13.1-13.2 三角形的概念、有关的线段【十大考点+十大题型】 原卷版

.1-13.2三角形的概念、有关的线段【考点归纳】【知识梳理】知识点一、三角形的概念由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。知识点二、三角形的特性与表示三角形有下面三个特性：（1）三角形有三条线段（2）三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形（3）首尾顺次相接三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”。知识点三、三角形的分类三角形按边的关系分类如下：不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形三角形按角的关系分类如下：直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）斜三角形钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。知识点四、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。知识点五、三角形的稳定性三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。知识点六、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。推论：三角形的两边之差小于第三边。（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。③证明线段不等关系。【题型归纳】题型一：三角形的认识【例1】（25-26八年级上·全国·单元测试）下面各项都是由三条线段组成的图形，其中属于三角形的是（

）A． B．C． D．【跟踪训练1】．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）下列由三条线段组成的图形是三角形的是（）A．B．C． D．【跟踪训练2】．（22-23八年级上·河北廊坊·期中）下面是用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（

）A．B．C． D．题型二：三角形的分类【例2】．（24-25七年级下·全国）下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（

）A．B．C．D．【跟踪训练1】（25-26八年级上·全国）已知的三边长为，，，且满足，则此三角形一定是（

）A．直角三角形 B．等边三角形C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．三边都不相等的三角形【跟踪训练2】（23-24八年级上·广西钦州·阶段练习）在中，，则此三角形是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形题型三：构成三角形的条件【例3】（24-25八年级上·广东东莞·期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．，， B．，， C．，， D．，，【跟踪训练1】（25-26八年级上·全国·单元测试）已知一个等腰三角形的一边长等于，一边长等于，那么它的周长为（）A． B． C．或 D．【跟踪训练2】（24-25八年级上·广东东莞·期末）若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（

）A．2 B．3 C．6 D．10题型四：三角形三边关系的应用【例4】（2025八年级上·全国·专题练习）若是三角形的三边长，则化简的结果为（

）A． B． C． D．【跟踪训练1】24-25八年级上·全国·期末）等腰三角形的一边长，一边长，则它的周长为（

）A． B．或 C． D．【跟踪训练2】（24-25八年级上·内蒙古乌海）已知是的三条边，化简的结果为（

）A． B． C． D．0题型五：三角形的稳定性及其应用【例5】（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）安装空调时，一般会采用如图所示的方法固定，这样做的数学依据（

）A．两点之间线段最短 B．三角形的稳定性 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短【跟踪训练1】（25-26八年级上·全国）椅子是日常生活中常见的一种家具，现代的椅子追求美观时尚，一些椅子被赋予了更多科技，使人类的生活更加方便．下列椅子的设计中利用了“三角形的稳定性”的是（

）A． B． C． D．【跟踪训练2】（24-25七年级下·吉林长春·期中）下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（）A．三脚架 B．篮球架C．活动衣架 D．太阳能热水器题型六：画三角形的高【例6】（21-22八年级上·辽宁鞍山·期中）下面四个图形中，线段是的高的图形是（）A．B．C．D．【跟踪训练1】（24-25八年级下·广东深圳·期中）下列能表示的边上的高的是（

）A．B．C． D．【跟踪训练2】（24-25八年级上·全国·期末）下面四个图形中，线段是的高的是（）A．B．C．D题型七：与三角形高有关的计算问题【例7】（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（

）A．2.4 B．5 C．3 D．4【跟踪训练1】（25-26八年级上·全国·周测）如图，在中，是边上的高．在中，是边上的中线．若，且，则的值为（

）A．16 B．24 C．28 D．32【跟踪训练2】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，交的延长线于点，，则的长是（

）A．12 B．11 C．10 D．9题型八：根据三角形的中线求长度或者面积问题【例8】（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（

）A． B．C． D．【跟踪训练1】（24-25八年级上·广东韶关·阶段练习）如图，是上的中线，是的中点，的面积是，则的面积是（）A．10 B．6 C．5 D．4【跟踪训练2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，是高，是角平分线，是中线．下列说法中，错误的是（

）A． B．C． D．题型九：三角形的角平分线【例9】（24-25八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，在中，，D，E是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（

）A．是的中线 B．是的角平分线C． D．是的高【跟踪训练1】（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）如图，中，，，，下列选项不正确的是（

