专题01有理数（期中复习讲义）（原卷版）七年级数学上学期新教材青岛版

专题01有理数（期中复习讲义）核心考点复习目标考情规律正负数的意义能准确判断正负数在实际情境中的意义基础必考点，常出现在小题有理数的分类能按标准准确分类有理数填空常考，易漏0或混淆分类数轴的概念与应用会画数轴、表数及比较大小小题高频，易漏画数轴要素或比错负数相反数与绝对值会求相反数、算绝对值，理解非负性多题型涉及，易错负数绝对值或忽略非负性核心考点复习目标考情规律正负数的意义能准确判断正负数在实际情境中的意义基础必考点，常出现在小题有理数的分类高频易错点，容易忽视……知识点01有理数的分类注意：（1）零既不是正数，也不是负数，零是正数和负数的分界；（2）零和正数统称为非负数；零和负数统称为非正数．（3）如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．知识要点：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用：作用举例表示数的性质0是自然数、是有理数表示没有3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示表示某种状态表示冰点表示正数与负数的界点0非正非负，是一个中性数知识点02数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线．知识要点：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如．（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．知识点03相反数只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．知识要点：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．（3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负．知识点04绝对值（1）代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．数a的绝对值记作．（2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．知识点05有理数的大小比较比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3)作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法．题型一正负数的实际应用【例1】（2526七年级上·全国·课后作业）一种商品的标准价格是300元，但随着季节的变化，该商品的价格可浮动±10%(1)这里±10%(2)请你算出该商品的最高价格和最低价格．(3)如果以标准价格作为参考，超过标准价格记作“+”，低于标准价格记作“−”，该商品价格的浮动范围又可以怎样表示？【变式11】（2526七年级上·全国·课后作业）某班最近一次数学测试的平均成绩为95分，如果把平均成绩记为0分，超过的分数记为正数，不足的分数记为负数．小朋得了98分，应记作分，小兰的成绩记作−7分，她的实际得分是分．【变式12】（2025九年级下·北京·学业考试）某校举行“趣味运动会”，其中有一项目为“接棒过桥”，具体规则为：每组四人手持接力棒过一座独木桥，接力棒只有1根，每次过桥时最多允许两人同时握住接力棒出发（记过桥较慢的人的时间），要求不论去程或者返程时必须有接力棒，当四人全部过桥后记为游戏结束．已知某组的甲，乙，丙，丁四位同学单独过桥所需时间（单位：分钟）分别为1，2，3，5，请写出一种该组同学完成项目可能需要的时间为分钟，该组同学完成项目所需的最短时间为分钟．题型二有理数的分类解｜题｜技｜巧有理数有两大分类维度，需先看清题目要求：①按定义分：整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）；②按性质分：正有理数（正整数、正分数）、0、负有理数（负整数、负分数）。【例2】（2526七年级上·吉林·阶段练习）把下列各数填在相应的表示集合的大括号里．90%，π，4.3，+72，0，−6.4，−12，+235，整数集合：{_____________}；非负数集合：{_____________}；负有理数集合：{_____________}；【变式21】（2526七年级上·山东德州·阶段练习）把下列各数填在相应的集合中：0.3·，15，−12，−81%，227，0，正有理数集合：{

}负分数集合：{

}非负整数集合：{

}非正数集合：{

}有理数集合：{

}【变式22】（2526七年级上·全国·期中）把下列各数分别填在相应的集合里．+3,−11,21,0,−0.618,36%，−2022，227，−π整数集合{

}；正分数集合{

}；负分数集合{

}；负数集合{

}．题型三带“非”字的有理数【例3】（2526七年级上·吉林四平·阶段练习）把下列各数填在相应的横线上．90%，π，4.3，+72，0，−6.4，−12，+235，−5.1，2025(1)整数：_______________；(2)分数：_______________；(3)非负数：_______________；(4)负有理数：_______________．【变式31】（2526七年级上·浙江·阶段练习）把下列各数填在相应的表示集合的大括号里．90%，4.3，+72，0，−6.4，−12，+235，−5.1整数集合：{

