2026年1月上海市普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷（考试版及全解全析）

1/22026年1月上海市普通高中学水平合格考试数学仿真模拟卷（考试时间：90分钟试卷满分：100分）一、填空题（本大题共12题，每小题3分，共36分）1．已知全设集，集合，那么．2．关于的不等式的解集为.3．设为虚数单位，若复数满足，则的共轭复数=4．一扇形的圆心角，半径cm，则该扇形的面积为（cm2）5．若，且为第三象限角，则等于6．已知向量若，则.7．已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′=C′O′=1，A′O′＝，那么原△ABC的面积是8．函数的严格单调递减区间是9．一个容量为20的样本，其数据按从小到大的顺序排列为：1，2，2，3，5，6，6，7，8，8，9，10，13，13，14，15，17，17，18，18，则该组数据的第75百分位数为10．袋中装有大小、形状完全相同的6个白球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为（用分数表示）11．若函数在区间上的最大值为，则的取值范围为12．已知、是实数，写出不等式等号成立的所有条件二、选择题：本大题共14小题，每小题3分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；13．“且”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件14．设是第一象限的角，则所在的象限为（

）A．第一象限 B．第三象限C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限15．若是第三象限角，则等于（

）A． B． C． D．16．在中，若其面积为S，且，则角A的大小为（

）A． B． C． D．17．方程的解集为（

）A． B．C． D．或18．如果从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，那么选中的2人都是男同学的概率为（

）A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.119．如图所示的茎叶图记录了甲､乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分).已知甲组数据的中位数为106，乙组数据的平均数为，则x，y的值分别为（

）A．5，7 B．6，8 C．6，9 D．8，820．数列的前n项和，则（

）A．140 B．120 C．40 D．5221．在等比数列中，，则（

）A．36 B． C． D．622．关于函数的单调性的说法正确的是（

）A．在上是增函数 B．在上是减函数C．在区间上是增函数 D．在区间上是减函数23．已知，是空间两个不同的平面，，是空间两条不同的直线，下列说法中正确的是（

）A．，则B．，，则C．平面内的不共线三点到平面β的距离相等，则与平行D．如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与此平面内的无数条直线平行24．公元前世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（）与它的直径（）的立方成正比”，此即，欧几里得未给出的值．世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式中的常数称为“立圆率”或“玉积率”．类似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）、正方体也可利用公式求体积（在等边圆柱中，表示底面圆的直径；在正方体中，表示棱长）．假设运用此体积公式求得球（直径为）、等边圆柱（底面圆的直径为）、正方体（棱长为）的“玉积率”分别为、、，那么为（）A． B．C． D．25．如图，在直角梯形中，，，，为的中点，若，则的值（

）A． B． C．2 D．26．已知函数，其中，且．给出下列三个结论：①函数是单调函数；②当时，函数的图象关于直线对称；③当时，方程根的个数可能是1或2．其中所有正确结论的序号是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③三、解答题：本大题共2小题，共22分，解答时，应写成必要的文字说明、证明过程或验算步骤27．（本题满分10分）如图，在三棱锥中，两两垂直，，.（1）求三棱锥外接球的表面积；（2）求直线与平面所成角的正弦值．28．（本题满分10分）已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，若恒成立，求实数的取值范围．

