九年级数学中考复习考点-3 实数的运算（精讲）

03实数的运算03实数的运算基础知识：1．有理数的运算律在实数中仍然适用，如加法交换律，乘法______，加法结合律，乘法______，乘法______．2．混合运算时，要先算乘方、开方，再算______，最后算______；有括号的，先算括号里面的．同一级运算，要______运算．3．二次根式的加减法运算，先把每个二次根式化为最简二次根式，然后把____合并．4．二次根式的乘除法则：；______．考向1考向1平方根与立方根、二次根式解中考：（2022•恩施州）9的算术平方根是__________．选好题：（2021•广元）实数的算术平方根是__________．变式练习：1．（2022秋•安岳县校级月考）一个数a的平方根是2x-1和5-x,则a=__________．2．（2022秋•武侯区校级月考）9的平方根是__________．-8的立方根是__________．的算术平方根是__________．3．（2022秋•商水县月考）下列结论错误的是（）A．两个互为相反数的数，开立方所得的结果仍然互为相反数B．如果一个数的立方根等于它本身，那么它一定是1或0C．正数和负数都有立方根D．一个非零数的立方根的符号与这个数的符号相同4．（2022秋•东方校级月考）2x+7的立方根是3，则x的值是__________．5．．（2022秋•沈丘县校级月考）若最简二次根式与可以合并，则m的值为（）A．2020B．-2020C．2024D．-2024考向2考向2实数的大小比较解中考：（2022•吉林）实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示，则a,b的大小关系为（）A．a＞bB．a＜bC．a=bD．无法确定选好题：如图，点A是数轴上表示实数a的点．（1）用直尺和圆规在数轴上作出表示实数的点P；（保留作图痕迹，不写作法）（2）利用数轴比较和a的大小，并说明理由．变式练习：1．（2022春•清丰县期末）实数大小比较：2__________．（填“＞”或“＜”）2．（2022春•香洲区期末）下列几个数：-4、-π、、0，其中最小的数是（）A．-4B．-πC．D．03．（2022•山西模拟）下面的实数比较大小正确的是（）A．0＜-3B．2＜-3C．-2＜-3D．-1＜34．（2022春•富平县期末）对于数30、3-1、-|-3|、大小比较中，下列正确的是（）A．30＜3-1＜-|-3|＜B．-|-3|＜3-1＜30＜C．3-1＜-|-3|＜30＜D．＜30＜3-1＜-|-3|5．（2022春•崂山区期末）对于任意两个代数式M，N的大小比较，有下面的方法：当M-N＞0时，M＞N；当M-N=0时，M=N；当M-N＜0时，M＜N．我们把这种比较两个代数式大小的方法叫做“作差法”．（1）在a克盐水中含有b克盐（完全溶解），则盐水浓度可表示为＿＿＿＿＿；如果再加入c克盐（完全溶解），则盐水浓度可表示为＿＿＿＿＿．（2）请用“作差法”说明加盐前后盐水浓度的大小关系．．考向3考向3定义新运算解中考：（2022•宁波）定义一种新运算：对于任意的非零实数a,b,ab=．若（x+1）x=，则x的值为＿＿＿＿＿．选好题：（2022•巴中）对于实数a,b定义新运算：a※b=ab2-b,若关于x的方程1※x=k有两个不相等的实数根，则k的取值范围（）A．k＞B．k＜C．k＞且k≠0D．k≥且k≠0变式练习：1．（2022秋•新华区校级月考）定义新运算：对于任意实数a,b,都有ab=a2-2ab,其中等号右边是通常的减法及乘法运算．如11=12-2×1×1=-1．请计算2(-1)=＿＿；嘉嘉写了一个满足以上运算的等式：x（-3）=-5，其中x的值为＿＿＿＿＿．2．（2022秋•宁远县校级月考）用、定义新运算：对于任意实数a,b,都有ab=a和ab=b,例如32=3，32=2．则（20132014）（20112012）的值是（）3．（2022秋•南皮县校级月考）定义新运算“※”如下：当a≥b时，a※b=ab+b；当a＜b时，a※b=ab-a.（1）-3※2=＿＿＿＿＿；若5※b=12，则b=＿＿＿＿＿；（2）若（2x-1）※（x+2）=0，则x=＿＿＿＿＿．4．