《相似三角形的性质》教案

PAGEPAGE1《相似三角形的性质》教案【教学目标】能探索相似三角形性质的证明过程，理解相似三角形的性质，并能运用相似三角形的性质计算有关角，边，周长和面积问题。经历观察——猜想——论证——归纳的过程，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度。掌握初步的逻辑推理及类比的思维方法，感受从一般到特殊的认知规律，通过主动探索，体验成功的喜悦。【教学重难点】教学重点是相似三角形性质定理的探索及应用；教学难点是相似三角形性质的归纳推理，特别是面积之间的关系，并且注意“相似比”与“相似比的平方”的区分。.【教学过程】教学环节教学内容设计意图导入新课（一）情景引入隔壁老王有一块三角形的土地，如图所示，△ABC，DE∥BC，DE:BC=2:3.四边形DBCE的面积会比△ADE的面积大吗？如果会，那么会大多少呢？提问导入，引起学生注意与好奇心，明确学习目标.环节一导入今天我们就要通过学习相似三角形的性质来帮助小王解决这个问题.（二）温故知新复习相似三角形的定义，通过谈话给学生建立起新旧知识的联系，从而引出新课.根据相似三角形的定义，我们知道相似三角形的对应角相等，对应边成比例.而三角形中有各种各样的几何量，除了三条边的长度，三个内角的度数，还有高，中线，角平分线的长度，以及周长，面积等.𝐴�∽△�'�'�'，相似比为2分别为△𝐴�和△�'�'�'的高.𝐴 1那么对应高的比:�'�'=2.猜想1：相似三角形对应高的比等于相似比.𝐴�∽△�'�'�'，相似比为2分别为△𝐴�和△�'�'�'.𝐴 1那么对应中线的比:�'�'=2.猜想2：相似三角形对应中线的比等于相似比.观察3：如图，已知△𝐴�∽△�'�'�'，相似比为1，𝐴，�'�'分别为△𝐴�2和△�'�'�'的角平分线.𝐴 1那么对应角平分线的比:�'�'=2.猜想3相似三角形对应角平分线的比等于相似比.引学生通过观察动画，猜想相似三角形对应高的比与相似比的关系.引导学生通过观察动画，猜想相似三角形对应中线的比与相似比的关系.环节二观察与猜想引导学生通过观察动画，猜想相似三角形对应中线的比与相似比的关系.推理论证1：如图，△�'�'�'∽△𝐴�，相似比为k，1论证，证明相似三角形对应高的比等于相似比，培养学生逻辑推理的能力。分别作�'�'，��上的高A'D'，AD.求证A'D'环节三推理论证AD=k.证明：∵△A'B'C'∽△ABC，∴∠B'=∠B．∵A'D'，AD分别为�'�'，��上的高，∴∠A'D'B'=∠ADB=90°，∴△A'B'D'∽△ABD.A'D' A'B'∴AD=AB=k.推理论证2：已知△ABC∽△DEF,AM,DN分别为△ABC和△DEF的中线.AM=AB.DN DE证明：∵△ABC∽△DEF,∴∠B=∠E,BC=AB.EF DE又∵AM,DN分别是△ABC和△DEF的中线,∴BC=2BM,EF=2EN.∴BC=BM,EF EN∴AB=DE EN∴△ABM∽△DEN.∴AM=AB.DN DE推理论证3：已知△ABC∽△DEF,AM,DN分别为△ABC和△DEF的角平分线.AM=AB.DN DE证明：∵△ABC∽△DEF,∴∠B=∠E,∠BAC=∠EDF.又∵AM,DN分别是∠BAC和∠EDF的角平分线,∴∠BAM=1∠BAC,∠EDA=12 2∠EDF.∴∠BAM=∠EDN.∴△AMB∽△DNE.∴AM=AB.DN 归纳 由此我们可以得到：相似三角形对应高的比等于相似比.引导学生进行猜想2的推理论证，证明相似三角形对应中线的比等于相似比，培养学生逻辑推理的能力。让学生根据猜想1的证明方法，类比推理，从而证明相似三角形角平分线的比等于相似比；培养学生类比数学思想，引导学生自主探索，应用旧知来证明新结论。相似三角形对应中线、角平分线的比也等于相似比.一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比.通过对猜想的论证，最后作总结归纳，得出相似三角形的性质.思考1解：如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，那么AB=BC=CA=k，A'B' B'C' C'A'因此AB＝kA'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'，从而AB+BC+CA =kA'B'+kB'C'+kC'A'=k.A'B'+B'C'+C'A' A'B'+B'C'+C'A'于是得到：相似三角形周长比等于相似比.思考2：如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们的面积比是多少？由前面的结论，我们有1S△ABC BC∙AD BC AD=12 = ∙ =k∙k=�2.S△A'B'C' B'C'∙A'D' B'C'A'D'2于是得到：相似三角形的面积比等于相似比的平方.让学生自主探索，应用旧知来证明相似相似三角形周长的比等于相似比。环节四自主探究让学生自主探索，应用旧知来证明相似相似三角形面积的比等于相似比的平方.环节五例题讲解例1.如图，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D.若△ABC的边BC上的高为6，面积为125，通过例题巩固相似三角形的判定与相似三角形的性质综求△DEF的边EF上的高和面积.解：在△ABC和△DEF中,∵AB=2DE，AC=2DF,DE=DF=1.∴AB AC 2又∵∠D=∠A,1∴△DEF∽△ABC，△DEF与△ABC的相似比为.2∵△ABC的边BC上的高为6，面积为125，1∴△DEF的边EF上的高为2×6=3.面积为(1)2×125=35.2合应用.环节六现学现用DBCE的面积会比△ADE的面积大吗？如果会，那么会大多少呢？∴△ADE∽△ABC.S△𝐴�=(��)2 22 4∴ =( )=9S△𝐴� �� 34 5∴S△𝐴�=9S△𝐴�,S四边形����=9S△𝐴�.1∴四边形DEDE,大了9SA.让学生应用新学习的知识解决导入设疑的问题，从而让他们感受到通过应用数学知识解决实际问题的成功，从而提升学习兴趣.环节七1.△ABC与△A'B'C'3:4BCAD＝巩固练习12cm，则B'C'边上的高A'D'＝ .练习的设计由浅入深，通过解：16cm.练习巩固新学的知识.2.如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝9，∠ABC，∠BCD的角平分线分别交AD于E和F，BE与CF交于点O，则△EFO与△BCO面积之比是 .答案为：1.93.如图，菱形ABCD中，AB＝5，S菱形ABCD＝24，E为AD上一点，且AE＝1，连接BE，AC交于点F，过点F作FG⊥BC于点G，则FG的长为 ．答案为：4.环节七课堂小结小结：相似三角形有哪些性质？相似三角形对应角相等，对应边成比例.相似三角形对应线段的比等于相似比.相似三角形周长的比等于相似比.相似三角形面积的比等于相似比的平方.帮助学生归纳总结，巩固所学知识,形成知识网络.环节八见课后作业文件通过课后练习，让学生巩固布置作业知识知能演练提升能力提升1.已知两个相似三角形对应边上的中线的比为3∶2,则其相应面积之比为()A.3∶2 B.3C.9∶4 D.不能确定2.如图,D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点,且DE∥BC,BE交DC于点F.若EF∶FB=1∶3,则S△ADESA.13 B.C.33 D.3.如图,D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,且DE∥AC,AE,CD相交于点O.若S△DOE∶S△COA=1∶25,则S△BDE∶S△CDE=()A.1∶3 B.1∶4C.1∶5 D.1∶254.已知一山谷的横断面示意图如图所示,AA'=15m,用曲尺(两直尺相交成直角)从山谷两侧测量出OA=1m,OB=3m,O'A'=0.5m,O'B'=3m(点A,O,O',A'在同一条水平线上),则该山谷的深h为m.

