专题12相似三角形中的六类基础模型（原卷版）-2025数学常考压轴题上册九年级沪科版

专题12相似三角形中的六类基础模型目录解题知识必备 1压轴题型讲练 1类型一、A字模型 1类型二、8字模型 4类型三、射影定理 6类型四、三角形内接矩形模型 12类型五、三平行模型类型六、线束模型压轴能力测评（10题） 13类型一、A字模型已知图示结论（性质）若DE∥BC①∆ADE~∆ABC②AD若∠1=∠2或∠3=∠4或AD①∆ADE~∆ABC②AC2=AB•AD若∠1=∠2①∆ADE~∆ABC②AC2=AB•AD[补充]该模型也被称为子母模型，即子母模型可以看作一组公共边的反A模型[双反A字模型]若∠1=∠2=∠3①∆AEB~∆DEA~∆DAC②AB•AC=BE•CD③(AEAD)2=类型二、8字模型已知图示结论（性质）若AB∥CD①∆AOB~∆COD②AO若∠1=∠2或∠3=∠4或AO①∆AOB~∆COD类型三、射影定理已知图示结论（性质）若∠ABC=∠ADB=90°①∆ABC~∆ADB~∆BDC②AB2=AC•AD,BD2=AD•CDBC2=AC•CD（口诀：公共边的平方=共线边的乘积）③AB•BC=BD•AC（面积法）类型四、三角形内接矩形模型已知图示结论（性质）若四边形DEFG为矩形，AN⊥BC①∆ABC~∆ADG②AD③若四边形DEFG为正方形即DGBC=则xBC=类型五、三平行模型已知图示结论（性质）若AB∥EF∥CD①1②1类型六、线束模型已知图示结论（性质）若DE∥BC①DFEF②DF:FG:EG=BH:HI:CI（右图）若AB∥CD①AEBE②AE:EF:BF=DH:HG:CG（右图）类型一、A字模型例．如图，在△ABC中，DE∥BC，若AE＝2，EC＝3，则△ADE与△ABC的面积之比为（

）A．4：25 B．2：3 C．4：9 D．2：5【变式训练1】．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，D，E分别在AB、AC上，将△ADE沿DE翻折后，点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为（）A． B．3 C．2 D．1【变式训练2】中，，，，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．（1）求运动时间为多少秒时，P、Q两点之间的距离为10cm?（2）若的面积为，求关于t的函数关系式．（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似?【变式训练3】．如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，．（1）求证：DFBE；（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求证△ADE∽△AEB．类型二、8字模型例．如图，，，分别交于点G，H，则下列结论中错误的是（

）A． B． C． D．【变式训练1】．如图，在▱ABCD中，E为CD的中点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，则：为（

）A．1：5 B．4：25 C．4：31 D．4：35【变式训练2】．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD．（1）求证：△BND∽△CNM；（2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN．【变式训练3】．如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求的值．类型三、射影定理例．如图，在中，，于点，设，，，.求证：（1）.（2）.（3）以，，为边的三角形是直角三角形.【变式训练1】．如图，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，（1）找出图中所有的相似三角形，分别是；（2）求证：【变式训练2】．阅读与思考，完成后面的问题．射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理．如图，在中，，是斜边上的高，则有如下结论：①；②；③．下面是该定理的证明过程（部分）：∵是斜边上的高，∴．∵，，∴．∴（依据）．∴．即．(1)材料中的“依据”是指；(2)选择②或③其中一个结论加以证明；(3)应用：中，，，，点A在y轴上，求顶点A的坐标．【变式训练3】．欧多克索斯约公元前400年出生于尼多斯，约公元前347年卒于尼多斯，精通数学、天文学、地理学．他认为所谓的黄金分割，指的是把长为的线段分为两部分，使其中较长部分与全部之比，等于较短部分与较长部分之比，其比值为．现在，我们也把顶角为的等腰三角形叫黄金三角形．(1)如图1，在，，，的平分线交腰于点．请你根据上述材料利用所学知识，证明点为腰的黄金分割点；(2)如图2，在中，，为斜边上的高，，若是的黄金分割点，求的长．类型四、三角形内接矩形模型例．如图，已知三角形铁皮的边，边上的高，要剪出一个正方形铁片，使、在上，、分别在、上，则正方形的边长．【变式训练1】．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝20cm，AC＝15cm，在这个直角三角形内有一个内接正方形，正方形的一边FG在BC上，另两个顶点E、H分别在边AB、AC上．（1）求BC边上的高；（2）求正方形EFGH的边长．【变式训练2】．如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长．【变式训练3】．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿边AB向点B运动．过点P作PD⊥AB交折线AC﹣CB于点D，以PD为边在PD右侧作正方形PDEF．设正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒（0＜t＜4）．（1）当点D在边AC上时，正方形PDEF的边长为（用含t的代数式表示）．（2）当点E落在边BC上时，求t的值．（3）当点D在边AC上时，求S与t之间的函数关系式．（4）作射线PE交边BC于点G，连结DF．当DF＝4EG时，直接写出t的值．类型五、三平行模型例．图，，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD＝3，求GH的长．【变式训练1】．如图1，ΔABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，DE=DC，点F是DE与AC的交点．（1）求证：∠BDE=∠ACD；（2）若DE=2DF，过点E作EG//AC交AB于点G，求证：AB=2AG；（3）将“点D在BA的延长线上，点E在BC上”改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上”，“点F是DE与AC的交点”改为“点F是ED的延长线与AC的交点”，其它条件不变，如图2．①求证：AB·BE=AD·BC；②若DE=4DF，请直接写出SΔABC:SΔDEC的值．【变式训练2】．如图，在菱形ABCD中，∠ADE、∠CDF分别交BC、AB于点E、F，DF交对角线AC于点M，且∠ADE＝∠CDF．（1）求证：CE＝AF；（2）连接ME，若＝，AF＝2，求的长．类型六、线束模型例．【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．例1．求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．已知：如图，在中，，，，求证：、互相平分．（1）请结合图1，写出证明过程：证明：连结、．，，______．同理可得______．____________．∴，互相平分．【探索应用】（2）如图2，在图（1）条件下，点为的中点，连接交于点，设与交于点．①求证：；②求的值；（3）如图3，在菱形中，，，与交于点，点为边上一点，且为边的三等分点，直接写出的值．【变式训练1】．如图，已知三角形铁皮的边，边上的高，要剪出一个正方形铁片，使、在上，、分别在、上，则正方形的边长．【变式训练2】．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝20cm，AC＝15cm，在这个直角三角形内有一个内接正方形，正方形的一边FG在BC上，另两个顶点E、H分别在边AB、AC上．（1）求BC边上的高；（2）求正方形EFGH的边长．【变式训练3】．如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长．1．如图，是的中位线，点F在上，．连接并延长，与的延长线相交于点M，若，则线段的长为（）A．13 B．14 C．15 D．162．如图，点分别在的边上，已知，则的长是（

）A．2 B．3 C．4 D．53．如图，在中，，，，，则的长为（

）A．3 B．4 C．5 D．64．如图，在中，是边上一点，过点作交于点，若，则的值为（

）5．如图，在中，D、E分别是上的点，且，如果，那么（

）

A． B． C． D．6．已知：如图在中，，高，它的内接矩形（点E在边上，点H、G在边上，点F在边上），与边之比为，求的长．7．如图，在中，，分别是边，上的中线，与相交于点．(1)如图1，连接，若平分，，试求的长度；(2)求证：；(3)如