湖北省襄阳市第四中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试卷

PAGEPAGE1页/5襄阳四中20248540分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合z满足12iz34i

D. 过直线l1:3x3y 60与l2:y 26x的交点，且与直线x2y30垂直的直线的方程为 2xy

2xy

2xy

2xyxy23456x的平均数为31

的最小值为 A. B. C. 4 4xyx2

，则2xy的最小值为 A.4

B. C.4

D.大值为 2 B. C.

我们知道，空间中，过点Px0y0z0且一个法向量为abc的平面，其方程可以写成 A.

D.5ABCDABCD中，BE1BB2(EBB上)4AB3AA111 被过点A1CE的

C.

D. → 若ab1,ab，向量c满足cbc2a0，则c的最大值为 3

3

5

6 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求下列命题为真命题的是 数据34567,89,10的第75百分位数为

设椭圆C

1的左，右焦点分别为 2，点P是椭圆C上的动点，则下列结论正确的 离心率e PF1的最小值为4FPF 满足VPF1F2P有6中点，点P在侧面A1ADD1内，且BPxBEyBFx,yR，则（ APA1HPABF三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 A、BP，若|PB|λ（λ0|PA1，”．在平面直角坐标系中，已知O(00)N(01，直线l1kxyk20，直线l2xky2k10M为l,l的交点，则2|MO|1|MN|的最小值 1 E

CDy轴.若PA:PB:PC:PD1:3:1:5，则椭圆E的离心率 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤已知VABCA02ACBDx3y20AB上的高所在直线xy20．ABB和点C某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(球、杀球以及半场计时往返跑)100分.40人，考核得分的频率分布直方图如由频率分布直方图，求出图中t60百分位数为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法(0.5，求得分在7090内的平均数和方差.ABCDABADADBCAD6BC2AB4EFBCADEF//ABABCDEFBEECBE1ADP，使得CPABEFPD值；若不存在，说明理由ACDFFACD的距离

2

.求椭圆的切线方程有以下结论：已知椭圆C k1k11

1ab0FFMx，y为C上一点，则CM点的切线lx0xy0y1.

F2M处，被切线lF1F1的直线交椭圆CAB两点非左右顶点求△ABF2dABmaxx1x2y1y2Ax1y1，Bx2y2的“切比雪夫距离”P及直线lQdPQP到l的“切比雪夫距离”dPl.（2）Cx2y22x30Ex

ya

3

25dCE1CEa0ExM，NMCdMN3M任作一条斜0CA，BAN为l1BN为l2dMl1dMl2.PAGE1PAGE1页/24襄阳四中20248540分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合z满足12iz34i

D. 【答案】zz，再计算其模3 34i1 11 【详解】因为12iz34i，所以z i

1

12i1

z

i，所

51111 255 过直线l1:3x3y 60与l2:y 26x的交点，且与直线x2y30垂直的直线的方程为 2xy

2xy

2xy

2xy【答案】【分析】先求直线l1与l2【详解】联立l1:3x3y 60与l2:y 26x将l2的y代入l1得3x 26x 60整理得3x 636x 60 36x 30化简得 36x10，所以x1.再将x1代入l2得y2，即交点为1,2x2y30的k1，由垂直关系得直线lk2 PAGEPAGE10页/24所以过点12且斜率为2y22x1，即2xy0xy23456x的平均数为31

的最小值为 A. B. C. 【答案】【分析】先通过平均数列式求得2xy4，然后利用基本不等式常数代换技巧求解最值即可xy23456x的平均数为3xy23456x2xy203824，所以2xy4(x0y0)1

1

12x

112x1y

12x

1y51yx 2

2y 4 2 2 4 y yx5 9yxxy4yx 4xyx4

，则2xy的最小值为 A.4

B. C.4

D.【答案】4x4

x2y2将方程平方整理得(x2)2y24x2，即圆心为20、半径为2的右半圆，z2xyy2xz，所以zy2xzy轴上的截距，当直线过右半圆上顶点22y2xzyz最小，所以2xy的最小值为2．大值为 2 B. C.

