2025统计学原理练习题

2025统计学原理练习题考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（每题2分，共20分。请将正确选项的字母填在题干后的括号内）1.对一个包含100个元素的总体进行简单随机抽样，抽取一个包含10个元素的样本，每个元素被抽中的概率是（）。A.1/100B.1/10C.1D.10/1002.某班学生身高数据呈对称分布，其众数、中位数和平均数的关系是（）。A.众数>中位数>平均数B.平均数>中位数=众数C.平均数=中位数=众数D.众数<中位数<平均数3.下列指标中，反映数据离散程度的是（）。A.标准差B.抽样误差C.平均差D.以上都是4.在其他条件不变的情况下，样本量增大，抽样平均误差（）。A.增大B.减小C.不变D.无法确定5.若变量X和Y的相关系数为-0.8，说明它们之间是（）。A.强正相关关系B.弱正相关关系C.强负相关关系D.弱负相关关系6.抽样估计的置信度是指（）。A.抽样误差B.可靠程度C.抽样范围D.抽样方法7.某地区2024年粮食产量比2023年增长了5%，这个指标是（）。A.总量指标B.相对指标C.平均指标D.变异指标8.对分组数据计算算术平均数时，如果各组的权数相等，则该平均数等于（）。A.加权算术平均数B.简单算术平均数C.中位数D.众数9.在参数估计中，用样本指标推断总体指标，必然存在（）。A.抽样偏差B.系统误差C.随机误差D.登记误差10.一元线性回归分析中，回归系数b的数值（）。A.必定为正B.必定为负C.可正可负D.必为零二、填空题（每空2分，共20分。请将答案填在题干横线上）1.统计学的研究对象是__________和__________的数量特征和数量关系。2.统计调查按登记时间是否连续可分为__________调查和__________调查。3.将总体按某个标志分组后，各组单位数占总体单位总数的比重称为__________。4.标准差系数是__________与平均数的比值，用于比较不同计量单位或不同分布数据的离散程度。5.抽样平均误差是指__________的标准差。6.相关系数的取值范围在__________与__________之间。7.根据样本资料推断总体特征的方法称为__________。8.加权算术平均数的大小，不仅受各组变量值大小的影响，还受各组__________的影响。9.变量之间不严格确定的依存关系称为__________。10.在回归分析中，因变量是__________变量，自变量是__________变量。三、名词解释（每题4分，共16分）1.统计总体2.总体参数3.抽样推断4.相关系数四、计算题（每题10分，共30分）1.某工厂生产某种零件，随机抽取100件进行检验，测得重量（单位：克）数据如下（部分数据已整理）：99.8,100.1,99.7,100.3,100.0,99.9,100.2,100.4,99.5,100.599.6,100.0,100.1,99.8,99.7,100.2,100.3,100.0,99.9,100.1100.4,99.8,99.6,100.0,100.2,100.1,99.7,100.3,99.9,100.0（1）计算样本的简单算术平均数。（2）若已知该零件重量的组距数列为：99.45-99.65,99.65-99.85,99.85-100.05,100.05-100.25,100.25-100.45，各组频数分别为：5,15,40,30,10。计算样本的加权算术平均数。2.某地区抽样调查了1000户家庭的月收入（万元）和月支出（万元），得样本相关系数r=0.6，假设月支出与月收入近似呈线性关系。若某家庭月收入为5万元，试以95%的置信水平估计该家庭月支出的置信区间。（已知95%置信水平下的临界值Zα/2约为1.96，该样本的月支出标准差sY=1.5万元，月收入标准差sX=1.2万元）3.某商店抽查了10个柜台的销售情况，随机抽取的柜台销售额数据（万元）如下：5,6,7,5,8,7,6,5,9,7假设销售额服从正态分布，试以95%的置信水平估计该商店所有柜台平均销售额的置信区间。（已知95%置信水平下的t0.025(9)值约为2.262）五、简答题（每题8分，共16分）1.简述简单随机抽样的特点和适用条件。2.简述平均指标和变异指标在统计分析中的作用。六、应用题（12分）某公司为了解员工对食堂餐食的满意度，随机抽取了50名员工进行调查，调查结果分为“非常满意”、“满意”、“一般”、“不满意”四个等级。调查结果显示，“非常满意”的有15人，“满意”的有20人，“一般”的有10人，“不满意”的有5人。（1）计算样本中“满意”及以上（包括“非常满意”和“满意”）员工所占的比重。（2）根据样本结果，若要估计总体中“满意”及以上员工所占的比重，请说明需要计算什么指标，并简述其计算方法。（3）如果置信水平为95%，请说明估计总体“满意”及以上员工比重时，抽样误差是如何产生的？试卷答案一、选择题1.B解析：在简单随机抽样中，每个元素被抽中的概率相等，且等于样本量除以总体量，即10/100=1/10。2.C解析：对于对称分布的数据，众数、中位数和平均数通常相等或非常接近。3.D解析：标准差、抽样误差和平均差都是衡量数据离散程度的指标。4.B解析：抽样平均误差的大小与样本量的平方根成反比，即样本量越大，抽样平均误差越小。5.C解析：相关系数的取值范围是[-1,1]，负号表示负相关关系，绝对值0.8表示相关性较强。6.B解析：置信度是反映抽样估计可靠程度的概率值。7.B解析：增长率是两个时期数值之差与基期数值之比的相对数，属于相对指标。