初高衔接赠送资料（五）基本不等式

第1页（共1页）初高衔接赠送资料（五）基本不等式一．选择题（共31小题）1．若两个正实数x，y满足1x+4y=1A．（﹣1，4） B．（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞） C．（﹣4，1） D．[﹣4，1]2．已知x＞0，y＞0，且x+y+xy﹣3＝0，则（）A．xy的取值范围是[1，9] B．x+y的取值范围是[2，3] C．x+4y的最小值是3 D．x+2y的最小值是43．设x，y为正实数，若2x+y+2xy=54，则2x+A．4 B．3 C．2 D．14．已知x，y＞0，xy＝2x+y，则x+2y取得最小值时，x＝（）A．3 B．3+1 C．3 D．5．已知a＞0，b＞0且a+b＝1，则a+2abA．9 B．10 C．5+6 D．6．已知a＞0，b＞0，且1a+1b=1A．6 B．4 C．2 D．17．若正实数a，b满足a+4b＝1，则1aA．最大值为9 B．最小值为9 C．最大值为8 D．最小值为88．若a，b都为正实数，a+2b＝1，则ab的最大值是（）A．14 B．29 C．129．已知a，b均为正数，且1a+1+2b-2=A．8 B．16 C．24 D．3210．已知a＞0，b＞0，且满足2a+b＝ab，则a+b的最小值为（）A．2 B．3 C．3+22 D．11．设x＞0，y＞0，且xy＝4，求1xA．1 B．2 C．﹣1 D．﹣212．已知正数x，y满足x+2y＝2，则xy的最大值为（）A．2 B．1 C．12 D．13．已知正数m，n满足2m×4n＝2，则1mA．3 B．5 C．8 D．914．已知0＜x＜1，则23xA．20 B．32 C．203 D．15．已知x＞0，则x-4+4A．﹣2 B．0 C．1 D．216．已知函数y=x+4A．4xx-2 B．2xx-217．若两个正实数x，y满足x+y＝1，则1xA．22 B．2 C．4 D．18．若x＞﹣5，则x+4A．﹣1 B．3 C．﹣3 D．119．若m，n均为正数，且1m+2n=1A．3+22 B．4+22 C．3+2 20．已知a＞0，b＞0，且a+b＝2，则2a+1A．2 B．4 C．92 21．若正数a，b满足a+b＝ab，则a+4b的最小值是（）A．7 B．9 C．13 D．2522．设x，y∈（0，+∞），且x+4y＝1，则1xA．6 B．7 C．8 D．923．若a＞0，b＞0，a+b+ab＝3，则a+b的最小值为（）A．1 B．3 C．2 D．324．已知a，b为正实数且a+b＝3，则baA．22+1 B．26 C．325．若a＞0，b＞0，且a+b＝4，则1aA．14 B．1 C．2 26．已知a＞0，b＞0，且1a+1b=1，则4A．23 B．26 C．22 D．2527．已知x＞2，y＝4x+1x-2，则A．8 B．10 C．12 D．1428．函数f(x)=4x+1A．12 B．10 C．8 D．429．若x∈[1，3），则4xA．1 B．2 C．3 D．430．已知a＞3，则a+1A．2 B．3 C．4 D．531．已知正数x，y满足x+4y＝xy，则x+y的最小值为（）A．10 B．9 C．8 D．7二．填空题（共1小题）32．已知x＞0，y＞0，且2x+1y=1，若2x+y＞m三．解答题（共25小题）33．已知x，y＞0，3x+1（1）求x2（2）求1x34．（1）已知x＜54，求（2）已知0＜x＜12，求（3）已知x＞0，求y=2x35．求下列函数的最值．（1）求函数f(x)=x（2）若正数x，y满足x+3y＝xy，求3x+4y的最小值．36．（1）已知x＞2，求4x-2+（2）已知x，y是正实数，且x+y＝1，求1x37．已知m+2n＝2．（1）当m＞0，n＞0时，求1m（2）当m＞﹣1，n＞0时，求1m+138．（1）已知x＞0，求y=2-x-4（2）已知-1＜x＜12，求y＝（1+x）（1﹣239．如图，计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为x，宽为y．（1）若菜园面积为72，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？（2）若使用的篱笆总长度为30，求1x40．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．（1）若菜园面积为18m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？（2）若使用的篱笆总长度为18m，求1x+41．某工厂有旧墙一面，长14m，现在准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形、面积为126m2的厂房，工程条件是：①建1m长新墙的费用为a元；②修1m长旧墙的费用为a4元；③拆去1m长旧墙，用所得的材料建1m长新墙的费用为a2元；④屋顶及地面需要的费用为（1）利用旧墙的一段xm（x＜14）为矩形厂房一面的边长；（2）矩形厂房利用旧墙的一面边长为x（x≥14）．问如何利用旧墙，即x为多少米时，建造费用最省？42．北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入16(x2-600)万作为技改费用，投入5043．某企业为解决困难职工的住房问题，决定分批建设保障性住房供给困难职工，首批计划用100万元购买一块土地，该土地可以建造每层1000平方米的楼房一幢，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高20元，已知建筑第1层楼房时，每平方米的建筑费用为920元．为了使该幢楼房每平方米的平均费用最低（费用包括建筑费用和购地费用），应把楼房建成几层？此时平均费用为每平方米多少万元？44．备受瞩目的巴西世界杯正在如火如荼的进行，为确保总决赛的顺利进行，组委会决定在位于里约热内卢的马拉卡纳体育场外临时围建一个矩形观众候场区，总面积为72m2（如图所示）．要求矩形场地的一面利用体育场的外墙，其余三面用铁栏杆围，并且要在体育馆外墙对面留一个长度为2m的入口．现已知铁栏杆的租用费用为100元/m．