合肥一模考试数学试卷及答案

合肥一模考试数学试卷及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.若集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，则\(A\capB=(\)\)A.\(\{1,2,3,4\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{1,4\}\)D.\(\varnothing\)2.函数\(y=\log_2(x-1)\)的定义域是（）A.\((1,+\infty)\)B.\([1,+\infty)\)C.\((0,+\infty)\)D.\((-\infty,2)\)3.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(-1,m)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)，则\(m=(\)\)A.2B.-2C.\(\frac{1}{2}\)D.-\(\frac{1}{2}\)4.直线\(x+\sqrt{3}y-1=0\)的倾斜角为（）A.\(30^{\circ}\)B.\(60^{\circ}\)C.\(120^{\circ}\)D.\(150^{\circ}\)5.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，则\(\cos\alpha=(\)\)A.\(\frac{4}{5}\)B.-\(\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.-\(\frac{3}{4}\)6.若\(a\gtb\gt0\)，则下列不等式成立的是（）A.\(\frac{1}{a}\gt\frac{1}{b}\)B.\(a^2\ltb^2\)C.\(a+c\gtb+c\)D.\(ac\gtbc\)7.一个正方体的棱长为\(2\)，则该正方体的表面积为（）A.4B.8C.12D.248.数列\(\{a_n\}\)满足\(a_{n+1}=a_n+3\)，\(a_1=2\)，则\(a_5=(\)\)A.14B.17C.20D.239.抛物线\(y^2=8x\)的焦点坐标是（）A.\((2,0)\)B.\((-2,0)\)C.\((0,2)\)D.\((0,-2)\)10.函数\(f(x)=x^3-3x\)的极大值点是（）A.-1B.1C.2D.-2二、多项选择题（每题2分，共10题）1.以下哪些是偶函数（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=x^3\)D.\(y=\sinx\)2.下列关于直线与平面的位置关系说法正确的是（）A.直线与平面平行，则直线与平面内的所有直线平行B.直线与平面垂直，则直线与平面内的无数条直线垂直C.直线在平面内，则直线与平面有无数个公共点D.直线与平面相交，则直线与平面只有一个公共点3.已知等差数列\(\{a_n\}\)，公差\(d\neq0\)，\(a_1=1\)，且\(a_1\)，\(a_3\)，\(a_9\)成等比数列，则（）A.\(a_n=n\)B.\(a_2=2\)C.\(a_5=5\)D.前\(n\)项和\(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\)4.对于函数\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)，以下说法正确的是（）A.最小正周期为\(\pi\)B.图象关于点\((\frac{\pi}{3},0)\)对称C.在\([-\frac{\pi}{12},\frac{5\pi}{12}]\)上单调递增D.图象可由\(y=\sin2x\)向左平移\(\frac{\pi}{6}\)个单位得到5.已知\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，且\(x+y=1\)，则（）A.\(xy\leqslant\frac{1}{4}\)B.\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geqslant4\)C.\(x^2+y^2\geqslant\frac{1}{2}\)D.\(\sqrt{x}+\sqrt{y}\leqslant\sqrt{2}\)6.椭圆\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)的性质正确的是（）A.长轴长为\(6\)B.短轴长为\(4\)C.焦距为\(2\sqrt{5}\)D.离心率为\(\frac{\sqrt{5}}{3}\)7.以下属于基本初等函数的有（）A.幂函数B.指数函数C.对数函数D.三角函数8.已知函数\(f(x)\)在\(x=x_0\)处可导，则（）A.