（人教A版）必修第二册高一数学下学期同步精讲精练8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积精讲（解析版）

8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积(精讲）目录一、必备知识分层透析二、重点题型分类研究题型1:棱柱的表面积与体积题型2：棱锥的表面积与体积题型3：棱台的表面积与体积三、高考（模拟）题体验一、必备知识分层透析知识点1：棱柱、棱锥、棱台的表面积（1）正方体、长方体的表面积正方体、长方体的表面积就是各个面的面积的和长、宽、高分别为的长方体的表面积：棱长为的正方体的表面积：.（2）棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图棱柱的侧面展开图为平行四边形，一边为棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长.如图:棱锥的侧面展开图由若干个三角形拼成如图棱台的侧面展开图由若干个梯形拼成如图（3）棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱的表面积：棱锥的表面积：棱台的表面积：知识点2：棱柱、棱锥、棱台的体积（1）棱柱的体积①棱柱的高：柱体的两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长.②棱柱的体积：柱体的体积等于它的底面积和高的乘积，即.（2）棱锥的体积①棱锥的高：锥体的顶点到底面之间的距离，即从顶点向底面作垂线，顶点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长.②棱锥的体积：锥体的体积等于它的底面积和高的乘积的,即理解.（3）棱台的体积①棱台的高：台体的两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，此点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长②棱台的体积：(,分别为上下底面面积，为台体的高)二、重点题型分类研究题型1:棱柱的表面积与体积典型例题例题1．已知长方体的表面积为62，所有棱长之和为40，则线段的长为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意知：，，故，则，所以.故选：A.例题2．如图1，水平放置的直三棱柱容器中，，，现往内灌进一些水，水深为2．将容器底面的一边固定于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面形状恰好为三角形，如图2，则容器的高为（

）A．3 B．4 C． D．6【答案】A【详解】在图1中，在图2中，，.故选：A.例题3．我国古代建筑的屋顶对建筑立面起着特别重要的作用，古代建筑屋顶主要有庑殿式、硬山顶、歇山顶、悬山顶攒尖顶、盝顶、卷棚顶等类型，其中硬山式屋顶造型的最大特点是比较简单、朴素，只有前后两面坡，而且屋顶在山墙墙头处与山墙齐平，没有伸出部分，山面裸露没有变化．硬山式屋顶（如图1）可近似地看作直三棱柱（如图2），其高为，到平面的距离为，为，则可估算硬山式屋顶的体积约为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：如图，过作于，由题意可知，在直三棱柱中，到平面的距离为，即，又，所以该柱体体积为.故选：B.例题4．棱柱中，底面三角形的三边长分别为3、4、5，高为（）.过三条侧棱中点的截面把此三棱柱分为两个完全相同的三棱柱，用这两个三棱柱拼成一个三棱柱或四棱柱，小明尝试了除原三棱柱之外的所有情形，发现全面积都比原三棱柱的全面积小，则的取值范围是______.【答案】【详解】由题知，原三棱柱是直三棱柱，设底面是以为直角顶点的直角三角形，且，，，设棱、、的中点分别为、、.原三棱柱的全面积（）.由题意，将原三棱柱分为两个完全相同的三棱柱，记为直三棱柱和直三棱柱，如图所示：当拼成一个三棱柱时，有两种情况，如图①和②：图①的全面积（），图②的全面积（），当拼成一个四棱柱时，有四种情况，如图③、④、⑤、⑥：图③的全面积（），图④的全面积（），图⑤的全面积（），图⑥的全面积（），由上得，两个三棱柱拼成一个新的三棱柱或四棱柱的全面积最大是（），则（），解得：，故a的取值范围是.例题5．我国已出现了用3D打印技术打印出来的房子，其耗时只有几个小时，其中有一尺寸如图所示的房子．不计屋檐，求其表面积和体积．【答案】，.【详解】如图所示，该房子的几何图形为，上面是三棱柱和下面是长方体的组合体，由，，所以，可得，所以，所以底下长方体的面积为，上面三棱柱的面积为，所以房子的表面积为，体积.同类题型演练1．已知一个直四棱柱的高为2，其底面ABCD水平放置的直观图（斜二测画法）是边长为1的正方形，则这个直四棱柱的表面积为（

