云南省楚雄州2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试卷（含答案）

第第页云南省楚雄州2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，共36分）1．一元二次方程x2+x＝0的根是（）A．x＝0 B．x＝﹣1C．x＝0或x＝﹣1 D．x＝±12．一元二次方程x2﹣x﹣1=0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根3．二次函数y＝（x﹣1）2的顶点坐标是（）A．（0，﹣1） B．（0，1） C．（﹣1，0） D．（1，0）4．下列标志图中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．5．用配方法解一元二次方程x2﹣6x=﹣5的过程中，配方正确的是（）A．（x+3）2=1 B．（x﹣3）2=1 C．（x+3）2=4 D．（x﹣3）2=46．在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是（﹣1，﹣2），则点P关于原点对称的点的坐标是（）A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（2，1）7．已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则这个圆锥的侧面积是（）A．20πcm2 B．20cm2 C．40πcm2 D．40cm28．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点．若∠BOC=66°，则A．66° B．33° C．24° D．30°9．已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（）A．5 B．﹣1 C．2 D．﹣510．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（）A．b2﹣4ac＞0 B．a＞0 C．c＞0 D．−11．在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的对称中心是坐标原点，顶点A、B的坐标分别是（﹣1，1）、（2，1），将平行四边形ABCD沿x轴向左平移3个单位长度，则顶点C的对应点C1的坐标是（）A．（﹣2，﹣1） B．（4，﹣1）C．（1，2） D．（2，1）12．如图，在△OAB中，顶点O（0，0），A（﹣2，3），B（2，3），将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点D的坐标为（）A．（﹣2，7） B．（7，2）C．（2，﹣7） D．（﹣7，﹣2）二、填空题（本大题共4个小题，每小题2分，共8分）13．如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝30°，则∠ABO的度数是．14．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根，则1x115．若关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0有两个实数根，则m的取值范围是．16．已知，⊙O的半径为一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的两根，圆心O到直线l的距离d＝4，则直线l与⊙O的位置关系是．三、解答题（本大题共8个小题，满分56分）17．用适当的方法解方程：x（1﹣x）＝2x﹣2．18．已知二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣1），且经过原点（0，0），求该函数的解析式．19．如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，求CD的长．20．我县某楼盘准备以每平方米4000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米3240元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率．（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米50元，试问哪种方案更优惠？21．如图，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．22．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6厘米，BC＝8厘米．点P从A点开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动（到达点C即停止运动）．（1）如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于△ABC的三分之一？（2）如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B即停止运动），动点Q从B出发，沿BC移动（到达点C即停止运动），几秒钟后，P、Q相距6厘米？23．如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，∠C＝90°，以OA为半径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连接AD且AD平分∠BAC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若∠BAC＝60°，OA＝2，求阴影部分的面积（结果保留π）24．在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x﹣h）2+k的对称轴是直线x＝1．（1）若抛物线与x轴交于原点，求此抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在一点P到x轴的距离等于3，若存在求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：x2+x＝0，

x(x-1)=0，

解得：x1=0，x2=1.

故答案为：C.

【分析】利用因式分解法解方程即可.2．【答案】A【解析】【解答】解：∵a=1，b=﹣1，c=﹣1，∴△=b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）=5＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故选：A．【分析】先求出△的值，再判断出其符号即可．本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△的关系是解答此题的关键．3．【答案】D【解析】【解答】解：二次函数y＝（x﹣1）2的顶点坐标是（1，0）.

故答案为：D.

【分析】二次函数y＝a（x﹣h）2+k(a≠0)顶点坐标是（h，k），据此解答即可.4．【答案】B【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；

B、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故符合题意；

C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；

D、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意.

故答案为：B.

【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；据此逐一判断即可.5．【答案】D【解析】【解答】解：x2﹣6x+9=4，（x﹣3）2=4．故选D．【分析】先把方程两边都加上9，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．6．【答案】A【解析】【解答】解：∵点P的坐标是（﹣1，﹣2），

∴点P关于原点对称的点的坐标是（1，2）.

故答案为：A.

【分析】关于原点对称的点的坐标规律：横、纵坐标分别互为相反数，据此解答即可.7．【答案】A【解析】【解答】解：圆锥的侧面积=2π×4×5÷2=20π．故选：A．【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．8．【答案】B【解析】【解答】解：∵∠BOC=66°，∴∠A=12∠BOC=19．【答案】B【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，设另一个根为m，∴﹣2+m=-3解得，m=﹣1，故选B．【分析】根据关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值，本题得以解决．本题考查根与系数的关系，解题的关键是明确两根之和等于一次项系数与二次项系数比值的相反数．10．【答案】D【解析】【解答】解：A、∵抛物线与x轴有两个交点，

∴△=b2﹣4ac＞0，故A正确；

B、由抛物线开口向上，则a＞0，故B正确；

C、由抛物线与y轴的交点在正半轴上，则c＞0，故C正确；

D、由图象知：抛物线的对称轴在y轴的右侧，则x=−b2a＞0，故D错误.

故答案为：D.

【分析】由于抛物线的开口向上确定a的符号，由抛物线与y轴的交点在正半轴上确定c的符号，由抛物线与x轴有两个交点可确定b2﹣4ac的符号，由11．【答案】A【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD的对称中心是坐标原点，A的坐标为（﹣1，1），

∴顶点C（1，-1），

将平行四边形ABCD沿x轴向左平移3个单位长度，即点C沿x轴向左平移3个单位长度，

∴C1的坐标是（1-3，-1），即（-2，-1）.

