（人教A版）必修第二册高一数学下学期期末复习训练 拓展三：三角形面积（定值最值范围）问题 精讲（解析版）

拓展三：三角形面积（定值，最值，范围）问题目录一、必备知识分层透析二、重点题型分类研究题型1：三角形面积（定值问题）题型2：三角形面积（最值问题）题型3：三角形面积（范围问题）三、高考（模拟）题体验一、必备知识分层透析基本公式1、正弦定理及其变形基本公式2、余弦定理及其推论基本公式3、常用的三角形面积公式（1）；（2）（两边夹一角）；核心秘籍1、基本不等式①②核心秘籍2：利用正弦定理化角（如求三角形面积取值范围，优先考虑化角求范围）利用正弦定理，，代入面积公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积的取值范围.二、重点题型分类研究题型1：三角形面积（定值问题）典型例题例题1．在中，角的对边分别为．(1)求证：；(2)若，求的面积．【答案】(1)证明见解析(2)（1）证明：在中，因为，所以，，所以，由正弦定理，得，所以，．（2）解：由正弦定理，得，所以，由余弦定理，得，即，所以或．当时，又，所以，又，所以，明显不符合题意，所以，又，所以的面积．例题2．在中，已知角，，的对边分别为，，，且(1)求角的大小(2)若为锐角三角形，且，，求的面积．【答案】(1)或(2)（1）因为，所以由正弦定理得因为，所以所以，所以，因为，所以或．（2）因为三角形为锐角三角形，所以，由余弦定理得，，因为，，所以，所以，，所以三角形的面积为．例题3．在中，角的对边分别为，且.（1）若，求外接圆的半径；（2）若，，求的值.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）由正弦定理得：，因为，所以，所以，即.因为，所以，解得：.因为，所以外接圆的半径为.（2）因为，所以，所以.同类题型演练1．已知，．(1)求与的夹角；(2)求；(3)若，，求的面积．【答案】(1)(2)(3)（1）∵，∴，又，∴，∴，∴，又，∴；（2），∴；（3）因为与的夹角，∴，又，，所以.2．已知对任意，，都有：，若的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.，且.(1)求c；(2)若，过点C作，垂足为H，若，求的面积S.【答案】(1)(2)(1)由对任意，，都有：，可得，设的外接圆半径为R，根据正弦定理，有：，故：，所以：由，故，则，所以，，即(2)如图所示：，，，由，，得，又所以，，则，解得，故有：所以的面积故的面积为3.3．如图，四边形中，，，，且为锐角．(1)求；(2)求的面积．【答案】(1)(2)（1）由已知，∵是锐角，∴．由余弦定理可得，则．∵，∴BD是四边形外接圆的直径，∴BD是外接圆的直径，利用正弦定理知（2）由，，，，则,,又，则，因此，故的面积为．4．已知函数．（1）求的单调递增区间；（2）设为锐角三角形，角所对边，角所对边，若，求的面积．【答案】（1）；（2）【详解】（1）依题意，由得，令得.所以的单调递增区间.（2）由于，所以为锐角，即.由，得，所以.由余弦定理得，，解得或.当时，，则为钝角，与已知三角形为锐角三角形矛盾.所以.所以三角形的面积为.5．的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若，面积为2，求．【答案】（1）；（2）2．【详解】解析：（1），∴，∵，∴，∴，∴；（2）由（1）可知，∵，∴，∴，∴．题型2：三角形面积（最值问题）典型例题例题1．设，.(1)求的单调递增区间；(2)在锐角中，、、的对边分别为、、.若，，求面积的最大值.【答案】(1)和(2)（1）由题意，，因为，所以，由正弦函数的单调性可知，当或，即或时，函数递增，所以的单调递增区间是和.（2）由题意，，所以，因为锐角，则，故，由余弦定理，，故，由基本不等式，，故，当b=c时等号成立因此，，当时，面积取得最大值.例题2．如图，在扇形中，点为上一点，，分别为线段，上的点，且，，．(1)求的大小；(2)若扇形的半径为30，求面积的最大值．【答案】(1)(2)（1）在中，由正弦定理得：，又由余弦定理得：，化简得：，即，解得：，（舍去），，则，又，，，所以.（2）连接，可得，设（），则，在中，，在中，，所以的面积，即（），因为，所以，则当时，即为中点时，的面积取得最大值.例题3．已知在中，三个内角所对的边分别为，且.(1)求角的大小；(2)若角为钝角，且角的角平分线与边相交于点，满足，求的面积的最小值.【答案】(1)或；(2)【详解】（1）因为，由正弦定理得：.因为,所以,所以.