设该矩形区域的长为x（单位：m），租用铁栏杆的总费用为y（单位：元）（Ⅰ）将y表示为x的函数；（Ⅱ）试确定x，使得租用此区域所用铁栏杆所需费用最小，并求出最小最小费用．45．某厂2014年初用36万元购进一生产设备，并立即投入生产，该生产设备第一年维修保养费用4万元，从第二年开始，每年所需维修保养费用比上一年增加2万元，该生产设备使用后，每年的年收入为23万元，该生产设备使用戈年后的总盈利额为y万元．问：（I）从第几年开始，该厂开始盈利（总盈利额为正值）；（Ⅱ）到哪一年，年平均盈利额能达到最大值？此时工厂共获利多少万元？（前x年的总盈利额＝前x年的总收入一前x年的总维修保养费用一购买设备的费用）46．某机床厂2001年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利额为y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）使用若干年后，对机床的处理方案有两种：方案一：当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；方案二：当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床．请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由．47．某工厂生产一种产品的成本费由三部分组成：①职工工资固定支出12500元；②原材料费每件40元；③电力与机器保养等费用为每件0.05x元，其中x是该厂生产这种产品的总件数．（1）把每件产品的成本费P（x）（元）表示成产品件数x的函数，并求每件产品的最低成本费；（2）如果该厂生产的这种产品的数量x不超过3000件，且产品能全部销售．根据市场调查：每件产品的销售价Q（x）与产品件数x有如下关系：Q（x）＝170﹣0.05x，试问生产多少件产品，总利润最高？（总利润＝总销售额﹣总的成本）48．某森林出现火灾，火势正以每分钟100m2的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防员前去，在火灾发生后五分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火50m2，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁1m2森林损失费为60元，（t表示救火时间，x表示去救火消防队员人数），问；（1）求t关于x的函数表达式．（2）求应该派多少消防队员前去救火，才能使总损失最少？49．9月份为了推销月饼，食品公司抽调了一批销售员，根据过去的经验已知销售数量y（万件）与销售员的数量x（人）之间的函数关系式为：y=920xx2（1）若要求在该月月饼的销售量不少于10万件，则销售员的数量应在什么范围内？（2）在该月内，当销售员的数量为多少时，销售的数量最大？最大销售量为多少？（精确到0.1万件）50．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x（x∈N*）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10（a-3x500）万元（a＞0），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余与员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？51．在2010年上海世博会临近前的一段时间，为确保博览会期间某路段的交通秩序，交通部门决定对该路段的车流量进行检测，以制定合理的交通限行方案．现测得该路段汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间的函数关系为y=144v（1）在该时段内，当汽车的平均速度v多大时，车流量最大？最大车流量是多少？（2）若要求在该时段内车流量超过9千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？52．为了保护一件珍贵文物，博物馆需要在一种无色玻璃的密封保护罩内充入保护气体．假设博物馆需要支付的总费用由两部分组成：①罩内该种气体的体积比保护罩的容积少0.5立方米，且每立方米气体费用1千元；②需支付一定的保险费用，且支付的保险费用与保护罩容积成反比，当容积为2立方米时，支付的保险费用为8千元．（1）求博物馆支付总费用y与保护罩容积V之间的函数关系式；（2）求博物馆支付总费用的最小值．53．通渭弘泰市政公司冠名资助我校2016级实验班，该公司每月按出厂价每件3元购进一种小产品，根据以前的数据统计，若零售价定为每件4元，每月可销售400件，若零售价每降低（升高）0.5元，则可多（少）销售40件，每月的进货全部销售完．（1）写出售价x与利润y函数的解析式；（2）销售价应定为多少元/件，利润最大？并求最大利润．54．某工厂生产一种产品的原材料费为每件40元，若用x表示该厂生产这种产品的总件数，则电力与机器保养等费用为每件0.05x元，又该厂职工工资固定支出12500元．（1）把每件产品的成本费P（x）（元）表示成产品件数x的函数，并求每件产品的最低成本费；（2）如果该厂生产的这种产品的数量x不超过3000件，且产品能全部销售，根据市场调查：每件产品的销售价Q（x）与产品件数x有如下关系：Q（x）＝170﹣0.05x，试问生产多少件产品，总利润最高？（总利润＝总销售额﹣总的成本）55．某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p（万元）和宿舍与工厂的距离x（km）的关系为：p=kx+5（0≤x≤8），若距离为1km时，宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元，设f（（1）求f（x）的表达式，并写出其定义域；（2）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f（x）最小，并求最小值．56．