）A．10 B． C． D．【答案】C【详解】由于直观图是正方形，所以ABCD是两邻边分别为1与3，高为的平行四边形，其周长是，面积是，所以直四棱柱的表面积是.故选：C2．已知一个直四棱柱的底面是菱形，一个底面的面积为4，两个对角面（过相对侧棱的截面）面积分别为5和6，那么它的表面积为_________．【答案】【详解】解：设直四棱柱底面菱形的对角线的长分别为，高为，因为底面的面积为4，两个对角面（过相对侧棱的截面）面积分别为5和6，所以，，所以，所以，故直四棱柱的底面菱形的边长为，所以直四棱柱的表面积为.故答案为：.3．如图，已知正四棱柱，､为上､下底面的中心，O为的中点.过点O且与直线AB平行的平面截这个四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为1和，则四棱柱的表面积为___________.【答案】14【详解】由题设，过点O且与直线AB平行的平面截这个四棱柱所得截面，当截面面积最小时截面与底面平行，故截面积与底面积相等，易知：底面正方形的边长为1；当截面面积最大时截面过或，易知：棱柱的高为3；综上，四棱柱的表面积为.故答案为：144．如下图所示，某学校设置了一些装饰品，这些装饰品是由正方体截去八个一样的四面体得到的，已知装饰品的体积为，现学校准备为装饰品的所有棱（含底面）加装灯带，请问学校需要购买灯带的长度为____________cm.【答案】【详解】设正方体的边长为，则每个正四面体的体积为，所以每个装饰品的体积为，解得，又由图可知，装饰品的棱都在正方体的表面上，且每个面上有4条棱，共24条棱，每条棱的长度为，所以学校需要购买灯带的长度为.故答案为：．5．我国古代数学名著《九章算数》中，将底面是直角三角形的直三棱柱(侧棱垂直于底面的三棱柱)称之为“堑堵”.如图，三棱柱为一个“堑堵”，底面是以为斜边的直角三角形，，如果三棱柱有半径为1的内切球，则三棱柱的体积为___________.【答案】12【详解】因为三棱柱有半径为1的内切球，故三棱柱的高为2，且的内切圆的半径为1，在中，有，所以，解得，故三棱柱的体积为，故答案为：.题型2：棱锥的表面积与体积典型例题例题1．在三棱锥中，，且，，则该三棱锥的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，，，所以为等边三角形，，在中，利用余弦定理得：，解得：，同理可得：，因为，由勾股定理逆定理可得，，所以，，取的中点，连接，则，因为，所以，由勾股定理得：，故，所以四棱锥的表面积.故选：A例题2．益阳市“一园两中心”项目是益阳市委市政府推进“大益阳城市圈”建设、实现益阳“东接东进”战略作出的重大决策.“两中心”是指益阳市文化中心、益阳市政务中心.其中图书馆是益阳市文化中心的重要场馆之一，市政府决定在图书馆顶上安装太阳能板发电，要测量顶部的面积，将图书馆看成一个长方体与一个等底的正四棱锥组合而成，经测量长方体的底面是边长为24m的正方形，且高为10m，当正四棱锥的顶点在阳光的照射下的影子恰好落在底面正方形的对角线的延长线上时（此时光线正好经过长方体的顶点），正四棱锥顶点的影子到长方体下底面中心的距离为m，则图书馆顶部的面积为（

