2025-2026学年四川省自贡市数学高二第一学期期末预测试题含解析

2025-2026学年四川省自贡市数学高二第一学期期末预测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．数列，则是这个数列的第（）A.项 B.项C.项 D.项2．已知集合，则（）A. B.C. D.3．下列求导不正确的是（）A B.C. D.4．在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与交于，两点，与轴交于点，，则的离心率为（）A. B.C. D.5．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取两个球，则下列选项中的两个事件为互斥事件的是（）A.至多有1个白球；都是红球 B.至少有1个白球；至少有1个红球C.恰好有1个白球；都是红球 D.至多有1个白球；至多有1个红球6．空间四点共面，但任意三点不共线，若为该平面外一点且，则实数的值为（）A. B.C. D.7．已知数列满足：对任意的均有成立，且，，则该数列的前2022项和（）A0 B.1C.3 D.48．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（）A. B.C. D.与相交但不垂直9．过抛物线的焦点作互相垂直的弦，则的最小值为（）A.16 B.18C.32 D.6410．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A.“至少有1个白球”和“都是红球”B.“至少有2个白球”和“至多有1个红球”C.“恰有1个白球”和“恰有2个白球”D.“至多有1个白球”和“都是红球”11．命题，，则为（）A.， B.，C.， D.，12．2020年12月4日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗.1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近.为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，，，，分别是大星中心点与四颗小星中心点的联结线，，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设，分别是椭圆C：的左、右焦点，点M为椭圆C上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则M的坐标为___________14．已知，满足约束条件则的最小值为__________15．已知函数，则_________16．已知抛物线的顶点为O，焦点为F，动点B在C上，若点B，O，F构成一个斜三角形，则______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列是公比为正数的等比数列，且，.（1）求数列通项公式；（2）若，求数列的前项和.18．（12分）阿基米德(公元前287年---公元前212年，古希腊)不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系中，椭圆的面积等于，且椭圆的焦距为.（1）求椭圆的标准方程；（2）点是轴上的定点，直线与椭圆交于不同的两点，已知A关于轴的对称点为，点关于原点的对称点为，已知三点共线，试探究直线是否过定点.若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.19．（12分）已知公差不为零的等差数列的前项和为，，，成等比数列且满足________.请在①；②；③，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并回答以下问题.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.20．（12分）如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，（1）设，，，用向量表示，并求出的长度；（2）求异面直线与所成角的余弦值21．（12分）已知直线过点，且其倾斜角是直线的倾斜角的（1）求直线的方程；（2）若直线与直线平行，且点到直线的距离是，求直线的方程22．（10分）公差不为零的等差数列中，已知其前n项和为，若，且成等比数列（1）求数列的通项；（2）当时，求数列的前n和

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据数列的规律，求出通项公式，进而求出是这个数列的第几项【详解】数列为，故通项公式为，是这个数列的第项.故选：A.2、D【解析】由集合的关系及交集运算，逐项判断即可得解.【详解】因为集合，，所以，，.故选：D.【点睛】本题考查了集合关系的判断及集合的交集运算，考查了运算求解能力，属于基础题.3、C【解析】由导数的运算法则、复合函数的求导法则计算后可判断【详解】A：；B：；C：；D：故选：C4、B【解析】由题意结合几何性质可得为等腰三角形，且，所以，求出的长，结合椭圆的定义可得答案.【详解】如图，由题意轴，轴，则又为的中点，则为的中点，又，则为等腰三角形，且，所以将代入椭圆方程得，，即所以，则由椭圆的定义可得，即则椭圆的离心率故选：B5、C【解析】根据试验过程进行分析，利用互斥事件的定义对四个选项一一判断即可.【详解】对于A：“至多有1个白球”包含都是红球和一红一白，“都是红球”包含都是红球，所以“至多有1个白球”与“都是红球”不是互斥事件.故A错误；对于B：“至少有1个白球”包含都是白球和一红一白，“至少有1个红球”包含都是红球和一红一白，所以“至少有1个白球”与“至少有1个红球”不是互斥事件.