（2022秋•历城区校级月考）定义新运算：对任意有理数m和n,规定：（m+n）=（m）•（n），例：若（2）=3，则（4）=（2+2）=3×3=9．那么，若（3）=4，则（3b）•（3-4b）•（3+b）的值为＿＿＿＿＿．5．（2022秋•吉林月考）对于任意实数a、b,我们定义新运算“*”：a*b=a2-b2，则等式（x+2）*3=0中的x的值为＿＿＿＿＿．考向4考向4数字规律问题解中考：（2022•内蒙古）观察下列等式：70=1，71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72022的结果的个位数字是（）A．0B．1C．7D．8选好题：（2021•随州）根据图中数字的规律，若第n个图中的q=143，则p的值为（）A．100B．121C．144D．169变式练习：1．（2022•柳江区一模）如图在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全表第四行空缺的数字是＿＿＿＿＿．2．（2022秋•吴江区校级月考）观察图中三角形三个顶点所标的数字规律，可知数2022应标在（）A．第674个三角形的左下角B．第674个三角形的右下角C．第675个三角形的正上方D．第675个三角形的左下角3．（2021秋•铜梁区校级期末）计算：21-1=1，22-1=3，23-1=7，24-1=15，25-1=31，……归纳各计算结果中的个位数字规律，则22018的个位数字是（）A．1B．3C．4D．54．．（2021秋•环江县期末）下表中的数字是按一定规律填写的，则a+b=（）A．55B．66C．76D．1105．（2021秋•金沙县期末）观察下列数字的排列规律，然后填入适当的数：3，-7，11，-15，19，-23，＿＿＿,＿＿＿．考向5考向5实数的混合运算解中考：（2022•烟台）小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌上的数字只能用一次），使得运算结果等于24．小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式＿＿＿＿＿．选好题：（2022•随州）计算：3×（-1）+|-3|=＿＿＿＿＿．变式练习：1．计算（-2）2021+22020的结果是（）A．-2021B．-2C．-22020D．220202．（2022•兴庆区校级三模）计算：＿＿＿＿＿．3．（2022春•泰兴市校级月考）计算：sin260°-++1；4．（2022秋•德惠市期中）计算：(π−1)0++|5−|−．5．（2022•清苑区二模）如图所示，某数学活动小组用计算机编程编制了一个程序进行有理数混合运算，即输入一个有理数，按照程序顺序运算，可输出计算结果，其中“□“表示一个有理数．（1）已知□表示3．①若输入的数为-3，求输出结果；②若输出的数为12，求输入的数．（2）若输入的数为a,□表示数b,当输出结果为0时，用a表示b的式子为：03实数的运算03实数的运算基础知识：1．有理数的运算律在实数中仍然适用，如加法交换律，乘法______，加法结合律，乘法______，乘法______．2．混合运算时，要先算乘方、开方，再算______，最后算______；有括号的，先算括号里面的．同一级运算，要______运算．3．二次根式的加减法运算，先把每个二次根式化为最简二次根式，然后把____合并．4．二次根式的乘除法则：；______．【答案】1．交换律，结合律，分配律2．乘除，加减；从左到右依次3．同类二次根式4．析考纲：在中考中实数的运算属于常考考点，考试方向主要有具体的二次根式、特殊角（30°、45°、60°）的三角函数计算以及包括绝对值、倒数、负整数指数幂、0指数幂等在内的混合运算，多以计算题的形式出现在试卷中，有时也在选择题或填空题中出现，属于基础知识.考向1考向1平方根与立方根、二次根式解中考：（2022•恩施州）9的算术平方根是__________．【解答】解：∵（±3）2=9，∴9的算术平方根是3．故答案为：3．【解题关键】本考点主要考查算术平方根的基本概念：一个正数有两个平方根，其中正的平方根叫做它的算术平方根．0的算术平方根还是0.选好题：（2021•广元）实数的算术平方根是__________．