_i}=w_{E_i}*w_F^c。所以f*w_F在每个U_i上等于f*(w_{E_i}*w_F^c)。由上题，E_i上的St