如东高级中学高三月摸底考试数学试题

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2017届高三阶段摸底考试第Ⅰ卷（共70分）一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1.已知集合,则集合．2。复数,其中是虚数单位，则复数的虚部是．3.在平面直角坐标系中,双曲线的离心率为．4。用分层抽样的方法从某高中校学生中抽取一个容量为的样本，其中高一年级抽人,高三年级抽人,已知该校高二年级共有学生人，则该校学生总数为．5。一架飞机向目标投弹,击毁目标的概率为,目标未受损的概率为，则目标受损但未完全击毁的概率为．6。阅读下面的流程图，如果输出的函数的值在区间内，那么输入的实数的取值范围是．7.已知实数满足则的最大值是．8.设是等差数列的前项的和,若则的值为．9。在平面直角坐标系中,已知过点的直线与圆相切,且与直线垂直,则实数．10。一个长方体的三条棱长分别为若在该长方体上面钻一个圆柱形的孔后其表面积没有变化,则圆孔的半径为．11.已知正数满足则的最小值为．12。若,则．13.已知函数若关于的方程恰有三个不同的实数解，则满足条件的所有实数的取值集合为．14。已知是半径为的圆上的三点，为圆的直径,为圆内一点(含圆周),则的取值范围为．二、解答题（本大题共6小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知函数（）求的最小值，并写出取得最小值时的自变量的集合；（)设的内角所对的边分别为且若求的值。16.如图，在四棱锥中，平面分别是棱的中点。()求证:平面；（)求证:平面平面。17.已知椭圆的离心率为，且过点.(）求椭圆的方程；（) 设点在椭圆上,且与轴平行,过点作两条直线分别交于椭圆于两点，若直线平分，求证:直线的斜率是定值,并求出这个定值。18。某湿地公园内有一条河，现打算建一座桥将河两岸的路连接起来，剖面设计图纸如下：其中，点为轴上关于原点对称的两点,曲线段是桥的主体,为桥顶，且曲线段在图纸上的图形对应函数的解析式为，曲线段均为开口向上的抛物线段，且分别为两抛物线的顶点,设计时要求：保持两曲线在各衔接处（）的切线的斜率相等。(1）求曲线段在图纸上对应函数的解析式,并写出定义域；(2）车辆从经倒爬坡,定义车辆上桥过程中某点所需要的爬坡能力为：（该点与桥顶间的水平距离）（设计图纸上该点处的切线的斜率)，其中的单位:米.若该景区可提供三种类型的观光车:=1\*GB3①游客踏乘;=2\＊GB3\＊MERGEFORMAT②蓄电池动力；=3\＊GB3③内燃机动力。它们的爬坡能力分别为米，米，米，又已知图纸上一个单位长度表示实际长度米，试问三种类型的观光车是否都可以顺利过桥?19。已知数列的前项和为，且(）求数列的通项公式；（）若数列满足，求数列的通项公式；(）在（)的条件下,设，问是否存在实数使得数列是单调递增数列?若存在,求出的取值范围；若不存在，请说明理由。已知函数（）当时，求的单调区间和极值.（)若对于任意，都有成立，求的取值范围；(）若且证明:附加题：每小题10分，共40分21A.如图所示，是园内两条弦和的交点，过延长线上一点作圆的切线，为切点,已知求证:21B.已知矩阵,。求矩阵，使得21C。在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为,已知直线与曲线相交于两点,求线段的长.21D。已知都是正数,且，求证：必做题：每题10分,共20分22.口袋里装有大小相同的卡片八张，其中三张标有数字,三张标有数字，两张标有数字。第一次从口袋里任意抽取一张,放回口袋后第二次在任意抽取一张,记第一次与第二次取到卡片上数字之和为。（）为何值时,其发生的概率最大？说明理由；(）求随机变量的期望.23.在平面直角坐标系中,已知两点，若点的坐标满足，且点的轨迹与抛物线交于两点。