【解答】解：＝4，4的算术平方根是2，所以实数的算术平方根是2．故答案为：2．变式练习：1．（2022秋•安岳县校级月考）一个数a的平方根是2x-1和5-x,则a=__________．【解答】解：∵一个正数a的平方根是2x-1和5-x,∴2x-1=5-x或2x-1+5-x=0，解得：x=2或x=-4，2x-1=3或2x-1=-9，∴a=32=9或a=92=81．故答案为：9或81．2．（2022秋•武侯区校级月考）9的平方根是__________．-8的立方根是__________．的算术平方根是__________．【解答】解：9的平方根是±3，-8的立方根是-2，的算术平方根是故答案为：±3，-2，3．（2022秋•商水县月考）下列结论错误的是（）A．两个互为相反数的数，开立方所得的结果仍然互为相反数B．如果一个数的立方根等于它本身，那么它一定是1或0C．正数和负数都有立方根D．一个非零数的立方根的符号与这个数的符号相同【解答】解：A、两个互为相反数的数，开立方所得的结果仍然互为相反数，故本选项正确，不符合题意；B、如果一个数的立方根等于它本身，那么它一定是-1、1或0，故本选项错误，符合题意；C、正数和负数都有立方根，故本选项正确，不符合题意；D、一个非零数的立方根的符号与这个数的符号相同，故本选项正确，不符合题意．故选：B．4．（2022秋•东方校级月考）2x+7的立方根是3，则x的值是__________．【解答】解：∵2x+7的立方根是3，∴2x+7=27，解得x=10，故答案为：10．5．．（2022秋•沈丘县校级月考）若最简二次根式与可以合并，则m的值为（）A．2020B．-2020C．2024D．-2024【解答】解：∵最简二次根式与可以合并，则与是同类二次根式，∴m+2022=2．解得m=-2020．故选：B．归纳要点：平方根、立方根、二次根式（1）正数有两个平方根，负数没有平方根，0的平方根是0，正数的正的平方根叫做算术平方根，0的算术平方根还是0.（2）若，则b叫做a的立方根．（3）一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．合并同类二次根式时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．考向2考向2实数的大小比较解中考：（2022•吉林）实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示，则a,b的大小关系为（）A．a＞bB．a＜bC．a=bD．无法确定【解答】解：∵b＞0，a＜0，∴a＜b,故选：B．【解题关键】实数的大小比较，解题的关键是掌握比较大小的相关方法．比如数轴右边的数大于左边的数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小；无理数的估算；作差法比较大小等．选好题：如图，点A是数轴上表示实数a的点．（1）用直尺和圆规在数轴上作出表示实数的点P；（保留作图痕迹，不写作法）（2）利用数轴比较和a的大小，并说明理由．【解答】解：（1）如图所示，点P即为所求；（2）a＞，理由如下：∵如图所示，点A在点P右侧，∴a＞．故选：C．变式练习：1．（2022春•清丰县期末）实数大小比较：2__________．（填“＞”或“＜”）【解答】解：：∵22=4，（）2=11，4＜11，∴2＜故答案为：＜．2．（2022春•香洲区期末）下列几个数：-4、-π、、0，其中最小的数是（）A．-4B．-πC．D．0【解答】解：：∵-4＜-π＜0＜，∴-4、-π、、0，其中最小的数是-4．故选：A．3．（2022•山西模拟）下面的实数比较大小正确的是（）A．0＜-3B．2＜-3C．-2＜-3D．-1＜3【解答】解：A．0＞-3，故本选项不符合题意；B．2＞-3，故本选项不符合题意；C．-2＞-3，故本选项不符合题意；D．-1＜3，故本选项符合题意；故选：D．4．（2022春•富平县期末）对于数30、3-1、-|-3|、大小比较中，下列正确的是（）A．30＜3-1＜-|-3|＜B．-|-3|＜3-1＜30＜C．3-1＜-|-3|＜30＜D．