2026年1月上海市普通高中学水平合格考试数学仿真模拟卷（考试时间：90分钟试卷满分：100分）一、填空题（本大题共12题，每小题3分，共36分）1．已知全设集，集合，那么．【提示】根据补集的概念即可得出答案；【答案】；【解析】因为，，所以，.故答案为：；【说明】本题考查了补集的概念及运算；2．关于的不等式的解集为.【提示】将所求不等式变形为，利用分式不等式的解法可得出原不等式的解集；【答案】【解析】由可得，解得或.因此原不等式的解集为.故答案为：；【说明】本题主要考查了分式不等式的解法，不等式性质与等价转化思想；3．设为虚数单位，若复数满足，则的共轭复数=【提示】由复数的运算结合共轭复数的概念可得；【答案】；【解析】由题意可得，所以.【说明】本题考查了复数代收形式的乘法运算、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算。4．一扇形的圆心角，半径cm，则该扇形的面积为（cm2）【提示】利用扇形弧长公式与面积公式即可得解；【答案】；【解析】因为，，所以该扇形的弧长为（cm），故该扇形的面积（cm2）．故答案为：.【说明】本题考查了扇形弧长公式与面积公式的应用；5．若，且为第三象限角，则等于【答案】7；【解析】因为，且为第三象限角，所以所以，【说明】本题考查了同角三角函数的基本关系、用和、差角的正切公式化简、求值；6．已知向量若，则.【提示】根据向量坐标的加减运算，利用垂直数量积为0的性质即可得解；【答案】；【解析】由题意得，因为，所以，解得．故答案为：.【说明】本题考查了平面向量线性运算的坐标表示、垂直关系的向量表示、向量垂直的坐标表示、利用向量垂直求参数；7．已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′=C′O′=1，A′O′＝，那么原△ABC的面积是【提示】先由直观图还原，可得原图底边长和高，即可求出原图的面积；【答案】；【解析】还原该坐标系和直观图可得：由斜二测画法的规定可知：，，则.【说明】本题考查了由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算；8．函数的严格单调递减区间是【提示】利用余弦函数的单调区间的求法直接求解；【答案】【解析】因为令求得可得函数的严格单调递减区间为故答案为：【说明】本题主要考查三角函数的图像与性质，求cosx型三角函数的单调性；9．一个容量为20的样本，其数据按从小到大的顺序排列为：1，2，2，3，5，6，6，7，8，8，9，10，13，13，14，15，17，17，18，18，则该组数据的第75百分位数为【提示】根据百分位数的定义计算得出答案；【答案】；【解析】因为，，所以，第75百分位数为；故答案为：；【说明】本题主要考查总体百分位数概念与估计；10．袋中装有大小、形状完全相同的6个白球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为（用分数表示）【提示】利用古典概型概率的求法求解即可；【答案】；【解析】因为一共有10个球，所以从中任取一球的基本事件有10个，又因为有6个白球，所以取到白球的基本事件有6个，所以取到白球的概率为.故答案为：【说明】本题考查了计算古典概型问题的概率；11．若函数在区间上的最大值为，则的取值范围为【提示】函数的对称轴为，分两种情况：和讨论函数的最值，从而求得结果；【答案】【解析】因为，的对称轴为（1）当时，即，，解得：不符合题意，舍去；（2）当，即，，符合题意，故；综上可知，的取值范围为故答案为：【说明】研究二次函数在区间上的最值，通常分为四种情况：（1）轴定区间定；（2）轴定区间动；（3）轴动区间定；（4）轴动区间动；这四种情况都需要按三个方向来研究函数的最值：对称轴在区间的左侧、中间、右侧，从而知道函数的单调性，即可求出函数的最值.12．已知、是实数，写出不等式等号成立的所有条件【提示】根据，，将证等号成立条件，转化为证等号成立条件求解【答案】或；【解析】因为，，所以要证的等号成立条件，只需证的等号成立条件，即的等号成立条件，当时，；当时，；当且仅当时，即或时，等号成立；【说明】通过本题体验了一下教材中“定理”的推导思路与三角不等式等号成立的条件，还考查了分析求解问题的能力；二、选择题：本大题共14小题，每小题3分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；13．“且”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【提示】根据充分条件、必要条件的概念得解；【答案】A；【解析】由不等式性质，且可得，但当时，推不出且，例如；故且是的充分不必要条件.故选：A【说明】本题考查了判断命题的充分不必要条件；14．设是第一象限的角，则所在的象限为（

）A．第一象限 B．第三象限C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限【答案】C【解析】因为是第一象限的角，所以，，所以，当时，，为第一象限角；当时，，为第三象限角.故选：C；【说明】本题考查了任意角的表示与集合的分类讨论、终边相同角的表示；15．若是第三象限角，则等于（

）A． B． C． D．【提示】运用同角的三角函数关系式直接求解即可.【答案】B；【解析】因为，是第三象限角，所以。，故选：B；【说明】本题考查了三角变换，已知正（余）弦求余（正）弦；16．在中，若其面积为S，且，则角A的大小为（

）A． B． C． D．【提示】根据给定条件，利用数量积的定义及三角形面积公式求解.【答案】B；【解析】依题意，，，则，故，而，所以.故选：B【说明】本题综合考查了三角形面积公式及其应用、用定义求向量的数量积；17．方程的解集为（

）A． B．C． D．或【提示】利用正弦函数的图像与性质，即可得到答案；【答案】D；【解析】由，则内的或又的周期，所以或即方程的解集为或.故选：D【说明】本题考查了已知三角函数值求角，考查了正弦的图像与性质；18．如果从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，那么选中的2人都是男同学的概率为（

）A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.1【提示】从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，共有种，其中全是男生的有种，根据古典概型的概率公式计算即可，【答案】D；【解析】从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，共有种，其中全是男生的有种，故选中的2人都是男同学的概率，故选：D；【说明】本题考查了计算古典概型问题的概率；19．如图所示的茎叶图记录了甲､乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分).已知甲组数据的中位数为106，乙组数据的平均数为，则x，y的值分别为（

