中考数学专项训练：涉及圆的证明与计算问题（解析版）

涉及圆的证明与计算问题

例知识^概述

圆的证明与计算是中考必考点，也是中考的难点之一。纵观全国各地中考数学试卷，能够看出，圆的

证明与计算这个专题内容有三种题型：选择题、填空题和解答题。

一、与圆有关的概念

1.圆：平面上到定点的距离•等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。圆的半

径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。

2.圆心角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。圆心角的度数等于它所对弧的度数。

3.圆周角：顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角叫做圆周角。

4.外接圆和外心：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接I圆的圆心，叫

做三角形的外心。外心是三角形三条边垂直平分线的交点。外心到三角形三个顶点的距离相等。

5.若四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆。

6.和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。内心是三角形三个角的角

平分线的交点。内心到三角形三边的距离相等。

二、与圆有关的规律

1.圆的性质：

（1）圆具有旋转不变性；

（2）圆具有轴对称性;

（3）圆具有中心对称性。

2.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

3.推论：平分弦（不是直径）的直径垂直F弦，并且平分弦所对的两条弧.

中考救学

4.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心隹相等，所对的弦相等，所对的弦心距也

相等。在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦

心距也相等。

5.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.

6.半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.

7.圆内接四边形的特征

①圆内接四边形的对角互补；

②圆内接四边形任意一个外角等于它的内对角。

三、点和圆、线和圆、圆和圆的位置关系

1.点和圆的位置关系

①点在圆内J0点到圆心的距离小于半径

②点在圆上<>点到圆心的距离等于半径

③点在圆外点到圆心的距离大于半径

2.直线与圆有3种位置关系

如果。。的半径为r,圆心0到直线/的距离为d,那么

①直线/和。0相交

②直线/和。0相切r.

③直线/和。0相离

中考救学

3.圆与圆的位置关系

设圆(4的半径为4,圆的半径为八，两个圆的圆心距J\(\0I，贝IJ：

两圆外离<>d>rl-r；两圆外切<>dr"；

两圆相交减酎穗除扇解蹋；两圆内切<>drrI：

两圆内含<>d<|rr|

四、切线的规律

1.切线的性质

(1)经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。

(2)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。

(3)圆的切线垂直于经过切点的半径。

2.切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

3.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且圆心和这一点的连线平分两条切

线的夹角。

四、求解圆的周长和面积的公式

设圆的周长为r,则：

1.求圆的直径公式d=2r

2.求圆的周长公式C=2JTr

3.求圆的面积公式S=nr2

五、解题要领

1.判定切线的方法

中考救学

基本结论有：在“力。平分/的夕；aAi)\,cir；"zr是。。的切线”三个论断中，知二推一。

(2)如图2、3,%'等于弓形如的高；麻烈的弦心距加(或弓形枚的半弦跖)。

(3)如图(4)：若8L16于长，则:

QCK=CD：BK=DE；CK】BE=DC;AE+AB。3K盘AD;

②>AG=AD・AB

中考救学

(4)在(1)中的条件①、②、③中任选两个条件，当第J_勿于£时(如图5),则:

①DE二GB；②DC二CG，③、AD+BG=AB；④AD・BG「/》（；'=/

类型2图形：如图：Rt/ABC中,/90°。点。是〃1上一点，以优、为半径作。。交月。于点发基本结

论有：

(1)在“BO平分4CBA";'W;"AB是◎()的切线”；"BDW。四个论断中，知一推三。

中考救学

（2）①G是⑦的内心；②ri?cn；③/Bg/CDE：、BO・DE=CO・CE='、CB；

2

（3）在图（1）中的线段）aCE、AE,力〃中，知二求四。

A!']

