【高考模拟】四川省巴中中学2026届高三上学期“零诊”模拟考试数学试题（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页四川省巴中中学2026届高三上学期“零诊”模拟考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合，为自然对数的底数，若，则可能是（

）A． B．1 C．2 D．32．已知，则使得“”成立的一个充分条件是（

）A． B．C． D．3．已知是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（

）A．30° B．60° C．90° D．120°4．已知是定义在上的偶函数，且函数也是偶函数，其中表示函数的导函数，则（

）A． B．C． D．5．已知直线与椭圆交于两点，椭圆的左、右焦点分别为、，四边形为矩形，若，则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．6．设函数，对都有，则（

）A． B． C． D．7．已知正四棱台中，上底面与下底面的面积之比为，且其内切球的半径为2，则与面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．8．已知有两个极值点，且，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知（为虚数单位），表示的共轭复数，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．10．某新能源车厂家2015-2023年新能源电车的产量和销量数据如下表所示年份201520162017201820192020202120222023产量（万台)3.37.213.114.818.723.736.644.343.0销量（万台)2.35.713.614.915.015.627.129.731.6记“产销率”年新能源电车产量的中位数为，则（

）A．B．2015-2023年该厂新能源电车的产销率与年份正相关C．从2015-2023年中随机取1年，新能源电车产销率大于的概率为D．从2015-2023年中随机取2年，在这2年中新能源电车的年产量都大于的条件下，这2年中新能源电车的产销率都大于的概率为11．已知分别是双曲线的左、右焦点，点是圆上的动点，下列说法正确的是（

）A．三角形的周长是10B．若焦点在轴上的双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线的焦距为4，则双曲线是C．若，则点的轨迹方程是D．若是双曲线右支上一动点，则的最小值是2三、填空题12．已知等差数列的公差，首项，是与的等比中项，记为数列的前项和，则13．过点可以向曲线作条切线，写出满足条件的一组有序实数对14．在如图的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格的4个数之和的最大值是.

四、解答题15．某省举办了一次高三年级化学模拟考试，其中甲市有10000名学生参考．根据经验，该省及各市本次模拟考试成绩（满分100分）都近似服从正态分布．(1)已知本次模拟考试甲市平均成绩为65分，87分以上共有228人．甲市学生的成绩为76分，试估计学生在甲市的大致名次；(2)在该省本次模拟考试的参考学生中随机抽取40人，记表示在本次考试中化学成绩在之外的人数，求的概率及的数学期望．参考数据：参考公式：若，有，16．在中，内角的对边分别为.已知.(1)求；(2)若，点在边上，，求的面积.17．如图，矩形是圆柱的轴截面，，点分别是上、下底面圆周上的点，且.

(1)求证：；(2)若四边形为正方形，求平面与平面夹角的正弦值.18．如图，椭圆的一个焦点为（1，0），过点的动直线与椭圆相交于两点，当直线平行于轴时，直线被椭圆截得的线段长为.

(1)求椭圆的方程.(2)在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.19．已知函数.(1)当时，求函数的单调区间；(2)讨论函数的零点的个数；(3)对于任意的恒成立，求的取值范围.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《四川省巴中中学2026届高三上学期“零诊”模拟考试数学试题》参考答案题号12345678910答案DCBACAADABDACD题号11答案CD1．D【分析】由题可得，再根据元素与集合的关系判断即可.【详解】由题知，，所以，则.故选：D.2．C【分析】利用不等式的基本性质证明C是正确的，通过反例说明AB是错误的，解不等式说明D是错误的.【详解】对A：当，，则，，此时成立，但是不成立，所以“”不是“”的充分条件，故A错误；对B：取，，则，，所以成立，但不成立，所以“”不是“”的充分条件，故B错误；对C：因为，，两边同乘以，得，即，所以“”是“”的充分条件，故C正确；对D：因为，又，所以，所以“”不是“”的充分条件，故D错误.故选：C3．B【分析】由条件结合投影向量的定义可求，再根据向量夹角余弦公式求结论.【详解】因为向量在向量上的投影向量为，是两个单位向量，所以，所以，又，所以，所以，又，所以，又，所以向量与向量的夹角为，即.故选：B.4．A【分析】结合导数的运算法则，偶函数的定义逐一判断各个选项即可求解.【详解】设，对于A，，函数的定义域为，关于原点对称，且，所以是偶函数，若，则，c是常数，的定义域为，且，所以也是偶函数，故A正确；对于B，若，则，c是常数，所以不成立，故B错误；对于C，是非奇非偶函数，故C错误；对于D，若，则，c是常数，所以不成立，故D错误.故选：A.5．C【分析】根据矩形的边角关系，结合椭圆的定义和性质，可直接求其离心率.【详解】如图：

