云南省文山壮族苗族自治州2024-2025学年高二年级上册期末测试数学试卷（解析版）

云南省文山壮族苗族自治州2024-2025学年高二上学期期末

测试数学试卷

第I卷（选择题，共58分）

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的）

1.已知集合4f一21<。},B={-2,0,l,3)则Af|S=(

A.{0,1}B.{-2,0,1}

C.{0,1,3}D.{-2,0,1,3}

【答案】C

【解析】由丁一2上一8<0,可得一2cx<4,即人=(-2,4),

因5={-2,0,1,3},则408={0,1,3}.

故选：C.

2.己知复数2满足22—212—1=0，则1二()

A.-lB.IC.iD.-i

【答案】D

【解析】因为i2=一1，所以z2—2iz—I=z2—2iz+i2=(z—i『=o,

所以z=i，z=-i.

故选：D.

3.抛物线y=2x2的焦点坐标是()

A-(别卜加c(*)

【答案】c

【解析】由y=2/化为标准方程得/=；）,,开口向上,

则2〃二一,即〃=一,

24

所以y=2/的焦点坐标是

故选：C.

4.空间直角坐标系中，已知向量〃=（3,2,2—〃/?=（〃?,9,一3）,若〃工人，则阳二

)

A.-2B.2C.4D.-4

【答案】A

【解析】由a_L可得々6=0,

即3〃?+2x9—3(2—m)=0,解得〃？=一2.

故选：A.

22

5.若双曲线［一与=1（。>0,b>0）的实轴长为4,焦距为46，则该双曲线的渐

a~b~

近线方程为（）

A.y=±2xB.y=±42x

1历

C.y=±—xD.y=±——x

22

【答案】B

【解析】根据题意可知2a=4,即可得。=2,且2c=4百，即C=2J5；

因此可得尸=。2-/=12-4=8，可得〃=20；

再由渐近线方程），=±23可得该双曲线的渐近线方程为=土历.

a

故选：B.

“\f（^-2）x+5,x<1/、/（X.）-/（%,）

6.已知J在（-A”）上满足△"豆一二口」<0,则实数〃的

—cix~+后XN1Xy-x.2

取值范围为（）

A.（0,2）

~24

C.任，2）D.

【答案】B

【解析】由/（工）在（-00,”）上满足一"，）<0可得/（X）在（YO,y）上单调递

X\~X2

。一2<0

-a<0

,解得gwa<2；即实数。的取值范围为1,2

减；所以需满足，1<1

-2a~

a-2+5>-a+\

故选：B.

7.已知长方体ABC。—4耳。1。的体积为16,且A&=2,则长方体A8CO—4出£2

外接球表面积的最小值为()

A20小B.监

A.--------71C.20兀D.IOOTI

33

【答案】C

【解析】设AB=dAO=〃，由长方体ABC。—的体积为16可得:

2必=16,即〃。=8,

长方体ABCD-ABCR外接球的半径为2『=J/十加十4,

,2x8+4

所以,.=1吐产之旧詈==旧,

当且仅当“。=〃=2及”时取等，所以％n=6.

当r=6，长方体ABC。-4gGA外接球表面积的最小值为4兀产=20兀.

故选：C.

8.己知点0(0,0),点P满足|PO|=1,则点P到直线XT冲-3=0的距离的最大值为

()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】如图，因点。满足归。|=1,则点。的轨迹为以点。为圆心，半径为1的圆，

又直线l:x-my-3=0经过定点(3,0),

由图知，要使点。到直线工一"-3=0的距离最大，只需使圆心。到直线/的距离最大,

即当且仅当/J_“轴时.点P到直线工-，町」3=。的距庚最大，为3+1=4.

A.当r=1时，圆G与圆有2条公切线

B.当〃=2时.，），=1是国G与圆G的一条公切线

C.当尸=3时，圆G与圆相离

D.当厂=4时,圆G与圆的公共弦所在直线的方程为）'=一1+1

【答案】BC

【解析】由题可知圆心C（o,o）,半径q=l,圆心。2（3,3）,半径广；

故两圆圆心距为|GG|=3五，

对于A,当/=1时，|。6|=30>r+1,此时两圆相离，故圆a与圆G有4条公切

线，即A错误；

对于B,当厂=2时，y=l是圆G的切线，

又圆心G（3,3）到y=l的距离为d=2=r,即圆g与y=l相切，

所以y=l是I员IG与圆C?的一条公切线，即B正确；

对于C,当r=3时，|。。2|=3及>4=r+1,此时圆G与圆G相离，即C正确；

对于D,当r=4时，4-l=3<|C,C2|<5=4+l,此时圆G与圆C2相交，

将两圆方程相减可得2x+2y-1=0,即圆G与圆G的公共弦所在直线的方程为

J=-X+1,即D错误.

