备战2026年高考数学真题分类汇编（全国）专题09 概率（解析版）

专题09概率考点一：考点一：古典概型1．（2024福建）某高中开设7门课，3门是田径，某学生从7门中选一门，选到田径的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】计算古典概型问题的概率【分析】根据古典概型的概率公式求解即可.【详解】由题意，从7门中选一门，选到田径的概率为.故选：C.2．（2022河北）从长度为的5条线段中任取3条，则以这三条线段为边能构成一个三角形的概率是（

）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5【答案】B【知识点】计算古典概型问题的概率【分析】利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得.【详解】从长度为的5条线段中任取3条，则可能结果有，，，，，，，，，共种情况，其中满足这三条线段为边能构成一个三角形的有，，共种情况，所以以这三条线段为边能构成一个三角形的概率.故选：B3．（2024云南）某同学通过摸球的方式选择参加学校组织的社会实践活动.摸球规则如下：在一个不透明的袋子中有10个大小质地完全相同的球，其中2个红球，8个黄球.该同学从这个袋子中随机摸出1个球.若摸出的球是红球，则参加社区植树；若摸出的球是黄球，则参加社区卫生大扫除.该同学参加社区植树的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】计算古典概型问题的概率【分析】由古典概率公式求解．【详解】若摸出的球是红球，则参加社区植树，则该同学参加社区植树的概率为：，故选：A4．（2024新疆）袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中2个红球，2个白球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都摸到红球的概率（

）A． B．C． D．【答案】B【知识点】计算古典概型问题的概率、有放回与无放回问题的概率【分析】运用列举法，结合古典概型求解即可.【详解】2个红球，设为；2个白球，设为．从中不放回地依次随机摸出2个球，有共12种．两次都摸到红球的情况为共2种．则概率.故选：B.5．（2024湖南）某环保志愿者计划从甲、乙、丙、丁四个社区中随机选择一个社区进行“垃圾分类”宣讲，则该志愿者选择甲社区的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】计算古典概型问题的概率【分析】利用古典概型概率公式进行求解.【详解】因为某环保志愿者计划从甲、乙、丙、丁四个社区中随机选择一个社区进行“垃圾分类”宣讲，共有四种选择方法：甲、乙、丙、丁，所以该志愿者选择甲社区的概率为.故选：A6．（2024浙江）6个球中，2红4黄，求随机模到一个红球的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】计算古典概型问题的概率【分析】根据题意，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意知，6个球中，2红4黄，根据古典摡型的概率计算公式，可得随机模到一个红球的概率为.故选：B.7．（2023吉林）袋中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都摸到黄球的概率为（