设，则，因为四边形为矩形，所以.所以，.所以.故选：C6．A【分析】由已知条件可得函数图象的对称中心，结合余弦曲线对称中心的性质求解即可.【详解】由题意都有，可知函数的图象的对称中心为，由函数可得，解得，又，，.故选：A7．A【分析】根据正四棱台及其内接球的性质，结合题给上、下底面面积之比以及内接球半径，计算得出相应边长的值，利用面面平行得出即为直线与平面所成的角，从而求解.【详解】

如图，根据正四棱台的性质可知，上底面与下底面均为正方形，则，即，设，，则，取为上下底面中心，取为中点，连接，则，根据内切球的性质，球心为中点，记为球与平面的切点，则.所以，，，因为，，，根据勾股定理得出，所以，同理，.所以分别为的角平分线，即.因为，，，所以.连接，则，为在底面投影，则位于上，，四边形为矩形，因为，，则，所以，，因为面与面平行，所以与面所成的角即为与面所成的角，所以.故选：A.8．D【分析】根据题意，先求，则有两个不同的根，再将分离参数得到，可以找到相应的两个函数和，则这两个函数的图象有两个不同的交点，这两个交点的横坐标，再利用的增减性求出的最大值，利用图象得到的取值范围及的范围，再将代入中，得到的双变量的等式，通过换元，设，由得到，得到，从而得到，构造函数，利用的单调性求出的最大值，即得到的取值范围，再利用在上是增函数，得到的最大值，从而得到的取值范围.【详解】，，有两个极值点，有两个不同的根，变形为，设，，则两个函数和有两个不同的交点，，，解得，在上是增函数；解得，在上是减函数；在处取得最大值，的最大值为.当时，；当时，；当时，恒成立；当时，.两个函数和有两个不同的交点，；在直角坐标系中画出和的图象，

