专题01 集合与常用逻辑用语（期中复习讲义）（解析版）高一数学上学期人教A版

3/3专题01集合与常用逻辑用语（期中复习讲义）核心考点复习目标考情规律1.1元素与集合的关系（属于∈、不属于∉）能正确判断给定元素与集合的关系，并能根据关系求解参数。基础题，常与集合的互异性结合考查。1.2集合的表示法（列举法、描述法）能根据问题情境选择合适的方法表示集合，并能进行两种表示法的相互转化。易错点在描述法中对代表元素及其公共属性的准确理解。1.3集合的特性（确定性、互异性、无序性）能利用互异性检验集合表示的正确性，并求解相关参数。小题中常设陷阱，如忽略互异性导致多解。1.4集合间的关系（子集、真子集、相等）能判断两集合间的关系，会求一个集合的所有子集和真子集个数。易忽略空集是任何集合的子集，是分类讨论的常见漏解原因。1.5集合的运算（交集、并集、补集）能进行简单的混合运算，并能利用数轴或Venn图解决与不等式、定义域相关的集合运算问题。高频考点，数轴法求参是常见题型和难点。1.6充分条件与必要条件的判断能通过“定义法”、“集合法”等多种方法准确判断条件的类型。核心易错点，常将“谁是条件”混淆，命题趋势是结合其他知识构成复合命题。1.7全称量词与存在量词命题的否定能正确书写含有一个量词的命题的否定，并判断其真假。易错点是否定时只改量词而不否定结论知识点01元素与集合集合的概念一般地，我们把指定的某些对象的全体称为集合，通常用大写字母A，B，C，…表示，集合中的每个对象叫做这个集合的元素，通常用小写字母a，b，c，…表示.集合与元素的关系一个集合确定后，任何一个对象是不是这个集合的元素就确定了，如果元素a在集合中A中，就说元素a属于集合A，记作，如果元素a在不集合中A中，就说元素a不属于集合A，记作.3．集合的分类含有有限个元素的集合叫作有限集，含有无限个元素的集合叫作无限集，不含任何元素的集合叫作空集，记作.4．元素与集合（1）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性.（2）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法.（3）常用数集及其记法：数集非负整数集（或自然数集）正整数集整数集有理数集实数集复数集符号NN*或（N＋）ZQRC知识点02集合的基本关系文字语言符号语言基本关系子集集合A中任意一个元素都是集合B的元素______真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中相等集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集空集空集是任何集合的子集空集是任何非空集合的真子集且必记结论：（1）若集合A中含有n个元素，则有____个子集，有个非空子集，有个真子集，有个非空真子集．（2）子集关系的传递性，即.注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑__空集___的情况，否则会造成漏解.知识点03集合的交集、并集、补集运算文字语言符号语言图形语言记法并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合{x|x∈A，或x∈B}