）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.6【答案】C【知识点】计算古典概型问题的概率【分析】利用古典概型的概率公式求解即可【详解】设两次都摸到黄球记为事件A，2个红球记，3个黄球记,从中不放回地依次随机摸出2个球包含的样本点为共20种，其中A包括的样本点为，共6种，故选：C8．（2023浙江）从集合中任取两个数，则这两个数的和不小于的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】计算古典概型问题的概率【分析】列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得.【详解】从集合中任取两个数所有可能结果有、、、、、、、、、共个，其中满足两个数的和不小于的有、、、、、、、共个，所以这两个数的和不小于的概率.故选：C9．（2024天津）在8张奖券中有一等奖1张，二等奖2张，其余5张无奖．现从中随机抽取1张，则没有中奖的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】计算古典概型问题的概率【分析】根据古典概型概率计算即可.【详解】因为8张奖券中,有5张无奖，所以从中抽取1张，没有中奖的概率为.故选：A.10．（2024湖南）某中学高二年级从甲、乙两个红色教育基地和丙、丁、戊三个劳动实践基地中选择一个进行研学，则选择红色教育基地的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】计算古典概型问题的概率【分析】根据给定条件，利用古典概率公式计算即得.【详解】依题意，任选一个基地有5种方法，选择红色教育基地有2种方法，所以选择红色教育基地的概率是.故选：B11．（2024北京）故宫文创店推出了紫禁城系列名为“春”、“夏”、“秋”、“冬”的四款书签，并随机选择一款作为纪念品赠送给游客甲，则游客甲得到“春”或“冬”款书签的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】计算古典概型问题的概率【分析】直接根据古典概型的计算公式求解即可.【详解】由已知得随机选择一款作为纪念品赠送给游客甲有4种赠法，其中游客甲得到“春”或“冬”款书签的有2种赠法，则游客甲得到“春”或“冬”款书签的概率为.故选：A.12．（2023北京）在核酸检测中，“10合1”混采检测是指将10个人的样本混合在一个采集管中进行检测．采集时，将采集管发放给10人中的第一个人．某同学参加“10合1”混采，他拿到采集管的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】计算古典概型问题的概率【分析】根据古典概型求解.【详解】因为某同学参加“10合1”混采，他在10人组中的位置是等可能的，有10个位置可排，成为第一个人的可能性为，所以他拿到采集管的概率为.故选：D13．（2023辽宁）掷一颗股子（一种各面分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体），出现3点或5点的概率为．【答案】【知识点】计算古典概型问题的概率【分析】利用古典概型的概率公式解答即可.【详解】出现3点或5点的概率为．故答案为：.14．（2024安徽）某商场随机抽取了100名员工的月销售额（单位：千元），将的所有取值分成，，，，五组，并绘制得到如图所示的频率分布直方图，其中.

(1)求a，b的值；(2)求这100名员工月销售额的第70百分位数；(3)若月销售额在这一组中男女职工人数为，现从中随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有一名女职工的概率.【答案】(1)，(2)(3)【知识点】计算古典概型问题的概率、总体百分位数的估计、补全频率分布直方图、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量【分析】（1）根据频率分布直方图中各小长方形面积和为1，并结合即可求解；（2）根据百分位数的概念求解；（3）根据古典概型列出基本事件计算得解.【详解】（1）由已知得，所以，又因为，所以，.（2）由于样本在的频率为，在的频率为，所以这100名员工月销售额的第70百分位数为.（3）月销售额在这一组的人数为.其中男职工3人，记为A，B，C，女职工2人，记为a，b，从中随机抽取2人，基本事件有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10个，其中，事件“至少有一名女职工”包含的基本事件有Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共7个，所以，所抽取的2人中至少有一名女职工的概率为.15．（2024广东）在一次猜灯速的活动中，共有20道灯谜，甲同学知晓其中16道灯谜的谜底，乙同学知晓其中12道灯谜的谜底，两名同学之间独立竞猜，假设猜对每道灯谜都是等可能的.(1)任选一道灯谜，求甲和乙各自猜对的概率；(2)任选一道灯谜，求甲和乙至少一人猜对的概率.【答案】(1)甲猜对概率为，乙猜对概率为(2)【知识点】计算古典概型问题的概率、利用对立事件的概率公式求概率【分析】（1）根据古典概型的知识求得正确答案.（2）利用对立事件的知识求得正确答案.【详解】（1）甲猜对的概率为，乙猜对的概率为.（2）甲乙都没有猜对的概率为，所以甲和乙至少一人猜对的概率为.16．（2024广东）某校高三年级50名学生参加数学竞赛，根据他们的成绩绘制了如图所示的频率分布直方图，已知分数在的矩形面积为，求：

