辽宁省朝阳市建平县高级中学多校2025-2026学年高二上学期期中联考数学试卷（含解析）

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页辽宁省朝阳市建平县高级中学多校2025-2026学年高二上学期期中联考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知直线是圆的一条对称轴，则（

）A． B． C． D．2．已知平面的法向量，直线的方向向量，则与的位置关系是（

）A．平行 B．垂直 C．直线在平面内 D．相交但不垂直3．“”是“直线与圆相切”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知直线的斜率的取值范围为，则其倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．5．“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．-16．已知为坐标原点，长为3的线段，端点，分别在轴､轴上滑动，若动点满足，则动点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．7．已知椭圆的左､右焦点分别为，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为（

）A． B． C． D．8．正方体的棱长为2，M为的中点，下列命题中错误的是（

）A．与成60°角B．若平面交CD于点H，则C．若P点在正方形边界及内部运动，且MP⊥，则P点的轨迹长等于D．若点E，F分别在上，且直线EF与，所成的角分别是、β，则二、多选题9．关于空间向量，下列说法正确的是（

）A．若三个向量所在的直线两两共面，则三个向量一定也共面B．若对空间中任意一点，有，则四点共面C．若向量是空间的一个基底，则也是空间的一个基底D．若，则是锐角10．已知直线与圆（为半径）恒有两个不同的公共点，则下列结论正确的有（

）A．直线过定点B．半径的取值范围是C．当时，线段的长度的最小值为D．当时，圆上到直线的距离为2的点恰好有三个，则11．已知椭圆的左、右焦点分别为，短轴长为，离心率为，是椭圆上异于长轴端点的一动点，点与点关于原点对称，则（

）A．的面积最大值为B．的最小值为C．若以为直径的圆经过两点，则点的轨迹方程为D．椭圆上存在点，使得三、填空题12．若经过点的直线在，轴上的截距之比为，则与两坐标轴围成的三角形的面积为.13．椭圆上一点到该椭圆的一个焦点的距离为6，则这样的点P有个．14．在正三棱锥中，，且该三棱锥的各个顶点均在以为球心的球面上，设点到平面的距离为，到平面的距离为，则．四、解答题15．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点.(1)若焦距为，点的坐标为，求椭圆的标准方程；(2)若，且的面积为，求的值.16．在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为．记，，．(1)用表示，并求；(2)求与夹角的余弦值；(3)线段上是否存在点，使得，，是共面向量？若存在，求，若不存在，说明理由．17．已知直线：（）.(1)若直线不经过第四象限，求的取值范围；(2)已知，若点到直线的距离为，求最大时直线的一般式方程.(3)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时的方程.18．如图1，在中，分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图2.(1)证明：(2)若为的中点，求直线与平面的夹角正弦值；(3)直线上是否存在点，使平面与平面垂直？若存在写出点的位置；若不存在说明理由.19．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”，现在人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，定点、，动点满足，则的轨迹为阿氏圆，以下称该阿氏圆为圆.(1)求圆的方程.(2)如图，过点斜率为的直线与圆相交于，（点在轴上方），点，是不在直线上的两点，满足平分，平分.（ⅰ）求的取值范围.（ⅱ）将点、、看作一个阿氏圆上的三点，若外接圆的面积为，求直线的方程.《辽宁省朝阳市建平县高级中学多校2025-2026学年高二上学期期中联考数学试卷》参考答案题号12345678910答案CDACCAABBCCD题号11答案BCD1．C【分析】根据给定条件，利用圆的性质列式求得的值.【详解】圆的圆心，由直线是圆的一条对称轴，得，所以.故选：C2．D【分析】根据给定条件，利用空间位置关系的向量证明求解即得.【详解】平面的法向量，直线的方向向量，由，得与不平行，则直线不垂直于平面；由，得与不垂直，则直线，且不平行于平面，所以与的位置关系是相交但不垂直.故选：D3．A【分析】首先求直线与圆相切时的值，再根据充分，必要条件的定义，即可判断.【详解】若直线与圆相切，则圆心到直线的距离，得，所以“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件.故选：A4．C【分析】已知斜率的取值范围，通过正切函数性质来确定倾斜角的取值范围.【详解】直线的斜率，为倾斜角，，已知，即，当时，；当时，.综上当时，.故选：C5．C【分析】转化为点与点连线的斜率，然后结合图象由直线与圆的位置关系求解.【详解】依题意，则为直线的斜率，结合图象可知，当直线与半圆相切时，斜率最小，设，则，解得或（舍去），即的最小值为.故选：C6．A【分析】根据给定条件，利用向量的坐标运算用点的坐标表示出点的坐标，再利用给定线段长求出方程.【详解】设点，由，得，则，而线段长为3，即，因此，所以动点的轨迹方程为.故选：A7．A【分析】利用椭圆的定义，将转化为，结合图形求得最小值.【详解】如图，M为椭圆C上任意一点，则，又N为圆上任意一点，，当且仅当M、N、E、共线且M、N在E、之间时等号成立．而，，则，所以的最小值为.故选：A8．B【分析】由图建立空间直角坐标系，对于A，利用向量法求得，即可判断；对于B，利用空间向量共面定理求出点,即得；对于C，经推理计算得到点的轨迹长为线段的长度，计算即可判断；对于D，利用空间向量夹角公式分别计算、β，即可判断结论.【详解】对于A，如图建立空间直角坐标系，则.则，，因，故，即与成60°角，故A正确；对于B，由可得，即，设，则，由题意，四点共面，故存在，使得，则得，解得，即，，则，故B错误；对于C，设，则，由，可得，故P点的轨迹长为线段的长度，为，故C正确；对于D，因点E，F分别在上，且，则，，则，则，因，则，故；，故，则有，故D正确.故选：B.9．BC【分析】根据共面向量定理，以及空间向量基底的定义，以及数量积的定义，即可判断选项.【详解】若三个向量所在的直线交于同一点，比如三棱锥的三条侧棱，这时三个向量不共面，故A错误；若对空间中任意一点，有，其中，所以四点共面，故B正确；若向量是空间的一个基底，则不存在实数使，所以不共面，所以也是空间的一个基底，故C正确；若，则或锐角，故D错误.故选：BC10．CD【分析】首先直线变形为，可得直线过定点即可判断A；根据定点与圆的位置关系，即可判断B；当定点为弦的中点时，此时弦长最短，即可判断C；根据题意转化为圆心到直线的距离为2，即可判断D.【详解】A.直线，所以直线恒过点，故A错误；B.若直线恒与圆有2个交点，则定点在圆的内部，即，，得，故B错误；C.当定点为弦的中点时，此时弦长最短，，时，此时最短弦，故C正确；D.当时，圆上到直线的距离为2的点恰好有三个，则圆心到直线的距离等于2，则，得，故D正确.故选：CD11．BCD【分析】A列关系式，求椭圆方程，当点位于短轴顶点时，的面积最大；B证明四边形为平行四边形，再结合基本不等式可求；C设过点的圆的一般方程，将三点坐标代入求出圆方程，利用关于圆心对称，求出点坐标，再利用消参思想求出轨迹方程；D当点位于短轴顶点时符合题意.【详解】由题意可知，，，，解得，则，，,当点位于短轴顶点时，的面积最大，最大值为，故A错误；因点与点关于原点对称，则四边形为平行四边形，则，因，则,等号成立时，故B正确；设过点的圆的方程为，设，且，，，则，，，得，，则过点的圆的方程为，圆心，因为圆的直径，则关于点对称，则，令，则，因，则，因，则点的轨迹方程为，C正确；当点位于短轴顶点时，此时为等边三角形，，故D正确.故选：BCD