A∪B交集由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合{x|x∈A，且x∈B}

A∩B补集由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合{x|x∈U，且x∉A}

知识点04集合的运算性质1．交集的性质：①A∩BA；②A∩BB；③A∩A＝；

④A∩＝；⑤A∩B=B∩A.2．并集的性质：①A∪BA；②A∪BB；③A∪A＝；④A∪＝；⑤A∪B=B∪A.3．补集的性质：①∁U(∁UA)＝；②∁UU＝；③∁U＝；④A∩(∁UA)＝；⑤A∪(∁UA)＝；⑥∁U(A∩B)＝(∁UA)(∁UB)；⑦∁U(A∪B)＝(∁UA)(∁UB)．知识点05德摩根公式知识点06容斥定理之集合中元素个数知识点07命题的概念（1）定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．（2）分类：判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题．（3）结构形式：“若，则”“如果，那么”等形式的命题中，称为命题的条件，称为命题的结论．知识点08充分条件与必要条件1．充分条件与必要条件的定义一般地，“若，则”为真命题，是指由条件通过推理可以得出。由可推出，记作，并且说是的___充分条件___，是的___必要条件___。如果“若，则”为假命题，是指由条件不能推出结论，记作，则不是的充分条件，不是的必要条件。2．充分性和必要性的关系在“若，则”中，若：，则是的充分条件，是的必要条件若：，则是的充分条件，是的必要条件也就是说：在“若，则”中，条件结论，____充分性成立____；结论条件，____必要性成立___3．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且qpp是q的必要不充分条件pq且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分又不必要条件pq且qp知识点09集合中的包含关系在判断条件关系中的应用设命题对应集合，命题对应集合若，即，是的充分条件（充分性成立）若，即，是的必要条件（必要性成立）若，即，，是的______充分不必要条件______若，即，，是的____必要不充分条件_______若，即，，是的______充要条件_________知识点10全称量词与存在量词1．全称量词与存在量词（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中任意一个x，p（x）成立”可用符号简记为∀x∈M，p（x）.（2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.存在量词命题“存在M中的元素x，p（x）成立”可用符号简记为∃x∈M，p（x）.2．全称量词命题和存在量词命题的否定（1）全称量词命题的否定对含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论：全称量词命题p:∀x∈M，p(x)，它的否定¬p：∃x∈M，p(x)不成立．全称量词命题的否定是存在量词命题．（2）存在量词命题的否定对含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论：存在量词命题p:∃x∈M，p(x)，它的否定¬p：∀x∈M，p(x)不成立．存在量词命题的否定是全称量词命题．（3）在书写这两种命题的否定时，相应地存在量词变为全称量词，全称量词变为存在量词．题型一元素与集合的关系解｜题｜技｜巧（1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．（2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．注意：结合互异性解题【典例1】（24-25高一上·重庆渝北·期中）设集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】判断集合与元素的属于关系，集合与集合的包含关系.【详解】且，∴，A选项错误，B选项正确，对于选项C、D，集合与集合的关系是（真）包含或不包含，不能用属于，故错误.故选：B【变式1】（24-25高一上·湖北·期中）已知集合，，若，则实数.【答案】【分析】由已知集合的元素，分类讨论求参数值，再根据集合的性质确定的值.【详解】若，则，此时集合违背互异性，不符合要求；若，则，此时，符合要求；若，则，此时集合违背互异性，不符合要求；综上所述，.故答案为：.【变式2】）已知集合，若，则（

）A． B．C． D．不属于M，Q，P中的任意一个【答案】A【分析】根据条件可得到集合中元素的特征，分析的特征后即可得到答案．【详解】∵，∴，，∴，∴.故选：A.题型二集合间的基本关系解｜题｜技｜巧（1）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点．（2）当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用．注意：解集合的包含关系题目时，非常容易忽略小集合可能是空集的特殊性.【典例1】（24-25高一上·广东广州·期中）已知集合，满足条件的集合的个数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据集合之间的关系，结合元素个数求得子集的个数，可得答案.【详解】由题可知集合是集合的非空真子集，故有个.故选：B.【典例2】（24-25高一上·云南·期中）设集合，，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据交集的定义求，再根据集合关系判断选项A，C；求根据集合相等定义判断D，根据与集合，，的关系，结合集合并集定义判断B.【详解】由题意可得，为的真子集，故A，C均错误；，，D正确；，，，B错误.故选：D.【典例3】（24-25高一上·广东广州·期中）设集合，若，则满足条件的的集合为【答案】【分析】先由集合之间的包含关系与集合的元素特征，得到满足条件的集合，再逐一分析得对应的取值即可得解.【详解】因为，，所以或或，当时，则；当时，，解得；当时，，解得；综上，满足条件的的集合为.故答案为：.【变式1】（24-25高一上·福建福州·期中）满足的集合的个数为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】首先要解出方程的根，得到集合的元素.然后根据子集关系确定满足条件的集合的个数.【详解】解方程的根，，则.因为.那么A中一定含有元素和，可能含有元素，，（但不全有），所以集合的个数即为集合的真子集个数，共有个.故选：C.【变式2】（24-25高一上·安徽宿州·期中）设集合，，则集合，的关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，将集合化简，即可得到结果.【详解】由题意得，，集合，所以.故选：A．【变式3】（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）集合，集合.若，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题意，分和两种情况讨论即可.【详解】因为，①当时，，解得，②当时，，解得，综上所述，的取值范围是为：.故选：A题型三集合间的基本运算【典例1】（23-24高一上·广东深圳·期中）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先解不等式，然后按补集定义求补集，再用并集定义求解即可【详解】或所以，故选：D【典例2】（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）已知集合，集合.(1)当时，求；(2)若，求实数的取值范围；(3)若，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据集合的并集运算即可求解；（2）由得，根据集合的包含关系即可求解；（3）根据和分类讨论即可求解.【详解】（1）当时，，则；（2）由得，所以，解得，即m的取值范围是；（3）当时，符合题意，此时有，即当时，有或，解得综上，实数的取值范围为.【变式1】（24-25高一上·福建福州·期中）（多选）全集，，，，则下列判断正确的有（

