专题03函数概念与性质（讲义）数学学业水平考试合格考总复习（原卷版）

专题03函数概念与性质目录目录学考要求速览必备知识梳理高频考点精讲考点一：函数的定义域与值域考点二：分段函数考点三：函数的奇偶性考点四：函数的单调性考点五：比较大小问题考点六：函数零点存在定理考点七：函数模型及其应用考点八：函数性质综合实战能力训练1、在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上,用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用,了解构成函数的三要素,能求简单函数的定义域.2、实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数,理解函数图象的作用.通过具体的实例,理解分段函数的概念,会描绘出分段函数的大致图象,能正确地求出分段函数在某点的函数值.3、理解函数最大(小)值的概念,会利用函数单调性求某些简单函数的最大(小)值.4、先由具体函数形成对奇偶函数的感性认识,然后抽象归纳出奇偶函数的定义,了解函数的奇偶性的概念,会用定义判断函数的奇偶性.5、通过具体实例,结合y=x,y=x6、理解n次方根和根式的概念,掌握根式的性质、根式与分数指数幂之间的相互转化.7、通过具体实例,了解指数函数的实际意义.理解指数函数的概念和意义.8、掌握指数函数的定义域、值域的求法.能画出具体的指数函数图象,并根据指数函数的图象说出指数函数的性质.9、理解对数的概念,掌握对数的性质,能进行简单的对数计算.理解指数式与对数式的等价关系,能够熟练地进行对数式与指数式的互化.理解对数的运算性质.10、通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,体会对数函数是一类重要的函数模型.11、会求对数函数的定义域、值域,会应用对数函数解决一些相关的实际问题.12、知道对数函数y=logax与指数函数y=13、结合现实情境中的具体问题,利用计算工具,比较一次函数、指数函数、对数函数的增长速度的差异.14、探索用二分法求方程近似解的思路并会画流程图,明确二分法的使用条件.通过二分法体会“逐步逼近”的思想,提升学生数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养.1、函数的定义(1)x→y:①一个x对应一个y;②多个（2）函数fx的图象与动直线x=m至多只有一个公共点(3)点a,b在函数y=2．函数的三要素:定义域、对应关系、值域.两个函数为同一函数的充要条件是定义域与对应关系相同【定义域相同的条件下解析式可化为相同】2、函数的解析式的求法（1）代入法①由fx求复合函数②由fx+(2)凑配法【整体替换法,适用于fx+1（3）换元法【如f3x+1=2x2-(4)待定系数法告知函数类型或给出函数图象,就要设出该函数表达式,如fx是一次函数,则可设f①利用条件得恒等式,由对应项的系数相等完成;②或利用条件得方程组,然后解方程组即可.3、求值域、最值的方法1．观察法:主要针对一些简单函数,或作简单变形后观察,即可求出值域或最值.2．配方法(对称轴法):对于形如fx=ax2+bx+3．换元法:代数换元法,三角换元法.运用换元法解题时要注意确定新元的取值范围和整体置换的策略.4、函数的单调性1．定义:对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1①当x1<x2时,都有fx1<②当x1<x2时,都有fx1>5、函数的奇偶性1．奇偶性定义:先看定义域是否关于原点对称,再比较f-x与f①偶函数:对于函数fx的定义域内任意一个x,都有f-x=f即f-x=fx⇔fx为偶函数⇔②奇函数:对于函数fx的定义域内任意一个x,都有f-x=-f即f-x=-fx⇔fx6、指数运算1．若xn=a,则x叫做a的n（1）当n为奇数时,x=na;（2）当n为偶数时2．根式的性质:①②n3．正数的正分数与负分数指数幂的意义:a①amn4．正数的指数幂的运算性质:a①am⋅an=④aman=a7、对数运算1．如果ax=Na>0,且a≠1,2．ax=N⇔x=log①loga1=0;②logaa3．对数的运算性质a>0,且a≠1,M>(1)loga(2)logaMN=(3)logaM8、指数函数图像1．指数函数概念:一般地,函数y=axa>0且a≠2．图像与性质函数名称指数函数定义函数y=图象a0定义域R值域0过定点图象过定点0,1,即当x=0奇偶性非奇非偶单调性在R上是增函数在R上是减函数a变化对图象的影响在第一象限内,a越大图象越高;在第二象限内,a越大图象越低.9、对数函数图像1．对数函数的概念:函数y=logaxa>2．图像与性质图像a0定义域0值域R过定点1奇偶性非奇非偶单调性在0,+∞在0,+∞变化对图像的影响在第一象限内，α越大图象越靠低；在第四象限内，α越大图象越靠高.10、幂函数图像性质定义:函数y=xα做幂函数,其中x是自变量,α是常数.(重点:2．