12．//【分析】利用截距式方程，求直线在两坐标轴上的截距，再求三角形的面积.【详解】由条件可知，直线不过原点，设直线，则，则，所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积为.故答案为：13．【分析】先求出椭圆的长轴长，再利用椭圆定义直接分析作答.【详解】由题意可得，根据椭圆定义，若点到椭圆的一个焦点的距离为6，则它到椭圆的另一个焦点的距离为，因为，所以椭圆上点到椭圆的一个焦点的距离为6等价于椭圆上点到椭圆的两个焦点的距离分别为和6，根据椭圆的对称性，所以这样的点共有4个.故答案为：.14．【分析】将三棱锥补成为正方体，然后确定出以及的位置，再通过向量法求解出，由此可求的结果.【详解】在正三棱锥中，，又，所以，所以，同理可得，即两两垂直，把该三棱锥补成一个正方体，则三棱锥的外接球就是正方体的外接球，正方体的体对角线就是外接球的直径，易得，如图，建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以，则点到平面的距离，所以．故答案为：.15．(1)(2)【分析】（1）首先根据焦距可以求解的值，然后再将点代入椭圆方程中，进而通过解方程求解，的值；（2）由的面积求解的值，再结合椭圆的定义和余弦定理进行求解即可.【详解】（1）已知，所以得：，即，由于点在椭圆上，将其代入椭圆方程，可得：，即，又因为，即.联立，整理得：，解得：或（舍）所以，故椭圆的标准方程为.（2）因为，所以的面积，则，根据椭圆定义可得：.根据余弦定理可得：，整理得：，代入得：，即，即得：.16．(1)，(2)(3)存在点且.【分析】（1）由向量加法及减法运算得到，平方后，结合数量积的运算法则计算出，求出的长为；（2）计算出，，从而利用向量的夹角余弦公式求出答案；（3）由，，是共面向量，存在，，使得即可求解.【详解】（1）由题意知：，，∴，又∵，∴，∴，即的长为，（2）∵，∴，∴，，∴，即与夹角的余弦值为．（3）当，可设，，若，，是共面向量，即存在，，令，即，由，解得，，，故存在点且.17．(1)；(2)；(3)最小值是4，方程为.【分析】（1）由直线过定点可得斜率的范围；（2）根据（1）的结论，结合互相垂直两直线斜率的性质进行求解即可；（3）求出，两点坐标，求出面积，由基本不等式求得最值.【详解】（1）直线方程为：：，它过定点，在第二象限，因此直线不过第四象限，则∴的取值范围是；（2）由（1）知直线l恒过定点，当且仅当时，d取得最大值，此时直线的斜率，因此直线的斜率，直线的方程为，所以直线的一般式方程为.（3）易知，令得，令，得，即，，∴，当且仅当，即时取等号，∴最小值是4，此时方程为，即.18．(1)证明见解析；(2)；(3)存在，点在线段的延长线上，且.【分析】（1）先证明平面，结合建立空间直角坐标系，利用空间向量证明即可；（2）求出和平面的一个法向量的坐标，进而结合线面角的公式求解即可；（3）先假设存在，设，利用空间向量验证求解即可.【详解】（1）由题意，在图1中，，，，，，则在图2中，，，，，因为平面，所以平面，而，则，如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，，，，则，所以，即.（2）由（1）及为的中点，则，，，，设平面的一个法向量，则，即，令，得，设与平面所成的角为，所以.（3）假设直线上存在点，使平面与平面垂直，设，由（1）知，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，而平面的一个法向量为，由于平面平面，当且仅当，即时成立，所以直线上存在点，使平面与平面垂直，此时点在线段的延长线上，且.19．(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ）【分析】（1）设动点，根据条件建立方程，化简即可求解；（2）（i）根据题设条件得，令，进而有，设，