【答案】PF1

2a所以焦距2c2，即c1，离心率ec1，因此求ea PPF1

2a因此2aPF1

2a的最小值Pxy30上FQ的中点m1nm1n30mn50 FQ与直线垂直斜率乘积为1n01nm1，m3n2，即Q32

PF1、QPF1PF2F1Q(31)2(31)2(2

因此2a的最小值为25，即amin 代入离心率公式得：emax 5我们知道，空间中，过点Px0y0z0且一个法向量为abc的平面，其方程可以写成 A.

D.5【答案】【分析】由题意可知平面法向量，然后利用点面距离的向量公式求解即可xyz0上任取一点，不妨取原点O000，设点122P，所以OP102020122，点O为坐标原点，则点122xyz0d

12121212112125 ABCDABCD中，BE1BB2(EBB上)4AB3AA111 被过点A1CEA.

B. C.

D.【答案】DD1FD1F2A1FCFA1ECF是平行四边形，利用A1ECE,A1C，结合余弦定理和面积公式，即可求解.ABCDABCDBE1BB24AB3AA111 AA1BB1CC18BE2DD1FD1F26222A1FCFA1FCEA1FCEA1ECF是平行四边形，6222

，CE

6266262

AE2CE2AC 72402622所以cosA1EC2622 所以sinA1EC

95A1ECFA1ECEsinA1EC62210

95 故选: → 若ab1,ab，向量c满足cbc2a0，则

的最大值为 3

3

5

6 【答案】

→ 【分析】由已知根据数量积的运算律得|c

b2ac10db2ad

3

3 3

→

→【详解】因为cbc2a0，即|c|b2ac2ab0→

→ ab

，则|c|

b2ac10db2a→ → → → d|b|4|a

4ab1443，故

→ →dcdccosθ(θ为d与c的夹角 1→ 3则|c 3

ccosθ10，解得

|c

3 3

3 3

3 3 3 3 故c的最大值 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求下列命题为真命题的是 数据34567,89,10的第75百分位数为【答案】CD.ABABABABPABP0B为真命题；C：方差、标准差反映数据与均值的偏离程度，极差(最大值减最小值)反映数据的波动范围，三者均C为真命题；D：数据34567,89,10共8个，计算第75百分位数i875%6(i为整数因此第75百分位数为第6个数8与第7个数9898.58D为假命题

设椭圆C

1的左，右焦点分别为 2，点P是椭圆C上的动点，则下列结论正确的 离心率e PF1的最小值为4FPF 满足VPF1F2P有6【答案】【分析】由椭圆的几何性质分别判断即可a2【详解】由椭圆方程知：a2，b ，ca2A，离心率ec

2，A ac2 ，B错误CP

2，

22PF2PF2F

2，FPFπ 1

PFPF0π，则FPFπ，C 2 2,2 2 PF1F1F22c 能成立，根据椭圆对称性知：此时有2PF2F1F2时，有2满足VPF1F2P有6个，D正确.中点，点P在侧面A1ADD1内，且BPxBEyBFx,yR，则（ APA1HPABF【答案】DPa0b0a40b2BPxBEyBFxyRPABED1∥ABFCPBB1FMBB1F的直线上，设球心为OO3m,1，根据OPOB，将m用bDA400B420E200F222H220A1402D1002Pa0b0a40b2BPa42bBE220BF202，BPxBEyBFx,yR，a42x2所以2b202b

x，得a22ya2bb2则0b

，得0b2D1Pa0b2a0aPE2a0b2a0a2，a2PE0D1P∥PE， a2D1P2aPED1P∥PE，D1P∥PE，a4a42

22b2b22b2b2A1HBP2a842b22a42b0，A1HBPB正确；CBF

，则 12

V BF∥ED1，BFABFED1ABFED1∥ABFPABFPABF的高为定值，PABFC正确；DBFM则在RtVBB1FRtVBB1FMPBB1FMBB1F的直线上，设球心为OO3m,1，则OPOB