(1)分数在的学生人数；(2)这50名学生成绩的中位数（精确到）；(3)若分数高于60分就能进入复赛，从不能进入复赛的学生中随机抽取两名，求两人来自不同组的概率．【答案】(1)3(2)(3)【知识点】由频率分布直方图估计中位数、补全频率分布直方图、计算古典概型问题的概率、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量【分析】（1）设分数在的频率为，根据频率之和为1得到方程，求出分数在的学生人数；（2）先得到中位数落在第四组，设中位数为，根据面积为0.5得到方程，求出答案；（3）求出分数在40,50的人数，再利用列举法求出概率.【详解】（1）设分数在的频率为，由所有的矩形面积和为1可得：，解得，故分数在50,60的频率为，故分数在50,60的人数是人，（2），，故中位数落在第四组，设中位数为，则，解得，则中位数为.（3）分数在40,50的人数为，记为，在50,60共有3人，记为，从分数在的5名学生任选2人的方法有：，共10种，两人来自不同组的有共6种，故两人来自不同组的概率17．（2023黑龙江）立德中学篮球队10名男篮运动员身高数据如下：（单位：）175

178

182

182

182

184

186

189

192

195(1)直接写出这组数据的众数和中位数；(2)如果从上表里身高超过的运动员中随机抽取两名运动员，求这两名运动员身高都超过的概率.【答案】(1)182，183；(2).【知识点】计算几个数的众数、计算古典概型问题的概率、计算几个数的中位数【分析】（1）利用众数、中位数的定义直接求解.（2）求出身高超过的运动员数并编号，利用列举法求出概率即得.【详解】（1）数据175，178，182，182，182，184，186，189，192，195中，182现出次数最多，所以这组数据的众数是182；这组数据的中位数是.（2）表里身高超过的运动员有4人，其中两人身高低于，记这两人为，另两人身高超过，记这两人为，从抽取出的4人中任取两人，不同结果有：，共6个，其中身高都超过的事件有，1个结果，所以这两名运动员身高都超过的概率是.18．（2023新疆）已知袋中有大小相同的红球3个，黄球2个，从中任取两个，求下列事件的概率：(1)两个都是红球；(2)一个黄球一个红球；【答案】(1)(2)【知识点】计算古典概型问题的概率【分析】（1）先列出所有的基本事件确定出基本事件的总数，然后可知“两个都是红球”对应的基本事件数，根据基本事件数量比求得结果；（2）先确定“一个黄球一个红球”对应的基本事件数，然后根据基本事件数量比求得结果.【详解】（1）设袋中的个红球分别为，个黄球分别为，则从中任取两个的所有基本事件为：，共个基本事件，记“摸到两个球都是红球”为事件，事件包含的基本事件有：，共个基本事件，所以；（2）记“摸到一个黄球一个红球”为事件，事件包含的基本事件有：，共个基本事件，所以.19．（2024广东）某校随机抽取部分学生的体重为样本绘制如图所示的频数分布直方图（每组数据含最小值，不含最大值），已知从左至右前四组的频率依次为0.05，0.10，0.25，0.35，结合该图提供的信息回答下列问题：(1)抽取的学生人数共有______人，体重不低于58千克的学生有______人；(2)这部分学生体重的中位数落在第______组；(3)在这次抽样测试中，第一组学生的体重分别记录如下：40，40，41，42，43．如果要从这组学生中随机抽取2人，求被抽到的2人体重都不低于41千克的概率．【答案】(1)100；25(2)四(3)【知识点】由频率分布直方图估计中位数、计算古典概型问题的概率、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求解；（2）根据中位数的概念求解；（3）按古典概型求解.【详解】解：(1)抽取的学生人数共有人，则=0.05，求得=100，体重不低于58千克的学生有人数为：100（1-0.05-0.1-0.25-0.25）=25人；(2)前四组的人数分别为5，100×0.1=10，100×0.25=25，100×0.35=35，抽查的100个学生的体重从小到大进行排序，排在第50位和51位的学生都落在第四组，∴这部分学生体重的中位数落在第四组；（3）解：根据题意知从这组学生中随机抽取2人有（40,40），（40,41），（40,42），（40,43），（40,41），（40,42），（40,43），（41,42），（41,43），（42,43）共10种情况，被抽到的2人体重都不低于41千克有（41,42）,（41,43）,（42,43）共3种情况，∴所求事件的概率为.考点二：考点二：频率基本性质1．（2023上海）某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.2，0.3，0.1，则该射手在一次射击中不够8环的概率为（

