（人教A版）必修第二册高一数学下学期同步精讲精练8.4.1 平面（精练）（解析版）

8.4.1平面（精练）一、单选题1．三个平面不可能将空间分成（

）个部分A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【详解】若三个平面互相平行，则可将空间分为4个部分；若三个平面有两个平行，第三个平面与其它两个平面相交，则可将空间分为6个部分；若三个平面交于一条直线，则可将空间分为6个部分；若三个平面两两相交且三条交线平行，则可将空间分为7部分；若三个平面两两相交且三条交线交于一点，则可将空间分为8部分故n的取值为4，6，7，8，所以n不可能是5.故选：A.2．下列说法中错误的是（

）A．经过两条平行直线，有且只有一个平面B．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面C．平面与平面相交，它们只有有限个公共点D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线【答案】C【详解】对于A，由不在同一直线上的三个点确定唯一平面，故A正确；对于B，由两条相交直线确定唯一平面，由题意，第三条直线与相交的两条直线分别相交于两个不同的点，根据直线上两个不同点在一个平面内，该直线也在平面内，故B正确；对于C，由平面与平面相交，则两平面一定相交于一条直线，在该直线上存在无数个点，故C错误；对于D，由平面相交公理，可得D正确.故选：C.3．两个平面的公共点有（

）A．个 B．个 C．无数个 D．个或无数个【答案】D【详解】若两个平面平行，则两平面有个公共点；若两个平面相交，则必有一条交线，即公共点有无数个.故选：D.4．如图，，，，且，直线，过三点的平面记作，则与的交线必通过（

）A．点A B．点 C．点但不过点 D．点和点【答案】D【详解】对于AB，易得，故必不在与的交线上，故AB错误；对于CD，因为过三点的平面记作，所以面与是同一个面，因为直线，所以面，则，又面，则，所以；因为，，所以，又，所以，所以，所以与的交线必通过点和点，故C错误，D正确.故选：D．5．已知、为平面，、、、为点，为直线，下列推理中错误的是（

）A．，，，，则B．，，，，则直线，直线C．，，则D．、、，、、，且、、不共线，则、重合【答案】C【详解】对于A选项，，，，，由基本事实2可知，A对；对于B选项，，，则直线，同理可知，直线，B对；对于C选项，，，则为平面、的一个公共点，但平面、相交于过点的一条直线，而不是点，C错；对于D选项，、、，且、、不共线，则、、可确定平面，同理可知，、、可确定平面，故、重合，D对.故选：C.6．一封闭的正方体容器，P，Q，R分别是AB，BC和的中点，由于某种原因，P，Q，R处各有一个小洞，当此容器内存水的表面恰好经过这三个小洞时，容器中水的上表面形状是（

）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形【答案】D【详解】如图，设过P，Q，R三点的平面为平面.分别取，，的中点F，E，M，连接RF，FE，EP，PQ，QM，MR，EM，QF，RP.由正方体性质知，所以平面.又，所以平面.又，所以平面.所以点六边形RFEPQM为容器中水的上表面的形状.故选：D.7．如图，在正方体ABCD—中，，点E为AB中点，点F为BC中点，则过点A与，都平行的平面α被正方体ABCD—截得的截面面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】取中点G，中点H，则△AGH就是平面a被正方体ABCD—截得的截面，其中，，GH边上的高为，所以△AGH的面积.故选：D8．如图正方体，棱长为1，P为中点，Q为线段上的动点，过A､P､Q的平面截该正方体所得的截面记为.若，则下列结论错误的是（

）A．当时，为四边形 B．当时，为等腰梯形C．当时，为六边形 D．当时，的面积为【答案】C【详解】解：当时，如下图1，是四边形，故A正确；当时，如下图2，为等腰梯形，B正确：当时，如下图3，是五边形，C错误；当时，Q与重合，取的中点F，连接，如下图4，由正方体的性质易得，且，截面为为菱形，其面积为，D正确.故选：C二、多选题9．如图所示，在正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（

）A．，，三点共线 B．，，，四点共面C．，，，四点共面 D．，，，四点共面【答案】ABC【详解】解：在正方体中，为的中点，直线交平面于点，在选项中，直线交平面于点，平面，直线，又平面，平面，为的中点，平面，底面为正方形，所以为的中点，平面，且平面，又平面，且平面，，，三点共线，故选项正确；在选项中，，，三点共线，，，，四点共面，故正确；在选项中，，，三点共线，，，，四点共面，故正确；在选项中，直线，，，，，四点不共面，故错误．故选：．10．已知正四棱柱中，，点是线段的中点，点是线段上靠近的三等分点，若正四棱柱被过点，，的平面所截，则所得截面多边形的周长不能为（