结合图象可知，这两个函数图象的交点的横坐标就是，又，则，，，，设，，，，，，，设，，设，，，，在上是减函数，，，在上是减函数，，，在上是增函数；，时取最大值，且的最大值为，综上可知.故选：D9．ABD【分析】利用共轭复数的概念与复数的乘法与乘方运算法则运算可判断ABD，利用复数的模的计算公式计算可判断C.【详解】对于A，因为，所以，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，，故，故C错误；对于D，，故D正确.故选：ABD.10．ACD【分析】由中位数定义可判断A；求得每年的产销率，可判断B；由B可得产销率大于的有2个年份，可得概率判断C；利用条件概率公式求解可判断D.【详解】对于A：由中位数的定义可知，，故A正确；对于B：2015-2023年该厂新能源电车的产销率依次为：所以2015-2023年该厂新能源电车的产销率随年份的增加，有时增加，有时减少，故B错误；对于C：由B可知，从2015-2023年该厂新能源电车的产销率大于的有2个年份，所以从2015–2023年中随机取1年，新能源电车产销率大于的概率为，对于D：设事件A表示“从2015-2023年中随机取2年，这2年中新能源电车的年产量都大于m”，事件B表示“从2015-2023年中随机取2年，这2年中新能源电车的产销率大于”，所以所以故D正确.故选：ACD.11．CD【分析】根据条件，分别求得A、、坐标，根据两点间距离公式，可求得的周长，即可判断A的正误；先求得双曲线C的渐近线方程，进而可设出双曲线E的方程，根据条件，求得c值，可求得双曲线E的方程，即可判断B的正误；根据椭圆的定义，计算求解，可判断C的正误；根据三点共线时，距离最短，可判断D的正误，即可得答案.【详解】选项A：由题意圆心，，则，所以，，所以三角形的周长等于，故A错误；选项B：双曲线C的渐近线方程为，所以设双曲线E的方程为，因为双曲线的焦距为4，即，解得，所以，解得，所以双曲线E的方程为，即，故B错误；选项C：因为，所以Q的轨迹为以为焦点的椭圆，所以长轴，即，焦距，即，又，所以的轨迹方程是，故C正确；选项D：因为是双曲线右支上一动点，所以，故D正确.故选：CD12．105【分析】根据等比中项的性质得到方程，即可求出公差，再根据等差数列求和公式计算可得.【详解】等差数列中，，是与的等比中项，设公差为，所以，即，解得或（不合题意，舍去）；所以．故答案为：．13．（答案不唯一）【分析】设切点坐标为，利用导数表示出切线方程，代入点，通过构造函数，研究新函数的单调性和极值，对的取值范围进行讨论，得到解的个数，可得对应的切线条数.【详解】，，设所求切线的切点坐标为，则切线斜率为，得切线方程为，由切线过点，有，化简得，设，则，，解得或；，解得，在和上单调递减，在上单调递增，极大值，极小值，且或时，时，，的函数图象如图所示，则当时，无解，；当或时，有一个解，；当或时，有两个解，；当时，有三个解，.故答案为：（答案不唯一）14．【分析】根据分步计数乘法原理直接可得有种选法；从图中数据观察可得，要使所选4个数之和最大，只能是每个数都是4，可计算得和的最大值.【详解】由题意，可分4步进行选取：第一步，先在第一列中4个格子中选一个格子，有4种选法；第二步，在第二列中3个格子（与第一步所选的格子不同行）中选一个格子，有3种选法；第三步，在第三列中2个格子（与前两步所选的格子不同行）中选一个格子，有2种选法；第四步，在第4列中只有一个格子可选，有1种选法.所以一共有种选法.经观察，选中方格的4个数之和的要最大，只能是4个数都是4，所以4个数之和的最大值为.故答案为：；.15．(1)1587名(2)0.0989；期望为【分析】（1）由本次模拟考试成绩都近似服从正态分布，，87分以上共有228人，结合原则，求得，再由甲市学生在该次考试中成绩为76分，且求解；（2）由随机变量服从二项分布，即求解．【详解】（1）解：已知本次模拟考试成绩都近似服从正态分布，由题意可得．即，解得．甲市学生在该次考试中成绩为76分，且，又，即．学生在甲市本次考试的大致名次为1587名．（2）在本次考试中，抽取1名化学成绩在之内的概率为0.9974．抽取1名化学成绩在之外的概率为0.0026．随机变量服从二项分布，即．．的数学期望为．16．(1)(2)【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后，结合三角恒等变换公式化简计算即可得；（2）借助向量及模长与数量积关系可得与、有关等式，再利用余弦定理表示出、，利用可得与、有关等式，结合计算即可得解.【详解】（1）由正弦定理得，，因为，所以，即，又因为，所以，故；（2）由知，，则有，即，化简得，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，由，则，则，化简得，则，即，则（负值舍去），所以.17．(1)证明见解析(2)【分析】（1）构造，通过圆柱和圆的相关性质证明，，从而证明.（2）建立空间直角坐标系，利用法向量求两平面夹角.【详解】（1）

过作平面，交圆于，连接，.根据圆柱性质易得，.故四边形是平行四边形，所以.因为，所以.因为和是圆中直径所对的圆周角.所以.又因为，所以，即.所以四边形是矩形，故，.又因为，，所以四边形是平行四边形.所以.故.（2）如图，设为圆柱的母线，则底面，连结，

以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.因为，所以.因为四边形为正方形，所以.而，.所以，解得.所以，.所以，，，，.设平面的法向量为，设平面的法向量为.又因为，，所以，取，则，所以.所以平面与平面夹角的正弦值为.18．(1)(2)存在，【分析】（1）结合椭圆的性质，列出关于的方程，代入计算，即可得到结果；（2）由特殊情况可得点在轴上，即可求得点的坐标，然后证明对任意直线均有.【详解】（1）由椭圆的一个焦点为，可得.当直线平行轴时，直线的方程为，且此时直线被椭圆截得的线段长为，由椭圆的对称性可知，点在椭圆上，代入椭圆方程可得，解得，所以椭圆方程为.（2）当直线与轴平行时，设直线与椭圆相交于两点.如果存在定点满足条件，则有，即.所以点在轴上，可设点的坐标为.当直线与轴垂直时，设直线与椭圆相交于两点，则点的坐标分别为.由，有，解得或（舍）.所以，若