）A．B．或C．若，则或D．若，则或【答案】AD【分析】由已知可得集合，根据并集的定义即可判断；先求解，再根据补集的运算即可判断；由已知分和两种情况分别列不等式求解即可判断；先求解，再分和两种情况分别列不等式求解即可判断.【详解】因为，所以，所以，故正确；因为，所以或，故错误；因为，当时，所以，即，当时，所以或，解得或，综上，的取值范围是或，故错误；因为，所以或，因为，当时，所以，即，当时，所以或，解得或，综上，的取值范围是或，故正确.故选：.【变式2】（24-25高一上·北京丰台·期中）已知集合，．(1)若，求，；(2)若，求实数的取值范围．【答案】(1)，或(2)【分析】（1）求出，根据交集、并集以及补集运算，求解即可；（2）由得，分，两种情况讨论可求得的取值范围．【详解】（1）由得，，所以．

因为，所以或，

所以或．（2）因为，所以，当时，可得，解之可得，此时，故不满足舍弃，当时，可得，故．综上可知的取值范围为.题型四Venn图及容斥原理的应用【典例1】（多选）图中阴影部分用集合符号可以表示为（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】在阴影部分区域内任取一个元素，分析与集合、、的关系，利用集合的运算关系，逐个分析各个选项，即可得出结论.【详解】如图，在阴影部分区域内任取一个元素，则或，所以阴影部分所表示的集合为，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为，所以选项AD正确，选项BC不正确.故选：AD.【典例2】（24-25高一上·云南昆明·期中）（多选）某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则（

）A．三项都参加的有1人 B．只参加拔河的有3人C．只参加4人足球的有2人 D．只参加羽毛球的有4人【答案】BC【分析】应用容斥原理求出三项都参加的同学人数，即可得答案.【详解】根据题意，设是参加拔河的同学，是参加4人足球的同学，是参加羽毛球的同学，则，，，又，，所以，所以三项比赛都参加的有2人，只参加拔河的有3人，只参加4人足球的有2人，只参加羽毛球的有1人．故选：BC【变式1】（24-25高一上·福建福州·期中）（多选）已知全集，，，，，，则下列选项正确的是（