（4）如图（3）.若①BC=CE.则②-==tan/ADE：③心力生3：4：5：（在①、②、③中知一推

AD2

二）④设BE、⑦交于点H,,则BH=2EH

类型3图形：如图：应/力比中，N/I吐90°,以AB为直径作。。交AC于D,基本结论有：

如图：

（1）龙切。&〉£是欧的中点；

（2）若〃Z?切。〃，则：

①DE二BE二CE；

②&0、B、£四点共圆＞/CED=24A

③CD♦CA=4B民cnH（

KHDHA

图形特殊化：在（1）的条件下

如图：DE//AB..A/\BC./侬是等腰直角三角形:

中考救学

如图：若应的延长线交4?的延长线于点凡尔AB=BF,则:

①,止।；②分1

讣3R、2

类型4图形：如图，/力比中，A8=AC,以相为直径作交,％于点〃，交力C于点片

基本结论有：

(1)DEUC-DE切06

(2)在〃氏L/C或〃分切0。下，有:

①，〃配'是等腰三角型；

Hb

中考救学

②S③〃是的中点。④与基本图形1的结论重合。

⑤连AD,产生母子三角形。

类型5图形：以直角梯形月阳9的直腰为直径的圆切斜腰于氏基本结论有:

B

E1

(1)如图1：①AD+BC=CD；②/。⑺=/月陟90°；③〃〃平分NADC(或比t平分/以力)；(注：在①、

②、③及④“勿是。。的切线”四个论断中，知一推三)

®AD-BC=力〃

(2)如图2,连力区CO,则有：CO//AE,(力•力后2H与基本图形2重合)

(3)如图3,若EF工AB于F,交力。于G,贝ij：EG-FG.

类型6图形：如图：直线外比0。的半径仍于£,倒切。。于0,BQ交直线倒于几

基本结论有:

中考救学

(1)PQ=PR(，/初?是等腰三角形)；

(2)在“PR工0B”、切。。”、“PQ二PR”中，知二推一

(3)2PR・RE=BR・RQ=BE・2R=AB

类型7图形：如图，/力比内接于/为△4町的内心。基本结论有:

(1)如图1,®BD=CD=IDx®DP=DE-DA：③///户90°+\ZACB;

S1

(2)如图2,若N加060°,则：BD+CE=BC.

类型8图形：已知，3是。。的直径，。是““中点，CD工AB于仄BG交CD、AC

于£F.基本结论有:

中考救学

（1）cQBG：BE=EF=CExGF=2DE

J

（反之，巾CD=,、BG或BE=EF可得:C是证中点）

（2）0E=1AF.0E〃AC\△ODEs/AGF

（3）BE・BG二BD・BA

Z-*>

HCC（；,4（；

（4）若〃是阳的中点，则：①/枚是等边三角形；②

例题解析与对点练习

【例题1】.如图，在半径为3的0〃中，力〃是直径，力。是弦，〃是去的中点，力C与加交于点发若/?是加

的中点，则力。的长是（）

A.3&B.C.3A/2D.4$

【答案】D

【解析】连接如，交力。于人，根据垂径定理得出阳，力GAF=CF,进而证得"'=比；根据三角形中位线

中考照号

定理求得妙从而求得仁历=2,利用勾股定理即可求得力。.

连接微交力。于月

•・•〃是尼的中点，AODLAC,AF=CF、・•・//法'=90°,

'：QA=OB,AF=CF,：.OF="c,

•・•/«是直径，.・・/力。9=90°,

在△板和△£，为中

ZDFE=Z/\CR=90°

ZDEF=ZBEC

DE=BE

:.&EF恒4ECB(AAS),

：.DF=BC,

：.0F=-DF,

2

•・・Q=3,/.OF=1,:.BC=2,

在RlZk/ia'中，AG=AfF・BG,

：.AC=VAB2-BC2=A/62-22=4、攵，

【对点练习】.如图，比是半圆。的直径，D,£是标上两点，连接物，丝并延长交于点儿连接勿,

OE.如果N力=70°,那么的度数为（)

中考救学

A.35°B.38°C.40°D.42°

【答案】C.

【解析】考点是圆周角定理、直角三角形的性质。连接⑦，由圆周角定理得出N8T=90°,求出/月勿=

90。-ZJ=20°,再由圆周角定理得出N"应'=2/力⑦=40。即可，

连接⑺，如图所示：

•・•〃；是半圆。的直径，・•・/被;=90°,:.NADC=9G,

：.AACD=W-ZJ=20°,：,ADOE=2^ACD=W

【例题2】./应是。。的弦，OM工AB,垂足为M连接如若△/1〃"中有一个角是30°,〃Q2羽，则弦小

的长为.