某化工企业2007年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．（1）求该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用y（万元）；（2）问为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？57．对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为：1-污物质量物体质量(含污物)）为0.8，要求洗完后的清洁度是0.99．有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：两次清洗．该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为a（1≤a≤3）．设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是x+0.8x+1（x＞a﹣1），用y质量的水第二次清洗后的清洁度是y+acy+a，其中（Ⅰ）分别求出方案甲以及c＝0.95时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；（Ⅱ）若采用方案乙，当a为某定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最少？并讨论a取不同数值时对最少总用水量多少的影响．

初高衔接赠送资料（五）基本不等式参考答案与试题解析一．选择题（共31小题）1．若两个正实数x，y满足1x+4y=1A．（﹣1，4） B．（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞） C．（﹣4，1） D．[﹣4，1]【解答】解：因为正实数x，y满足1x则x+y4=（x+y4）（当且仅当y＝4x且1x+4y=1因为不等式x+y则m2﹣3m≥4，解得m≥4或m≤﹣1．故选：B．2．已知x＞0，y＞0，且x+y+xy﹣3＝0，则（）A．xy的取值范围是[1，9] B．x+y的取值范围是[2，3] C．x+4y的最小值是3 D．x+2y的最小值是4【解答】解：x+y＝3﹣xy，因为x＞0，y＞0，所以x+y≥2xy，当且仅当x＝y即3-xy≥2xy，令xy=t＞0，则3﹣t2≥2t，解得：0＜则0＜xy≤1，A错误；因为xy≤(x+y)24，所以xy=3-(x+y)≤(x+y因为x＞0，y＞0，所以x+y≥2，又xy＞0，所以x+y＝3﹣xy＜3，所以x+y的取值范围是[2，3），B错误；因为x+y+xy﹣3＝0，所以y=3-x因为y＞0，即3-xx+1＞0，解得：﹣1＜又因为x＞0，所以0＜x＜3，故x+4y=x+4(因为0＜x＜3，所以x+4y=(x+1当且仅当x+1=16x+1即x＝3时，等号成立，但0＜x＜3，故等号取不到，C错误；因为0＜x＜3，所以x+2y=(x+1当且仅当x+1=8x+1，即所以x+2y的最小值是42-3，故选：D．3．设x，y为正实数，若2x+y+2xy=54，则2x+A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：因为x，y为正实数，且54=2x+y+2xy＝（2x+1）（y令m＝2x+1，n＝y+1，则mn=9则2x+y＝m+n﹣2≥2mn当且仅当m＝n，即y=12，x故选：D．4．已知x，y＞0，xy＝2x+y，则x+2y取得最小值时，x＝（）A．3 B．3+1 C．3 D．【解答】解：∵x，y＞0，xy＝2x+y，则y+2xxy∴x+2y=(x+2y当且仅当2yx=2xyxy=2x+y故选：C．5．已知a＞0，b＞0且a+b＝1，则a+2abA．9 B．10 C．5+6 D．【解答】解：因为a＞0，b＞0且a+b＝1，则a+2ab=a+2a+2bab=3a+2bab=3b+2a当且仅当3ab=2ba且a+b＝1，即a=6-故选：D．6．已知a＞0，b＞0，且1a+1b=1A．6 B．4 C．2 D．1【解答】解：因为a＞0，b＞0，且1a则a+b=(1a+1b)(a+b)=2+b所以a+b的最小值为4．故选：B．7．若正实数a，b满足a+4b＝1，则1aA．最大值为9 B．最小值为9 C．最大值为8 D．最小值为8【解答】解：因为正实数a，b满足a+4b＝1，则1a+1b=当且仅当4ba=ab且a+4b＝1即b=16故选：B．8．若a，b都为正实数，a+2b＝1，则ab的最大值是（）A．14 B．29 C．12【解答】解：∵a，b都为正实数，a+2b＝1，∴1＝a+2b≥22ab，∴ab≤18（当且仅当a＝2b=12，即a=故选：D．9．已知a，b均为正数，且1a+1+2b-2=A．8 B．16 C．24 D．32【解答】解：当b∈（0，2）时，2b-2＜-1，1a+1故b＞2，所以2a+b＝2（a+1）+（b﹣2）＝2[2（a+1）+（b﹣2）]（1a+1+2b-2）＝8⋅a+1当且仅当8•a+1b-2=2⋅b-2a+1，即故选：B．10．已知a＞0，b＞0，且满足2a+b＝ab，则a+b的最小值为（）A．2 B．3 C．3+22 D．【解答】解：由题意，得2b+1a=所以a+b＝（a+b）（2b+1a当且仅当ba=2ab且2b+1a=所以a+b的最小值为3+22故选：C．11．设x＞0，y＞0，且xy＝4，求1xA．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【解答】解：因为x＞0，y＞0，且xy＝4，所以1x＞0，1y＞0，1x+1故选：A．12．已知正数x，y满足x+2y＝2，则xy的最大值为（）A．2 B．1 C．12 D．【解答】解：因为正数x，y满足x+2y＝2，所以xy=1当且仅当x＝2y且x+2y＝2，即x=1，y=1所以xy的最大值为12故选：C．13．已知正数m，n满足2m×4n＝2，则1mA．3 B．5 C．8 D．9【解答】解：由正数m，n满足2m×4n＝2，即2m×22n＝2m+2n＝2，所以m+2n＝1，所以1m当且仅当nm=m故选：D．14．已知0＜x＜1，则23xA．20 B．32 C．203 D．