8.B解析：当各组权数相等时，加权算术平均数就等于简单算术平均数。9.C解析：抽样推断是基于样本信息对总体进行估计，由于样本的随机性，必然存在抽样误差。10.C解析：回归系数b的符号取决于自变量和因变量的关系，可能为正也可能为负。二、填空题1.现象；数量解析：统计学研究的是客观现象的数量方面。2.普查；抽样解析：按登记时间是否连续，统计调查可分为普查和抽样调查。3.比重解析：比重是各组频数或频率与总体总频数或总频率之比。4.标准差解析：标准差系数是标准差与平均数的比值，用于相对离散程度的衡量。5.抽样平均误差解析：抽样平均误差是样本指标的标准差，反映了抽样误差的平均水平。6.-1；+1解析：相关系数的范围从-1到+1，-1表示完全负相关，+1表示完全正相关。7.抽样推断解析：抽样推断是利用样本信息推断总体特征的一种统计方法。8.权数（或频数）解析：加权算术平均数受各组变量值和相应权数（频数）的影响。9.相关关系解析：相关关系是指变量之间不严格确定的依存关系。10.因；自解析：在回归分析中，因变量是被解释变量，自变量是解释变量。三、名词解释1.统计总体：指根据研究目的，在统计任务中确定的研究对象全体，它是由客观存在的、具有某种共同性质的许多个体（单位）组成的集合。2.总体参数：指根据总体各单位的标志值计算的综合指标，用来概括反映总体数量特征，是统计推断的对象，如总体平均数、总体标准差等。3.抽样推断：指按照随机原则从总体中抽取一部分单位（样本）进行调查，根据样本数据计算样本指标，并利用样本指标对总体参数进行估计和检验的一种统计方法。4.相关系数：指用于衡量两个变量之间线性相关程度和方向的统计指标，其数值介于-1和+1之间。四、计算题1.（1）简单算术平均数=(99.8+100.1+...+100.0+99.9+100.1)/100=1001/100=10.01克。解析：简单算术平均数是所有观察值之和除以观察值个数。（2）加权算术平均数=(99.8*5+100.1*15+...+100.0*10)/(5+15+...+10)=(499+1501.5+...+1000)/100=1004.5/100=10.045克。解析：加权算术平均数是各组变量值乘以相应权数（频数）之和除以权数（频数）之和。2.样本回归系数b的估计值b=r*(sY/sX)=0.6*(1.5/1.2)=0.75。回归方程：ŷ=a+bx，其中a=ȳ-bȲ，而样本平均收入Ȳ=50000/1000=5万元，样本平均支出ȳ=bȲ+a=0.75*5+a。需要先求a，但题目未给样本支出平均数，无法直接求a。通常这类题会隐含已知a或允许用b近似。假设题目允许用b近似或隐含a已知为0（或题目有误），则预测值为5+0.75*5=8.75万元。抽样误差（标准误差）SE=sqrt[sY^2-b^2*sX^2]=sqrt[1.5^2-0.75^2*1.2^2]=sqrt[2.25-0.5625*1.44]=sqrt[2.25-0.81]=sqrt[1.44]=1.2万元。（修正：更标准的计算标准误差公式为SE=sqrt[(1-r^2)*sY^2/n]。这里n=1000，sY=1.5，r=0.6）SE=sqrt[(1-0.6^2)*1.5^2/1000]=sqrt[(1-0.36)*2.25/1000]=sqrt[0.64*2.25/1000]=sqrt[1.44/1000]=sqrt[0.00144]=0.038万元。置信区间：ŷ±Zα/2*SE=8.75±1.96*0.038=8.75±0.07448。即：(8.67552,8.82448)万元。解析：首先根据样本相关系数和标准差计算回归系数b。然后计算预测值。接着计算因变量预测值的标准误差（抽样误差）。最后根据置信水平和标准误差计算置信区间。3.样本平均销售额Ȳ=(5+6+7+5+8+7+6+5+9+7)/10=65/10=6.5万元。样本方差s^2=[(5-6.5)^2+...+(7-6.5)^2]/(10-1)=[2.25+0.25+0.25+2.25+2.25+0.25+0.25+2.25+6.25+0.25]/9=19/9≈2.1111。样本标准差s=sqrt(2.1111)≈1.453万元。置信区间：Ȳ±tα/2*(s/sqrt(n))=6.5±2.262*(1.453/sqrt(10))=6.5±2.262*(1.453/3.162)=6.5±2.262*0.459=6.5±1.042。即：(5.458,7.542)万元。解析：首先计算样本均值和样本标准差。然后根据置信水平和自由度（n-1）查找t分布临界值。最后根据样本均值、标准差、样本量和临界值计算总体均值置信区间。五、简答题1.简单随机抽样是指从总体中直接抽取样本，使总体中每个单位都有同等被抽中的机会。其特点包括：(1)抽样过程完全随机，不受主观因素影响。(2)总体中每个单位被抽中的概率相等。(3)样本单位之间相互独立。适用条件：(1)总体单位个数有限。(2)样本单位能从总体中随机抽取。(3)抽样误差需要控制在一定范围内。解析：回答要点包括随机性、等概率、独立性，以及适用的前提条件。2.平均指标的作用：(1)反映现象总体的一般水平或集中趋势。(2)比较不同总体或不同时间下的平均水平。(3)作为分析现象之间依存关系和进行统计推断的基础。变异指标的作用：(1)反映现象总体分布的离散程度或离中趋势。(2)衡量平均指标的代表性。(3)分析现象的稳定性和波动性。解析：分别阐述平均指标和变异指标在描述数据集中趋势、离散程度、比较分析和作为推断基础等方面的作用。六、应用题（1）样本中