【答案】12或4.

【解析】分/为必3=0°,/月〃6=30°,两种情况分别利用正切的定义求解即可.

•/0yLAB,

:,AM=BM,

若/血仁30°,

中考救学

则:anZOAM==亭,

AMAM3

.••/Q24gl2；

若/力〃仁30°,

则tanN加M喘=品=苧,

・••加2,

：./,B=2A^f=A.

【对点练习】.如图，△月函内接于。。，/。430°,/的=45°,MAB千点D,若。。的半径为2,

则⑺的长为.

中考救学

【答案】V2.

【解析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是

解题的关键.

连接。并延长交于发连接班,,于是得到N4=N/=3()°,NMC=90°,解直角三角形即可得到结

论.

连接。。并延长交。。于£连接“

则/〃=/4=30°,/以。=90°,

【例题3】,古希腊数学家毕达哥茂斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”.请研究如下美丽的圆.如图,

线段AB是。0的直径，延长AB至点C,使BC=0B,点E是线段0B的中点，DE_LAB交。0于点D,点P是

0C上-动点(不与点A,B重合j,连接CD,PE,PC.

(1)求证：CD是。。的切线;

中考救学

（2）小明在研究的过程中发现八.是一个确定的值.回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以

证明.

【答案】（1）见解析：（2）解析

2

【解析】本题考查了切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质.（1）连接OD,DB,由已知可得DE垂

直平分0B,于是DB=DO,而OB=OD,所以DB=DO=OB,即△03B是等边三角形，于是NBD0=60°,再由

等腰三角形的性质及三角形的外角性质可得NCDB=30°,从而可得N0DC=90°,所以ODJ_CD,所以CD是

。。的切线（2）连接0P,由已知条件得0P=0B=BC=20E,再利用“两组边成比例，夹角相等”证明40EP

^△OPC,最后由相似三角形的对应边成比例得到结论.

【详解】解：（1）如答图，连接OD,DB,•••点E是线段0B的口点，DE_LAB交（DO于点D,・・・DE垂直平分

OB,/.DB=DO.VDO=OB,/.DB=DO=OB,.二ZXODB是等边三角形，六NBDO=NDBO=60°.VBC=0B=

Bl）,且NDBE为△BDC的外角，ZBCD=ZBDC=--ZDBO.V21）80=60°，AZCDI^SO0.Z0l）C=Z

2

BD0+ZBDC=600+30°=90°,AOD±CD,；・CD是。。的切线；

(2)这个确定的值是

2

证明：如答图，连接OP,V0P=0B=BC=20E,:又：NC0P=NPOE,AAOEP^AOPC,

OP”2

中考救学

【点拨】本题考查切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质，掌握相关性质及定理是解题的关键.

【对点练习】.如图，A/IBC中，/1A/1C,以力。为直径的。。交于点〃，点£为C延长线上一点，目/CDE

=—Z^4C.

2

(1)求证：然是。。的切线；

(2)若仍=3初，CE=2,求。。的半径.

【答案】见解析。

【解析】本题考查了圆的切线的判定定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形相似的判定和性质,

解题的关键是作出辅助线构造直角三角形或等腰三角形.

(1)如图，连接OD、AD,

•・N。是直径，

・•・/力比:=90°,

中考救学

：.ADLBC>

'：AB=AC,

：./CAl)=ZHA1)=L/BAC,

2

♦:/CDE=L〃3«.

2

:ZCDE=/CAD,

•・•OA=OD,

：.ACAf)=ZADO,

•・•//觥/勿490。,

，/勿介/侬=90°

AZ6^=90°

又1•如是。〃的半径

・•・然是。。的切线；

(2)解：•:AB=AC,ADLBC,

：,BD=CD,

'：AB=3BD,

：,AC=V)C,

设DC=x,则力仁3筋

•e-/Z?=VAC2-DC2=2心，

♦:4CDE=4CAD,4I)EC=4AED,

中考救学

:、HCDEsRDAE、

・CE_DC_DE即2_x_DE

"DE^ADAE,'DE-2V2X3x+2

：.PE=4ypi，

••・/C=3x=14,

・・・00的半径为7.

