圆的方程课件-高二上学期数学人教A版选择性

选择性必修第一册

第二章《直线和圆的方程》圆的方程由定义求：圆心是A(a,b)，半径是r的圆的方程.rxAOy

设M(x,y)是圆上任意一点，根据定义，点M到圆心A的距离等于r，所以圆A就是集合

P={M||MA|=r}

由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为：(x-a)2+(y-b)2

=r

把上式两边平方得：(x-a)2+(y-b)2=r2圆的定义：平面内与定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆。定点就是圆心，定长就是半径。M.解：

若点M在圆上，由上述讨论可知，点M的坐标满足方程①，反之，若点M的坐标满足方程①，这就说明点M与圆心A的距离为r，即M在圆心为A的圆上.方程①就是圆心为A(a，b)半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程.rxAOyM.……①特点:

1.是关于x、y的二元二次方程;3.确定圆的方程必须具备三个独立条件,4.若圆心在坐标原点，则圆方程为

x2+y

2=r22.明确给出了圆心坐标和半径.即a、b、r.求曲线方程的一般步骤：（1）建立适当的坐标系，用（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标（2）写出适合条件P的点M的集合P={M|p(M)};(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x,y)=0(4)化方程f(x,y)=0为最简形式（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。建系、设点条件立式代换化简方程查缺补漏将圆的标准方程

(x-a)2+(y-b)2=r2展开，得可见，任何一个圆的方程都可以写成下面的形式：是不是每一个形如X2+y2+Dx+Ey+F=0的方程表示的曲线都是圆?可将方程配方得结论：任何一个圆的方程都可以写成：反过来，比较圆的标准方程和圆的一般方程：圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，而圆的一般方程和比较突出了方程形式上的特点：

（1）x2

和y2

的系数相同且不为0，即A=C≠0；（2）没有xy

这样的二次项，即B=0.（1）x2

和y2

的系数相同且不为0，即A=C≠0；（2）没有xy

这样的二次项，即B=0.（3）D2+E2-4AF>0表示圆二元二次方程已知一个圆的直径端点是M(x1,y1)、N(x2,y2)，证明：圆的方程是:(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)=0证明：xAOyM..N设P(x,y)是圆上任意一点，则由M,N是直径的端点知.P即即为所求圆的方程.

说明：一般地，求圆的方程有两种方法：（1）待定系数法：即设出圆的标准方程或一般方程，利用条件求系数.（2）几何分析法：即利用平面几何中的有关性质求解.１．求以C(1，3)为圆心，并且和直线3x-4y-7=0相切的圆的方程。CyxOM解：设所求圆的方程为：

(x-1)2+(y-3)2=r2

因为圆C和直线3x-4y-7=0相切所以圆心C到这条直线的距离等于半径r圆的方程是(x-1)2+(y-3)2根据点到直线的距离公式，得

2．求过两点A(6，5)、B(0，1)且圆心在3x+10y+9=0上的圆方程，并求出圆的半径和圆心坐标。3

．求过三点O(0，0)、M1(1，1)、M2(4，2)的圆方程，并求出圆的半径和圆心坐标。所求的圆方程为

判断点与圆的位置关系几何法代数法[注]三角形的外接圆圆心在三边的中垂线上or到三个顶点的距离相等P88-3.如图，在四边形ABCD中，AB=6，CD=3,且AB//CD，AD=BC，AB与CD间的距离为3.求等腰梯形ABCD的外接圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径.几何法代数法x2与y2系数相同且不为0.课堂小结：求圆的方程轨迹方程的定义轨迹的定义：平面上一动点M,按照一定规则运动,形成的曲线叫做动点M的轨迹.轨迹方程的定义：点M的轨迹方程是指点M的坐标(x,y)满足的关系式.若求“轨迹方程”，只需写出动点坐标x,y满足的关系式，注意x,y的取值范围；若求“轨迹”，则要先求出“轨迹方程”，再说明方程的轨迹图形，注意“补漏”和“去掉多余”的点．求轨迹方程的关键：动中找定——在动点运动的过程中找出动点满足的不变的性质。求轨迹方程——①直接法

①建：建立平面直角坐标系；②设：求谁的轨迹就设谁的坐标为(x,y);③限：找限制条件，即动点满足的几何关系；④代：将点的坐标代入几何关系式中；⑤化：化简代数式，查漏排余(建系不同,方程不同)求轨迹方程——②相关点法[例2](P87)已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.求谁设谁为(x,y)点A的运动点M的运动引起找所求点与已知点的坐标关系，代入已知点的方程(x,y)(a,b)点A的方程点M的方程坐标关系代换巩固：求轨迹方程解：设△ABC的重心M(x，y)，顶点C(a，b)，将②代入①得(3x＋3)2＋(3y＋3)2＝93.已知△ABC的顶点A(－3,0),B(0,－3),另一个顶点C在曲线x2＋y2＝9上运动.求△ABC的重心M的轨迹方程．由三角形重心坐标公式得化简得△ABC重心M的轨迹方程求轨迹方程——③定义法例3(P88-7).等腰三角形的顶点A的坐标是(4,2)，底边一端点B的坐标是(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它是什么图形.求轨迹方程——③定义法定义法[练习]已知M(－2,0)，N(2,0)，求以MN为斜边的直角三角形直角顶点P的轨迹方程，并说明它是什么图形.求轨迹方程——④消参法

（1）在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即并且对于t的每一个允许值，由上述方程组所确定的点M（x,y）都在这条曲线上，那么上述方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数。（2）相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。参数方程的定义求轨迹方程——④消参法

(1)直接法：建立适当的坐标系后，设动点为(x，y)，根据几何条件寻求x，y之间的关系式．求曲线方程的常见方法(2)定义法：如果所给几何条件正好符合已学曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．(3)代入法(相关点法)：利用所求曲线上的动点与已知曲线上动点的关系,把所求动点转换为已知动点．具体地说,就是用所求动点的坐标(x，y)来表示已知动点的坐标,并代入已知动点满足的曲线的方程,由此可求得动点坐标(x,y)满足的关系．(4)消参法：巩固：求轨迹方程1.(P89-8)长为2a的线段AB的两个端点分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB的中点的轨迹方程.动点M的特征满足某曲线的定义当A或B与O重合时,上式仍然成立.定义法直接法巩固：求轨迹方程定义法相关点法巩固：求轨迹方程直接法【课后练习】求轨迹方程

相关点法定义法【课后练习】求轨迹方程

消参法【课后练习】求轨迹方程

【课后练习】求轨迹方程

几何法

补例

点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点.若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程.解：设线段PQ的中点N(x，y