1m

21，所以m 1b2m21则OB21m221b2m21因0b2，所以OB2

3,11 PBB1F的外接球表面积的取值范围是12π44πD正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 【答案】的有序对ab共有5个，根据古典概型概率公式即得.总情况有2324262,8293,2，3,4，3,6，3,8，3,94,2，4,3，4,6，4,8，4,96,2，6,3，6,4，6,8，6,98,2，8,3，8,4，8,6，8,9929394969,8，共30a2时，由logab2，得b4，有24262,829，共4个；a3时，由logab2，得b9，有39，共1个；a4时，由logab2，得b16，无满足条件的b综上，符合条件的有序对共415logb2P51故答案为：

A、BP，若|PB|λ（λ0|PA1，”．在平面直角坐标系中，已知O(00)N(01，直线l1kxyk20，直线l2xky2k10M为l,l的交点，则2|MO|1|MN|的最小值 1 【答案】【分析】由已知可得l1l2M的轨迹是以EF为直径的圆，除去F点，得到的轨迹方程为x12y24y2D3,0，将2MOMD，问题转化为求解到两k0l1y2,l2:x1M(1,2)，k0时，由直线l1:kxyk20，斜率为k；由直线l:xky2k10，斜率为1，ll 又l1:kx1y20，所以直线l1E1,2，l2:x1ky20，所以直线l2F12，M为l1l2MEMF，MEFF点，E点MEFF点，EF的中点C1,0r2，M的轨迹方程为x12y24y2y232xx2y2，又O0,0N01,易知ONCMO1D3,0，则|MD|2

2.Mx,y

2 4x2y2MD2MO，4x2y2

4x24x232xx2432xx3x32所以2MO

x32x3232x

432x432x

,MD2MODN

，2|MO|1|MN

103023020如图,N,M,D三点共线,MN,D之间时,等号成立,即的最小值为10故答案为：DMD2MO，转化线段和结合三角形三边关系计算

y1ab0AB，CDP（P在第一象限AB⊥x CDy轴.若PA:PB:PC:PD1:3:1:5，则椭圆E的离心率 【答案】xCDymn，再由CDabABxCDy轴对称，ntn3t0mtm5t0ntm2t，所以C3tt,A2t2t，9t2t2所以4t

9144 5 b2所以 b2，即 5E的离心率为e故答案为：10

四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤已知VABCA02ACBDx3y20AB上的高所在直线xy20．ABB和点C（1）xy2（2）B2,0，C2,（1）AB（2）BABBDABBDBDAC中点，结合AB上的高所在直线方程上，求出点C1QABxy20，斜率为AB与其高所在直线垂直，kAB11kAB1QA02y2xxy202

xy2

xQBABBDABBD方程x3y20y0 PAGE15PAGE15页/24B2,0设点CxyQBDAC的中线，∴DAC中点，QA02，Dx2y 又QDBD上，x32y20x3y20 又QCABxy20上，联立x3y20，解得x2C2,0

xy2

y某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(球、杀球以及半场计时往返跑)100分.40人，考核得分的频率分布直方图如由频率分布直方图，求出图中t60百分位数0.5，求得分在7090内的平均数和方差.（1）t0.030（3）得分在[7090)81（1）1求出t0.03PAGEPAGE16页/24根据方差定义，证明出分层抽样的方差公式，代入计算即可1由题意得:10(0.010.0150.020t0.025)1，解得t0.0360x，则0.01100.015100.02100.03x80)0.6，x856085.25位同学中，得分在[70,80)的有55123a、b、c

2AB，在[80,90)则样本空间为ABAaAbAcBa),(Bb),(Bcab),(acbcn()10M“两人分别来自[70,80)和[80,90)M{(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c)},n(M)6P(Mn(M)63 所以两人得分分别来自[70,80)和[80,90)33由题意知，落在区间[70,80)内的数据有40100.028个，落在区间[80,90)内的数据有40100.0312个.记在区间[70,80)x,x,L,xxs2 在区间[80,90)y1,y2L,y12ys20zs2 1