）A． B． C． D．【答案】ACD【详解】作出图形如图所示．延长至Q，使得，连接MQ，NQ，记MQ与BC交于点R，NQ与CD交于点P，取的中点，连结，，所以，即，且，所以四边形是平行四边形，得，且又因为，且，所以四边形是平行四边形，得，，所以，且，所以四边形是平行四边形，则截面为五边形为，则，，因为，所以，所以，，同理：，，，，，故所得截面的周长为.故选：ACD三、填空题11．如图，在直三棱柱ABC-中，E，F分别是，的中点，平面AEF与线段交于点G，则=_____________.【答案】【详解】延长交于点，连接交一点，该点为点G，因为F是的中点，，所以是的中点，因为E是的中点，所以，因此有，于是有，故答案为：12．在棱长为1的正方体中，M为底面ABCD的中心，Q是棱上一点，且，，N为线段AQ的中点，给出下列命题：①与共面；②三棱锥的体积跟的取值无关；③当时，；④当时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的周长为.其中正确的有___________（填写序号）.【答案】①②④【详解】在中，为的中点，，与共面，①正确；，到平面的距离为定值，且的面积为定值，三棱锥的体积跟的取值无关，②正确；时，可得，则，所以不成立，③错误；时，过三点的正方体的截面是等腰梯形，所以平面截正方体所截得的周长为，④正确.故答案为：①②④.四、解答题13．如图，正方体的棱长为8，，，分别是，，的中点．(1)画出过点，，的平面与平面的交线；(2)设平面，求的长．【答案】(1)作图见解析(2)（1）如下图所示，∵平面，与不平行，∴与必相交．设交点为，连接．∵平面，平面，∴过点，，的平面与平面的交线为.（2）∵，∴，∴．∴.14．如图，在正四面体A-BCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，点G，H分别在CD，AD上，且，．求证：直线EH，FG必相交于一点，且这个交点在直线BD上；【详解】解：因为，，所以，又，所以，故E，F，G，H四点共面，且直线EH，FG必相交于一点，设，因为，平面ABD，所以M∈平面ABD，同理：平面BCD，而平面平面，故平面BCD，即直线EH，FG必相交于一点，且这个交点在直线BD上．15．如图，在正方体中，对角线与平面交于点，、交于点，为的中点，为的中点．求证：(1)三点共线；(2)、、、四点共面；(3)、、三线共点．（1）∵平面，∴，平面；又∵平面，∴平面；∵、交于点M，∴，；又平面，平面，∴平面，平面；又平面，平面；∴、、三点在平面与平面的交线上，∴、、三点共线；（2）连接，∵E为的中点，F为的中点，∴，又∵，，∴四边形是平行四边形，∴；∴，∴E、F、C、D1四点共面；（3）∵平面平面，设与交于一点P，则：，平面，∴平面，同理，平面，∴平面平面，∴直线、、三线交于一点P，即三线共点.16．在正方体中，棱长，M，N，P分别是，，的中点．(1)直线交PN于点E，直线交平面MNP于点F，求证：M，E，F三点共线．(2)求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：，，，则平面，平面MPN又，平面，又平面PMN，平面平面，平面，平面PMN，平面，点F在直线ME上，则M，E，F三点共线．（2）解：，又，B能力提升17．如图，在长方体中，、分别是和的中点．(1)证明：、、、四点共面；(2)对角线与平面交于点，交于点，求证：点共线；(3)证明：、、三线共点．【详解】（1）连接在长方体中、分别是和的中点、、、四点共面（2）确定一个平面面面对角线与平面交于点面在面与面的交线上面且面面面即点共线.（3）延长交于面面面面面面、、三线共点.18．如图所示，在正方体中，E，F分别是的中点．(1)求证：三线交于点P；(2)在（1）的结论中，G是上一点，若FG交平面ABCD于点H，求证：P，E，H三点共线．（1）证明：连接，，，正方体中，E，F分别是的中点，∴且，∵且，∴且，∴EC与相交，设交点为P，∵PEC，EC平面ABCD，∴P平面ABCD；又∵，平面，∴平面，∴P为两平面的公共点，∵平面平面，∴，∴三线交于点P；（2）在（1）的结论中，G是上一点，FG交平面ABCD于点H，则FH平面，∴平面，又平面ABCD，∴平面平面ABCD，同理，平面平面ABCD，平面平面ABCD，∴P，E，H都在平面与平面ABCD的交线上，∴P，E，H三点共线．C综合素养19．在中，，分别以边AB和BC为一边向外侧作矩形ABDE和菱形BCFG（如图1），满足BD＝BG，再将其沿AB，BC折起使得BD与BG重合，连结EF（如图2）．(1)判断A，C，F，E四点是否共面？并说明理由：(2)在图1中，BC＝2AB＝2，∠BCF＝120°，在图2中，求多面体ABC－EDF的表面积．【答案】