故答案为：A.

【分析】平行四边形ABCD的对称中心是坐标原点可求出点C的坐标，再利用平移的性质求出C1的坐标即可.12．【答案】D【解析】【解答】解：将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，

∴旋转4次一个循环，

∵2023÷4=505···3，

∴第2023次旋转结束时，点D落在第三象限，

故答案为：D.

【分析】将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，可知旋转4次一个循环，据此解答即可.13．【答案】60°【解析】【解答】解：∵∠ACB＝30°，

∴∠AOB=2∠ACB＝60°，

∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA，

∴∠OBA=∠OAB=12(180°-∠AOB)=60°.

故答案为：60°.

【分析】利用圆周角定理可得∠AOB=2∠ACB＝60°，再利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得∠OBA=∠OAB=114．【答案】-2【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根为x1、x2，x1+x2=2，x1•x2=﹣1，∴1x1+故答案是：﹣2．【分析】利用韦达定理求得x1+x2=2，x1•x2=﹣1，然后将其代入通分后的所求代数式并求值．此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．15．【答案】m≥﹣1【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0有两个实数根，

∴△=（-2）2+4m≥0，

解得：m≥﹣1.

故答案为：m≥﹣1.

【分析】由方程有两个实数根，可得△≥0，据此解答即可.16．【答案】相交【解析】【解答】解：x2﹣5x﹣6＝0

(x-6)(x+1)=0，

解得：x1=6，x2=-1（不合题意，舍），

即⊙O的半径为6，

∵d＝4＜6，

∴直线l与⊙O的位置关系是相交.

故答案为：相交.

【分析】先求出方程的根，即确定⊙O的半径，再和圆心O到直线l的距离d相比即得结论.17．【答案】解：x（1﹣x）＝2(x﹣1)．

x（1﹣x）+2(1﹣x)=0．

（1-x）(x+2）=0

解得：x1＝1，x2＝﹣2【解析】【分析】利用因式分解法解方程即可.18．【答案】解：设y=a（x-1）2-1，

把（0，0）代入得a=1，

∴y=（x-1）2-1，即y=x2-2x.【解析】【分析】利用待定系数法求二次函数解析式即可.19．【答案】解：连接OC、OB，则OB=OC=2，

∵∠CAB＝30°，

∴∠COB=2∠CAB＝60°，

∴△OBC为等边三角形，

∴BC=OB=2，

∵∠CBA＝45°，CD⊥AB，

∴∠DCB=45°，

∴DC=BD，

∴CD=BC=22BC=2.

【解析】【分析】连接OC、OB，则OB=OC=2，由圆周角定理可得∠COB=2∠CAB＝60°，从而得出△OBC为等边三角形，可得BC=OB=2，易得△CDB为等腰直角三角形，可得CD=2220．【答案】（1）解：设平均每次下调的百分率为x，

由题意得：4000（1-x）2=3240，

解得：x1=0.1，x2=1.9(舍)，

∴平均每次下调的百分率为10%.（2）解：①优惠：3240×100×（1-0.98）=6480元，

②优惠：50×100=5000元，

∵6480＞5000.

∴方案①更优惠.【解析】【分析】（1）设平均每次下调的百分率为x，利用预定每平方米销售价格×（1-下调的百分率）2=开盘每平方米销售价格，列出方程并解之即可；

（2）分别计算两种方案优惠的价格，比较即得结论.21．【答案】（1）解：把A（0，3），B（﹣1，0）代入y＝ax2+2x+c中，

得c=3a-2+c=0，解得a=-1，c=3，

∴y＝-x2（2）解：y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，

∴D（1，4），

∴DE=4，OE=3，

∵B（﹣1，0），

∴BE=1+1=2，

∴BD=BE【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；

（2）先求出顶点D的坐标，结合B的坐标，可得BE、DE的长，再利用勾股定理即可求解.22．【答案】（1）解：设经过t秒钟，△PBQ的面积等于△ABC的三分之一，则AP=t，BQ=2t，

∴BP=6-t，

∴12PB·BQ=13×12AB·BC，即12（6-t）·2t=13×12（2）（2）设x秒后P、Q相距6厘米，则AP=x，BQ=2x，

∴BP=6-x，

由题意得PQ2=BP2+BQ2，即36=（6-x）2+(2x）2，

解得：x1=0（舍），x2=2.4，

∴2.4秒钟后，P、Q相距6厘米.【解析】【分析】（1）设经过t秒钟，△PBQ的面积等于△ABC的三分之一，则AP=t，BQ=2t，BP=6-t，根据“△PBQ的面积等于△ABC的三分之一”列出方程并解之即可；

（2）设x秒后P、Q相距6厘米，则AP=x，BQ=2x，BP=6-x，由勾股定理可得PQ2=BP2+BQ2，据此建立方程并解之即可.23．【答案】（1）解：连接OD，则OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∵AD平分∠BAC，

∴∠CAD=∠OAD，

∴∠CAD=∠ODA，

∵∠C＝90°，

∴∠CAD+∠CDA=∠ODA+∠CDA=90°，

即∠CDO=90°，

∴BC是⊙O的切线；（2）解：连接OE、ED，则OE=OD=OA，

∵AD平分∠BAC，且∠BAC＝60°，

∴∠EAD=30°，