【解答】解：∵0＜x＜1，∴1﹣x＞0，且x+（1﹣x）＝1，∴23x+61-x=2[x+(1-x)]3x+∴23x+6故选：D．15．已知x＞0，则x-4+4A．﹣2 B．0 C．1 D．2【解答】解：∵x＞0，∴x-4+4x=x+当且仅当x=4x，即故选：B．16．已知函数y=x+4A．4xx-2 B．2xx-2【解答】解：因为x＞2，所以x﹣2＞0，所以y＝x+4x-2=（x﹣2）+4x-2+2≥2(x-2)×4故函数的最小值等于6．故选：D．17．若两个正实数x，y满足x+y＝1，则1xA．22 B．2 C．4 D．【解答】解：∵两个正实数x，y满足x+y＝1，则1x+1y=（x+y）（1x+1y）＝1+yx+xy故选：C．18．若x＞﹣5，则x+4A．﹣1 B．3 C．﹣3 D．1【解答】解：由于x＞﹣5，故x+5＞0，故x+4x+5=(x+5)+(4故选：A．19．若m，n均为正数，且1m+2n=1A．3+22 B．4+22 C．3+2 【解答】解：因为m，n均为正数，且1m所以m+n＝（m+n）（1m+2n）＝3+nm+2mn≥3当且仅当n=2m＝2+所以，m+n的最小值等于3+22．故选：A．20．已知a＞0，b＞0，且a+b＝2，则2a+1A．2 B．4 C．92 【解答】解：因为a+b＝2，所以（a+1）+（b+1）＝4，则2a+1+当且仅当a=13，故选：C．21．若正数a，b满足a+b＝ab，则a+4b的最小值是（）A．7 B．9 C．13 D．25【解答】解：因为正数a，b满足a+b＝ab，所以1a则a+4b＝（a+4b）（1a+1b当且仅当且a＝2b且1a+1b=1，即故选：B．22．设x，y∈（0，+∞），且x+4y＝1，则1xA．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：因为1x当且仅当4yx=xy，即x＝2故选：D．23．若a＞0，b＞0，a+b+ab＝3，则a+b的最小值为（）A．1 B．3 C．2 D．3【解答】解：因为a+b+ab＝3，所以3-(a+b即（a+b）2+4（a+b）﹣12≥0，解得a+b≥2或a+b≤﹣6（舍）．故a+b≥2，当且仅当a＝b＝1时等号成立．所以a+b的最小值为2．故选：C．24．已知a，b为正实数且a+b＝3，则baA．22+1 B．26 C．3【解答】解：∵a＞0，b＞0，a+b＝3，∴ba+6b=ba+2(a+b)b=ba+2ab+2即ba+6故选：D．25．若a＞0，b＞0，且a+b＝4，则1aA．14 B．1 C．2 【解答】解：因为a+b＝4，所以1a+当且仅当a＝2，b＝2时，等号成立，故1a故选：B．26．已知a＞0，b＞0，且1a+1b=1，则4A．23 B．26 C．22 D．25【解答】解：∵a＞0，b＞0，且1a∴4a+9b＝（4a+9b）（1a+1b）＝13+4ab+9ba≥13+24ab即4a+9b的最小值是25．故选：D．27．已知x＞2，y＝4x+1x-2，则A．8 B．10 C．12 D．14【解答】解：∵x＞2，则y＝4x+1x-2=4（x﹣2）+当且仅当4x﹣8=1x-2即x故选：C．28．函数f(x)=4x+1A．12 B．10 C．8 D．4【解答】解：依题意x＞1，x﹣1＞0，f(x)=4(x-1当且仅当4(x-1故选：C．29．若x∈[1，3），则4xA．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵x∈[1，3），∴3﹣x＞0，∴4x+13-x=13[x+（3﹣x）]（4x+13-x）=13[当且仅当4(3-x)x=x3-x∴4x故选：C．30．已知a＞3，则a+1A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：∵a＞3，∴a﹣3＞0，∴a+1a-3=a﹣3+1a-3+3≥2(a-3)⋅∴a+1故选：D．31．已知正数x，y满足x+4y＝xy，则x+y的最小值为（）A．10 B．9 C．8 D．7【解答】解：因为x＞0，y＞0，且x+4y＝xy，所以1y+所以x+y＝（x+y）（1y+4x）＝1+4+xy+当且仅当xy=4yx，即x=2所以x+y的最小值为9．故选：B．二．填空题（共1小题）32．已知x＞0，y＞0，且2x+1y=1，若2x+y＞m【解答】解：∵x＞0，y＞0，且2x∴2x+y＝（2x+y）（2x+1y）＝5+2xy+2yx≥5+2∴2x+y的最小值为9，又∵2x+y＞m恒成立，∴m＜9，即m的取值范围为（﹣∞，9）．故答案为：（﹣∞，9）．三．解答题（共25小题）33．已知x，y＞0，3x+1（1）求x2（2）求1x【解答】解：由x，y＞0，3x+1（1）1y=2-3x＞0，可得x2（2）2(1x∴1x当且仅当6xy=1xy且3x+1y=2∴1x+2y的最小值为34．（1）已知x＜54，求（2）已知0＜x＜12，求（3）已知x＞0，求y=2x【解答】解：（1）根据题意，y＝4x﹣2+14x-5=4x﹣5+14x-5+3＝3﹣又由x＜54，则4x﹣5＜0，则有5﹣4故5﹣4x+15-4x≥2(5-4x)×15-4x故有y≤3﹣2＝1，当且仅当x＝1时等号成立，故y=4x-2+1（2）根据题意，y=12若0＜x＜12，则1﹣2x＞0，则有2x（1﹣2x）≤[2x+1-2x2]2=1故y=12x(1-2x)=2x(1-2x)故y=12x(（3）根据题意，y=2xx由于x+1x≥2x×故y≤22=故y=2x35．求下列函数的最值．（1）求函数f(x)=x（2）若正数x，y满足x+3y＝xy，求3x+4y的最小值．【解答】解：（1）因为x＞1，则x﹣1＞0，f（x）=x2+1x-1=(x-1)2+2(x-1)+2x-1=x﹣1+2所以f（x）的最小值为2+22；（2）因为x+3y＝xy，则1y又x，y均为正数，所以3x+4y＝（3x+4y）（1y+3x当且仅当3xy=12yx且1y+所以3x+4y的最小值为25．36．（1）已知x＞2，求4x-2+（2）已知x，y是正实数，且x+y＝1，求1x【解答】解：（1）∵x＞2，∴x﹣2＞0，∴4x-2+x=4x-2+(x-2)+2≥2∴4x-2+（2）∵x＞0，y＞0，且x+y＝1，∴1x+4y=(x+y)(1x∴1x37．已知m+2n＝2．