}；分数集合：{

}；非负数集合：{

}；负有理数集合：{

}．【变式32】（2122七年级上·四川泸州·期中）把下列各数分别填入相应的集合内．3，7.8，−0.01，223，2021，−15，0，(1)正数集合：{

}；(2)负分数集合：{

}；(3)非正整数集合：{

}．题型四数轴上两点之间的距离【例4】（2526七年级上·江苏常州·阶段练习）已知，等边△ABC（三条边都相等的三角形）在数轴上的位置如图所示．(1)将△ABC从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段AC再次落在数轴上），则点A表示的数是___________；(2)将△ABC从如图所示的位置沿数轴向右滚动，则数2018表示的点与点___________重合；(3)将△ABC从如图所示的位置沿数轴滚动，向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，依次运动情况记录如下：2,−1,+3,−4,−2．①第___________次滚动后，点A离原点最远；②当△ABC结束滚动时，点C表示的数是___________．【变式41】（2526七年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为−20，B点对应的数为100．(1)请求出在数轴上与A、B两点距离相等的点M所对应的数；(2)现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以4个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以6个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，通过计算，请你求出点C对应的数．(3)若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少秒时，两只蚂蚁间的距离为40个单位长度？【变式42】（2526七年级上·河南周口·阶段练习）定义：已知点M，N，Q为数轴上三点，我们规定：点Q到点M的距离是点Q到点N的距离的K倍，则称Q是M,N的“K倍点”，记作：QM,N=K．例如：若点Q表示的数为0，点M表示的数为−2，点N表示的数为1，则Q是M,N的“2倍点”，记作：应用：如图有一条数轴，A、B、P为数轴上三点，分别对应−1，5，−3．(1)①P、B两点之间的距离是__________；②求PB,A(2)若点C在数轴上且CA,B=1，求点(3)若点D是数轴上一点，且DA,B=2，直接写出点题型五数轴上点的平移（动点问题)【例5】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度．可以看出，终点表示的数是−2．已知A，B都是数轴上的点．参照图中所给的信息，完成下列问题．(1)若点A表示的数是−3，将点A向右移动5个单位长度至点A1，则点A1表示的数是(2)已知点B表示的数是2.5，点P从点B出发先向左移动7个单位长度至点D，则点D表示的数是，再向右移动92个单位长度至点C，则点C表示的数是(3)在（2）的条件下，点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时，点N从点C出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点M运动到−5.5所在的点处时，求M，N两点间的距离．【变式51】（2526七年级上·吉林长春·阶段练习）点A在数轴上距原点5个单位长度，将点A先向右移动3个单位长度，再向左移动7个单位长度，得到点B，则点B表示的数是（

）A．1或−9 B．−1或9 C．1或9 D．−1或−9【变式52】（2023七年级上·全国·竞赛）如图，数轴上点A对应的数为5，点B对应的数为−2，点M、N分别从原点O、A同时出发，分别以a、b的速度沿数轴负方向运动（M在O、B之间，N在O、A之间），运动时间为t，点Q为O、N之间一点，且QN=13BN，若M、N运动过程中MQ的值固定不变，则aA．13 B．12 C．23题型六数轴上整点覆盖问题【例6】（2526七年级上·河南南阳·阶段练习）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为1cm，若在数轴上画出一条长2025cm的线段AB，则AB盖住的整点个数是（A．2025或2026 B．2024或2025 C．2025 D．2026【变式61】．（2526七年级上·山东枣庄·阶段练习）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2017厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点的个数是．【变式62】（2425七年级上·江苏常州·阶段练习）数轴上表示整数的点为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意放上一根长为整数厘米的火柴棒，该火柴棒能盖住3个整点，则这根火柴棒的长度为厘米．题型七数轴上的规律探究【例7】（2526七年级上·重庆·阶段练习）如图所示，圆的周长为4个单位长度，圆上的四等分点分别为A、B、C、D，点A落在2的位置，将圆在数轴上沿正方向滚动，那么落在数轴上2025的点是（

）A．A B．B C．C D．D【变式71】（2526七年级上·山东日照·阶段练习）如图，把周长为4个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，A，B，C，D四点将圆四等分，将点D与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，滚动一次则点B与数轴上表示2的点重合，滚动第二次点A与数轴上表示3的点重合，滚动第3次点C与数轴上表示4的点重合，…，在滚动过程中，数轴上的数2027与点（

）重合．A．点A B．点B C．点C D．点D【变式72】（2526七年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，正六边形ABCDEF（每条边都相等）在数轴上的位置如图所示，点A、F对应的数分别为−2和−1，现将正六边形ABCDEF绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为0，连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（