专题点对点强化训练

一、选择题

1..如图，E,F,G为圆上的三点，4FEG=50°,〃点可能是圆心的是（）

【答案】C

【解析】利用圆周角定理对各选项进行判断.

•:/FEG=50。,

中考破考

若P点圆心，

"FPG=24FEG=KG.

2..如图，49为。。的直径，点C点〃是。〃上的两点，连接。，CD,AD.若N0!8=40°,则N49C的

度数是()

A.110°B.130°C.140°D.160°

【答案】B

【解析】连接84如图，利用圆周角定理得到N4％=90°,则N3=50°,然后利用圆的内接四边形的性

质求/力〃。的度数.

如图，连接8a

••N8为。。的直径，・•・/力%=90°,

・・・/Q90°-Z64)9=90°-40°=50°,

•/N加/力占180°,

，/力比=18()°-50°=130°.

中考救学

3..如图，。〃中，0C1AB,/力比*=28°,则N8%的度数为（）

C

A.14°B.28°C.42°I）.56°

【答案】D

【解析】根据垂径定理，可得肥=1交，/力尸。=28°,根据圆周角定理，可得N83.

;在。。中，OCIAB,

・・.肥=加，

VZ/f/r=28°,

：・4B0C=2/APC=5e

4..如图，在。。中，月〃为直径，/月仁8（）°.点〃为弦力。的中点，点£为枕上任意一点.则〃的大

小可能是（）

A.10°B.20°C.30°D.40°

【答案】C

中考破考

【解析】连接划、0E,设N〃庞三刈则NC应'=100°-x,/峻=100°-户40°,根据等腰三角形的性质

和三角形内角和定理求出/〃〃。和/仪〃即可求出答案.

连接如、OE,

•：OC=OA,

，△如。是等腰三角形，

•・•点〃为弦的中点，

・・・N〃a'=40°,/BOC=100°,

'设乙BOE=x,则NQ^=100°-x,N〃龙'=100°-卢40°,

•：OC=OE,/戊应=100"-x,

：,/OEC=4OCE=40°

+-2x,

*：OD<OE,NDOE=1OG-户40°=140°-x,

・・・N6^<20°+；x,

：.^CED=ZOEC-ZOED>(40°+-x)-(20°+-x)=20°,

22

*：ACEIXAABC=W,

A20°VN侬V40°

5..如图所示，点点B、C.〃在。。上，N力仁120°,点夕是病的中点，则/〃的度数是（）

中考救学

A.30°B.40°C.50°D.60°

【答案】A

【解析】连接场如图，利用圆心角、弧、弦的关系得到NN庞=/々历=；/力W60°,然后根据圆周角

定理得到/〃的度数.

连接如，如图，

•・•点3是病的中点，

：.ZAOB=ZCOB=-ZAOC=-x120°=60°,

22

・・./〃=1/月如=30°.

2

6..如图，已知四边形力池内接于/力比'=70°,则N4T的度数是（）

中考救学

A.70°B.110°C.130°D.140°

【答案】B

【解析】根据圆内接四边形的性质即可得到结论.

:四边形/必必内接于。。/ABC=70：

・••/力ZT=1800-N月8c=180°-70°=110°

7..如图，△//a'是。。的内接三角形，AB=EC,N阴£30°,力〃是直径，49=8,则力。的长为()

A.4B.4A/3C.那D.2/

【答案】B

【分析】连接⑦，根据等腰三角形的性质得到/力力二/%仁?。“，根据圆内接四边形的性质得到/〃=

180°-NB=60°,求得,根据直角三角形的性质即可得到结论.