（1）当m＞0，n＞0时，求1m（2）当m＞﹣1，n＞0时，求1m+1【解答】解：（1）m+2n＝2，则1m+2n当且仅当2nm=2mnm+2n=2，即m故1m+2（2）m+2n＝2，则m+1+2n＝3，1m+1+2n当且仅当2nm+1=2(m+1)nm+2n=2故1m+138．（1）已知x＞0，求y=2-x-4（2）已知-1＜x＜12，求y＝（1+x）（1﹣2【解答】解：（1）因为x＞0，所以y=2-x-4x=2﹣（x+4x）≤2﹣2x⋅4所以y=2-x-4（2）因为-1＜x＜12，所以1+x＞0，1﹣2所以y＝（1+x）（1﹣2x）=12（2+2x）（1﹣2x）≤1当且仅当2+2x＝1﹣2x，即x=-1所以y＝（1+x）（1﹣2x）的最大值为9839．如图，计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为x，宽为y．（1）若菜园面积为72，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？（2）若使用的篱笆总长度为30，求1x【解答】解：（1）由题意知：xy＝72，篱笆总长为x+2y．又x+2y≥22xy=24，当且仅当x＝2y，即x＝12，∴当x＝12，y＝6时，可使所用篱笆总长最小；（2）由题意得：x+2y＝30，又(1x∴1x+2y≥310，当且仅当x∴1x+240．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．（1）若菜园面积为18m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？（2）若使用的篱笆总长度为18m，求1x+【解答】解：（1）由题意得，xy＝18，则所用篱笆总长x+2y≥22xy=12，当且仅当x＝2y且xy＝18，即y＝3，此时所用篱笆总长最小；（2）由题意x+2y＝18，所以1x+2y=（1x+2y）（x+2y）×118=118当且仅当2yx=2xy且x+2y＝18，即x＝41．某工厂有旧墙一面，长14m，现在准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形、面积为126m2的厂房，工程条件是：①建1m长新墙的费用为a元；②修1m长旧墙的费用为a4元；③拆去1m长旧墙，用所得的材料建1m长新墙的费用为a2元；④屋顶及地面需要的费用为（1）利用旧墙的一段xm（x＜14）为矩形厂房一面的边长；（2）矩形厂房利用旧墙的一面边长为x（x≥14）．问如何利用旧墙，即x为多少米时，建造费用最省？【解答】解：设利用旧墙的一面矩形边长为xm，则矩形的另一面边长为126xm（1）利用旧墙的一段xm（x＜14）为矩形一面边长，则修旧墙费用为x•a4将剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为（14﹣x）•a2元，其余建新墙的费用为（2x+2×126x故总费用为y＝x•a4+14-x2•a+（2x+252x-14）a+b＝7a（x4≥7a•（2x4⋅36x-1）+b当且仅当x4=36x，即x＝12时，ymin（2）若利用旧墙的一面矩形边长x≥14，则修旧墙的费用为a4•14=7建新墙的费用为（2x+252x-故总费用为y=72a+（2x+252x-14）a+b=72a+2a（x设14≤x1＜x2，则（x1+126x1）﹣（x2+126x2）＝（x1∵14≤x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，x1•x2＞196．从而1-126x1x2＞0，所以函数故当x＝14时，ymin=72a+2a（14+12614-7）+b＝35.5a+b综上所述，采用第（1）种方案，利用旧墙12m为矩形的一面边长时，建墙总费用最省，为35a+b元．42．北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入16(x2-600)万作为技改费用，投入50【解答】解：（1）设每件定价为t元，则（8﹣（t﹣25）×0.2）•t≥25×8，整理得t2﹣65t+1000≤0⇔25≤t≤40，∴要满足条件，每件定价最多为40元；（2）由题得当x＞25时：ax≥25×8+1即：a≥150又150x当且仅当x＝30＞25时取等号，∴a≥12．即改革后销售量至少达到12万件，才满足条件，此时定价为30元/件．43．某企业为解决困难职工的住房问题，决定分批建设保障性住房供给困难职工，首批计划用100万元购买一块土地，该土地可以建造每层1000平方米的楼房一幢，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高20元，已知建筑第1层楼房时，每平方米的建筑费用为920元．为了使该幢楼房每平方米的平均费用最低（费用包括建筑费用和购地费用），应把楼房建成几层？此时平均费用为每平方米多少万元？【解答】解：设建筑楼层为x层，该楼房每平方米的平均费用为f（x）万元，由题意知：建筑第1层楼房建筑费用为：920×1000＝920000（元）＝92（万元），楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高：20×1000＝20000（元）＝2（万元），即每层楼建筑费用是以92为首项、2为公差的等差数列，所以由题意知，建筑x层楼时，该楼房总费用为：92x+x(x-1)2×2+100=x2所以f(x)=≥2x1000当且仅当10x=1000x，即答：为了使该幢楼房每平方米的平均综合费用最低，应把楼房建成10层，此时平均费用为每平方米0.111万元．44．备受瞩目的巴西世界杯正在如火如荼的进行，为确保总决赛的顺利进行，组委会决定在位于里约热内卢的马拉卡纳体育场外临时围建一个矩形观众候场区，总面积为72m2（如图所示）．要求矩形场地的一面利用体育场的外墙，其余三面用铁栏杆围，并且要在体育馆外墙对面留一个长度为2m的入口．现已知铁栏杆的租用费用为100元/m．设该矩形区域的长为x（单位：m），租用铁栏杆的总费用为y（单位：元）（Ⅰ）将y表示为x的函数；（Ⅱ）试确定x，使得租用此区域所用铁栏杆所需费用最小，并求出最小最小费用．