）A．0 B．0.3 C．0.6 D．0.4【答案】D【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、确定所给事件的对立关系【分析】由题意可知一次射击中不够8环与射中10环或9环或8环是对立事件，利用对立事件的概率公式求解即可【详解】因为某射手的一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别为0.2，0.3，0.1.所以在一次射击中不够8环的概率为，故选：D2．（2023广东）某人连续投篮两次，则他至少投中一次的对立事件是（

）A．至多投中一次 B．两次都投中C．只投中一次 D．两次都没投中【答案】D【知识点】写出某事件的对立事件【分析】根据对立事件的定义判断.【详解】至少投中1次的反面是没有一次投中，因此选项D正确．故选：D．3．（2021湖北）明明同学打靶时连续射击三次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（

）A．三次均未中靶 B．只有两次中靶C．只有一次中靶 D．三次都中靶【答案】A【知识点】判断所给事件是否是互斥关系【分析】根据互斥事件的概念分析判断.【详解】样本空间为：“三次均未中靶”，“只有一次中靶”，“只有两次中靶”和“三次都中靶”，事件“至少有一次中靶”包含“只有一次中靶”、“只有两次中靶”和“三次都中靶”，所以选项B、C、D中的事件与事件“至少有一次中靶”不互斥，事件“三次均未中靶”与事件“至少有一次中靶”互斥，故A正确，B、C、D错误；故选：A.4．（2024福建）已知下雨的概率为0.8，则不下雨的概率为【答案】/15【知识点】利用对立事件的概率公式求概率【分析】根据对立事件的概率公式计算即可.【详解】由题意可知不下雨的概率为.故答案为：考点三：考点三：事件的相互独立性1．（2023广西）甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别是与．甲、乙两人在罚球线各投球1次，假设两人投球是否命中互不影响，则甲、乙两人投球都命中的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】独立事件的乘法公式【分析】根据独立事件的乘法公式即可.【详解】根据独立事件的乘法公式得甲、乙两人投球都命中的概率为.故选：A.2．（2024福建）甲、乙两人独立破译某个密码，若每人成功破译密码的概率均为，则密码不被破译的概率为（

）A．0.09 B．0.42 C．0.49 D．0.51【答案】C【知识点】独立事件的乘法公式【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式计算可得.【详解】因为每人成功破译密码的概率均为，且甲、乙两人独立破译某个密码，则密码不被破译的概率.故选：C3．（2023北京）甲、乙两人在罚球线进行投篮比赛，甲的命中率为0.7，乙的命中率为0.8，甲、乙命中与否互不影响．甲、乙两人各投篮1次，那么“甲、乙两人都命中”的概率为（

）A．0.08 B．0.14 C．0.24 D．0.56【答案】D【知识点】独立事件的乘法公式【分析】根据题意，由相互独立事件的概率公式求解.【详解】根据独立事件同时发生的概率公式可知，“甲、乙两人都命中”的概率为，故选：D4．（2023黑龙江）甲、乙两名运动员进行一次射击比赛，若甲中靶的概率为，乙中靶的概率为，甲乙射击互不影响，则两人都中靶的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】独立事件的乘法公式【分析】根据独立事件概率乘法公式运算求解.【详解】因为甲乙射击互不影响，所以两人都中靶的概率为.故选：A.5．（2023江苏）天气预报元旦假期甲地降雨的概率为0.4，乙地降雨的概率为0.7，假定这段时间内两地是否降雨相互独立，则这段时间甲乙两地至少有一个降雨的概率为（

）A．0.12 B．0.42 C．0.58 D．0.82【答案】D【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率【分析】根据题意，先求出两地均不下雨的概率，在结合对立事件的概率公式，即可求解.【详解】由题意，甲地降雨的概率为0.4，乙地降雨的概率为0.7，且两地是否降雨相互独立，所以甲乙两地均不下雨的概率为，所以，这段时间甲乙两地至少有一个降雨的概率为.故选：D.6．（2023浙江）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为，乙中靶的概率为0.9，且两人是否中靶相互独立．若甲、乙各射击一次，恰有一人中靶的概率为0.26，则（