【解析】连接C〃，

YAB=BC,ZBAC=30°,

:•2AC44BAC=3Q0,

•••NQ1800-30°-30°=120°,

二Ng1800-NQ60°,

・・・NO〃=30°,

中考救学

•・•川是直径，・•・/月勿=90°,

•・•力9=8,；・CD=；AD=4,

：.AC=、/A[)2_CD2=VS2-42=4、氏

8..如图，正三角形力旗的边长为3,将△力勿绕它的外心。逆时针旋转60°得到△©勿则它们重叠部

分的面积是（）

A.2、后B.p/3C.1V3D.V3

【答案】C

【解析】根据重合部分是正六边形，连接。和正六边形的各个顶点，所得的三角形都是全等的等边三角形,

据此即可求解.

作皿_L笈于也如图：

重合部分是正六边形，连接。和正六边形的各个顶点，所得的三角形都是全等的等边三角形.

•••△49。是等边三角形，AMVBC.

中考救学

2

：・AB=BC=3,BM=CM=；BC=N物J/=30°,

：./J/=/用/=萼，

工△力砥的面积=彳仇仅A：if=gx3x号=卓，

:.重叠部分的面积=的面现=：x,~„♦

>>a/

9..设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为方、八R,则下列结论不正确的是

()

A.//=R+zB.R=2rC.aI).

【答案】C

【解析】根据等边三角形的内切圆和外接圆是同心圆，设圆心为。根据30°角所对的直角边是斜边的一半

得：R=2n等边三角形的高是〃与不的和，根据勾股定理即可得到结论.

如图，;△力颇是等边三角形,

中考救学

•••△4?。的内切圆和外接圆是同心圆，圆心为

设定=八AO=R,AD=h,

・・・/，=R"、，故力正确；

VADIBC,

/.ZZWr=-Z^6=-x60°=30°,

22

在Rt△上及中，

：.R=2r,故夕正确；

•：OD=OE=rt

'：AB=AC=BC=a,

AE=-AC=-z?,

22

:.(/)2+/=(2r)2.(L,)2+(；R)2=序.

222

.・"=42,R=^a,故。错误，。正确；

10..如图，等边三角形/I比和正方形4分尸都内接于。。，则力?：AB=()

中考救学

C.乖:V2D.羽：2A/2

【答案】B

【分析】连接OA.OB、0D,过。，乍如14?于〃，由垂径定理得出力〃=掰=%8,证出△力勿是等腰直角三

角形，N4卯=/。6斤=60°AH=BH=%B,得出/必二工以，.4〃=苧⑸，则协=2/〃=/防进而得出

答案.

【解析】连接OA.OB、OD,过。作OHIAB千H,如图所示:

丁正方形,仍少和等边三角形/勿都内接于◎〃,

・•・//3120°,加90°,

•：OA=OD=OB,

，△力如是等腰直角三角形，NA0H=NBOH=、x\20。=60°,

乙

：.AD=\f2OA,力〃=O1・sin60°=芋宏，

：.AB=2AH=2xg()A=小(洪,

.A)_A/2OA_A/2

•'A3.A/3OA.V3

中考救学

二、填空题

11..如图，力。是△/!砥的外接圆。。的直径，若/8。=50°,则N力的=

【解析】根据圆周角定理即可得到结论.

•・•/〃是△/必。的外接圆。。的直径,

・••点4B,C,〃在。。上,

VZ^=50°,

力的=N60=5O°

12..已知圆锥的底面半径为1的，高为、々cm,则它的侧面展开图的面积为=enk

【答案】2/.

【解析】先利用勾股定理求出圆锥的母线/的长，再利用圆锥的侧面积公式：S恻=”，•/计算即可.

根据题意可知，圆锥的底面半径厂=1。勿，高力二"。勿,

中考救学

，圆锥的母线/=W+*=2,

Jirl=nX1X2=2n（端）.

13..如图，已知皿是半圆。的直径，弦CD〃AB,09=8,力8=10,则⑦与四之间的距离是

【答案】3.

【分析】过点。作。人勿于〃，连接因如图，根据垂径定理得到。/=力/=4,再利用勾股定理计算出以

=3,从而得到口与力6之间的距离.

【解析】过点。作ML。?于〃，连接因如图，财C//=D//=:CD=4,

在Rt△功力中，0H=\/52-42=3,

所以⑦与49之间的距离是3.