【解答】解：（Ⅰ）依题意有：y＝100（72x×2+x﹣2），其中（Ⅱ）由均值不等式可得：y＝100（72x×2+x﹣2）＝100（144x+当且仅当144x=x，即综上：当x＝12时，租用此区域所用铁栏杆所需费用最小，最小费用为2200元．45．某厂2014年初用36万元购进一生产设备，并立即投入生产，该生产设备第一年维修保养费用4万元，从第二年开始，每年所需维修保养费用比上一年增加2万元，该生产设备使用后，每年的年收入为23万元，该生产设备使用戈年后的总盈利额为y万元．问：（I）从第几年开始，该厂开始盈利（总盈利额为正值）；（Ⅱ）到哪一年，年平均盈利额能达到最大值？此时工厂共获利多少万元？（前x年的总盈利额＝前x年的总收入一前x年的总维修保养费用一购买设备的费用）【解答】解：前x年每年的维修保养费用构成首项为4，公差为2的等差数列，∴前x年的总维修保养费用为[4x+x(x-1)2∴y＝23x﹣[4x+x(x-1)2×2]﹣36＝﹣x2+20x﹣36（x∈（I）解不等式﹣x2+20x﹣36＞0得，2＜x＜18；故从第3年开始，该厂开始盈利；（Ⅱ）∵yx=20﹣（x（当且仅当x＝6时，等号成立）；∴到2019年，年平均盈利额能达到最大值，此时工厂共获利48万元．46．某机床厂2001年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利额为y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）使用若干年后，对机床的处理方案有两种：方案一：当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；方案二：当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床．请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由．【解答】解：（1）由题意，根据第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，可得y=50x-[12x+（2）方案一：∵yx∵yx当且仅当2x=98x时，即故到2007年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利为12×7+30＝114万元．（2分）方案二：y＝﹣2x2+40x﹣98＝﹣2（x﹣10）2+102（1分）当x＝10时ymax＝102故到2010年，盈利额达到最大值，工厂共获利为102+12＝114万元．（2分）盈利额达到的最大值相同，而方案一所用的时间较短，故方案一比较合理．（1分）47．某工厂生产一种产品的成本费由三部分组成：①职工工资固定支出12500元；②原材料费每件40元；③电力与机器保养等费用为每件0.05x元，其中x是该厂生产这种产品的总件数．（1）把每件产品的成本费P（x）（元）表示成产品件数x的函数，并求每件产品的最低成本费；（2）如果该厂生产的这种产品的数量x不超过3000件，且产品能全部销售．根据市场调查：每件产品的销售价Q（x）与产品件数x有如下关系：Q（x）＝170﹣0.05x，试问生产多少件产品，总利润最高？（总利润＝总销售额﹣总的成本）【解答】解：（1）P(x)=12500由基本不等式得P(x)≥212500×0.05当且仅当12500x=0.05x，即∴P(x)=12500（2）设总利润为y元，则y＝xQ（x）﹣xP（x）＝﹣0.1x2+130x﹣12500＝﹣0.1（x﹣650）2+29750…（10分）当x＝650时，ymax＝29750…（11分）答：生产650件产品时，总利润最高，最高总利润为29750元．…（12分）48．某森林出现火灾，火势正以每分钟100m2的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防员前去，在火灾发生后五分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火50m2，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁1m2森林损失费为60元，（t表示救火时间，x表示去救火消防队员人数），问；（1）求t关于x的函数表达式．（2）求应该派多少消防队员前去救火，才能使总损失最少？【解答】解：（1）设派x名消防员前去救火，用t分钟将火扑灭，总损失为y元，则t=5×10050x-100（2）y＝灭火材料、劳务津贴+车辆、器械、装备费+森林损失费＝125tx+100x+60（500+100t）＝125x10x-2+100x+方法一：y＝1250•x-2+2x-2+100（x﹣2+2）+＝31450+100（x﹣2）+≥31450+2100×62500=当且仅当100（x﹣2）=即x＝27时，y有最小值36450．答：应该派27名消防员前去救火，才能使总损失最少，最少损失为36450元、方法二：y′=1250(x-2-x)(x-2)2+100令100-62500解得x＝27或x＝﹣23（舍）当x＜27时y′＜0，当x＞27时y′＞0，∴x＝27时，y取最小值，最小值为36450元，答：应该派27名消防员前去救火，才能使总损失最少，最少损失为36450元．49．9月份为了推销月饼，食品公司抽调了一批销售员，根据过去的经验已知销售数量y（万件）与销售员的数量x（人）之间的函数关系式为：y=920xx2（1）若要求在该月月饼的销售量不少于10万件，则销售员的数量应在什么范围内？（2）在该月内，当销售员的数量为多少时，销售的数量最大？最大销售量为多少？（精确到0.1万件）【解答】解：（1）由条件可知920xx整理得：x2﹣89x+1600＜0．即（x﹣25）（x﹣64）＜0，解得25＜x＜64．该月月饼的销售量不少于10万件，则销售员的数量应在（25，64）．（2）依题意y=920xx∵x+1600x≥2x⋅1600x∴ymax=920∴当x＝40时，销售的数量最大，最大销售量为11.1万件．50．