5.如图,在▱ABCD中,P为边AD上的一点,E,F分别是PB,PC的中点,△PEF,△PDC,△PAB的面积分别为S,S1,S2.若S=2,则S1+S2=.

6.如图,在△ABC与△A'B'C'中,点D,D'分别在边BC,B'C'上,且△ACD∽△A'C'D',若,则△ABD∽△A'B'D'.

请从①BDCD=B'D'C'D';7.如图,在▱ABCD中,E是CD的延长线上一点,BE与AD交于点F,DE=12CD(1)求证:△ABF∽△CEB;(2)若△DEF的面积为2,求▱ABCD的面积.8.某社区拟筹资金2000元,计划在一块上、下底分别是10m,20m的梯形空地上种植花木(如图所示),他们想在△AMD和△BMC地带种植单价为10元/平方米的太阳花.当△AMD地带种满花后,已经花了500元,请你预算一下,若继续在△BMC地带种植同样的太阳花,资金是否够用?并说明理由.创新应用★9.下列图形中,图①是边长为1的阴影正三角形,连接它的各边中点,挖去中间的三角形得到图②;再分别连接剩下的每个阴影三角形各边中点,挖去中间的三角形得到图③;再用同样的方法得到图④.(1)请你求出图④中阴影部分的面积;(2)若再用同样的方法继续下去,试猜想图○n中阴影部分的面积.

知能演练·提升能力提升1.C2.B由△DEF∽△CBF,求得EDBC=EFFB=13,再由△3.B由DE∥AC,可得△DOE∽△COA,△BDE∽△BAC,而△DOE与△COA的面积比为1∶25,所以这两个三角形的相似比为15,即DE∶CA=1∶5.根据△BDE∽△BAC,得BE∶BC=DE∶CA=1∶5,所以BE∶EC=1∶4.因为△BDE与△CDE的高相等,底边BE∶EC=1∶4,所以S△BDE与S△CDE的比是1∶44.30如图,将线段A'B'向左平移,使B'与B重合,交AA'于点C.因为BC∥A'B',所以△ABC∽△ADA',ACOB即1.53=155.8由于E,F分别是PB,PC的中点,根据中位线的性质知EF∥BC,且EF=12BC.易得△PEF∽△PBC,且其面积的比是1∶4.由S=2,得△PBC的面积为8.又根据平行四边形的性质,把S1+S2看作整体,求得S1+S2=S△PBC=86.解若选③.证明如下:∵△ACD∽△A'C'D',∴∠ADC=∠A'D'C',∴∠ADB=∠A'D'B'.又∠BAD=∠B'A'D',∴△ABD∽△A'B'D'.选①也可以,证明略.7.(1)证明∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,AB∥CD.∴∠ABF=∠CEB,∴△ABF∽△CEB.(2)解∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,ABCD.∴△DEF∽△CEB,△DEF∽△ABF.∵DE=12CD∴S△S△∵S△DEF=2,∴S△CEB=18,S△ABF=8.∴S四边形BCDF=S△BCE-S△DEF=16.∴S▱ABCD=S四边形BCDF+S△ABF=16+8=24.8.解不够用.理由:在梯形ABCD中,AD∥BC