2025年大学《数学与应用数学》专业题库- 数字信号处理与通信技术

2025年大学《数学与应用数学》专业题库——数字信号处理与通信技术考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（每小题3分，共15分。请将正确选项的字母填在题后的括号内。）1.已知连续时间信号\(x(t)\)的傅里叶变换为\(X(j\omega)\)，则信号\(y(t)=x(3t-2)\)的傅里叶变换\(Y(j\omega)\)为：(A)\(\frac{1}{3}X(j\frac{\omega}{3})e^{-j\frac{2\omega}{3}}\)(B)\(3X(j3\omega)e^{-j2\omega}\)(C)\(\frac{1}{3}X(j\frac{\omega}{3})e^{j\frac{2\omega}{3}}\)(D)\(X(j3\omega)e^{-j2\omega}\)2.下列关于理想低通滤波器的描述，正确的是：(A)在通带内幅频响应为常数，相频响应为线性(B)在阻带内幅频响应为线性，相频响应为常数(C)在通带和阻带内幅频响应均为常数，相频响应为线性(D)在通带内幅频响应为线性，相频响应为常数3.对于一个因果稳定的离散时间系统，其系统函数\(H(z)\)的收敛域一定是：(A)\(|z|<R\)(B)\(|z|>R\)(C)\(R<|z|<\infty\)(D)\(0<|z|<\infty\)4.设计一个线性相位FIR滤波器，要求其长度为15，在\(\omega=0\)处增益为1，在\(\omega=\pi/3\)处增益为0。该滤波器在\(\omega=\pi/6\)处的增益最接近于：(A)1(B)0.5(C)0(D)-0.55.对一个实值有限长序列\(x[n]\)进行DFT，得到其频域序列\(X[k]\)。已知\(X[0]=5\)，\(X[2]=3+j4\)，则\(X[3]\)的实部最接近于：(A)3(B)4(C)-4(D)-3二、填空题（每小题4分，共20分。请将答案填在题后的横线上。）6.若信号\(x(t)\)的能量为\(E\)，则信号\(y(t)=2x(2t-1)\)的能量为________。7.连续时间信号\(x(t)=e^{-at}u(t)\)（\(a>0\)）的傅里叶变换为________。8.已知系统的差分方程为\(y[n]-0.5y[n-1]=x[n]\)，其系统函数\(H(z)\)为________。9.使用矩形窗函数设计FIR滤波器时，其主要缺点是会产生________侧瓣。10.若信号\(x[n]\)的Z变换为\(X(z)=\frac{1}{1-0.5z^{-1}}\)（收敛域\(|z|>0.5\)），则\(x[0]\)的值为________。三、计算题（每小题10分，共40分。）11.已知连续时间信号\(x(t)=\cos(2\pit)+\sin(4\pit)\)。求\(x(t)\)的傅里叶变换\(X(j\omega)\)的表达式。12.设计一个线性相位FIR低通滤波器，技术指标为：滤波器长度\(N=8\)，截止频率\(\omega_c=\pi/4\)（以归一化频率表示）。请给出该滤波器的系统函数\(H(z)\)的表达式（用差分方程或单位脉冲响应表示均可）。13.已知离散时间信号\(x[n]=\{1,2,3,4,5\}\)。计算其DFT\(X[k]\)（只需列出前3个非零分量的表达式即可，无需计算具体数值）。14.对信号\(x(t)=\frac{\sin(20\pit)}{\pit}\)进行理想采样，采样周期为\(T_s=0.05\)秒。求采样后信号\(x_s(t)\)的频谱表达式，并判断该采样是否满足奈奎斯特采样定理（说明理由）。四、综合应用题（每小题15分，共30分。）15.已知一个离散时间系统的系统函数为\(H(z)=\frac{1+0.5z^{-1}}{1-0.8z^{-1}+0.16z^{-2}}\)。(1)求该系统的单位脉冲响应\(h[n]\)的表达式（用卷积和或Z逆变换表示均可）。(2)判断该系统是否稳定？是否因果？请说明理由。16.假设一个通信系统采用ASK（幅度键控）调制方式传输二进制信息。已知发送信号为\(s_1(t)=\cos(2\pif_ct)\)（代表'0'），\(s_2(t)=2\cos(2\pif_ct)\)（代表'1'），其中\(f_c=1\)kHz，信道带宽为\(B=10\)kHz，信道噪声为加性高斯白噪声，单边功率谱密度为\(N_0/2=10^{-11}\)W/Hz。(1)求接收信号在'0'和'1'状态下的平均功率。(2)简述一种检测接收信号并恢复发送二进制信息的可能方法，并说明需要考虑的关键因素（至少两点）。---试卷答案一、选择题1.A2.A3.B4.C5.D二、填空题6.18E7.\(\frac{1}{j\omega+a}\)8.\(\frac{1}{1-0.5z^{-1}}\)9.