）A．576 B．624 C．688 D．728【答案】B【详解】依题意，正四棱锥顶点P、底面中心与正四棱柱下底面中心O共线，如图，因，且，则四边形是平行四边形，即有，又直线，而，即有，又，由得，取中点E，连接，则PE是正四棱锥的斜高，而，于是得，正四棱锥的侧面积，所以图书馆顶部的面积为.故选：B例题3．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”意思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体(如图)”，下底面宽丈，长丈，上棱丈，平面.与平面的距离为1丈，问它的体积是A．4立方丈 B．5立方丈C．6立方丈 D．8立方丈【答案】B【详解】平面，是过的平面是平面的交线，则，从而，，过作平面与直线垂直交直线于点，过作平面与直线垂直交直线于，则几何体为直三棱柱，，三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，所以所求体积为．故选：B．例题4．已知：直四棱柱所有棱长均为2，.在该棱柱内放置一个球，设球的体积为，直四棱柱去掉球剩余部分的体积为.(1)求三棱锥的的表面积；(2)求的最大值.（只要求写出必要的计算过程，不要求证明）【答案】(1)；(2).（1）解：因为直四棱柱，所以，为三棱锥的的高，由，所有棱长为2，为等边三角形，所以，中，中，过作于，.（2）解：设直四棱柱的体积为，所以,所以当最大时，取到最大值，即求棱柱内放置一个球体积最大，即球半径R最大，若球与棱柱侧面相切，则半径R即为菱形的内切圆半径，连接与交于点，，中，，若球与棱柱上、下底面相切，则半径为，，所以球半径最大为，此时球体积最大，.，，此时.例题5．为了求一个棱长为的正四面体的体积，某同学设计如下解法：构造一个棱长为1的正方体，如图1：则四面体为棱长是的正四面体，且有.(1)类似此解法，如图2，一个相对棱长都相等的四面体，其三组棱长分别为、、，求此四面体的体积；(2)对棱分别相等的四面体中，，，.求证：这个四面体的四个面都是锐角三角形.【答案】(1)2；(2)证明见解析.【详解】（1）由于四面体的对棱分别相等，结合长方体的面对角线性质，可以将其置于长方体中，使其顶点与长方体顶点重合，如下图：设此四面体所在长方体的棱长分别为，，，则，解得四面体的体积．（2）在四面体中，，，，如下图，将四面体放置长方体中，使其顶点与长方体顶点重合四面体的四个面为全等三角形，即只需证明一个面为锐角三角形即可．设长方体的长、宽、高分别为、、，则，，，，，，为锐角三角形，则这个四面体的四个面都是锐角三角形.同类题型演练1．在我国古代数学著作《九章算术》中，“鳖臑”是指四个面都是直角三角形的四面体．如图，在“鳖臑”中，平面，平面，，，，则点到平面的距离为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】将绕顺时针旋转，使得与共面，如图所示，因为，在中，，，可得．设点到平面的距离为，由得：，，解得．故选：2．在△ABC中，.则以BC为轴，将△ABC旋转一周所得的几何体的体积为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】过A作交于点，则题中旋转体是以绕直角边所在直线BC旋转所成的两个圆锥的组合体.因为，所以，所以△ABC的面积为：，解得：.所以将△ABC旋转一周所得的几何体的体积为：故选：C.3．已知三棱锥的顶点都在球O的表面上，若球O的表面积为，，，，则当三棱锥的体积最大时，（

）A．4 B． C．5 D．【答案】D【详解】在中，根据正弦定理，可得，所以．如图，设为的外心，则为AC的中点，且，由于球O的表面积为，所以球O的半径，当，，三点共线且平面CAB和点S位于点O的异侧时，三棱锥的体积最大．此时故选：D4．如图，在中，，，是上的高，沿把折起，使，若，则三棱锥的表面积为_______．【答案】【详解】由题意，折起前是边上的高，当折起后，可得，，因为，，所以，从而，所以三棱锥的表面积.故答案为：.5．如图，两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放入一个棱长为2的正方体内，已知棱锥重合的底面与正方体的底面平行，八面体的各顶点均在正方体的表面上，则该八面体表面积的取值范围为______．【答案】【详解】在边长为2的正方形中，设，，则∴，即根据题意可知：为正方体底面的中心取正方形的中心，则三点共线，取的中点，连接，则，该八面体表面积故答案为：题型3：棱台的表面积与体积典型例题例题1．已知一个正棱台的上、下底面是边长分别为2、8的正方形，侧棱长为5，则该棱台的表面积为（

）A．148 B．168 C．193 D．88【答案】A【详解】棱台的侧面是等腰梯形，高，所以一个侧面积，所以该棱台的表面积.故选：A例题2．已知某正六棱台的上、下底面边长为1和3，高为1，则其侧面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：如图正六棱台中，设上底面的中心为，下底面的中心为，过点作，则，，，所以，在侧面中，，，，过点作，则，所以，所以，所以；故选：C例题3．已知在三棱锥中，平面，为等腰直角三角形，且，，点为棱上一点，且，过点作平行于底面的截面，那么三棱台的体积等于（