14..如图，/切是。。的直径，为切。。于点儿线段〃。交6。于点U连接回，若NQ36°,则N3

【答案】27。.

【解析】直接利用切线的性质得出/。/=90",再利用三角形内角和定理得出N/I仍=54“，结合圆周先

中考破考

定理得出答案.

;阳切。。于点4

・•・/期-90°,

丁/々36°,

,N力〃A54°,

：・£B=N/AOP=TT.

2

15..用一个圆心角为90°,半径为20°勿的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径为

cm.

【答案】5.

【分析】设这个圆锥的底面圆半径为八利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的

周长和弧长公式得到2丸r=叫/，然后解关于「的方程即可.

180

【解析】设这个圆锥的底面圆半径为八

根据题意得2冗不二。3,

loU

解得"r=5Cem).

16..如图，序.如是。。的切线，A.8为切点，点C.〃在。。上.若NQ102。，则

B

中考救学

【答案】219°.

【解析】连接月8,根据切线的性质得到处=如，根据等腰三角形的性质得到N*8=/巾=工(180°-

2

102°)=39°,由圆内接四边形的性质得到/的加180°,于是得到结论.

连接AB,

•・•用."是。。的切线，，为=心

VZ/^102°,：.^PAB=APBA=—(180°-102°)=39°，

2

VZZZ4^Zr=180o,

・・・/为用/仁//*/的加/々180°+39°=219°

17..如图，力。是。0的弦，力小5,点4是。。上的一个动点，且/力叱45°,若点风川分别是N。、园的中

点，则他V的最大值是.

【答案］—

2

【解析】〈MN是△ABC的中位线，JMN二LAB.

2

当AB为。0的直径时，AB有最大值，则MN有最大值.

中考戴考

当AB为直径时，ZACB=90°,

•・,/力叱45。，力05,，AB=5j2,

18..如图，在。。中，半径而垂直于弦H；点〃在圆上，且乙4比三30°,则/力切的度数为—

【答案】60°.

【解析】VOALBC,・・・初=元，,4加2乙处

VZ/fZT=30°，，N1加60°.

19..如图，。为RtA1旗直角边月C上一点，以3为半径的。。与斜边49相切于点〃，交处于点反已知

BC=43,AC=3.则图中阴影部分的面积是.

【答案】工.

6

【解析】本题考查了切线的性质定理、切线长定理以及勾股定理的运用，熟记和圆有美的

中考救学

各种性质定理是解题的关键.

在RtAABC中,V力餐3.

^=VAC2+BC2=2百，

,・・比工，笫，・••比、是圆的切线，

•••00与斜边力8相切于点〃，:.BD=BC,

：.AD=AIf-BD=2M-V3=V3：

在RtA4%中，・.飞徐力=匹=*!==1，.・.N力=30°,

AB2732.

与斜边力8相切于点〃，：.()DA.AB,,•・/月切=900-ZJ=60°,

V^P.=tan/J=tan30°,.••毕:返，OD=1,

AD«3

6QKX12_

:.S阴影=

-360-

JT

20..如图，在平面直角坐标系中，已知。(3,4),以点。为圆心的圆与y轴相切.点力、8在x轴上，且

6M=6B.点尸为0c上的动点，N加少=90°,则，仿长度的最大值为.

中考救学

【答案】16.

【解析】连接％并延长，交。。上一点八以。为圆心，以少为半径作。0,交x轴于/、氏此时/国的长

度最大，

•・・。（3,4）,・••作在2+42=5,

•・,以点C为圆心的圆与y轴相切・・・・0C的半径为3,・・・伊=。=如=8,

•・・/8是直径，・•・/力加=90°,・••用长度的最大值为16。

三、解答题

21..如图，在Rt△力砥中，NQ90°,点。在〃'上，以。1为半径的半圆。交力夕于点〃，交4C于点、E,

过点〃作半圆。的切线帆交员1于点汽

（1）求证：BF=陀

（2）若力44,BC=3,CF=\,求半圆。的半径长.

