江苏省苏州市西安交通大学苏州附属中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷（含解析）

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页江苏省苏州市西安交通大学苏州附属中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若直线与直线平行，则（

）A．2 B． C． D．2．已知圆关于直线对称，则（

）A． B．1 C． D．03．若椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程为（

）A． B．C． D．4．已知等差数列的前项和为，若，则（

）A．15 B．35 C．75 D．1055．已知圆的圆心在第二象限，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．6．在数列中，，若数列是公比为2的等比数列，则（

）．A．2048 B．2047 C．1024 D．10237．记为数列的前项积，且，则（

）A． B． C． D．8．已知各项都不相等的数列，圆，圆，若圆平分圆的周长，则的所有项的和为（

）A．2024 B．2025 C．4048 D．4050二、多选题9．下列四个选项中说法正确的是（

）A．“”是“成等比数列”的充分不必要条件B．直线的倾斜角为C．过两点的所有直线的方程为D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为10．记为数列的前项和，已知则（

）A．2025是数列中的项B．数列是公比为2的等比数列C．D．若，则数列的前项和小于11．已知圆，直线，直线与圆交于，两点，则（

）A．直线过定点B．的最小值为2C．的取值范围为D．当圆上恰有三个点到直线的距离等于时，三、填空题12．已知圆与圆有三条公切线，则．13．数列满足，则.14．已知正方形ABCD的边长为2，点在以为圆心，1为半径的圆上，则的最小值为.四、解答题15．已知数列的前项和为等比数列，公比为2，且为等差数列.(1)求与的通项公式：(2)记，且，求的取值集合.16．在中，点的坐标为，边上的中线所在直线的方程为，直线的倾斜角为．(1)求点的坐标；(2)过点的直线与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于，两点，求（为坐标原点）面积的最小值．17．已知数列的前n项和为，，．(1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和为；(3)若对任意恒成立．求实数的取值范围．18．已知圆分别与、轴正半轴交于、两点，为圆上的动点．(1)若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程；(2)过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程；(3)若为圆上异于的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值．19．已知数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)令，数列的前项和为，是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由；(3)记，证明：．《江苏省苏州市西安交通大学苏州附属中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷》参考答案题号12345678910答案DBBBBDCDABACD题号11答案ACD1．D【分析】根据给定条件，利用两条直线平行列式求解即得.【详解】由直线与直线平行，得，所以.故选：D2．B【分析】根据题意知直线过圆心，将圆心坐标代入即得答案.【详解】由题意直线过圆心，则.故选：B3．B【分析】先根据过点得出，结合计算得出椭圆方程.【详解】椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，所以，又，则，所以椭圆方程为，故选:B.4．B【分析】根据给定条件，利用等差数列性质计算即得.【详解】在等差数列中，，则，所以.故选：B5．B【分析】将圆的一般方程化为标准方程后，结合题意计算即可.【详解】由，化简可得，则有，解得.故选：B.6．D【分析】根据等比数列定义得数列的奇数项是以1为首项，2为公比的等比数列，再应用等比数列前n项和公式求解即可．【详解】数列是公比为2的等比数列，则有，所以，因此数列的奇数项是以1为首项，2为公比的等比数列，所以.故选：D7．C【分析】先利用累加法求得，再由求解即可.【详解】由题意，当时，，，，累加得，所以又当时，也满足，所以.故选：C.8．D【分析】先求出两圆的公共弦方程，由题意，公共弦过圆C的圆心，代入圆心，可得，写出所求的表达式，利用倒序相加求和法，即可得答案.【详解】由题意，联立，两式相减可得公共弦所在直线方程为：，即，因为圆平分圆的周长，所以公共弦过圆C的圆心，圆C的标准方程为，则圆心为，所以，即，又的所有项的和为，则，两式相加得，因为，所以，则.故选：D9．AB【分析】根据等比数列定义和推出关系可知A正确；根据直线斜率和倾斜角关系可知B正确；根据两点式方程的特征可知C错误；分别讨论直线过原点与不过原点的情况，知D错误.