图象与性质:①所有的幂函数在0,+∞都有定义,并且图象都过点②α>0时,幂函数的图象通过原点,并且在特别地,当α>1时,幂函数变化快,图象下凹;当0<α<③α<0时,幂函数的图象在0,+∞上是减函数.在第一象限内,当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴,当x趋于+∞时,图象在x轴上方无限地逼近④在经过点1,1平行于y轴的直线的右侧11、函数的零点(1)函数零点的概念对于函数y=fx,使fx(2)方程根与函数零点的关系方程fx=0有实数根x0⇔函数y=fx有零点x012、二分法的概念对于在区间a,b上连续不断且fafb使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.②用二分法求方程近似解的步骤(1)确定区间a,b,验证faf(2)求区间a,b的中点(3)计算fc(i)若fc=0,则(ii)若fafc<0,则令(iii)若fcfb<0,则令(4)判断是否达到精确度ε:即若a-b<ε,则得到零点近似值为a或考点精讲讲练考点一：函数的定义域与值域例题1（2024高二上·江苏·学业考试）函数fx=(x+1)A．R B．3,+∞ C．3,15 D．例题2．（2023高三·江苏·学业考试）函数fx=1A．-∞,1 B．-∞,1 C．例题3．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）函数fx=lgA．-1,+∞ B．C．-1,2∪2,+∞1．设函数f(x)=x-1+1A．1,+∞ B．C．1,3∪3,+∞2．函数f(x)=x+12x的定义域是（A．(-∞,-1)∪(-1,0) BC．[-1,0) D．[-1,0)∪(0,+3．函数fx=4-xA．-∞,4 B．-∞,1∪1,4 C．-∞,1∪考点二：分段函数例题1（2023高三上·江苏徐州·学业考试）已知函数fx=2x-1-2,x≤1-logA．-74 B．-158 C．例题2．（2024高二上·江苏·学业考试）已知函数fx=-x2-2x,x≤0log2x-1A．2 B．22 C．4 D．例题3．（2023高三·江苏·学业考试）若函数fx=x2-2x-m+1,x<3msinA．1个 B．2个 C．3个 D．4个1．已知函数f(x)=2x+1,x<2-x2+ax,x≥2A．-3 B．3 C．-1 D．12．已知函数fx=x+1,x≥0x2A．2 B．1 C．0 D．-13．已知函数f(x)=x12,x≥0f(x+2),x<0A．-12 B．12 C．2考点三：函数的奇偶性例题1（2024高二上·江苏·学业考试）函数fx=2x+1A．是奇函数但不是偶函数B．是偶函数但不是奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数例题2．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）下列函数中，定义域为R且为奇函数的是（

）A．y=x B．y=log2x C．例题3．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）已知函数fx为偶函数，且在-∞,0上单调递增，f-1=0A．-∞,-1 BC．-1,0 D．-1．已知函数fx为奇函数，且当x>0时，fx=log3A．1 B．0 C．1 D．22．下列函数中是偶函数的是（）A．y=2x BC．y=lnx D3．幂函数y=fx为偶函数，且在0,+∞上为减函数的是（A．fx=xC．fx=x考点四：函数的单调性例题1（2024高二上·江苏扬州·学业考试）若函数f(x)=-x2-2bx+3在1,+∞上单调递减，则实数A．1,+∞ B．-1,+∞ C．(-∞例题2．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）已知幂函数fx=m2+2m-2xmA．-3 B．-1 C．3 D．1例题3．（2023高三·江苏·学业考试）已知函数fx=xα是偶函数，且在区间0,+∞A．2 B．12 C．2 D．1．已知函数fx=x2-2mx+1在-A．-∞,-1 B．-1,+∞ C．-2．下列函数中，在区间0,+∞上单调递减的是（

