2024-2025学年上海市松江区九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2024-2025学年上海市松江区九年级（下）期中数学试卷一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）.1．（4分）在△中，，，，下列结论正确的是A． B． C． D．2．（4分）已知、是抛物线上两点，那么与的大小关系是A． B． C． D．无法确定3．（4分）如图，数轴上的点和点分别在原点的左侧和右侧，点、对应的实数分别是、，下列结论一定成立的是A． B． C． D．4．（4分）如果，那么函数与在同一坐标系中的图象是A． B． C． D．5．（4分）已知两圆相交，当每个圆的圆心都在另一个圆的圆外时，我们称此两圆的位置关系为“外相交”．已知两圆“外相交”，且半径分别为2和5，则圆心距的取值可以是A．4 B．5 C．6 D．76．（4分）下列命题中，错误的是A．一组对边平行的四边形是梯形 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．一组邻边相等的平行四边形是菱形二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）求值：．8．（4分）人体内有一种细胞的直径为0.000105米，数据0.000105用科学记数法表示为．9．（4分）化简：．10．（4分）若和互为相反数，则的值为．11．（4分）如果反比例函数是常数，的图象经过点，那么当时，的值随的值增大而．（填“增大”或“减小”12．（4分）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？其大思是：今有若干人乘车，每三人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘．问有多少人，多少辆车？设共有人，辆车，可列方程组为．13．（4分）为了估计鱼塘中鱼的数量，我们从该鱼塘中捕捞40条鱼做上标记，然后放回鱼塘，经过几天，再捕捞30条鱼，发现其中带标记的鱼有5条，因此可估计鱼塘中约有鱼条．14．（4分）如果乘坐出租车所付款金额（元与乘坐距离（千米）之间的函数图象由线段、线段和射线组成（如图所示），那么乘坐该出租车8（千米）需要支付的金额为元．15．（4分）如图，已知、分别是的边、上的点，且，联结，如果，，当时，那么（用含、的式子表示）16．（4分）如图，在半径为2的中，弦与弦相交于点，如果，，那么的长为．17．（4分）如果三角形一条边上的中线恰好等于这条边的长，那么我们称这个三角形为“匀称三角形”．在中，，，若是“匀称三角形”，那么．18．（4分）如图，已知在菱形中，，将菱形绕点旋转，点、、分别旋转至点、、，如果点恰好落在边上，设交边于点，那么的值是．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．20．（10分）解方程组：．21．（10分）如图，在△中，，，．（1）求的长；（2）在边上取一点，使，联结，求的正切值．22．（10分）某市连续五日最高气温及中位数、平均数如表所示（有两个数据被遮盖）．日期一二三四五中位数平均数最高气温210■■1（1）在数据被遮盖的情况下，我们可以计算出（多选）．（A）中位数；（B）众数；（C）第五日数据；（D）方差．（2）直接写出第（1）小题你选择的所有数据．（3）当表格的信息中日期一、二、三、四中又有一个日期被遮盖，那么可以计算出的结果相较于原先最多少了个．23．（12分）已知：如图，在四边形中，点、分别是边、的中点，、分别交于点、，且，联结、．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）如果，求证：四边形是菱形．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于和点（点在点的左侧），与轴交于点，且．（1）求这个函数的解析式，并直接写出顶点的坐标；（2）点是二次函数图象上一个动点，作直线轴交抛物线于点（点在点的左侧），点关于直线的对称点为，如果四边形是正方形，求点的坐标；（3）若射线与射线相交于点，求的大小．25．（14分）如图①，已知梯形中，，，，，，点是边上的动点，联结，作，设射线交线段于，交射线于．（1）求的度数；（2）如果射线经过点（即点、与点重合，如图②所示），求的长；（3）设，，求关于的函数解析式，并写出定义域．

参考答案一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）.1．（4分）在△中，，，，下列结论正确的是A． B． C． D．解：已知，，，则，故选：．2．（4分）已知、是抛物线上两点，那么与的大小关系是A． B． C． D．无法确定解：由二次函数可得，抛物线的对称轴为直线，，抛物线开口向上，，，故选：．3．（4分）如图，数轴上的点和点分别在原点的左侧和右侧，点、对应的实数分别是、，下列结论一定成立的是A． B． C． D．解：根据数轴可知，，：依题意，故结论错误，该选项不符合题意；：依题意，故结论错误，该选项不符合题意；：依题意，故结论正确，该选项符合题意；：依题意，故结论错误，该选项不符合题意．故选：．4．（4分）如果，那么函数与在同一坐标系中的图象是A． B． C． D．解：，函数经过第二、四象限，且过原点，故、错误；，函数经过第二、四象限，故错误；故选：．5．（4分）已知两圆相交，当每个圆的圆心都在另一个圆的圆外时，我们称此两圆的位置关系为“外相交”．已知两圆“外相交”，且半径分别为2和5，则圆心距的取值可以是A．4 B．5 C．6 D．7解：、相交，，即，两圆“外相交”，且，两圆的圆心距的取值范围为．两圆“外相交”时的圆心距的取值范围是．故选．6．（4分）下列命题中，错误的是A．一组对边平行的四边形是梯形 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．