滚降10.1三、计算题11.解析：利用傅里叶变换的线性和已知信号的变换。\(X(j\omega)=\mathcal{F}\{\cos(2\pit)\}+\mathcal{F}\{\sin(4\pit)\}\)\(\mathcal{F}\{\cos(2\pit)\}=\pi[\delta(\omega-2\pi)+\delta(\omega+2\pi)]\)\(\mathcal{F}\{\sin(4\pit)\}=\frac{j\pi}{2}[\delta(\omega-4\pi)-\delta(\omega+4\pi)]\)\(X(j\omega)=\pi[\delta(\omega-2\pi)+\delta(\omega+2\pi)]+\frac{j\pi}{2}[\delta(\omega-4\pi)-\delta(\omega+4\pi)]\)答案：\(\pi[\delta(\omega-2\pi)+\delta(\omega+2\pi)]+\frac{j\pi}{2}[\delta(\omega-4\pi)-\delta(\omega+4\pi)]\)12.解析：线性相位FIR滤波器要求满足\(h[n]=h[N-1-n]\)。利用窗函数法设计，需要找到满足滤波器长度和截止频率的脉冲响应\(h[n]\)。通常需要借助查找表或编程工具（如MATLAB）得到具体的\(h[n]\)值。但题目要求给出系统函数\(H(z)\)的表达式。由于是低通滤波器，\(H(z)\)可以表示为\(H(z)=\sum_{n=0}^{N-1}h[n]z^{-n}\)。对于长度为8的滤波器，\(H(z)=h[0]+h[1]z^{-1}+h[2]z^{-2}+h[3]z^{-3}+h[4]z^{-4}+h[5]z^{-5}+h[6]z^{-6}+h[7]z^{-7}\)。或者用差分方程表示\(y[n]=h[0]x[n]+h[1]x[n-1]+...+h[7]x[n-7]\)。答案：\(H(z)=h[0]+h[1]z^{-1}+h[2]z^{-2}+h[3]z^{-3}+h[4]z^{-4}+h[5]z^{-5}+h[6]z^{-6}+h[7]z^{-7}\)（或其对应的差分方程形式）。13.解析：计算有限长序列的DFT。\(x[n]=\{1,2,3,4,5\}\)。\(X[0]=\sum_{n=0}^{4}x[n]e^{-j0}=1+2+3+4+5=15\)\(X[1]=\sum_{n=0}^{4}x[n]e^{-j\frac{2\pi}{5}n}=1e^{0}+2e^{-j\frac{2\pi}{5}}+3e^{-j\frac{4\pi}{5}}+4e^{-j\frac{6\pi}{5}}+5e^{-j\frac{8\pi}{5}}\)\(X[2]=\sum_{n=0}^{4}x[n]e^{-j\frac{4\pi}{5}n}=1+2e^{-j\frac{4\pi}{5}}+3e^{-j\frac{8\pi}{5}}+4e^{-j\frac{12\pi}{5}}+5e^{-j\frac{16\pi}{5}}=1+2(-0.809-j0.588)+3(-0.809+j0.588)+4e^{-j2\pi/5}+5e^{-j4\pi/5}\)（简化略）\(X[3]=\sum_{n=0}^{4}x[n]e^{-j\frac{6\pi}{5}n}\)\(X[4]=\sum_{n=0}^{4}x[n]e^{-j\frac{8\pi}{5}n}=1+2e^{-j\frac{8\pi}{5}}+3e^{-j\frac{16\pi}{5}}+4e^{-j\frac{24\pi}{5}}+5e^{-j\frac{32\pi}{5}}=1+2e^{-j2\pi/5}+3e^{-j4\pi/5}+4e^{-j6\pi/5}+5e^{-j8\pi/5}\)只需列出前3个：\(15\)，\(1+2e^{-j\frac{2\pi}{5}}+3e^{-j\frac{4\pi}{5}}+4e^{-j\frac{6\pi}{5}}+5e^{-j\frac{8\pi}{5}}\)，\(1+2e^{-j\frac{4\pi}{5}}+3e^{-j\frac{8\pi}{5}}+4e^{-j\frac{12\pi}{5}}+5e^{-j\frac{16\pi}{5}}\)。答案：\(15\)；\(1+2e^{-j\frac{2\pi}{5}}+3e^{-j\frac{4\pi}{5}}+4e^{-j\frac{6\pi}{5}}+5e^{-j\frac{8\pi}{5}}\)；\(1+2e^{-j\frac{4\pi}{5}}+3e^{-j\frac{8\pi}{5}}+4e^{-j\frac{12\pi}{5}}+5e^{-j\frac{16\pi}{5}}\)。14.解析：首先计算信号\(x(t)\)的傅里叶变换。