A．fx=x+1 BC．fx=x3．下列函数中，在(0,+∞)上单调递增的是（A．y=(13)x B．y=log考点五：比较大小问题例题1（2024高二上·江苏·学业考试）设a=log50.3,b=A．b>c>a B．c>b>aC．c>a>b D．b>a>c例题2．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）设a=31.4,b=log0.5A．a>b>c B．a>c>bC．b>a>c D．c>b>a例题3．（2023高三·江苏·学业考试）已知a=log31A．a<b<c B．b<a<cC．b<c<a D．c<b<a1．设a=log23，b=log3A．a<c<b B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b2．若a=0.30.5，b=log0.34A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．c>a>b3．已知a=20.1，b=0.50.2A．c<a<b B．c<b<a C．b<a<c考点六：函数零点存在定理例题1（2223高一下·江苏南通·期末）函数fx=x+2A．-2,-1 B．-1,0 C．0,1 D．1,2例题2．（2024·江苏学考模拟）函数fx=lnA．1,2 B．2,3 C．3,4 D．5,6例题3．（2024·江苏学考模拟）小胡同学用二分法求函数y=fx在x∈1,2内近似解的过程中，由计算可得f1<0，f2A．f0.5 B．f1.125 C．f1.251．函数fx=2x+2A．1,2 B．2,3 C．3,4 D．4,52．函数fx=xA．-1,0 B．0,1 C．1,2 D．2,33．函数f(x)=lnx-1的零点所在的区间是（A．0,1 B．1,2C．2,3 D．3,4考点七：函数模型及其应用例题1（2024高二上·江苏·学业考试）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”.计算方法如下表：每户每月用水量水价不超过12m3元/超过12m3但不超过6元/超过18m9元/已知某用户本月的用水量为15m3，则该用户本月应交纳的水费（单位：元）是（A．45 B．54 C．72 D．90例题2．（2023高三·江苏·学业考试）在一次实验中，某小组测得一组数据xi,yii=1,2,⋯,11，并由实验数据得到下面的散点图.由此散点图，在区间-2,3上，下列四个函数模型(a,b为待定系数）中，最A．y=a+bx B．y=a+C．y=a+logbx例题3．（2223高一上·江苏泰州·期末）党的二十大报告指出，“坚持精准治污、科学治污、依法治污，持续深入打好蓝天、碧水、净土保卫战.加强污染物协同控制，基本消除重污染天气.”按照相关规定，某化工厂产生的废气中的某类污染物经过过滤装置的处理，含量降至过滤前的5%以下才能排放.已知过滤过程中，废气中污染物的含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：min）的关系为P=P0e-kt，其中P0，k是常数.若t=4时，该类污染物的含量降为过滤前的25%，那么废气至少需要过滤（A．7 B．8 C．9 D．101．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式:C=Wlog21+SN.它表示:在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比SN从1000提升到A．10% B．20% C．30% D．50%2．某市政府为平抑房价，2021年计划新建经济适用房1000万平方米，解决中低收入家庭的住房问题.设年平均增长率为x%，设2024年新建经济住房面积为y万平方米，则y关于x的函数是（

）A．y=10001+3x%x>0C．y=10001+4x%x>03．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1°C，空气的温度是θ0°C，那么tmin后物体的温度θ（单位：°C），可由公式θ=θ0+θ1-θ0e-kt求得，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数．现有60°C的物体，放在15°C的空气中冷却，3分钟以后物体的温度是42°C（参考数据：ln3≈1.0986，lnA．0.51 B．0.28 C．0.17 D．0.07考点八：函数性质综合例题1（2024高二上·江苏·学业考试）定义：区间m,n,m,n,m,n,m,n的长度d均等于n-m(1)已知fx=x2+1,x∈(2)已知fx=1-x+1x-1,x∈t,t+1.是否存在实数t∈0,1，使得例题2．（2023高一上·江苏苏州·学业考试）设fx=2-x+a1+x（a为实常数），y=g(1)当a=0，若关于x的方程fgx=(2)当a<1，求方程fx例题3．（2024·江苏学考模拟）已知二次函数fx满足fx-1-fx=4x-3(1)求fx(2)若对∀x∈R，不等式fx≤mx恒成立，求实数m1．已知函数fx(1)判断fx(2)若a>0，用定义法判断fx在0,12．已知函数fx(1)求证：fx(2)当x>0时，求fx的最小值3．已知幂函数f(x)=m2-3(1)求函数fx(2)若函数g(x)=[f(x)]2+kf(x),x∈[1,9]，且g(x)的最小值为0训练1、已知a=log26,b=A．b>a>c B．a>c>b C．b>c>a D．a>b>c2、函数fx=lnA．0 B．1 C．2 D．33、函数fx=2x-1A．12,+∞ B．12,+∞4、已知a=log0.62，b=log0.6A．a>b>c