）A．A点 B．B点 C．D点 D．E点题型八相反数的应用【例9】（2425七年级下·黑龙江绥化·期末）用“→”，“←”定义新运算：对于任意有理数a，b，都有a←b=−a和a→b=b，例如：3←2=−3，3→2=2，则(2025←2023)←(2023→2024)=．【变式81】（2425七年级上·浙江宁波·开学考试）若3x+1与y+12(1)xy的值；(2)−x【变式82】（2425七年级上·福建福州·期中）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m=1，求2024题型九绝对值的几何意义【例10】（2526七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知A、B、C、D在数轴上表示的数分别为a、b、c、d且满足a+1=b+1，1−c=1−d，则【变式91】（2526七年级上·江西南昌·阶段练习）我们知道，a可以理解为a−0，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A,B，分别用数a,b表示，那么A,B两点之间的距离为AB=a−b，反过来式子a−b的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数(1)利用此结论，回答以下问题．①数轴上表示2和5的两点之间的距离是______，数轴上表示1和−3的两点之间的距离是______；②数轴上表示x和−1的两点A和B之间的距离是______，如果AB=2，那么x(2)探索规律：①当x−1+②当x−1+③当x−1+(3)知识迁移：x+4−【变式92】（2526七年级上·江西南昌·阶段练习）点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A，B两点之间的距离AB=a−b，例如：数轴上表示−1与−2的两点间的距离=−1−−2=−1+2=1；而x+2=x−−2利用数形结合思想回答下列问题：(1)数轴上表示−2和6两点之间的距离为__________；(2)若数轴上表示点x的数满足x−1=2，那么x=(3)若数轴上表示点x的数满足−4<x<3，则x−3+(4)x−3+题型十带有字母的绝对值化简问题【例11】（2324七年级上·四川广元·期中）若abc≠0，则aaA．4 B．0 C．1 D．−4【变式101】（2526七年级上·北京·阶段练习）对于有理数x,y，a,t，若|x−a|+|y−a|=t，则称x和y关于a的“距和数”为t，例如，|2−1|+|3−1|=3，则2和3关于1的“距和数”为3．(1)3和5关于2的“距和数”为__________(2)若x和2关于3的“距和数”为4，求x的值；(3)若x0和x1关于1的“距和数”为1，x1和x2关于2的“距和数”为1，x2和x①x0②x1【变式102】（2425六年级上·山东烟台·期末）【阅读理解】我们知道x的几何意义是：在数轴上数x对应的点与原点的距离，也就是说，x表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为：m−n表示在数轴上数m,n对应点之间的距离．例如：数轴上表示数a和−1的两点的距离等于a−−1参考阅读材料，解答下列问题．（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是；（2）数轴上表示x和−1的两点之间的距离是；【问题探究】（3）若数轴上表示数a的点位于−3与5之间，化简：a+3+（4）利用数轴探究，当a−1+a−2的值最小时，相应的数【实际应用】（5）请利用问题探究中的结论，求出a−1+（6）问题：某直线路一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：A1,A2,A3,A题型十一绝对值非负性【例12】（2526七年级上·全国·课后作业）已知a−3+(1)求a与b的值；(2)若x=2a+4b，求x【变式111】（2526七年级上·全国·课后作业）根据x是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题：(1)当x=_____时，x−2025有最小值，这个最小值是_____．(2)当x=_____时，2025−x−1【变式112】（2324七年级上·甘肃兰州·期中）（1）同学们知道，正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数，在这一学习过程中，主要体现的数学思想有________________A．数形结合思想B．转化思想C．方程思想D．分类讨论思想回答下列问题：（2）若x=2，求x（3）若y−1=0，求y（4）当x=__________时，x−1有最小值，最小值为__________．（5）当x+4+y−7取最小值时，求x，题型十二绝对值的其他应用【例13】（2526七年级上·山东青岛·阶段练习）同学们都知道：5−−2表示5与−2之差的绝对值，实际上也可理解为5与−2(1)数轴上表示5与−2两点之间的距离是_____；(2)数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为_____．(3)如果x−2=5，则x=(4)同理x+3+x−1表示数轴上有理数x所对应的点到−3和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得(5)由以上探索猜想对于任何有理数x，x−3+(6)x+6+【变式121】（2425七年级上·全国·随堂练习）某工厂生产一批零件，根据零件质量要求，零件的长度可以有0.2cm的误差，现抽查5个零件，检查数据（超过规定长度的厘米数记作正数，不足规定长度的厘米数记作负数，单位：cm零件号数①②③④⑤数据+0.13−0.25+0.09−0.11+0.23(1)符合要求的零件是哪几个？(2)这5个零件中质量最好的是哪一个？【变式122】（2425七年级上·云南昆明·期中）2024年9月9日受台风“摩羯”的影响，云南红河州进入Ⅱ级应急响应状态，某消防队参与救援抢险，消防员战士将消防车加满油，沿南北方向的道路抢修各种故障，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向北为正方向，当天的行驶路程记录如下：（单位：千米）+15,−9,+8,−17,+13,−6,+10,−15,−8,+12(1)请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？(2)若消防车每千米耗油1.5升，油箱容量为150升，求当天救灾过程中至少还需补充多少升油？题型十三有理数的大小比较易｜错｜点｜拨比较负数时，别忽略“绝对值大的反而小”，避免错判【例14】（2526七年级上·全国·课后作业）定义：对于任意数a，符号a表示不大于a的最大整数．如：［5.1（1）3.8=，−π（2）如果a=−6，那么a的取值范围是【变式12】（2526七年级上·全国·课后作业）min(a,b)表示a,b两数中的较小者，maxa,b表示a,b两数中的较大者，如min−4,5=−4，期中基础通关练（测试时间：10分钟）1．在−4，3.5，π4，54，1，−23A．3个 B．4个 C．5个 D．6个2．在−3，−25，0，18%，π4，3.1415926，1.3，0.232232223⋯A．5 B．6 C．7 D．83．如图所示，小明在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，墨迹盖住的整数共有（