故B错误；对于C：“恰好有1个白球”包含一红一白，“都是红球”包含都是红球，所以“恰好有1个白球”与“都是红球”是互斥事件.故C错误；对于D：“至多有1个红球”包含都是白球和一红一白，“至多有1个白球”包含都是红球和一红一白，所以“至多有1个白球”与“至多有1个红球”不是互斥事件.故D错误.故选：C6、A【解析】由空间向量共面定理构造方程求得结果.【详解】空间四点共面，但任意三点不共线，，解得：.故选：A.7、A【解析】根据可知，数列具有周期性，即可解出【详解】因为，所以，即，所以数列中的项具有周期性，，由，，依次对赋值可得，，一个周期内项的和为零，而，所以数列的前2022项和故选：A8、B【解析】通过判断直线的方向向量与平面的法向量的关系，可得结论【详解】因为，，所以，所以∥，因为直线的方向向量为，平面的法向量为，所以，故选：B9、B【解析】根据抛物线方程求出焦点坐标，分别设出，所在直线方程，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系及弦长公式求得，，然后利用基本不等式求最值.【详解】抛物线的焦点，设直线的直线方程为，则直线的方程为.，，，.由，得，，同理可得..当且仅当，即时取等号.所以的最小值为.故选：B10、C【解析】结合互斥事件与对立事件的概念,对选项逐个分析可选出答案.【详解】对于选项A,“至少有1个白球”和“都是红球”是对立事件,不符合题意;对于选项B,“至少有2个白球”表示取出2个球都是白色的,而“至多有1个红球”表示取出的球1个红球1个白球,或者2个都是白球,二者不是互斥事件,不符合题意;对于选项C,“恰有1个白球”表示取出2个球1个红球1个白球,与“恰有2个白球”是互斥而不对立的两个事件,符合题意;对于选项D,“至多有1个白球”表示取出的2个球1个红球1个白球,或者2个都是红球,与“都是红球”不是互斥事件,不符合题意.故选C.【点睛】本题考查了互斥事件和对立事件的定义的运用,考查了学生对知识的理解和掌握,属于基础题.11、B【解析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可.【详解】命题，为特称命题，而特称命题的否定是全称命题，所以命题，，则为：，.故选：B12、C【解析】由五角星的内角为，可知，又平分第三颗小星的一个角，过作轴平行线，则，即可求出直线的倾斜角.【详解】都为五角星的中心点，平分第三颗小星的一个角，又五角星的内角为，可知，过作轴平行线，则，所以直线的倾斜角为，故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查直线倾斜角，解题的关键是通过做辅助线找到直线的倾斜角，通过几何关系求出倾斜角，考查学生的数形结合思想，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】先计算出,所以,利用余弦定理求出，即可求出,即得到M的横坐标为，代入椭圆C：求出.【详解】椭圆C：,所以.因为M在椭圆上,.因为M在第一象限,故.为等腰三角形,则,所以,由余弦定理可得.过M作MA⊥x轴于A,则所以,即M的横坐标为.因为M为椭圆C：上一点且在第一象限，所以，解得：所以M的坐标为.故答案为：14、2【解析】由题意，根据约束条件作出可行域图，如图所示，将目标函数转化为，作出其平行直线，并将其在可行域内平行上下移动，当移到顶点时，在轴上的截距最小，即.15、【解析】利用函数的解析式由内到外逐层计算可得的值.【详解】，，因此，.故答案为：.16、2【解析】画出简单示意图，令，根据抛物线定义可得，应用数形结合及B在C上，求目标式的值.【详解】如下图，令，直线为抛物线准线，轴，由抛物线定义知：，又且，所以，故，又，故.故答案为：2.【点睛】关键点点睛：应用抛物线的定义将转化为，再由三角函数的定义及点在抛物线上求值.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1）根据题意，通过解方程求出公比，即可求解；（2）根据题意，求出，结合组合法求和，即可求解.【小问1详解】根据题意，设公比为，且，∵，，∴，解得或（舍），∴.【小问2详解】根据题意，得，故，因此.18、（1）；（2）直线恒过定点.【解析】（1）根据椭圆的焦距可求出，由椭圆的面积等于得，求出，即可求出椭圆的标准方程；（2）设直线，，进而写出为，两点坐标，将直线与椭圆的方程联立，根据韦达定理求，，由三点共线可知，将，代入并化简，得到的关系式，分析可知经过的定点坐标.【详解】（1）椭圆的面积等于，，，椭圆的焦距为，，，椭圆方程为（2）设直线，，则，，三点共线，得，直线与椭圆交于两点,,，，由，得，，，代入中，，，当，直线方程为，则重合，不符合题意；当时，直线,所以直线恒过定点.19、（1）答案见解析（2）【解析】（1）首先由，，成等比数列，求出，再由①或②或③求出数列的首项和公差，即可求得的通项公式；（2）求得的通项公式，结合裂项相消法求得.【小问1详解】设等差数列的公差为，由，，成等比数列，可得，即，∵，故，选①:由，可得，解得，所以数列的通项公式为选②:由，可得，即，所以，解得，所以；选③:由，可得，即，所以，解得，所以；【小问2详解】由（1）可得，所以.20、（1）；（2）【解析】（1）根据向量加减法运算法则可得，根据计算可得的长度；（2）根据空间向量的夹角公式计算可得结果.【小问1详解】，因为，同理可得，所以【小问2详解】因为，所以，因为，所以所以异面直线与所成角的余弦值为21、（1）；（2）或【解析】（1）先求得直线的倾斜角，由此求得直线的倾斜角和斜率，进而求得直线的方程；（2）设出直线的方程，根据点到直线的距离列方程，由此求解出直线的方程【详