）A．两人都中靶的概率为0.63 B．两人都中靶的概率为0.70C．两人都中靶的概率为0.72 D．两人都中靶的概率为0.74【答案】C【知识点】独立事件的乘法公式【分析】根据相互独立事件概率计算公式，先求得，然后求得正确答案.【详解】依题意，解得，所以两人都中靶的概率为.故选：C7．（多选）（2024浙江）现有，两个相同的箱子，其中均有除了颜色不同外其他均相同的红白小球各3个，先从两个箱子中各取出一个小球，，再将两箱子混合后取出一个小球，事件：“小球为红色”，事件：“小球为白色”，事件：“小球为红色”，则下列说法错误的有（

）A．发生的概率为 B．与互斥C．与相互独立 D．发生的概率为【答案】ABD【知识点】计算古典概型问题的概率、相互独立事件与互斥事件【分析】根据古典概型公式判断A，根据互斥事件的定义判断B，根据相互独立事件的定义判断C，对于D，分两种情况讨论，若取出颜色相同与颜色不同，分别计算出概率即可判断.【详解】根据题意可得，故A错误；根据互斥事件的定义可知与不互斥，故B错误；由题可得，，所以与相互独立，故C正确；对于D，事件分为两类：第一类,若先从两个箱子取出颜色相同的小球,1、颜色都为白球,则混合后袋中有白球4个,红球6个,取出红球概率；2、颜色都为红球,则混合后袋中有白球6个,红球4个,取出红球概率为-第二类,若先从两个箱子颜色不同的小球,则混合后袋中有白球5个，红球5个，取出红球概率为，故D不对，故选：ABD8．（多选）（2024浙江）甲袋中有20个红球，10个白球，乙袋中红球、白球各有10个，两袋中的球除了颜色有差别外，再没有其他差别，现在从两袋中各取出1个球，下列结论正确的是（）A．2个球都是红球的概率为B．2个球中恰有1个红球的概率为C．2个球不都是红球的概率为D．2个球都不是红球的概率为【答案】BC【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算古典概型问题的概率、独立事件的乘法公式【分析】设出事件，得到，，A选项，；B选项，求事件的概率即可；C选项，根据对立事件概率公式得到C正确；D选项，.【详解】记事件：从甲袋中任取1个球为红球，事件：从乙袋中任取1个球为红球，则，，对于A选项，即求事件的概率，，所以A错误；对于B选项，即求事件的概率，．所以B正确，对于C选项，由于“都是红球”与“不都是红球”互为对立事件，所以概率为，C正确；对于D选项，即求事件的概率，，所以D错误．故选：BC.9．（多选）（2024浙江）已知随机事件A，B的概率都大于表示事件A的对立事件，则（

）A．当时，B．当时，C．当时，A，B相互独立D．当时，【答案】CD【知识点】确定所给事件的包含关系、确定所给事件的对立关系、独立事件的判断【分析】对于选项A，根据对立事件的定义，可以判断A是错误的；对于选项B，借助韦恩图可以分析，B选项不一定成立；对于选项C，根据相互独立事件的定义，可判断C是正确的；对于选项D，借助韦恩图可以分析，D选项是成立.【详解】对于选项A，根据对立事件的定义，，又，所以，概率相等，不一定事件相等，故A错误；对于选项B，如图，阴影部分代表事件A，无法判断与的大小，故B错误；对于选项C，因为，所以相互独立，因此A，B相互独立，故C正确；对于选项D，根据题意，得到如图所示，阴影部分代表事件，由图可知，，故D正确；故选：CD.10．（2024湖南）某射击运动员在一天的射击训练中射靶100次，训练成绩统计结果如图所示.(1)请估计这名运动员射击成绩的众数；(2)请估计这名运