）A． B．C． D．的不同真子集个数为8【答案】BC【分析】根据已知条件作出Venn图，结合元素与集合的关系以及集合之间的关系，一一判断各选项，即得答案.【详解】因为，所以，因为，所以，因为，所以，又，说明，综上，画出维恩图如下：对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，的不同真子集个数为7，故D错误，故选：BC.【变式2】（24-25高一上·重庆·阶段练习）高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习．已知选择物理的有36人，选择化学的有24人，选择生物的有20人，其中选择了物理和化学的有18人，选择了化学和生物的有10人，选择了物理和生物的有16人．那么班上选择物理或化学或生物的学生最多有人．【答案】46【分析】根据题意，把学生54人看成集合，选择物理的人组成集合，选择化学的人组成集合，选择生物的人组成集合，结合Venn图和容斥原理可知，当取最大值时最大，验证可得最终结果.【详解】把学生54人看成集合，选择物理的人组成集合，选择化学的人组成集合，选择生物的人组成集合.由题意知，且，则，由，可得，当且仅当时，最大，此时．验证：此时各区域人数如图所示，满足题意所有条件．故班上选择物理或者化学或者生物的学生最多有46人．故答案为：46．题型五集合新定义【典例1】（24-25高一上·陕西咸阳·期中）（多选）定义集合A与B的运算：，.已知，，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根据新定义，结合交并补概念逐个计算即可确定正确选项.【详解】∵，，∴，∴，，选项A、B正确.∵，∴，∴，选项C错误.∵，∴，∴，选项D正确.故选：ABD.【典例2】（24-25高一上·安徽·期中）对于非空的有限整数集，定义，．(1)若集合，求和．(2)已知，为非空的有限整数集，且．（ⅰ）若，求集合；（ⅱ）证明：．【答案】(1)；.(2)（ⅰ）或；（ⅱ）证明见解析.【分析】（1）根据题意，由集合新定义代入计算，即可得到结果；（2）（ⅰ）根据题意，由集合新定义可得，从而可得，即可得到结果；（ⅱ）结合新定义可得，则，然后分别考虑属于时的情况，再考虑，时，由是有限集即可舍去，从而证明.【详解】（1）由题意可得，.（2）（ⅰ）设，则，因为，所以，所以，即，因此，因为，所以，所以，由此可知中至少有和两个元素，所以，故或.（ⅱ）设，因为，所以，又因为，所以，即，若，则，故可以是；若，则，故可以是，；若，则，故可以是，；若，则，像这样可以得到无限个中的元素，不符合是有限集；若，则，同样不符合是有限集；同理可得，当或时，也不符合是有限集；综上，可以是，，，，，均满足.【点睛】关键点睛：本题主要考查了集合新定义问题，难度较大，解答本题的关键在于从新情境中获取信息，搭建相关的集合知识网络，将其运用到新情境中，从而求解.【变式1】（24-25高一上·浙江·期中）（多选）已知非空集合，若对，都有，成立，则称集合是封闭集.下列说法中正确的是（

）A．集合是封闭集B．若集合是封闭集，则也是封闭集C．若集合，为封闭集，且，则也是封闭集D．若集合，为封闭集，且，则也是封闭集【答案】AD【分析】根据封闭集的定义判断AD；举例说明判断BC.【详解】对于A，记，由，设，，则，，可知，，则集合是封闭集，故A正确；对于B，取集合{有理数}，若，则都有，成立，故集合是封闭集．{无理数}，取，可知，，故不是封闭集，故B错误；对于C，取，是封闭集．取，由，设，，则，，则，，可知是封闭集，且，取，则，但，因此不是封闭集，故C错误；对于D，设，则，，若集合，为封闭集，且，则，；，；从而，，则也是封闭集，故D正确.故选：AD.【变式2】（24-25高一上·吉林松原·阶段练习）已知集合，若对任意的整数和中至少有一个是集合的元素，则称集合具有性质.(1)判断集合是否具有性质，并说明理由.(2)若集合具有性质，证明：，且.(3)当时，若集合具有性质，且，求集合.【答案】(1)集合具有性质，理由见解析(2)证明见解析(3).【分析】（1）集合具有性质的定义判断即可.（2）令，利用集合具有性质，进而可得是集合的元素，进而可得结论.（3）由（2）可得，进而可得，利用定义计算可求得集合.【详解】（1）因为都是集合的元素，且时，也是集合A的元素，所以集合具有性质.（2）令因为集合具有性质，所以和中至少有一个是集合的元素.因为，所以，所以不是集合的元素，所以是集合的元素，即0是集合的元素.因为.因为，所以，所以，显然有，得证.（3）由（2）可知，则，即，所以，所以.因为，所以，且，则或.当时，，故集合；当时，，故集合，此时，不符合题意.综上，集合.题型六判断充分条件与必要条件及其参数求解解｜题｜技｜巧直接法：判断条件是否能推出结论，再判断结论是否能推出条件，双向判断后即可．（2）集合法：对于条件和结论对应的集合关系，利用“小充分大必要”即可判断．【典例1】（24-25高一上·贵州·期中）设，则“”是“且”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件【答案】B【分析】根据充分、必要性定义，结合条件间的推出关系判断充分、必要关系.【详解】当时，满足，但不满足且，充分性不成立；当且时，必有，必要性成立；所以“”是“且”的必要不充分条件.故选：B【典例2】（24-25高一上·广东肇庆·期中）设，已知集合，.(1)①当时，求；②当时，求实数m的范围；(2)设p：；q：，若p是q的必要不充分条件，求实数m的范围.【答案】(1)①或；②(2)【分析】（1）①根据交集、补集的知识求得正确答案.②由题意知，4是集合B的元素，代入可得答案；（2）由题可得是的真子集，分类讨论为空集和不为空集合两种情况，即可求得m的取值范围.【详解】（1）①当时，，所以，所以或.②由题可得，解得；（2）由题可得是的真子集，当，则；当，，则（等号不同时成立），解得综上：.【变式1】子曰：“工欲善其事，必先利其器.”这句名言最早出自于《论语･卫灵公》.此名言中的“利其器”是“善其事”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据题意结合充分、必要条件分析判断.【详解】由题意“工欲善其事，必先利其器.”指工匠要想要做好活儿，一定先要把工具整治得锐利精良.从逻辑角度理解，如果工匠做好活了，说明肯定是有锐利精良的工具，即必要性成立；反过来如果有锐利精良的工具，不能得出一定能做好活儿，即充分性不成立；所以“利其器”是“善其事”的必要不充分条件.故选：B.【变式2】（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知命题，使得，当命题为真命题时，实数的取值集合为．(1)求集合；(2)设非空集合，若是的必要条件，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)．【分析】（1）由题意可得方程有解，根据即可求解.（2）由题意得，列出不等式组求解即可.【详解】（1）由题意可得方程有解，所以，即，解得，所以．（2）因为是的必要条件，所以，又因为为非空集合，且，所以解得，所以实数的取值范围为．题型七全称量词命题与存在量词命题（习题跨章节）【典例1】命题“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根据存在量词命题的否定的知识来确定正确答案.【详解】命题是存在量词命题，则命题的否定是全称命题，所以命题，的否定为：，.故选：D.【典例2】已知命题，，命题，，则（