1x75y85sx6.25sy0.5x8xiy12yjz8x12y8751285

j 1

2 1

2s xiz

yjz

xixxz

yjyyz 1 2 8 2

12 2

20xix(xz)2(xz)xixyjy(yz)2(xz)yjx

j

j

j 由xixxi8x0yjyyj12y0

1

12 2

xix

(xz

yjyj

(yz)j 18s2(xz)212s212(yz)2 故得分在[7090)81【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是充分利用方差定义，推导出分层抽样的方差计算公式即可ABCDABADADBCAD6BC2AB4EFBCADEF//ABABCDEFBEECBE1ADP，使得CPABEFPD值；若不存在，说明理由ACDFFACD的距离（1）AP= （2）A­CDF3FACD【分析】(1)ADPAP

P点就是所求的点；(2)BE

A

FACD的距离1ADPCP//ABEFAP=3 AP

3AP=3 PM//FDAFMMEMP

AP3 ∵BE＝1，∴FD＝5，∴MP＝3EC＝3，MP//FD//EC，∴MP//EC，MPCE为平行四边形，∴CP//ME，∴CP//2故

1126xx1x323 此时EC＝1，AF＝3，FD＝3，DC AF2AF2

，AC EF2EC2AF在△ACD中，由余弦定理得cosADC188141EF2EC2AF

1DCADsinADC3

232 FACD的距离为hVACDFVF

V

h

，h PCP//ABEFAP

ACDF

3FACDl1，l2的夹角为θk1

2

.求椭圆的切线方程有以下结论：已知椭圆C k1k11

1ab0FFMx，y为C上一点，则CM点的切线lx0xy0y1.

F2M处，被切线lF1F1的直线交椭圆CAB两点非左右顶点求△ABF2（1）（2）（1）My00，分别写出klkMFkMF M出切线方程，由题中公式求出lMF2MF1的（2）设直线方程代入曲线方程，消元后整理为一元二次方程，由韦达定理表示出|yy|2 tb2m21，当cb时，利用基本不等式求出|yy|2的最大值，从而求得△ABF 当cb时，由双勾函数的性质得到|yy|2的最大值，从而求得△ABF的面积的最大值 1y00x0alxa，由椭圆的对称性可知性质成立bb当y00时，kl 0，kMF

，kMF a2

Mx0，y0在椭圆C

2 2 2001bx0ay0ab b b a a cycxx a2

a2y2b2x2

a2b2 则tanα 0 0 b2 a2xya2cyb2x c2xy1

0 0

0 xca2 πc同理， c 该性质成立2将l代入C得a2b2m2y22b2cmyb40 y1y2a2b2m2y1y2a2b2m2

yy2yy24y

1

a2b2m2

a2b24b4c2m2a2b2m2 (a2b2m2

4a2b2b2m2[c2b2m21]2 令tb2m21，则tb2|y1y2|(c2t)2

t |yy|2

当cb

t

，当且仅当t ，即tc2时取等号2 得|y2

F y

的最大值为ab 2

1 tb2y1

4a24a2b2(c2b2

S△ABF

当cb△ABF2面积的最大值为ab当c 时，△ABF面积的最大值为2b2c dABmaxx1x2y1y2Ax1y1，Bx2y2的“切比雪夫距离”P及直线lQdPQP到l的“切比雪夫距离”dPl.（2）Cx2y22x30Ex

ya

25dCE1CEa0ExM，NMCdMN3M任作一条斜0CA，BAN为l1BN为l2dMl1dMl2.（1）d(PR)4d(Pl)2（2（i）（ii）（1）d(PR，设Q(1t是ld(PQd(P,l)（2（i）xx1yy1a

（ii）aMNAByk(x5Ax1y1)Bx2y2)，直线方程代入圆Cx1x2x1x2k1k20，得直线l1与l2x轴对称，然后由直线l1上任意一点Q(x0y0与直线l2上点Q(x0y0x轴对称，它们是一一对应的关系，且d(MQ)d(MQ)，则其最小值也相等，从而证得结论成立，1P(3,1R(14)31)4143d(PR4，直线lx1Q(1t)是l312，P