第5章三角函数（复习讲义）

第5章三角函数（复习讲义）1、理解掌握正角、负角、零角的概念，掌握象限角的范围，终边相同的角的表示方法与判定方法；2、了解弧度制，能进行弧度与角度的互化，掌握弧度制中的扇形的弧长公式和面积公式，并解决相关问题；3、理解任意角三角函数的定义（结合单位圆），掌握同角三角函数关系，并能进行相关运算（如：齐次式、化简、证明等）；‌4、灵活运用诱导公式（口诀“奇变偶不变，符号看象限”），并进行相关的化简、求值、证明等；‌5、掌握正弦、余弦、正切等基本函数及其性质，绘制正弦、余弦、正切函数图像，掌握周期性、对称性、单调性、值域等；6、理解函数的图象与性质，掌握图象的平移、伸缩变换规律，会用“五点法”作图，能根据图象求解析式；‌7、能将三角函数知识应用于实际问题（如简谐运动、圆周运动、气温变化等），提升数学建模与实际应用能力。1、条射线绕着端点以逆时针方向旋转所成的角称为正角；如图11。以顺时针方向旋转所成的角称为负角；如图12。不旋转所成的角称为零角，用0°表示。零角的始边与终边重合；如图13。图11图12图13当k=0时，角就是角本身.补充1:象限角和轴线角的集合表示3、把周角分成360等份，每一份叫作1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫作角度制。4、规定：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，弧度用符号rad表示，读作弧度。5、以“弧度”作为单位来度量角的单位制，叫作弧度制。注意：一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0。6、角度制与弧度制的换算角度化弧度弧度化角度1°=≈0.01745(rad)度数×＝弧度数其中，的正负由角的终边的旋转方向决定。8、用比值定义三角函数：2）三角函数定义域正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常记为：三角函数定义域9、用有向线段表示三角函数：在三角函数的定义式中，取r=1，即让点P（x，y）在单位圆上，正弦线：有向线段DP；余弦线：有向线段OD；正切线：有向线段AT。正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线。10、三角函数的符号【口诀记忆】“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．11、同角三角函数的基本关系补充2：三角函数求值问题处理方法1）同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途“知一求二”，即在sinα，cosα，tanα三个值之间，知道其中一个可以求其余两个。解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负。2）已知三角函数值之间的关系式求其它三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系求解，其关键在于运用方程的思想及(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα的等价转化，分析解决问题的突破口。补充3：三角函数式的化简技巧①化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．补充4：三角函数恒等式证明证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法：①证明一边等于另一边，一般是由繁到简；②证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)；③比较法：即证左边－右边＝0或eq\f(左边,右边)＝1(右边≠0)．④证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．12、诱导公式诱导公式六：当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变，然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号.13、利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤1）“负化正”：用公式一或二来转化；2）“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角；3）“角化锐”：用公式三或四将大于90°的角转化为锐角；4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值。补充5：特殊角的三角函数值0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°0010－110－1001－10补充6：三角函数的定义中常见的三种题型及解决方法1）已知角的终边上一点的坐标，求角的三角函数值方法：先求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解；2）已知角的一个三角函数值和终边上的点P的横坐标或纵坐标，求与角有关的三角函数值方法：先求出点到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题；图1图2图315、五点法：先描出正弦曲线和余弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。16、周期函数的定义3）对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期.17、正弦函数、余弦函数的性质图象定义域值域[1,1][1,1]最值周期性奇偶性奇偶单调性对称性18、正切函数的性质2）值域：R；3）周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是；19、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.x－eq\f(φ,ω)－eq\f(φ,ω)＋eq\f(π,2ω)eq\f(π－φ,ω)eq\f(3π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(2π－φ,ω)ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A020、函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，A，ω，φ的物理意义1）简谐运动的振幅就是A；2）简谐运动的周期T＝eq\f(2π,ω)；3）简谐运动的频率f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)；4）ωx＋φ称为相位；5）x＝0时的相位φ称为初相。21、三角函数图象变换：函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径22、三角函数模型的应用三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要使用信息技术．23、运用三角函数模型解决问题的几种类型1）由图象求解析式：首先由图象确定解析式的基本形式，例如：y＝Asin(ωx＋φ)，然后根据图象特征确定解析式中的字母参数，在求解过程中还要结合函数性质．2）由图象研究函数的性质：通过观察分析函数图象，能得出函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性．3）利用三角函数研究实际问题：首先分析、归纳实际问题，抽象概括出数学模型，再利用图象及性质解答数学问题，最后解决实际问题．24、建立三角函数拟合模型的注意事项1）在由图象确定函数的解析式时，注意运用方程思想和待定系数法来确定参数．2）在已知解析式作图时要用类比的方法将陌生的问题转化成熟悉的问题．3）在应用三角函数模型解答应用题时，要善于将符号、图形、文字等各种语言巧妙转化，并充分利用数形结合思想直观地理解问题．题型一任意角、角度制与弧度制的概念题型一任意角、角度制与弧度制的概念【例1】（2526高一上·湖南·专项训练）（多选）下列说法正确的是（