()求证：(）在轴上是否存在一点,使得过点任作一条抛物线的弦,并以该弦为直径的圆过原点。若存在,求出的值及圆心的轨迹方程;若不存在，请说明理由。试卷答案一、填空题1.2.3。4。5。6.7。8.9。10。11。12。13.14.二、解答题15。解：=1\*GB2⑴当即时,的最小值为此时自变量的取值集合为（或写成）=2\＊GB2⑵因为所以又所以即在中,由正弦定理知又由余弦定理知即联立解得16。证明：=1\＊GB2⑴设连接因为为的中点，所以，所以四边形为平行四边形，所以为的中点,又为的中点，所以又因为平面平面所以平面=2\*GB2⑵(方法一）因为平面平面所以由=1\＊GB2\＊MERGEFORMAT⑴同理可得，四边形为平行四边形，所以所以因为所以平行四边形为菱形，所以因为平面平面所以平面因为平面，所以平面平面（方法二）连接因为平面平面所以因为所以因为平面平面所以因为为的中点，所以由=1\＊GB2⑴ 所以又因为为的中点,所以因为平面平面所以平面因为平面，所以平面平面17。解：=1\＊GB2\＊MERGEFORMAT⑴因为椭圆的离心率为所以即所以椭圆的方程可化为又椭圆过点所以解得所以所求椭圆的标准方程为=2\*GB2⑵由题意,设直线的方程为，联立方程组消去得:所以,即因为直线平分，即直线与直线的斜率为互为相反数,设直线的方程为，同理求得又所以即所以直线的斜率为解：=1\＊GB2⑴据题意，抛物线段与轴相切，且为抛物线的顶点,设，则抛物线段在图纸上对应函数的解析式可设为，其导函数为由曲线段在图纸上的图像对应函数的解析式为,又,且,所以曲线在点处的切线斜率为，因为点为衔接点,则解得所以曲线段在图纸上对应函数的解析式为=2\＊GB2⑵设是曲线段上任意一点，=1\＊GB3①若在曲线段上，则通过该点所需要的爬坡能力令,所以函数在区间上为增函数,在区间上是减函数,所以（米)=2\＊GB3\＊MERGEFORMAT②若在曲线段上，则通过该点所需要的爬坡能力令则记当时,而当时，所以当时，有最小值从而取最大值此时（米）所以由=1\＊GB3①，=2\*GB3②可知：车辆过桥所需要的最大爬坡能力为米，又因为，所以“游客踏乘”的车辆不能顺利通过该桥，而“蓄电池动力”和“内燃机动力”的车辆可以顺利通过该桥。19.解:=1\*GB2⑴由得两式相减,得所以由又得所以数列为等比数列，且首项为，公比，所以。=2\*GB2⑵由=1\*GB2⑴知？由？得故即当时，所以=3\*GB2⑶因为所以当时,依据题意,有即=1\＊GB3①当为大于或等于的偶数时，有恒成立.又随增大而增大，则当且仅当时,故的取值范围为=2\*GB3②当为大于或等于的奇数时，有恒成立，且仅当时,故的取值范围为又当时,由得综上可得,所求的取值范围是20.解:=1\*GB2⑴=1\*GB3①时,因为所以函数的单调递增区间是，无单调递减区间，无极值；=2\＊GB3②当时，令解得，当时，当所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是，在区间上的极小值为无极大值.=2\*GB2⑵由题意,即问题转化为对于恒成立.即对于恒成立，令，则令,则所以在区间上单调递增,故故所以在区间上单调递增，函数要使对于恒成立，只要,所以即实数的取值范围为。=3\*GB2\＊MERGEFORMAT⑶因为由=1\＊GB2\＊MERGEFORMAT⑴知，函数在区间上单调递减,在区间上单调递增，且不妨设则,要证只要证即证因为在区间上单调递增,所以又即证构造函数即因为，所以即所以函数在区间上单调递增，故而故所以即所以成立.21A。由切割线定理得，又，，即，因为，所以，故，因为,所以，所以。21B.因为，所以,由,得，所以。21C.因为曲线的极坐标方程,所以，即曲线的直角坐标方程为，将直线的参数方程为，代入抛物线方程,得，即，解得,，所以。21D.证明：因为都是正数,所以,，又，所以，当且仅当时等号成立。22。(1）依题意，随机变量的取值是2，3，4,5,