）A．5，7 B．6，8 C．6，9 D．8，8【提示】根据茎叶图中的数据，结合中位数与平均数的概念，即可求出、的值；【答案】B；【解析】因为，甲组数据的中位数为106所以，又因为，乙组数据的平均数为所以，解得综上，x，y的值分别为6，8故选：B【说明】本题考查了由茎叶图计算中位数、由茎叶图计算平均数；20．数列的前n项和，则（

）A．140 B．120 C．40 D．52【提示】利用与的关系即可求解.【答案】D；【解析】由，得.故选：D；【说明】本题考查了等车数列前n项和的本质，与利用与关系求通项的方法；21．在等比数列中，，则（

）A．36 B． C． D．6【提示】根据等比数列的性质，，结合可得，再利用即可求解，注意等比数列奇数项、偶数项的符合分别相同.【答案】D【解析】，则，又，解得，因为，所以.故选：D.【说明】本题主要考查了等比数列下标和性质及应用；22．关于函数的单调性的说法正确的是（

）A．在上是增函数 B．在上是减函数C．在区间上是增函数 D．在区间上是减函数【提示】先求出函数定义域，再结合复合函数单调性性质进行判断即可；【答案】C；【解析】由函数的解析式知定义域为，设，显然在上是增函数，在上是增函数，由复合函数的单调性可知在上是增函数，故选：C【说明】本题考查了复合函数的定义域、对数型复合函数的单调性、复合函数的单调性；23．已知，是空间两个不同的平面，，是空间两条不同的直线，下列说法中正确的是（

）A．，则B．，，则C．平面内的不共线三点到平面β的距离相等，则与平行D．如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与此平面内的无数条直线平行【提示】，则或，判断选项A，，，则或，判断选项B，当两个面相交时，可以在平面内找到的不共线三点到平面β的距离相等，判断选项C，根据平行的传递性判断选项D；【答案】D；【解析】，则或，故选项A错误；，，则或，故选项B错误；当平面与平面相交时，可以在平面内找到不共线三点到平面β的距离相等，故选项C错误；如果一条直线与一个平面平行，那么平面内必有一条直线与给定直线平行，而平面内与一条直线平行的直线有无数条，根据平行的传递性，这些直线都与给定直线平行，所以有无数条，故选项D正确.故选：D.【说明】本题考查了平行公理、判断图形中的线面关系、线面关系有关命题的判断、判断线面平行；24．公元前世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（）与它的直径（）的立方成正比”，此即，欧几里得未给出的值．世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式中的常数称为“立圆率”或“玉积率”．类似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）、正方体也可利用公式求体积（在等边圆柱中，表示底面圆的直径；在正方体中，表示棱长）．假设运用此体积公式求得球（直径为）、等边圆柱（底面圆的直径为）、正方体（棱长为）的“玉积率”分别为、、，那么为（）A． B．C． D．【答案】D；【详解】因为，因为，因为，，所以，；【说明】本题考查了柱体体积的有关计算、球的体积的有关计算、立体几何新定义；考查了类比推理。25．如图，在直角梯形中，，，，为的中点，若，则的值（

）A． B． C．2 D．【提示】建立平面直角坐标系，由，利用向量相等求解.【答案】B；【解析】建立如图所示平面直角坐标系：则，所以，因为，所以，则，解得，所以，故选：B【说明】本题考查了平面向量线性运算的坐标表示、由向量线性运算结果求参数、向量坐标的线性运算解决几何问题；26．已知函数，其中，且．给出下列三个结论：①函数是单调函数；②当时，函数的图象关于直线对称；③当时，方程根的个数可能是1或2．其中所有正确结论的序号是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【提示】讨论与时，函数是否单调可判断①；把函数图象的对称问题转化为点的对称问题即可证明②；直线与的位置关系即可判断③．【答案】D；【解析】当时，在单调递减，且，在单调递减，且，故在上单调递减；当时，在单调递增，且，在单调递增，且，故在上单调递增；则①正确；设为图象上的任一点，不妨设，因为则点关于直线对称的对称点为由得，所以点符合所以当时，函数的图象关于直线对称；故②正确；当时，令若，则；若，则化为．设，则，所以在点处的切线的斜率为当时，直线与相切，方程根的个数是1，当且时，直线与相交，方程根的个数是2，则③正确．故选：D【说明】分段函数的性质及应用、求在曲线上一点处的切线方程（斜