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x（x∈N*）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10（a-3x500）万元（a＞0），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余与员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？【解答】解：（1）由题意得：10（1000﹣x）（1+0.2x%）≥10×1000，即x2﹣500x≤0，又x＞0，所以0＜x≤500．即最多调整500名员工从事第三产业．（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为10(a-3x从事原来产业的员工的年总利润为10(1000-x)(1+1则10(a-3x500)x≤10(1000-x)（1+所以ax-3x所以ax≤2即a≤2x因为2500x+当且仅当2x500=1000所以a≤5，又a＞0，所以0＜a≤5，即a的取值范围为（0，5]．51．在2010年上海世博会临近前的一段时间，为确保博览会期间某路段的交通秩序，交通部门决定对该路段的车流量进行检测，以制定合理的交通限行方案．现测得该路段汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间的函数关系为y=144v（1）在该时段内，当汽车的平均速度v多大时，车流量最大？最大车流量是多少？（2）若要求在该时段内车流量超过9千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？【解答】解：（1）∵车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间的函数关系为y=∴1y当且仅当v＝35时，取“＝”，∴0＜y≤12（当且仅当v＝35时，取“＝”）（2）要使该时段内车流量超过9千辆/小时，即使v＞0∴v＞0∴v＞0∴25＜v＜4952．为了保护一件珍贵文物，博物馆需要在一种无色玻璃的密封保护罩内充入保护气体．假设博物馆需要支付的总费用由两部分组成：①罩内该种气体的体积比保护罩的容积少0.5立方米，且每立方米气体费用1千元；②需支付一定的保险费用，且支付的保险费用与保护罩容积成反比，当容积为2立方米时，支付的保险费用为8千元．（1）求博物馆支付总费用y与保护罩容积V之间的函数关系式；（2）求博物馆支付总费用的最小值．【解答】解：（1）设y=kx，把x＝2，y＝8000代入，得y=1000(V-0.5)+16000V=1000V+（2）y=1000V+16000当且仅当1000V=16000V，即所以，博物馆支付总费用的最小值为7500元．…（14分）53．通渭弘泰市政公司冠名资助我校2016级实验班，该公司每月按出厂价每件3元购进一种小产品，根据以前的数据统计，若零售价定为每件4元，每月可销售400件，若零售价每降低（升高）0.5元，则可多（少）销售40件，每月的进货全部销售完．（1）写出售价x与利润y函数的解析式；（2）销售价应定为多少元/件，利润最大？并求最大利润．【解答】解：设销售价每瓶定为x元，利润为y元，则（1）当月销售量为4-x0.5×40+400=80（9﹣故当月销售所得的利润为y＝80（9﹣x）（x﹣3）﹣﹣﹣﹣（6分）（2）y＝80（9﹣x）（x﹣3）＝﹣80（x﹣6）2+720（x≥3），∴x＝6时，y的最大值为720元﹣﹣﹣﹣﹣（12分）54．某工厂生产一种产品的原材料费为每件40元，若用x表示该厂生产这种产品的总件数，则电力与机器保养等费用为每件0.05x元，又该厂职工工资固定支出12500元．（1）把每件产品的成本费P（x）（元）表示成产品件数x的函数，并求每件产品的最低成本费；（2）如果该厂生产的这种产品的数量x不超过3000件，且产品能全部销售，根据市场调查：每件产品的销售价Q（x）与产品件数x有如下关系：Q（x）＝170﹣0.05x，试问生产多少件产品，总利润最高？（总利润＝总销售额﹣总的成本）【解答】解：（Ⅰ）根据某工厂生产一种产品的成本费由三部分组成，①职工工资固定支出12500元；②原材料费每件40元；③电力与机器保养等费用为每件0.05x元，可得P(x)=由基本不等式得P(x)≥2当且仅当12500x=0.05x，即∴P(x)=12500∴每件产品的最低成本费为90元（Ⅱ）设总利润为y元，∵每件产品的销售价Q（x）与产品件数x有如下关系：Q（x）＝170﹣0.05x∴总销售额＝xQ（x）＝170x﹣0.05x2，则y＝xQ（x）﹣xP（x）＝﹣0.1x2+130x﹣12500＝﹣0.1（x﹣650）2+29750当x＝650时，ymax＝29750答：生产650件产品时，总利润最高，最高总利润为29750元．55．某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p（万元）和宿舍与工厂的距离x（km）的关系为：p=kx+5（0≤x≤8），若距离为1km时，宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元，设f（（1）求f（x）的表达式，并写出其定义域；（2）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f（x）最小，并求最小值．【解答】解：（1）根据题意，距离为1km时费用为100万元，即当x＝1时，p＝100∴100=k1+5，∴∴f（x）=600x+5+5+6x（2）f（x）=600x+5+6（当且仅当600x+5=6（x+5），即答：宿舍距离工厂5km时，总费用最小为95万元…（16分）56．某化工企业2007年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．（1）求该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用y（万元）；（2）问为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？【解答】解：（1）由题意可知年平均污水处理费用为：y=100+0.5x+(2+4+6+⋯+2x)即y=x+100x+1.5（2）由均值不等式得：y=x+100当且仅当x=100x，即答：该企业10年后需要重新更换新设备．