【详解】对于A，当时，成等比数列，充分性成立；当成等比数列时，，解得：，必要性不成立；“”是“成等比数列”的充分不必要条件，A正确；对于B，由知直线的斜率，设直线的倾斜角为，则，，B正确；对于C，当直线平行于坐标轴时，无法用表示，C错误；对于D，若直线过坐标原点，则直线方程为；若直线不过坐标原点，可设其方程为，，；综上所述：直线的方程为或，D错误.故选：AB.10．ACD【分析】由的通项公式即可判断AC；由即可判断B；由裂项相消即可判断D．【详解】对于A，当为偶数时，令，符合题意，故A正确；对于B，由题知，，故数列是公比为4的等比数列，故B错误；对于C，由题知，，所以，故C正确；对于D，，，设数列的前项和为，则，故D正确；故选：ACD．11．ACD【分析】对于选项A，将直线整理成，得到，此方程组的解构成的点就是直线恒过的定点；对于选项B，先求出的圆心和半径，由直线过定点，可知过定点的直径是最长的弦，过定点且与这条直径所在直线垂直的直线与圆相交的弦长是最短的弦，求出定点到圆心的距离，则的最小值为代入数值即可得解；对于选项C，由求出，结合余弦定理求出的范围，利用向量的数量积的定义得到，由的范围得解；对于选项D，由圆上恰有三个点到直线的距离等于，得到圆心到直线的距离等于，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，则，计算即可得解.【详解】对于选项A，直线，，，，直线过定点，选项A正确；对于选项B，的圆心为，半径为，直线过定点，过定点的直径是最长的弦，过定点且与这条直径所在直线垂直的直线与圆相交的弦长是最短的弦，定点到圆心的距离为，的最小值为，选项B错误；对于选项C，，，，，，，，，，，选项C正确；对于选项D，圆上恰有三个点到直线的距离等于，圆心到直线的距离等于，，圆心圆心到直线的距离，，选项D正确.故选：ACD.12．【分析】首先判断两圆的位置关系，再根据两圆的位置关系，列式求解.【详解】圆的圆心为，半径为，圆，圆心，半径为，，因为两圆有3条公切线，所以两圆相外切，所以，所以，故答案为：13．/【分析】先根据递推关系计算数列的项进而得出数列是周期数列，最后根据周期性求值即可.【详解】数列满足，且，则.所以数列是周期为4的周期数列，所以所以所以.故答案为：.14．【分析】建立直角坐标系，取点，探讨满足条件的点的轨迹，再结合已知条件，求出两条线段长度和的最小值作答.【详解】依题意，以点为原点，直线分别为轴建立平面直角坐标系，则，如图，取点，设，当时，，化简整理得，即点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，而点在以为圆心，1为半径的圆上，因此，显然点在圆：外，则，当且仅当为线段与圆的交点时取等号，而，所以的最小值为.故答案为：.15．(1)，.(2)【分析】（1）根据即可求，根据条件计算等比数列的首项及公比即可得到；（2）根据是单调递增数列，通过列举可求解.【详解】（1）由得，当时，，当时，，当时，上式也成立，所以.依题意，，，解得，所以.（2）由（1）得,令，，∴单调递增.所以为单调递增数列由得故满足的取值集合为.16．(1)(2)4【分析】（1）根据直线的倾斜角为得到直线的方程，然后与边上的中线所在的直线方程联立得到点；（2）设直线的方程为，根据点的坐标得到，然后利用基本不等式求最值.【详解】（1）因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，又的坐标为，所以直线的方程为，即．因为BC边上的中线经过点A，由与联立，解得，，所以点的坐标为．（2）依题意可设直线的方程为（，），则．因为，，所以，则，当且仅当时，等号成立，所以面积的最小值为．17．(1)证明见解析，；(2)；(3).【分析】（1）根据题设递推关系有，结合等差数列定义判断证明，进而写出通项公式；（2）应用错位相减法及等比数列前n项和公式求；（3）将问题化为恒成立，作差法判断右侧的最小值，即可得参数范围.【详解】（1）由，则，又，所以数列是首项、公差均为的等差数列，则，所以.（2）由，则，所以，所以.（3）由（1）（2），则，整理得恒成立，令，则，当时，当时，当时，所以，即的最小值为，综上，.18．(1)(2)或．(3)证明见解析【分析】（1）根据题意，设，，由向量的坐标运算可得的坐标，代入计算，表示出点的坐标，然后代入圆的方程，计算化简，即可得到轨迹方程；（2）根据题意，分直线的斜率存在于不存在讨论，然后结合圆的弦长公式代入计算，即可得到结果；（3）分别由直线的方程得到点的坐标，代入计算，即可证明.【详解】（1）根据题意，，．设，，则，，由于，所以，得将其代入，得，故点的轨迹方程为．（2）根据垂径定理可得．①当斜率不存在时，直线的方程为：，直线截点轨迹所得弦长弦长为，符合题意；②当斜率存在时，设直线，圆心到直线的距离为，解得．直线的方程为或．（3）设，则，直线方程是，令，得，直线方程是，令得，所以．即为定值．19．(1)(2)存在；或(3)证明见解析【分析】（1）利用的关系可得，利用累乘法可求数列的通项公式；（2）利用裂项相消法可求得，假设存在正整数，使得成等差数列，可得，求解即可；（3）当时，可得，利用放缩法可证明不等式成立.【详解】（1）因为，所以当时，，两式相减得，即．累乘得．经检验也符合上式，所以．（2）因为，所以，所以，假设存在正整数，使得成等差数列，则，即，即，显然是18的正约数，又因为，所以，所以或18，当，即时，，当，即时，．所以，存在正整数，使得成等差数列，此时或．（3）由题意知，，当时，，不等式成立．当，因为，所以