）A．所有的正角都比负角大 B．始边与终边重合的角一定是零角C．第三象限的角一定大于第二象限的角 D．锐角一定是第一象限角，钝角一定是第二象限角【答案】AD【详解】对于A，由正角和负角的定义得，所有的正角都比负角大，故A正确，对于B，只有始边与终边没有做任何旋转，始边与终边重合的角才是零角，故B错误，由第一象限角的定义得一定是第一象限角，由第二象限角的定义得一定是第二象限角，即锐角一定是第一象限角，钝角一定是第二象限角，故D正确.故选：AD【变式11】（2425高一下·湖南衡阳·期末）考生你好，语文考试需要150分钟，在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（

）【答案】D【变式12】（2526高三上·河北保定·期中）密位制是度量角度的一种方法，我国在航海和军事领域采用的是6000密位制，即把一个周角等分为6000份，每一等份是1密位，则120密位等于（

）【答案】C【变式13】（2425高一上·河南新乡·阶段练习）下列说法中正确的是（

）A．第一象限的角是锐角B．第二象限角必大于第一象限角C．圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等D．1弧度角的大小与圆的半径无关【答案】D【详解】A，第一象限角指终边落在第一象限的角的集合，有正有负，而锐角仅指大于小于的角，故A错误；半径不相等，则扇形的弧长不相等，故C错误；D，由弧度的定义得，弧度的大小与圆的半径无关，它由比值唯一确定，故D正确.故选：D【变式14】（2425高一上·河北·课后作业）关于弧度制，下列说法正确的是（

）A．正角或者负角的弧度数都是正数B．四分之一圆所对的圆心角是C．角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，角的终边旋转一周得到的角的大小等于D．用角度制和弧度制度量角，角的大小都与圆的半径有关【答案】B【详解】正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，A错误；整圆的圆心角是，故四分之一圆所对的圆心角是，B正确；角的终边顺时针旋转一周得到的角是，角的终边逆时针旋转一周得到的角是，C错误；无论是角度制还是弧度制，角的大小都与圆的半径无关，D错误．故选：B题型二求终边相同的角题型二求终边相同的角【答案】DA． B． C． D．【答案】C【变式13】（2425高一下·湖南长沙·期末）与405°角终边相同的角是（