\(x(t)=\frac{\sin(20\pit)}{\pit}\)是Sinc函数\(\text{sinc}(20t)\)。\(X(j\omega)=\mathcal{F}\{\text{sinc}(20t)\}=\frac{1}{20}\mathcal{F}\{\text{sinc}(t)\}=\frac{1}{20}\text{rect}\left(\frac{\omega}{40}\right)\)（其中rect是矩形函数）。采样后的信号\(x_s(t)=x(t)\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_s)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{\sin(20\pi(t-nT_s))}{\pi(t-nT_s)}\)。采样频率\(f_s=1/T_s=20\)Hz。奈奎斯特频率为\(f_s/2=10\)Hz。信号最高频率分量为\(20\)Hz。判断：由于信号最高频率\(20\)Hz大于奈奎斯特频率\(10\)Hz，采样不满足奈奎斯特采样定理，会导致频谱混叠。采样后信号频谱\(X_s(j\omega)\)是原始频谱\(X(j\omega)\)以\(\pmf_s\)为周期进行延拓的叠加。即\(X_s(j\omega)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\frac{1}{20}\text{rect}\left(\frac{\omega-20\pik}{40}\right)\)。答案：\(x_s(t)\)的频谱\(X_s(j\omega)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\frac{1}{20}\text{rect}\left(\frac{\omega-20\pik}{40}\right)\)。采样频率\(f_s=20\)Hz，奈奎斯特频率为\(10\)Hz。由于信号最高频率\(20\)Hz>奈奎斯特频率\(10\)Hz，采样导致频谱混叠。四、综合应用题15.解析：(1)求\(h[n]\)。将\(H(z)\)分解为两个一阶因子：\(H(z)=\frac{1+0.5z^{-1}}{(1-0.4z^{-1})(1-0.4z^{-1})}=\frac{A}{1-0.4z^{-1}}+\frac{B}{1-0.4z^{-1}}\)\(1+0.5z^{-1}=A(1-0.4z^{-1})+B(1-0.4z^{-1})\)令\(z^{-1}=0\)，得\(1=A+B\)。令\(z^{-1}=\frac{1}{0.4}\)，得\(1+0.5\cdot0.4=A+B=1.2\)。这里推导有误，重新计算系数。\(A=\lim_{z^{-1}\to0}\frac{1+0.5z^{-1}}{1-0.4z^{-1}}=1.25\)\(B=\lim_{z^{-1}\to\infty}\frac{1+0.5z^{-1}}{1-0.4z^{-1}}=-0.75\)所以\(H(z)=\frac{1.25}{1-0.4z^{-1}}-\frac{0.75}{1-0.4z^{-1}}=\frac{0.5}{1-0.4z^{-1}}\)。求逆Z变换：\(h[n]=0.5(0.4)^nu[n]\)。(另一种方法：将\(H(z)\)乘以\(z\)后长除，得到\(H(z)=0.5z^{-1}+0.1z^{-2}+0.04z^{-3}+...\)，则\(h[n]=0.5(0.4)^{n-1}u[n-1]\)。两者等效。)答案：\(h[n]=0.5(0.4)^nu[n]\)。(2)判断稳定性。系统稳定当且仅当单位脉冲响应的能量有限，即\(\sum_{n=-\infty}^{\infty}|h[n]|<\infty\)。或者，对于有理系统函数，当且仅当其极点都在单位圆内。\(H(z)\)的极点为\(z=0.4\)。由于\(|0.4|<1\)，极点在单位圆内。因此系统稳定。因果性：系统函数\(H(z)\)可以写为\(H(z)=\sum_{n=0}^{\infty}h[n]z^{-n}\)，其脉冲响应\(h[n]\)满足\(n<0\)时\(h[n]=0\)，即为因果系统。答案：该系统稳定。理由：极点\(z=0.4\)位于单位圆内。该系统因果。理由：\(H(z)\)可表示为\(\sum_{n=0}^{\infty}h[n]z^{-n}\)形式。16.解析：(1)接收信号在'0'状态下的瞬时功率\(P_0=|s_1(t)|^2=|\cos(2\pif_ct)|^2=\cos^2(2\pif_ct)=\frac{1+\cos(4\pif_ct)}{2}\)。其平均功率\(P_{00}=\frac{1}{T_0}\int_{0}^{T_0}P_0dt=\frac{1}