\(\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}=f^\prime(x_0)\)B.\(\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0)-f(x_0-\Deltax)}{\Deltax}=f^\prime(x_0)\)C.\(f^\prime(x_0)\)是一个常数D.\(f(x)\)在\(x=x_0\)处的切线方程为\(y-f(x_0)=f^\prime(x_0)(x-x_0)\)9.空间直角坐标系中，点\(A(1,2,3)\)关于\(x\)轴对称的点\(A^\prime\)的坐标为（）A.\((1,-2,-3)\)B.\((-1,2,3)\)C.\((-1,-2,-3)\)D.\((1,-2,3)\)10.若\(a\)，\(b\)，\(c\)为实数，且\(a\gtb\)，则下列不等式一定成立的是（）A.\(ac^2\gtbc^2\)B.\(\frac{1}{a}\lt\frac{1}{b}\)C.\(a-c\gtb-c\)D.\(a^3\gtb^3\)三、判断题（每题2分，共10题）1.空集是任何集合的子集。（）2.函数\(y=2^x\)是奇函数。（）3.两条异面直线没有公共点。（）4.若\(a\gtb\)，\(c\gtd\)，则\(a-c\gtb-d\)。（）5.圆\(x^2+y^2=4\)的半径为\(2\)。（）6.数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和\(S_n=n^2+1\)，则\(a_n=2n-1\)。（）7.向量\(\vec{a}=(1,0)\)与向量\(\vec{b}=(0,1)\)垂直。（）8.函数\(y=\tanx\)的最小正周期是\(\pi\)。（）9.双曲线\(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1\)的渐近线方程是\(y=\pm\frac{3}{2}x\)。（）10.若函数\(f(x)\)在区间\((a,b)\)内有\(f^\prime(x)\gt0\)，则\(f(x)\)在\((a,b)\)上单调递增。（）四、简答题（每题5分，共4题）1.求函数\(y=3\sin(2x-\frac{\pi}{6})\)的最小正周期和单调递增区间。答案：最小正周期\(T=\frac{2\pi}{2}=\pi\)。令\(2k\pi-\frac{\pi}{2}\leqslant2x-\frac{\pi}{6}\leqslant2k\pi+\frac{\pi}{2}\)，\(k\inZ\)，解得\(k\pi-\frac{\pi}{6}\leqslantx\leqslantk\pi+\frac{\pi}{3}\)，\(k\inZ\)，所以单调递增区间是\([k\pi-\frac{\pi}{6},k\pi+\frac{\pi}{3}]\)，\(k\inZ\)。2.已知等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_3=5\)，\(a_7=13\)，求\(a_n\)的通项公式。答案：设公差为\(d\)，则\(a_7-a_3=4d=13-5=8\)，得\(d=2\)。又\(a_3=a_1+2d=5\)，即\(a_1+4=5\)，\(a_1=1\)，所以\(a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1\)。3.已知直线\(l\)过点\((1,2)\)且与直线\(2x-y+1=0\)平行，求直线\(l\)的方程。答案：直线\(2x-y+1=0\)斜率为\(2\)，两直线平行斜率相等。设直线\(l\)方程为\(y-2=2(x-1)\)，整理得\(2x-y=0\)。4.计算\(\int_{0}^{1}(x^2+1)dx\)的值。答案：\(\int_{0}^{1}(x^2+1)dx=(\frac{1}{3}x^3+x)\big|_{0}^{1}=(\frac{1}{3}\times1^3+1)-(\frac{1}{3}\times0^3+0)=\frac{4}{3}\)。五、讨论题（每题5分，共4题）1.讨论函数\(y=x^2-2x+3\)在不同区间的单调性。答案：函数\(y=x^2-2x+3=(x-1)^2+2\)，对称轴为\(x=1\)。在\((-\infty,1)\)上，\(x\)增大时\(y\)减小，函数单调递减；在\((1,+\infty)\)上，\(x\)增大时\(y\)增大，函数单调递增。2.探讨椭圆与双曲线在定义、性质上的异同点。答案：相同点：都是圆锥曲线。不同点：定义上，椭圆是到两定点距离之和为定值，双曲线是到两定点距离之差的绝对值为定值。性质方面，椭圆有长短轴，双曲线有实虚轴；椭圆离心率\(0\lte\lt1\)，双曲线\(e\gt1\)等。3.如何利用导数判断函数的极值点和最值点？答案：先求函