因为，所以或.（2）当时，，所以，即（当且仅当时取等号），解得：（当且仅当时取等号）.所以（当且仅当时取等号）.即的面积的最小值为.例题4．在中，内角、、的对边分别为、、，已知．(1)求角的大小；(2)设，是所在平面上一点，且与点分别位于直线的两侧，如图，若，，求四边形面积的最大值．【答案】(1)(2)(1)．由正弦定理得，∵sinC≠0，∴，即．∴，即．∵0<A<π，∴．∴，即．(2)在△BCN中，由余弦定理得，∵BN＝6，CN＝3，∴由（1）和b＝c，得△ABC是等腰直角三角形，于是，∴四边形ABCD的面积∴当时，S取最大值，即四边形ABCD的面积的最大值是．同类题型演练1．在中，内角A，B，C的对边分别为，且．(1)求角C的大小；(2)若的外接圆半径为2，求的面积最大值．【答案】(1)；(2).（1）解：由题得，所以，所以..（2）解：由正弦定理得，则，由余弦定理得，即（当且仅当时取等号），故（当且仅当时取等号）．即面积的最大值为．2．如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，△ABC的面积为S，且．(1)求角B的大小；(2)若为平面ABC上△ABC外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABDC面积的最大值．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：在中，由，有，则，即，∵，所以．（2）解：在中，，∴，又，则为等腰直角三角形，，又，∴，当时，四边形的面积最大值，最大值为．3．如图，在平面四边形中，.(1)证明：；(2)记与的面积分别为和，求的最大值.【答案】(1)证明见解析(2)14【详解】（1）证明：在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，∴，所以，即.（2），，则由（1）知：，代入上式得，∴当时，取到最大值14.4．已知向量，，.(1)求函数的最小正周期；(2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，求的面积的最大值.【答案】(1)(2)（1）解：，则其最小正周期；（2）由，且，所以，由余弦定理得，即，所以，当且仅当时取等号，所以的面积，所以该三角形面积的最大值为.5．在中，角所对的边分别为（1）若，点在边上，，求的外接圆的面积；（2）若，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）最大值为.【详解】（1）由得：，由正弦定理得，因为，所以，因为，所以，又，所以，，在中，由正弦定理得，所以，因为，所以，在中，，由余弦定理得：设外接圆的半径为，由可得：，所以外接圆的面积.（2）由（1）可知，又，由余弦定理可得：，即，因为，所以，从而（当且仅当时取等号），所以面积，从而面积的最大值为.题型3：三角形面积（范围问题）典型例题例题1．中，角、、所对的边分别为，，且(1)求角的大小；(2)若，求的面积的取值范围．【答案】(1)C(2)【详解】（1）由题意得，2sin21+cos2C，∴，又，∴，解得cosC或1，∵，∴cosC，则C；（2）∵C，c，∴由余弦定理得，，所以，解得，∴，解得，当且仅当a=b=1时取等号，∴△ABC的面积，∴△ABC的面积S的取值范围是．例题2．在中，角的对边分别为，且．(1)求；(2)若，且为锐角三角形，求的面积的取值范围．【答案】(1)B(2)（1）解：∵，由正弦定理可得：，又∵，∴，即：∵，∴，即（2）解：为锐角三角形，所以，解得，∵，由正弦定理得，即，∴，∴，∵，∴，∴．∴的面积的取值范围为．例题3．（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，内角，，所对的边分别为，，．已知①，②，③，从这三个条件中任选一个，回答下列问题，(1)求角；(2)若，求面积的取值范围．【答案】(1)；(2)(1)若选①，由，得，即，∴．又∵锐角，∴，∴．若选②，由，，∴，∴．又∵锐角，∴，∴．若选③，∵，由正弦定理，得，即，由余弦定理，得．又∵锐角，∴，∴．(2)由正弦定理，得．∴．∵锐角，∴且，∴，∴，∴，∴，∴面积的取值范围为同类题型演练1．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(1)求角A的大小；(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以，则，即又，所以，即又，所以（2）因为，所以，因为为锐角三角形，所以解得，则故，即面积的取值范围为2．锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足：．(1)求A；(2)求面积取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：因为，由正弦定理得：，因为，所以，化简得，所以，因为，所以，（2）解：由正弦定理，得又，因为锐角，所以解得，则所以.3．