）．（多选题）【答案】BC故选：BC（3）写出终边落在图中阴影部分（包括边界）的角的集合．【答案】（1）答案见解析；题型三确定题型三确定n分角与n倍角的象限【答案】答案见解析.∴是第一象限的角或第二象限的角或y轴正半轴上的角.∴是第一象限的角、第三象限的角或第四象限的角.A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C故角的终边所在的象限是第三象限．故选：C【变式12】（2425高一上·上海·课堂例题）若是第一象限的角，则是第几象限的角？是第几象限的角？【答案】是第一象限或第三象限的角，是第一象限或第二象限的角或在y轴的非负半轴上.所以是第一象限或第三象限的角．【变式13】（2425高一·山东·随堂练习）已知角α的终边在第四象限，确定下列各角终边所在的象限：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)的终边在第二或第四象限；(2)的终边在第三或第四象限，也可在轴的负半轴上(3)的终边在第二､第三或第四象限；(4)的终边在第二或三或第四象限，也可在轴的负半轴上所以的终边在第三或第四象限，也可在轴的负半轴上.所以的终边在第二､第三或第四象限；所以的终边在第二或三或第四象限，也可在轴的负半轴上.题型四扇形的弧长、面积计算题型四扇形的弧长、面积计算【例1】（2425高一下·广西钦州·阶段练习）已知一个扇形的中心角是，所在圆的半径是R．(3)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角．【变式11】．（2425高一下·江西上饶·期末）已知扇形的弧长为6，半径为4，则扇形的面积为.【答案】12【答案】BA． B． C． D．【答案】C【详解】由题意，圆心角为弧度，半径为r的扇形，此扇形的周长为，剩余部分扇形的周长为，【变式14】（2425高一下·江西上饶·阶段练习）已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l．题型五题型五sina、cosa、tana知一求二A． B． C． D．【答案】CA． B． C． D．【答案】D【答案】故答案为：.题型六正、余弦齐次式的应用题型六正、余弦齐次式的应用【答案】故答案为：A． B． C． D．【答案】D【答案】A． B． C． D．【答案】C故选：C【答案】题型七题型七sinacosa、sina±cosa知一求二【答案】CA． B． C． D．【答案】C题型八题型八同角三角函数的化简与证明【例1】（2526高一上·湖北·课后作业）求证：【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析所以原等式成立.【答案】C【变式12】（2425高一·上海·课堂例题）证明下列恒等式：【答案】(1)证明见详解(2)证明见详解则恒等式成立.则恒等式成立.【变式13】（2425高一下·山东潍坊·阶段练习）化简下列各式：【变式14】（2425高一上·湖南·课后作业）求证：【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析题型题型九利用诱导公式求值化简【答案】A【答案】【答案】AC【答案】故答案为：.题型题型十三角函数的性质1（周期性、奇偶性）A．2π B．π C． D．【答案】CA． B． C． D．【答案】CA． B． C． D．1【答案】C【答案】B【答案】B【答案】C【答案】BD【答案】ABC题型题型十一三角函数的性质2（单调性、最值）【答案】A【答案】AC．最大值是，最小值是 D．没有最大值，最小值是【答案】B【答案】B题型题型十二三角函数的性质3（零点、方程的根）【答案】3A． B． C． D．【答案】AA． B． C． D．【答案】CA． B． C． D．【答案】A【答案】AC题型题型十三三角函数图象变换及应用【答案】扩大2倍左A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移是个单位长度 D．向左平移个单位长度【答案】A【答案】AA．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变B．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变C．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变D．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变【答案】Ax0y

0

2

0【详解】（1）列表得0y0200再描点，得图象如下，题型题型十四五点作图法与已知图象求函数解析式x0y

0

2

0【详解】（1）列表得0y0200再描点，得图象如下，0【详解】（1）列表如下：02002再描点连线，得图象如下：【答案】D

【答案】AC题型十题型十五三角函数实际应用(2)若游客甲在点进入座舱时，游客乙此时恰好在处（轴与圆的交点），【答案】BC【变式12】（2425高一下·湖北武汉·期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．若一半径为2米的筒车水轮圆心距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动5圈，当水轮上点从水中浮现时（图3中点）开始计时，经过分钟后点距离水面的高度为米，下列结论正确的有（

）（多选题）C．点再次接触水面需用时8秒D．当点运动2秒时，距水面的高度为2米【答案】CD所以点第一次到达最高点需用时秒，故B错误；【变式14】（2425高一下·辽宁沈阳·阶段练习）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头：卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节某天时间与水深（单位：米）的关系表：时刻0:003:006:009:0012:0015:0018:0021:0024:00水深10.013.09.97.010.013.010.17.010.0(1)请用一个函数近似地描述这个港口的水深y与时间t的函数关系：(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上认为是安全的（船舶停靠时，船底只要不碰海底即可），某船吃水深度（船底离地面的距离）为6.5米.①如果该船是旅游船，1:00进港，希望在同一天内安全出港，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？②如果该船是货船，在17:00开始入港卸货，吃水深度以每小时0.5米的速度减少，由于天气等原因该船必须在休整四个小时后尽快离开该港口，那么该船在什么整点时刻可以停止卸货并且能安全驶离该港口，（忽略出港所需时间）？【详解】（1）以时间为横坐标，水深为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图,如图：又在1:00到17:00这段时间内，水深最浅时为9:00，且该时刻水深为7米，大于6.5米，所以在同一天安全出港，在港内停留的最长时间是16个小时．题型十题型十六三角函数综合运用

基础巩固通关测基础巩固通关测1．（2425高一下·河南驻马店·阶段练习）下列选项中，与角的终边相同的角是（

）【答案】D2．（2425高一下·辽宁·期中）为钝角是为第二象限角的（

）