）A．和都是真命题 B．和都是真命题C．和都是真命题 D．和都是真命题【答案】B【分析】利用特值法即可判断两个命题的真假，从而得到答案.【详解】对于命题，不妨取，则，则命题为假命题，对于命题，不妨取，由，则命题为真命题，因此，和都是真命题.故选：B.【变式1】已知命题，命题.(1)若命题为真命题，求实数的取值范围；(2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用全称量词命题为真求出的范围，再由为真求得答案.（2）由存在量词命题为真求出命题，进而求出，再结合（1）的信息求出结果.【详解】（1）对于任意，不等式恒成立，而，则，即命题，则命题，所以实数的取值范围是.（2）由，得，解得，即命题，则命题，由（1）知命题，由命题和均为真命题，得，所以实数的取值范围是.【变式2】（24-25高一上·四川眉山·期中）已知为实数，集合.(1)若命题“”是假命题，求实数的取值范围；(2)若恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，得到命题“”是真命题，转化为在上恒成立，结合二次函数的性质，即可求解；（2）根据题意，转化为在上恒成立，当时，显然成立；当时，转化为恒成立，结合基本不等式求得最小值，即可求解.【详解】（1）解：因为集合，由命题“”是假命题，可得命题“”是真命题，即在上恒成立，因为函数，当时，取得最大值，最大值为，所以，所以实数的取值范围为.（2）解：因为恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，当时，不等式等价于恒成立，符合题意；当时，等价于恒成立，因为，当且仅当时，即时，等号成立，所以，综上可得，实数的取值范围为.期中基础通关练（测试时间：10分钟）一、单选题1．（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）集合的子集个数为（