【解析】见解析。

【分析】（1）连接加，由切线性质得NW、=90°,进而证明/能月=/4+/5=90°,得NB=NBDF,

便可得跖=ZF；

（2）设半径为八连接如，OF,则施三4・八求得〃尸，再由勾股定理，利用如为中间变量列出r的方程

便可求得结果.

【解析】（1）连接OD,如图1,

中考救学

•••过点〃作半圆。的切线ZF,交相于点E

・•・/如'=90°,

・•・/力〃。卜N初=90°,

'：OA=OD,

：./0AD=/0DA,

：.40AIR/BDF=9Q0,

VZ6^=90°,

・•・/切分NQ900,

：・4B=4BDF,

：.BF=DFx

(2)连接OF,。〃，如图2,

设圆的半径为八则OD=OE=r,

f：AC=4,BC=3、CF=3

：.OC=\-r,DF=BF=3・\=2,

中考救学

B

图2

•••Qa+DF=OR=Oa+CR,

，产+22=(4-r)2+12,

.-.r=H

8

故圆的半径为斗.

O

22..如图，在。〃中，4?为直径，点C为圆上一点，延长力〃到点〃使勿=勿，且NZ>=30°.

(1)求证：切是。。的切线.

(2)分别过48两点作直线⑦的垂线，垂足分别为反“两点，过C点作力8的垂线，垂足为点£求证:

CG=AE・BF.

【解析】见解析。

【分析】(1)连接施；N"ZH/g30°,由a-%，进而得到/应力=/勿/?=30°,由三角形外角定

理得到/。勿=/"/〃以=60°,在中由内角和定理可知N0(刀=90°即可证明：

(2)证明力。是的角平分线，⑦是N/T6的角平分线，得到四=4,CF=CG,再证明取

中考救学

对应线段成比例即可求解.

【解答】(1)证明：连接0C,如右图所示，

<CA=CD,且NZ?=30°,

・・・NOL9=Ng30°,

•：OA=OC,

：.^CAD=^ACO=^°,

AZCOD=ZCADyZACO=300+30°=60°,

••・N4CT=18()°-Z.D-Z6W=180°-30°-60°=90°,

：・OC1CD,

・・・切是。。的切线；

(2)TNC仍=60°,且OC=OB,

・•・△戈方为等边三角形，

：・4CBG=60°,

又，：CGIAD,

：.ACGB=W,

:/GCB=/CGB-4CBG=3N,

又•••/G69=60°,

・•・3是NGQ?的角平分线，

■:BFLCI),BG1CG,

:.BF=BG,

中考救学

义,：BC=BC,

，Rt△为归RtZ\8g血）,

:,CF=CG.

•・・Ng30°,AEIED,N£=90°,

：.ZEAD=60c,

又・・・/。430°,

・••力C是/必G的角平分线，

'：CELAE.CGLAB,

:・CE=CG,

•：4E=4BFC=90°,^EAC=^°=/BCF,

:.△AEC^XCFB、

・*=£，卬价BF=CF・CE,

CFBl,

又CE=CG,CF=CG,

:・AE・BF=CG.

23..如图，/出是。。的宜径，。为00上一点，连接力。，CELAB于点、E,〃是直径/以延长线上一点，且/

BCE-ABCD.

中考救学

（1）求证：切是。〃的切线；

（2）若4?=8,£=求切的长.

【答案】见解析。

【分析】（1）连接”,根据圆周角定理得到/力⑦=90°,根据余角的性质得到/力=/笈为求得N4=N

BCD,根据等腰三角形的性质得到/力=/力々7,等量代换得到N/fCg/仇力，求得/〃加90°,于是得到

结论；

（2）设.BC=k,AC=2k,根据相似三角形的性质即可得到结论.

【解析】（1）证明：连接OC，

•••"是。。的直径，，/4%=90°,

•:CE1AB,・•・/侬=90°,

：・NEC/NABC=NABGNCAB=9、°,:"A=4ECB,

•：4BCE=4BCD,：,AA=ABCD,

FQC=0A,：,ZJ=ZACO,:./ACO=/BCD,

：.2ACS/BCO=/BCS4BCD=W,

：.NDCO=9U0,

・•・切是。。的切线;

中考照考

(2)解：VZA=/BCE,

BCBF1

tanJ=—=tan/BCE=-=一,

ACCE2

设BC=k,AC=2k,

•••///=/〃，ZA=/BCD,

・••△/I如△的

.B：CD1

••—=-9

ACAD2

：.CD=\,

24..如图，3〃为。〃上两点，且在直径力〃两侧，连结少交4/于点£,G是病上一点，乙ADC=4G.