）．A．是的角平分线 B．是的高C．是的中线 D．【跟踪训练2】（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，的中线、角平分线交于点O，则下列结论中正确的是（）A．是的角平分线 B．是的角平分线C．是的中线 D．是的角平分线题型十：三角形线段的综合问题【例10】（23-24八年级上·湖北武汉·单元测试）如图所示，已知，分别是的高和中线，，，，．(1)求的长．(2)求的面积．【例10】（23-24八年级河北保定）如图，在平面直角坐标系中，点在x轴上，将点A向右平移5个单位长度，再向上平移m个单位长度得到点B，将点A向下平移个单位长度，再向右平移5个单位长度得到点C，在此过程中m始终满足．(1)______；A点的坐标是______；(2)写出点B、C的坐标：B______，C______；（用含m的式子表示）(3)若的面积是10，求m的值；(4)若交y轴于点N，的长度为1，请直接写出m的值．【跟踪训练1】（24-25八年级上·湖南湘西·期末）如图，在中，，边上的中线把的周长分成60和40两部分，求和的长．【跟踪训练2】（24-25八年级上·陕西安康·阶段练习）如图，在中，是中线，是高，且，，．(1)_____；(2)求和的周长差．【高分演练】一、单选题1．（25-26八年级上·全国）若一个三角形的三个内角的度数分别为，，，则这个三角形是（

）A．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．等边三角形2．（25-26八年级上·全国·课前预习）三角形按角分类可以分为（

）A．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 B．等腰三角形、等边三角形、不等边三角形C．直角三角形、等腰直角三角形 D．以上答案都不正确3．（20-21八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，图中三角形的个数为（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，以D为顶点的三角形的个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．65．（21-22八年级上·辽宁鞍山·期中）已知三角形的三边分别为2，x，13，若x为整数，则这样的三角形的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．56．（22-23八年级上·全国·期中）已知四组线段：第①组长度分别为5，6，11；第②组长度分别为1，4，4；第③组长度分别为4，4，4；第④组长度分别为3，4，5，其中不能成为一个三角形的三条边的是（

）A．① B．② C．③ D．④7．（24-25七年级下·辽宁阜新·阶段练习）下列说法正确的是（

）A．三角形的角平分线是射线B．三角形的三条高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外C．三角形的一条角平分线把三角形分成两个面积相等的三角形D．三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心8．（24-25八年级上·西藏山南·期末）如图，是的中线，是的中线，且的面积是1，的面积为（

）A．1 B．2 C．4 D．89．（25-26八年级上·全国·课后作业）在中，，边上的中线把分成周长差为5的两个三角形，则的长为（

）A．2 B．19 C．2或19 D．2或1210．（21-22八年级上·四川德阳·阶段练习）若表示的三边长，则（

）A． B． C． D．11．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）中，如图选项正确画出边上的高的图形是（

）A．B．C．D．二、填空题12．（25-26八年级上·全国·课前预习）如图，共有个三角形；在中，所对的角是；在中，所对的边是；以为边的三角形有．13．（24-25七年级下·上海·期中）在中，若，则此三角形按角分类是三角形．14．（24-25七年级下·上海·期中）若的三个内角的比为，则的形状是三角形．（填锐角、直角、钝角中的一个）15（21-22八年级上·江苏宿迁·阶段练习）工人师傅在做完门框后，为避免变形，常常如图所示钉上两根斜拉的木条（即图中的两根木条），如此做的数学原理是：．16．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，分别是的中点，连接交于点．若四边形的面积为5，则的面积为．17．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）如图，在中，，，、边上的高、交于点H，则与的比值是18．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知在中，点D，E，F分别为，，的中点，且，则．三、解答题19．（21-22八年级上·云南曲靖·期中）在直角三角形中，，是边上的高，，，．(1)求的长；(2)若的边上的中线是，求出的面积．20．（25-26八年级上·全国）如图，已知，，．(1)在中，边上的高是________；(2)在中，边上的高是________；(3)在中，边上的高是________．21．（25-26八年级上）如图，在中，是中线，是角平分线，是高．填空：(1)；(2)；(3)；(4)若，则______，______．22．（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，是的高线，是中点，连接交于点．(1)若的周长为．求的周长；(2)在（