）A．3 B．4 C．7 D．8【答案】D【分析】先用列举法写出集合，得出元素个数，再利用公式计算其子集个数.【详解】由已知得集合，共有3个元素，所以其子集个数为.故选：D.2．（23-24高一上·四川达州·期中）已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先把集合解出来化成最简形式，再利用补集和交集的定义即可得出答案.【详解】由或，故集合或，所以，易得集合，故.故选：B.3．（24-25高一上·河北唐山·期中）已知，，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】结合区间的包含关系，根据充要条件的判断方法即得.【详解】因是的真子集，故是的充分不必要条件.故选：A.4．（22-23高一上·江苏宿迁·期末）命题“”的否定是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】原命题是一个特称命题，根据特称命题的否定规则即可得结论.【详解】命题“”的否定是“”.故选：D.二、多选题5．（24-25高一上·浙江衢州·期中）已知集合，则下列符号语言表述正确的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】先求出集合，然后逐个分析判断即可.【详解】，对于A，因为，所以，所以A正确，对于B，因为0是元素，，所以，所以B错误，对于C，因为，所以，所以C错误，对于D，因为，所以，所以D正确.故选：AD6．（24-25高一上·广东中山·阶段练习）的一个必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】解不等式，得到解集，结合集合的包含关系得到AD满足要求，BC不满足要求.【详解】，解得，由于是的子集，故是的一个必要条件，A正确，同理，是的子集，故是的一个必要条件，D正确，B,C选项均不满足要求.故选：AD.三、填空题7．（24-25高一上·内蒙古包头·期中）已知集合，集合，若，则实数的值是．【答案】【分析】根据集合相等解方程即可求得结果.【详解】因为，所以；依题意可得且.即实数的值是.故答案为：8．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合，，且，则实数的取值范围为.【答案】【分析】根据集合的包含关系列不等式可求的取值范围.【详解】因为，，，所以，所以，所以的取值范围为.期中重难突破练（测试时间：20分钟）一、单选题9．（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，若是的充分不必要条件，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由一元二次不等式解得集合，根据充分不必要条件可得集合的包含关系，建立不等式，可得答案.【详解】由或，则，由是的充分不必要条件，则，且可得，解得.故选：C.10．（24-25高一上·江西上饶·期中）已知命题“”是真命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据参数是否等于零分类讨论，再结合二次函数的图象与性质列不等式，求解即可.【详解】由题意，命题“，”是真命题，当时，不等式，解得，不满足题意；当时，，解得综上所述，实数的取值范围是故选：A.二、多选题11．（24-25高一上·福建福州·期中）全集，，，，则下列判断正确的有（

）A．B．或C．若，则或D．若，则或【答案】AD【分析】由已知可得集合，根据并集的定义即可判断；先求解，再根据补集的运算即可判断；由已知分和两种情况分别列不等式求解即可判断；先求解，再分和两种情况分别列不等式求解即可判断.【详解】因为，所以，所以，故正确；因为，所以或，故错误；因为，当时，所以，即，当时，所以或，解得或，综上，的取值范围是或，故错误；因为，所以或，因为，当时，所以，即，当时，所以或，解得或，综上，的取值范围是或，故正确.故选：.12．（2024·江苏泰州·模拟预测）对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（）A．若且，则B．若且，则C．若且，则D．存在，使得【答案】AB【分析】根据集合的新定义，结合选项以及交并补的性质逐一判断即可．【详解】解：对于A，因为，所以，所以，且中的元素不能出现在中，因此，即A正确；对于B，因为，所以，即与是相同的，所以，即B正确；对于C，因为，所以，所以，即C错误；对于D，由于，而，故，即D错误．故选：AB．三、填空题13．（24-25高一上·上海·期中）已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为.【答案】【分析】分析可知有一个不等于3的实数解，分类讨论最高项系数以及根的个数，运算求解即可.【详解】由题意可知：方程有且仅有一解，等价于有一个不等于3的实数解，1.当时，解为，满足题意；2.当时，只有一解时，则，解得，若，则，解得，符合题意；3.当时，且有两解但3是方程的解，故，解得；综上所述，实数取值集合为.故答案为：.四、解答题14．（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）已知集合，集合.(1)若，求实数的值；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)或.【分析】（1）根据交集的概念计算即可；（2）根据集合的关系及补集运算，分类讨论计算即可.【详解】（1）因为，所以，所以，所以；（2）由题意，，所以，集合，所以或，所以或，所以或.故实数m的取值范围为或.15．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合是实数集的非空子集