＜30＜3-1＜-|-3|【解答】解：∵30=1，3-1=，-|-3|=-3，=3，∴-3＜＜1＜3，∴-|-3|＜3-1＜30＜，故选：B．5．（2022春•崂山区期末）对于任意两个代数式M，N的大小比较，有下面的方法：当M-N＞0时，M＞N；当M-N=0时，M=N；当M-N＜0时，M＜N．我们把这种比较两个代数式大小的方法叫做“作差法”．（1）在a克盐水中含有b克盐（完全溶解），则盐水浓度可表示为＿＿＿＿＿；如果再加入c克盐（完全溶解），则盐水浓度可表示为＿＿＿＿＿．（2）请用“作差法”说明加盐前后盐水浓度的大小关系．．【解答】解：解：（1）盐水浓度==，再加入c克盐（完全溶解）后，盐水浓度==．（2），由题知，a＞0，c＞0，a＞b,∴，即，∴归纳要点：实数的大小比较（1）在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数大，左边的点表示的数小．（2）正数大于零，负数小于零；两个正数，绝对值大的较大；两个负数，绝对值小的较大．（3）设是任意两实数．若，则；若，则；若，则．考向3考向3定义新运算解中考：（2022•宁波）定义一种新运算：对于任意的非零实数a,b,ab=．若（x+1）x=，则x的值为＿＿＿＿＿．【解答】解：根据题意得：，化为整式方程得：x+x+1=（2x+1）（x+1），解得：，检验：当x=时，x（x+1）≠0，∴原方程的解为：x=．故答案为：．【解题关键】定义新运算属于中考中的创新应用题型，将新定义的符号或运算规则准确的转化为我们常用的运算法则是解题的关键.选好题：（2022•巴中）对于实数a,b定义新运算：a※b=ab2-b,若关于x的方程1※x=k有两个不相等的实数根，则k的取值范围（）A．k＞B．k＜C．k＞且k≠0D．k≥且k≠0【解答】解：根据定义新运算，得x2-x=k,即x2-x-k=0，∵关于x的方程1※x=k有两个不相等的实数根，∴Δ=（-1）2-4×（-k）＞0，解得：k＞，故选：A．变式练习：1．（2022秋•新华区校级月考）定义新运算：对于任意实数a,b,都有ab=a2-2ab,其中等号右边是通常的减法及乘法运算．如11=12-2×1×1=-1．请计算2(-1)=＿＿；嘉嘉写了一个满足以上运算的等式：x（-3）=-5，其中x的值为＿＿＿＿＿．【解答】解：2（-1）=22-2×2×（-1）=4-（-4）=4+4=8，∵x（-3）=-5，∴x2-2x×（-3）+5=0，∴x2+6x+5=5，解得：x=-1或x=-5，故答案为：8；-1或-5．2．（2022秋•宁远县校级月考）用、定义新运算：对于任意实数a,b,都有ab=a和ab=b,例如32=3，32=2．则（20132014）（20112012）的值是（）【解答】解：（20132014）（20112012）=20132012=2013．故选：C．3．（2022秋•南皮县校级月考）定义新运算“※”如下：当a≥b时，a※b=ab+b；当a＜b时，a※b=ab-a.（1）-3※2=＿＿＿＿＿；若5※b=12，则b=＿＿＿＿＿；（2）若（2x-1）※（x+2）=0，则x=＿＿＿＿＿．【解答】解：（1）∵-3＜2，∴-3※2=-3×2-（-3）=-6+3=-3；当5≥b时，5※b=5b+b=12，解得b=2，当5＜b时，5※b=5b-5=12，解得b=＜5（舍去），∴b=2，故答案为：-3，2；（2）当2x-1≥x+2时，即x≥3时，（2x-1）※（x+2）=0，即（2x-1）（x+2）+（x+2）=0，整理得，x2+2x=0，解得x=0或x=-2，又x≥3，因此x=0或x=-2不符合题意，舍去；当2x-1＜x+2时，即x＜3时，（2x-1）※（x+2）=0，即（2x-1）（x+2）-（2x-1）=0，整理得，2x2+x-1=0，解得x=-1或x=又x＜3，因此x=-1或x=都符合题意，故答案为：-1或．4．（2022秋•历城区校级月考）定义新运算：对任意有理数m和n,规定：（m+n）=（m）•（n），例：若（2）=3，则（4）=（2+2）=3×3=9．那么，若（3）=4，则（3b）•（3-4b）•（3+b）的值为＿＿＿＿＿．【解答】解：∵（m+n）=（m）•（n），∴原式=（3b+3-4b+3+b）=（3+3），又∵（3）=4，∴原式=（3）•（3）=4×4=16．故答案为：16．5．