(1)求证：Z1=Z2.

(2)点。关于〃G的对称点为E连结6F.当点尸落在直径)上时，CF=\O,tan/l=：求。。的半

5

径.

中考救学

【答案】见解析。

【分析】(1)根据圆周角定理和力方为。。的直径，即可证明/1=/2；

(2)连接加；根据垂径定理可得用=%=10,再根据对称性可得比、="；进而可得应的长，再根据锐角

三角函数即可求出。。的半径.

【解析】(1).:4ADC=4G,

.,.At=Ab,

•・・/夕为。。的直径，

.,.筑=曲，

/.Z1=Z2；

(2)如图，连接以；

••,应：=疝，力〃是。。的直径,

:」BLCD,CE=DE,

:.FD=FC=\Q,

，：点、C,〃关于如对称，

：・DC=DF=\Q,

：・DE=5,

中考救学

2

•••+tanNZ11一_二9

:・EIi=DE7ar\/\=2,

VZ1=Z2,

/.tanZ2=1，

5

DE

.・.A5E=----,25

tanZ22

29

：.AB=AE^EB=-,

・・・。。的半径为4

25.如图，△48。内接于。0,47为。。的直径，力8=10,AC=^连结比；弦49分别交冗,以?于点区F,

其中点后是力〃的中点.

(1)求证：/CAIA/CBA.

(2)求阳的长.

【答案】见解析。

【分析】(1)利用垂径定理以及圆周角定理解决问题即可.

(2)证明△然。-△直九推出自二三求出比即可解决问题.

ACAB

【解析】(1)证明：•・•/月=〃/:',施、是半径,

中考救学

"CAD=/CBA.

(2)解：・.・48是直径，

・•・/力390°,

<AE=DE,

：・OC上AD,・・・/月£r=90°,

:.AAEC=N4%,

:、△AECSRBCA、

.CEAC

••"■=,

ACAB

.CE_6

•丁正，

.”=3.6,

,：OC=2B=5,

：,OE=OC-EC=3-3.6=1.4.

C

26..已知：如图，在△》8中，OA=O&0。与/历相切于点C.求证：力占比：小明同学的证明过程如下

框：

中考救学

证明：连结％,

*：OA=OB,

又,：()€=0C,

，△力C/△仍£

：.AC=BC,

小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“：若错误，请写出你的证明过程.

【答案】见解析。

【分析】连结％,根据切线的性炭和等腰三角形的性质即可得到结论.

【解析】证法错误：

证明：连结戊；

•••。0与47相切于点。，

；・OCLAB,

*：OA=OB.

：.AC=BC.

27..如图，已知△/1砥是。。的内接三角形，力〃是。。的直径，连结做BC平分/ABD.

中考救学

(1)求证：Z.CAD=Z.ABCx

(2)若49=6,求而的长.

【答案】见解析。

【分析】（1）由角平分线的性质和圆周角定理可得/如。=/月%=/。〃：

（2）由圆周角定理可得而=肥，由弧长公式可求解.

【解析】（1）,:BC平分4ABD,

:./DBC=NABC,

'：ACAD=^DBG

：・4CAD=NABC；

（2）•:/CAD=/ABC,

/.CD=AC,

••NO是（DO的直径，4H6,

yx11Q

・・・CD的长=；x；xJIX6=9兀.

28..如图，/夕是。。的直径，点。是。。上一点，N08的平分线力〃交加于点〃，过点、D作比〃BC交AC

的延长线于点E.

（1）求证：然是的切线;

中考救学

(2)过点〃作"、JL居于点"连接BD.若S=l,BF=2,求3〃的长度.

【答案】见解析。

【分析】(1)连接切，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出N/JSN加