）．A． B． C． D．【答案】B【详解】因为平面，且平面平面ABC，，，所以，，，，，，所以.故选：B．例题4．如图所示，正六棱锥被过棱锥高的中点且平行于底面的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥.(1)求大棱锥，小棱锥，棱台的侧面面积之比；(2)若大棱锥的侧棱长为12cm，小棱锥的底面边长为4cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积.【答案】(1)；(2)侧面积；表面积.【详解】（1）设小棱锥的底面边长为，斜高为，则大棱锥的底面边长为，斜高为，所以大棱锥的侧面积为，小棱锥的侧面积为，棱台的侧面积为，所以大棱锥，小棱锥，棱台的侧面积之比.（2）因为小棱锥的底面边长为4cm，所以大棱锥的底面边长为8cm，因为大棱锥的侧棱长为12cm，所以大棱锥的斜高为cm，所以大棱锥的侧面积为，所以棱台的侧面积为，棱台的上，下底面的面积和为，所以棱台的表面积为.同类题型演练1．若正三棱台上、下底面边长分别是和，棱台的高为，则此正三棱台的侧面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】如图，分别为上、下底面的中心，分别是，的中点，过作于点E.在直角梯形中，，，.在中，，则..故选：C2．某校高一级学生进行创客活动，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体挖去正四棱台后所得的几何体，其中，为增强其观赏性和耐用性，现对该模型表面镀上一层金属膜，每平方厘米需要金属，不考虑损耗，所需金属膜的质量为____________．【答案】##【详解】由题意，该几何体侧面4个面的面积和为，底面积，正方形面积.考虑梯形，高为，故正四棱台的侧面积为，故该模型表面积为，故所需金属膜的质量为故答案为：3．如图，在正四棱台中，，且四棱锥的体积为48，则该四棱台的体积为___________.【答案】399【详解】方法一：由题意，设点到平面的距离为，由四边形面积为，得四棱锥的体积为，得.所以棱台体积为.方法二：由题意，设点到平面的距离为，由四边形面积为，得四棱锥的体积为，得.由棱台定义知，延长交于一点，设为，设棱锥的高为，则棱锥的高为，由三角形相似可得，得，于是棱台体积3）.故答案为：3994．已知正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为，用一个平行于棱锥底面且距离底面长度为3的平面去截棱锥，所得棱台的体积为_____________.【答案】28【详解】如图，由题意可得.因为，所以，解得，则，，，所以.故答案为：28三、高考（模拟）题体验1．在各棱长均为1的正三棱柱中，、分别为、的中点，过、、三点的截面将三棱柱分成上下两部分，记体积较小部分的体积为，另一部分的体积为，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】如图，延长与相交于点，反向延长线交于点，连接交于点，连接，得到截面，由题意得，在各棱长均为1的正三棱柱中，，因为，，，，，所以，即，所以，所以.故选：B.2．已知正四棱台中，，若该四棱台的体积为，求这个四棱台的表面积为（

）A．24 B．44 C． D．【答案】B【详解】过作于，作于，则是正四棱台的高，因为正四棱台中，，即，所以，，因为该四棱台的体积为，所以，即，得，因为在等腰梯形中，，，所以，所以在等腰梯形中，，所以，又因为其他三个侧面与侧面的面积相等，所以该四棱台的侧面积为，所以该四棱台的表面积为.故选：B..3．米斗是我国古代官仓，粮栈､米行必备的用具，是称量粮食的量器.如图是一种米斗，可盛米10升（1升=1000cm3），已知盛米部分的形状为正四棱台，且上口宽为18cm，下口宽为24cm，则高约为（

）A．18.8cm B．20.4cm C．22.5cm D．24.2cm【答案】C【详解】设该米斗的高为hcm，由台体的体积公式可得，解得.故选：C.4．已知某圆锥的轴截面为等边三角形，且该圆锥内切球的表面积为，则该圆锥的体积为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】设圆锥的内切球的半径为，则，所以.又圆锥的轴截面为等边三角形，所以圆锥的高为，圆锥的底面半径为，则圆锥的体积.故选：C.5．已知、、是半径为的球的球面上的三个点，且，，，则三棱锥的体积为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，，所以，的外接圆半径为，所以，三棱锥的高