（2022秋•吉林月考）对于任意实数a、b,我们定义新运算“*”：a*b=a2-b2，则等式（x+2）*3=0中的x的值为＿＿＿＿＿．【解答】解：（x+2）*3=0，则(x+2)2-32=0，故x+2=±3，解得：x=-5或x=1．故答案为：-5或1．要点归纳：定义新运算（1）定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算．（2）定义新运算是一种特别设计的计算形式，它使用一些特殊的运算符号，这是与四则运算中的加减乘除符号是不一样的．（3）新定义的算式中有括号的，要先算括号里的．但它在没有转化前，是不适合于各种运算的．考向4考向4数字规律问题解中考：（2022•内蒙古）观察下列等式：70=1，71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72022的结果的个位数字是（）A．0B．1C．7D．8【解答】解：∵70=1，71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，…∴7n的尾数1，7，9，3循环，∴70+71+72+73的个位数字是0，∵2023÷4=505…3，∴70+71+…+72022的结果的个位数字与70+71+72的个位数字相同，∴70+71+…+72022的结果的个位数字是7.故选：C．【解题关键】中考中数字的规律问题主要考查探究、归纳的数学思想方法．找到数字之间的变化规律是解题的关键。选好题：（2021•随州）根据图中数字的规律，若第n个图中的q=143，则p的值为（）A．100B．121C．144D．169【解答】解：通过观察可得规律：p=n2，q=（n+1）2-1，∵q=143，∴（n+1）2-1=143，解得：n=11，∴p=n2=112=121，故选：B．变式练习：1．（2022•柳江区一模）如图在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全表第四行空缺的数字是＿＿＿＿＿．【解答】解：由表可知，每一行中间的数字都等于这个数字上一行左上角和右上角的数字之和，故第四行空缺的数字是1+2=3，故答案为：3．2．（2022秋•吴江区校级月考）观察图中三角形三个顶点所标的数字规律，可知数2022应标在（）A．第674个三角形的左下角B．第674个三角形的右下角C．第675个三角形的正上方D．第675个三角形的左下角【解答】解：由题意可得：三角形所标的数字每3个数循环一次，∵2022÷3=674，∴2022的位置与3的位置相对应，∴2022应该标在第674个三角形的左下角，故选：A．3．（2021秋•铜梁区校级期末）计算：21-1=1，22-1=3，23-1=7，24-1=15，25-1=31，……归纳各计算结果中的个位数字规律，则22018的个位数字是（）A．1B．3C．4D．5【解答】解：∵21-1=1，22-1=3，23-1=7，24-1=15，25-1=31，……，∴每四次运算结果的尾数循环出现一次，∵2018÷4=504……2，∴22018-1的个位数字是3，∴22018的个位数字是4，故选：C．4．．（2021秋•环江县期末）下表中的数字是按一定规律填写的，则a+b=（）A．55B．66C．76D．110【解答】解：由表格可得，第一行从第三个数开始，都等于前面两个数的和，第二行从第三个数开始，都等于前面两个数的和，∴a=8+13=21，b=21+34=55，∴a+b=21+55=76，故选：C．5．（2021秋•金沙县期末）观察下列数字的排列规律，然后填入适当的数：3，-7，11，-15，19，-23，＿＿＿,＿＿＿．【解答】解：根据题意，本列数是前一个数的绝对值加4等于后面的数的绝对值，符号是正负相间的；23+4=27，27+4=31；故应填27，-31．要点归纳：数字规律问题（1）基本方法：看增幅；（2）基本技巧：①标出序列号；②公因式法；③有的可对每位数同时加上，或减去，或乘以，或除以一个数，成为新数列，然后再找出规律，并恢复到原来数列.考向5考向5实数的混合运算解中考：（2022•烟台）小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”