故选：BC.

11.已知抛物线C：V=4x的焦点为产，准线为/,过点尸的直线与抛物线交于

p（%，y），Q（z，％）两点•点2在/上的射影为匕，点。为坐标原点，则下列说法正确的

是（）

A.过点M（0』）与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有3条

B.以P。为直径的圆与x=0相切

C.设M（0,l）,则用之夜

D.若|夕。=8,则AOP。的面枳为28

【答案】ACD

【解析】对于A,过点M（0,l）与抛物线C有且仅有一个公共点的直线必有x=0,y=l；

当直线斜率存在时，可设直线方程为》=履+1,

当直线与抛物线C有且仅有一个公共点，

1整理可得+（2Z-4）冗+1=0,所以△=（2k-41一4/=0：

联立

解得攵=1,所以切线方程为y=x+i,

综上可知，过点M（O,1）与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有3条，即A正确;

对于B,如下图所示：

设点。在/上的射影为取P。的中点为N,<2的中点为M，

由抛物线定义可知|理|\\QQ\=\PF\i|2F|=|P2|,

在梯形理储。中，有=尸制+|QQj）=g|PQ,

所以以尸。为直径的圆与准线相切，切点为N1,可得B错误；

对于C,易知尸（1,0）,由抛物线定义可知|尸耳|=|%,所以|PM|+|P用=|尸M+归耳，

当REM三点共线时，有最小值为也用=&，所以即c正确；

对于D,设P。的方程为人=，町叶1,

联立整理可得），2一4m），-4=0,可得△=（4，〃『+16>0,

因此机工0；

可得»+>2=4机，月>2二一4，

因此|PQ|=V1+/n2%『-4)\)2=Jl+〃/+16=4(1+)

又|PQ|=8可得40+m2)=8,解得加=±1；

易知。到直线PQ的距离为d=-nJ==4,

V1+/H22

所以△。夕。的面积为SOM='XYZX8=2&，

22

即D正确.

故选：ACD.

第n卷(非选择题，共92分)

三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)

12.已知平面a过点。(0,0,0),4(220),3(0,—1,2)三点.直线/与平面a垂直，则

直线/的一个方向向量的丝标可以是.

【答案】(一2,2,1)(答案不唯一)

【解析】易知04=(2,2,0),08=(0,—1,2),

可设平面a的一个法向量为〃=(x,y,z),

OAn=2x+2y=0

可得〈令)'=2可得x=-2,z=l；

OBn=-y+2z=0

所以”=(-2,2,1)；

因为直线/马平面a垂直，所以直线/的一个方向向量与〃=(-2,2,1)共线，

所以直线/的一个方向向量的坐标可以是(-2,2,1).

13.将函数y=cos(2x用的图象向右平移“个单位长度后，所得函数为奇

函数，则夕=.

【答案】g

6

【解析】函数了二©3(21一合］的图象向右平移。个单位以后可得

即=cos|2x-2(p--］为奇函数，因此可得一2。一四=¥+E,ZGZ,

\6J62

即0=------兀，攵eZ；

32

又0＜。＜?，可知当上=-1时，夕=?符合题意.

26

14.1911年5月，欧内斯特・卢瑟福在《哲学》杂志上发表论文.在这篇论文中，他描述了用

a粒子轰击0.(X)004cm厚的金箔时拍摄到的运动情况.在进行这个实验之前，卢瑟福希望

夕粒子能够通过金箔，就像子弹穿过雪一样，事实上，有极小一部分夕粒子从金箔上反弹.

如图显示了卢瑟福实验中偏转的。粒子遵循双曲线一支的路径，则该双曲线的离心率为

：如果a粒子的路径经过点（20,10）,则该粒子路径的顶点距双曲线的中心

【答案】近10x/3

【解析】由题意可知双曲线的一条渐近线方程为y=tan45x=-x,

a

即可得因此离心率为』=住=Ji+4=&:

设双曲线的方程为r2一丁=/,将（20,10）代入计算可得202—IO?—.

解得。二10百；

所以该粒子路径的顶点距双曲线的中心10x/3cm.

四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.在锐角VA3c中，a,b,c分别是角AB,C所对的边，已知l—cos2A=

4sinAsinBsinC.

（1）求一^+」一的值；

tanBtanC

（2）若。=4,求V43c的面积.

解：（1）由l-cos2A=4sinAsinBsinC可得2sir？4=4sinAsinBsinC，

/Tl、

又Ae0,—,所以sinAH0,即sinA=2sin3sinC；

I2）

可得sinA=sin（B+C）=2sinBsinC,

可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC,

由锐角VABC可知,可知cosBcosCwO,

,,sinBcosC+cosBsinC2sinBsinC

因m此----------------------=------------整理可得tanB+tanC=2tanAtanC,

cosBcosCcosBcosC

,,tan5+tanC.I1.