）个．A．5 B．6 C．7 D．84．如图，点B，C，A是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为−2，c，3．小肖同学用尺子测得点A和点C之间的距离为1cm，点A和点B之间的距离为2.5cm，则数轴上点C所对应的数为（A．−1 B．0 C．1 D．25．下列各数中：−2.4，3，−103，−0.15，0，−−2.28，−6．如图，数轴的单位长度为1．如果点B，C表示的数的绝对值相等，那么点A表示的数是．7．把下列各数填在相应的大括号里．+8，0.275，−−2，0，−1.04，−−22，正数集合{

}；整数集合{

}；分数集合{

}；非负有理数集合{

}．8．在中学数学中，体现运用数形结合思想解决问题的内容较多．例如，在与绝对值化简有关的有理数运算中，利用数轴这一体现数形结合思想的有力工具，可使一些复杂问题变得容易解决．(1)当式子x+1+x−2取最小值时，相应的(2)当式子x−2+x−4+9．画出数轴，用数轴上的点表示下列各数，并用“<”将它们连接起来：3，−2，1.5，−34，010．如图，数轴上点A表示的数是−2，点B表示的数是3，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n，则称点P为点A、B的“n格距点”．例如：在图1中，点P表示的数是−1，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为1+4=5，则称点P为点A、B的“5格距点”．(1)若点P表示的数是2，则n的值为______；(2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为点A、B的“5格距点”，则这样的整点P有______个；(3)若点P为数轴上一点，且点P到点B的距离为1，求点P表示的数及n的值．期中重难突破练（测试时间：10分钟）1．5个城市的国际标准时间（单位：时）在数轴上表示如图所示，那么北京时间2025年10月1日20时应是（

）A．纽约时间2025年10月1日5时 B．伦敦时间2025年10月1日12时C．巴黎时间2025年10月1日7时 D．汉城时间2025年10月1日19时2．数轴上点A表示数−3，将点A沿数轴移动7个单位长度得到点B，则点B表示的数是（

）A．4 B．−4和10 C．−10 D．−10和43．如图所示，圆的周长为4个单位长度，圆上的四等分点分别为A、B、C、D，点A落在2的位置，将圆在数轴上沿正方向滚动，那么落在数轴上2025的点是（

）A．A B．B C．C D．D4．数轴上一点M到原点的距离是4，则点M在数轴上移动4个单位长度后，点M表示的数是．5．下列关于有理数的说法：①绝对值等于本身的数只有0；②一个正数的相反数是负数；③相反数等于本身的数只有1个；④最小的负整数是−1，其中所有正确的说法有．（填序号）6．正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点A，D对应的数分别为−1和−2，若正方形ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，第1次翻转后，点B所对应的数为0；则翻转2025次后，点B在数轴上对应的数字是．7．如图，已知A、B、C、D在数轴上表示的数分别为a、b、c、d且满足a+1=b+1，1−c=1−d，则8．（1）用铅笔直尺画数轴，并在数轴上把下列各数表示出来：−7（刻度在数轴下方，要表示数字在数轴上）（2）请按从小到大的顺序用“<”号将（1）中的4个数连接起来．9．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是___________；表示−3和2两点之间的距离是___________；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于m−n．(2)如果x−1=3，那么x=___________；如果x+1=3(3)若a−3=2，b+2=1，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、(4)若数轴上表示数a的点位于−4与2之间，则a+4+10．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如：从“形”的角度看：3−1可以理解为数轴上表示3和1的两点之间的距离；3+1可以理解为数轴上表示3与−1的两点之间的距离．从“数”的角度看：数轴上表示4和−3的两点之间的距离可用|4−−3(1)数轴上表示3和9的两点之间的距离是；数轴上表示2和−5的两点之间的距离是．（直接写出最终结果）(2)若数轴上表示的数x和−2的两点之间的距离是4，则x的值为．(3)若x表示一个有理数，使得x+1+x−3有最小值，请直接写出满足要求的整数x是期中综合拓展练（测试时间：15分钟）1．下列各对数中，互为相反数的是（

）A．3和13 B．32和−1.5 C．−3和132．如图，圆的周长为4个单位长度，圆上的四等分点分别为