一组邻边相等的平行四边形是菱形解：、一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形，故错误；、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确；、对角线相等的平行四边形是矩形，正确；、一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确；故选：．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）求值：．解：．故答案为：．8．（4分）人体内有一种细胞的直径为0.000105米，数据0.000105用科学记数法表示为．解：．故答案为：．9．（4分）化简：．解：．故答案为：．10．（4分）若和互为相反数，则的值为．解：和互为相反数，，，解得：，，．故答案为：6．11．（4分）如果反比例函数是常数，的图象经过点，那么当时，的值随的值增大而增大．（填“增大”或“减小”解：反比例函数的图象经过点，，，当时，的值随的值增大而增大，故答案为：增大．12．（4分）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？其大思是：今有若干人乘车，每三人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘．问有多少人，多少辆车？设共有人，辆车，可列方程组为．解：设有辆车，则可列方程：．故答案为：．13．（4分）为了估计鱼塘中鱼的数量，我们从该鱼塘中捕捞40条鱼做上标记，然后放回鱼塘，经过几天，再捕捞30条鱼，发现其中带标记的鱼有5条，因此可估计鱼塘中约有鱼240条．解：所抽取的样本中，带有标记的鱼所占比例为，估计鱼塘中做标记的鱼所占比例约为，据此可估计鱼塘中鱼的数量约为（条，故答案为：240．14．（4分）如果乘坐出租车所付款金额（元与乘坐距离（千米）之间的函数图象由线段、线段和射线组成（如图所示），那么乘坐该出租车8（千米）需要支付的金额为26元．解：乘坐该出租车8（千米）需要支付的金额为：（元．故答案为：26．15．（4分）如图，已知、分别是的边、上的点，且，联结，如果，，当时，那么（用含、的式子表示）解：，，，，，，，，，．故答案为：．16．（4分）如图，在半径为2的中，弦与弦相交于点，如果，，那么的长为．解：如图，过点作，，垂足为、，连接，则，，在中，，，，，，又，，，，故答案为：．17．（4分）如果三角形一条边上的中线恰好等于这条边的长，那么我们称这个三角形为“匀称三角形”．在中，，，若是“匀称三角形”，那么．解：根据题意作图如下：，，设，则，，，，故答案为：．18．（4分）如图，已知在菱形中，，将菱形绕点旋转，点、、分别旋转至点、、，如果点恰好落在边上，设交边于点，那么的值是．解：过作，交于，过作，交于，过作延长线，交延长线于，，设，则，由勾股定理得，，，菱形绕点旋转至菱形，，，，是等腰三角形，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，四边形是菱形，，，，，，，故答案为：．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．解：原式．20．（10分）解方程组：．解：由②得，，，得到方程组，，第一个方程组的解为：，第二个方程组的解为：．所以方程组的解：，．21．（10分）如图，在△中，，，．（1）求的长；（2）在边上取一点，使，联结，求的正切值．解：（1）如图，过点作于点．，，，，，，，；（2）过点作于点．，，，，，，，，，△△，，，，，，．22．（10分）某市连续五日最高气温及中位数、平均数如表所示（有两个数据被遮盖）．日期一二三四五中位数平均数最高气温210■■1（1）在数据被遮盖的情况下，我们可以计算出（多选）．（A）中位数；（B）众数；（C）第五日数据；（D）方差．（2）直接写出第（1）小题你选择的所有数据．（3）当表格的信息中日期一、二、三、四中又有一个日期被遮盖，那么可以计算出的结果相较于原先最多少了个．解：（1）某市连续五日最高气温及中位数、平均数如表所示（有两个数据被遮盖）．根据平均数可得五日气温总和为，前四天气温和为，第五日气温为，选项可计算，排序气温为，0，1，2，4，中位数为中间数1，选项可计算，所有数仅出现一次，无法确定，选项不可计算，方差需要平均数和所有数据已知，选项可计算．综上所述，是正确的，故选：；（2）由（1）可得，第五日数据为4，中位数为1，方差为；（3）假设星期一被遮住了，则五日气温总和为，星期二、星期三、星期四的气温和为，星期一、星期五的气温和为，但无法知到星期一、星期五的具体温度，选项和选项不可计算，数据无法排序，选项无法计算，故答案为：3．23．（12分）已知：如图，在四边形中，点、分别是边、的中点，、分别交于点、，且，联结、．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）如果，求证：四边形是菱形．【解答】证明：（1）点、分别是边、的中点，，是的中位线，是的中位线，，，四边形是平行四边形；（2）如图，连接交于，连接，由（1）可知，四边形是平行四边形，，，，，，即，四边形是平行四边形，，，点、分别是边、的中点，是的中位线，，，，，，，，即，平行四边形是菱形．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于和点（点在点的左侧），与轴交于点，且．（1）求这个函数的解析式，并直接写出顶点的坐标；（2）点是二次函数图象上一个动点，作直线轴交抛物线于点（点在点的左侧），点关于直线的对称点为，如果四边形是正方形，求点的坐标；（3）若射线与射线相交于点，求的大小．解：（1）二次函数的图象与轴交于和点（点在点的左侧），设点，的横坐标分别为，，则，是的两个根，，．，，即，，解得，，点的坐标为．（2）由题意可知，且和相互平分，则四边形是菱形，若四边形是正方形，则只需要满足，设点的横坐标为，，，，，，，，解得（舍或，．（3）如图，连接，由（1）知，令，则，；令，则或，，，，．直线的解析式为：，直线的解析式为：，令，解得；，，，，，，，，．25．（1