所以------------=2,即nn------+-----=2；

tanBtanCtanBtanC

(2)由(1)中sin由=2sinBsinC,利用正弦定理可得a=2Z?sinC；

因为。=4,所以〃sinC=2,

可知S.=­«Z?sinC=-x4x2=4.

ABC22

16.已知点A是圆C：(工一2『+()，-2)2=4与,，轴的公共点，点8是圆。上到x轴距离

最大的点.

(1)求直线A6的方程;

(2)求经过4,3两点,且圆心在直线)，=2工-5上的圆的标准方程.

：［；)2+(k264,解得，x=0

八，即A(0,2),

解：(I)由[y=2

显然3cl.x轴，|8C|=4,点8在工轴上方，则8(2,4),

4-2

所以直线AB的方程为y:x+2,即y=x+2.

2-0

(2)由(1)知，4(0,2),8(2,4),线段A3的中点为(L3),而直线A5的斜率为1，

因此线段A5的中垂线方程为丁-3=-1-*-1),即五+)，-4=0,

x"+y2-4=i0财x=3

由＜

)'=1

于是所求圆的圆心为(3,1),半径厂=J(0_3)2+(2_iy=W，

所以所求圆的标准方程为*-3)2+()，-1)2=10.

17.已知函数/(x)=4'—a2.

(1)当4=2时，求/(“在［-2,2］上的最值;

(2)设函数g(x)=〃x)+/(T),若g(x)存在最小值-8,求实数。的值.

解：(I)当4=2时，/(x)=4x-2-2r=(2V)2-2-2\

设/二2睦,4，则力(/)=/一2/,开口向上，对称轴7=1,

4

所以函数项在-,1上单调递减,(1,4］上单调递增,

所以用“加=砌=T，妆，)皿=W)=8，

所以在［-2,2］上的最小值为一1,最大值为8.

(2)g(x)=/(x)+f(-x)=4X-a-2X+4-x-a-2~x

二4、4-，〃.(2、2-'=(2、2-，)；.(2、2-”)一2,

设/l=2x+2rNZA/FFMZ，当且仅当2、=2-，即R=0时取得等号，

所以—AG［2,-HX)),对称轴2=］

当@«2,即Q«4时，y=A2-aA-2,在［2,xo)上单调递增，

2

则当2=2时，”而=2-2。=-8,

解得。=5,不满足题意；

当$2,即心4时，)，=分”一2在2,3上单调递减，(/+8)上单调递增，

所以4=3时，用而=一4一2=—8，

解得4=或4二-2小(舍去)，

综上，实数4的值为2G.

18.如图，已知在四棱柱ABC。-AqGQ中，底面4BCO为梯形，AB//CD,AA,1

底面A3C£>,ADA.AB>其中人3=M=2,AD=DC=\,E是4G的中点，F

是QR的中点.

(1)求证：口£//平面。37；

(2)求平面C8尸与平面3片CC夹角余弦值;

(3)求点A到平面Cg尸的距离.

(1)证明：由AA,，底面A8CO,AD_LA3可得以A为坐标原点，A8,AO,A4所在

直线分别为x，)'，z轴建立空间直角坐标系，如下图所示：

3i、

,812,0,2）,E5,3,2,*0,1,1）,C（l,1,0）,G（l,1,2）,

0）,0（0,1,2）；

/、__.、___.,-f31A

则C4=（1,—L2）,C尸=（-1,0,1）,笈4=（0,0,2）・D,F=-,--,0,

122/

设平面CB,F的一个法向量为m=(x,y,z),

CB.tn=x-y+2z=0

则《,令x=l,可得y=3,z=l,

CF-m=-x+z=0

即77?=(1,3,1),

,(3iA

因为RE"?=(1,3,1)・-,0=0,可得RE工m,

27

且平面C87，

所以。£7/平面C片尸

(2)解：设平面3月CC的一个法向量为近=(%,y,zj,

CB1•n=x-y+2z=0

则则]]t，解得Z1=0,令％=1,可得y=l,

RR­n=2Z1=0

即〃=（l/,0）,

mn_4_2>/22

所以cos（/几/?）

]同同一拒x4一II

因此平面CB/与平面B8GC夹角的余弦值为2/至;

11

ia.a.u

(3)解：易知A4=(2,0,2),

平面的一个法向量为m=(1,3,1),

A4•m44而

所以点A到平面尸的距离为d二

|向TFT11

19.已知椭圆。：捻+《=1(°＞匕＞0)的离心率为3，其中一个焦点的坐标为(1,,0).

(1)求。的方程；

(2)过左焦点的直线交C于A、A两点，点〃在。上.

(i)若，Q4A的重心G为坐标原点，求直线A3的方程：

(ii)若ARW的重心G在％轴上