的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．【答案】(1);(2).【详解】(1)[方法一]【最优解：利用三角形内角和为结合正弦定理求角度】由三角形的内角和定理得，此时就变为．由诱导公式得，所以．在中，由正弦定理知，此时就有，即，再由二倍角的正弦公式得，解得．[方法二]【利用正弦定理解方程求得的值可得的值】由解法1得，两边平方得，即．又，即，所以，进一步整理得，解得，因此．[方法三]【利用正弦定理结合三角形内角和为求得的比例关系】根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得．，，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以.(2)[方法一]【最优解：利用锐角三角形求得C的范围，然后由面积函数求面积的取值范围】因为是锐角三角形，又，所以，则．因为，所以，则，从而，故面积的取值范围是．[方法二]【由题意求得边的取值范围，然后结合面积公式求面积的取值范围】由题设及（1）知的面积．因为为锐角三角形，且，所以即又由余弦定理得，所以即，所以，故面积的取值范围是．[方法三]【数形结合，利用极限的思想求解三角形面积的取值范围】如图1，在中，过点A作，垂足为，作与交于点．由题设及（1）知的面积，因为为锐角三角形，且，所以点C位于在线段上且不含端点，从而，即，即，所以，故面积的取值范围是．三、高考（模拟）题体验1．已知中，内角的对边分别为，，，，.(1)求；(2)若的外接圆面积为，求面积.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，，，即，，所以，所以；（2）因为的外接圆面积为，即，，由正弦定理可得，即，.所以面积为.2．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.若D在线段BC上，且，.(1)求A；(2)求面积的最大值.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，因为，所以.（2）由得，，所以.所以.所以.所以，当且仅当时等号成立.所以.所以.故面积的最大值.3．已知锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．(1)求的取值范围；(2)若，，求的面积．【答案】(1)(2)【详解】（1）解法一：由及，得，整理得，即，所以，则，所以，由正弦定理得，因为为锐角三角形，且，所以，解得，所以，所以，即的取值范围是．解法二：由及，得，整理得，因为，所以由正弦定理得，整理得，因为，所以．取AC的中点D，连接BD，则，所以．因为为锐角三角形，且，所以，，所以，即的取值范围是．（2）解法一：由C为锐角，且，得，由（1）知，，所以．所以的面积．解法二：由C为锐角，且，得．由（1）知，所以由余弦定理得，即，得，所以的面积．解法三：由C为锐角，且，得，由（1）知，所以，所以的面积.4．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足______．(1)求角C的大小；(2)若，求面积的最大值．注：若果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)(2)【详解】（1）方案一：选条件①．由，结合正弦定理，得，变形化简．由于，所以，所以，因为，所以，故，因为，所以；方案二：选条件②．因为，所以，所以．由，得，所以，利用正弦定理，得，因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以，则；方案三：选条件③．由，结合正弦定理，整理得，由于，所以，故，因为，所以，故，因为，所以；（2）由，结合正弦定理，得，则．由（1）知，则由余弦定理得，又，所以，当且仅当时，等号成立，所以，故面积的最大值为．5．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)求A；(2)若D是BC边上一点，AD是的平分线，且，，求的面积.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，由二倍角公式和诱导公式可得，整理得，由正弦定理得，由余弦定理得，又，所以.（2）如图所示，，D是BC边上一点，AD是的平分线，且，，由于，则，得，又，所以，解得或（舍去），所以.6．在内角A，B，C所对应的边分别为已知(1)求角C的大小.(2)若，求的最大值.【答案】(1)(2)【详解】（1）由倍角公式知原式可化为即整理得：，即所以，故（2）由余弦定理和基本不等式可得：，即即当且仅当时，等号成立..即7．在中，角的对边分别为，已知(1)求；(2)若求的面积．【答案】(1)(2)【详解】（1）由已知，，所以，因为，所以，此时，所以，得，所以；（2）由（1）可知，，所以且为钝角，由，可知，所以，由正弦定理可知，，所以，所以.8．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．(1)求角A；(2)若，求面积