57．对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为：1-污物质量物体质量(含污物)）为0.8，要求洗完后的清洁度是0.99．有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：两次清洗．该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为a（1≤a≤3）．设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是x+0.8x+1（x＞a﹣1），用y质量的水第二次清洗后的清洁度是y+acy+a，其中（Ⅰ）分别求出方案甲以及c＝0.95时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；（Ⅱ）若采用方案乙，当a为某定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最少？并讨论a取不同数值时对最少总用水量多少的影响．【解答】解：（Ⅰ）设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z，由题设有x+0.8x+1解得x＝19．由c＝0.95得方案乙初次用水量为3，第二次用水量y满足方程：y+0.95ay+a解得y＝4a，故z＝4a+3．即两种方案的用水量分别为19与4a+3．因为当1≤a≤3时，x﹣z＝4（4﹣a）＞0，即x＞z，故方案乙的用水量较少．（II）设初次与第二次清洗的用水量分别为x与y，类似（I）得x=5c-45(1-c)，y＝a（99﹣100于是x+y=5c-45(1-c)+a（99﹣100当a为定值时，x+y≥21当且仅当15(1-c)此时c=1+1将c=1-1105a故c=1-1此时第一次与第二次用水量分别为25a最少总用水量是T(a)=-a+45a当1≤a≤3时，T′故T（a）是增函数（也可以用二次函数的单调性判断）．这说明，随着a的值的增加，最少用水总量增加．

考点卡片1．基本不等式及其应用【概述】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（a+b2）2或者a+b【实例解析】例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．A：a，b均为负数，则2ab+b2a≥2．B：x2+2x2解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．对于C选项中sinx≠±2，不满足“相等”的条件，再者sinx可以取到负值．故选：C．A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例2：利用基本不等式求y=xx2+2的最值？当0＜解：当x＝0时，y＝0，当x≠0时，y=xx用基本不等式若x＞0时，0＜y≤2若x＜0时，-24综上得，可以得出-24≤∴y=xx2+2的最值是这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．【基本不等式的应用】1、求最值例1：求下列函数的值域．2、利用基本不等式证明不等式3、基本不等式与恒成立问题4、均值定理在比较大小中的应用【解题方法点拨】技巧一：凑项点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．技巧二：凑系数例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．y＝x（8﹣2x）=12[2x•（8﹣2x）]≤12（当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分离例3：求y=x解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．y=x2+7x+10x+1=(x+1)当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2(x+1)×4x+1+技巧四：换元对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．技巧五：结合函数f（x）＝x+a技巧六：整体代换点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．技巧七：取平方点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．2．二次函数的性质与图象【二次函数】二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）【二次函数的性质】二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．这里面略谈一下他的一些性质．①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x=-b2a；最值为：f（-b2a）；判别式△＝b2﹣4ac，当△＝0时，函数与②根与系数的关系．若△≥0，且x1、x2为方程y＝ax2+bx+c的两根，则有x1+x2=-ba，x1•x2③二次函数其实也就是抛物线，所以x2＝2py的焦点为（0，p2），准线方程为y=-④平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；【命题方向】熟悉二次函数的性质，会画出抛物线的准确形状，特别是注意抛物线焦点和准线的关系，抛物线最值得取得，这也是一个常考点．3．函数恒成立问题【知识点的认识】恒成立指函数在其定义域内满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程．例：要使函数f（x）＝ax^2+1恒大于0，就必须对a进行限制﹣﹣令a≥0，这是比较简单的情况，而对于比较复杂的情况时，先分离参数的话做题较简单【解题方法点拨】一般恒成立问题最后都转化为