梅州市重点中学2025-2026学年数学高一上期末教学质量检测试题含解析

梅州市重点中学2025-2026学年数学高一上期末教学质量检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．函数的单调减区间为（）A. B.C. D.2．从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A.至少有一个白球与都是红球 B.恰好有一个白球与都是红球C.至少有一个白球与都是白球 D.至少有一个白球与至少一个红球3．与圆关于直线对称的圆的方程为（）A. B.C. D.4．下列所给四个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为（）（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再去上学；（2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速A.①②④ B.④②③C.①②③ D.④①②5．已知函数一部分图象如图所示，如果，，，则（）A. B.C. D.6．设集合，，则集合与集合的关系是（）A. B.C. D.7．如图，以为直径在正方形内部作半圆，为半圆上与不重合的一动点，下面关于的说法正确的是A.无最大值，但有最小值B.既有最大值，又有最小值C.有最大值，但无最小值D.既无最大值，又无最小值8．函数f（x）=2ax+1–1（a>0，且a≠1）恒过定点A.（–1，–1） B.（–1，1）C.（0，2a–1） D.（0，1）9．已知定义在R上的函数满足：对任意，则A. B.0C.1 D.310．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在直角坐标系中，直线的倾斜角________12．已知函数若，则实数___________.13．如图，，，是三个边长为1的等边三角形，且有一条边在同一直线上，边上有2个不同的点，则__________14．设函数fx=ex-1,x≥a-xx2-5x+6,x<a，则当时，15．为了解某校高三学生身体状况，用分层抽样的方法抽取部分男生和女生的体重，将男生体重数据整理后，画出了频率分布直方图，已知图中从左到右前三个小组频率之比为1:2:3，第二小组频数为12，若全校男、女生比例为3:2，则全校抽取学生数为________16．化简_____三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)解不等式f(x)＞2x＋5.18．已知函数（1）求的最小正周期及最大值；（2）求在区间上的值域19．已知，，，，求.20．武威“天马之眼”摩天轮，于2014年5月建成运营．夜间的“天马之眼”摩天轮美轮美奂，绚丽多彩，气势宏大，震撼人心，是武威一颗耀眼的明珠．该摩天轮直径为120米，摩天轮的最高点距地面128米，摩天轮匀速转动，每转动一圈需要t分钟，若小夏同学从摩天轮的最低点处登上摩天轮，从小夏登上摩天轮的时刻开始计时（1）求小夏与地面的距离y（米）与时间x（分钟）的函数关系式；（2）在摩天轮转动一圈的过程中，小夏的高度在距地面不低于98米的时间不少分钟，求t的最小值21．如图，边长为的正方形所在平面与正三角形所在平面互相垂直，分别为的中点.(1)求四棱锥的体积；(2)求证：平面；(3)试问：在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，试指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】求出的范围，函数的单调减区间为的增区间，即可得到答案.【详解】由可得或函数的单调减区间为的增区间故选：A2、B【解析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可.【详解】解：对于A，事件：“至少有一个白球”与事件：“都是红球”不能同时发生，但是对立，故A错误；对于B，事件：“恰好有一个白球”与事件：“都是红球”不能同时发生，但从口袋内任取两个球时还有可能是两个都是白球，所以两个事件互斥而不对立，故B正确；对于C，事件：“至少有一个白球”与事件：“都是白球”可以同时发生，所以这两个事件不是互斥的，故C错误；对于D，事件：“至少有一个白球”与事件：“至少一个红球”可以同时发生，即“一个白球，一个红球”，所以这两个事件不是互斥的，故D错误.故选：B.3、A【解析】设所求圆的圆心坐标为，列出方程组，求得圆心关于的对称点，即可求解所求圆的方程.【详解】由题意，圆的圆心坐标，设所求圆的圆心坐标为，则圆心关于的对称点，满足，解得，即所求圆的圆心坐标为，且半径与圆相等，所以所求圆方程为，故选A.【点睛】本题主要考查了圆的方程的求解，其中解答中熟记圆的方程，以及准确求解点关于直线的对称点的坐标是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4、D【解析】根据回家后，离家的距离又变为可判断（1）；由途中遇到一次交通堵塞，可判断中间有一段函数值没有发生变化；由为了赶时间开始加速，可判断函数的图像上升的速度越来越快；【详解】离开家不久发现自己把作业本忘在家里，回到家里，这时离家的距离为，故应先选图像（4）；途中遇到一次交通堵塞，这这段时间与家的距离必为一定值，故应选图像（1）；后来为了赶时间开始加速，则可知图像上升的速度越来越快，故应选图像（2）；故选：D【点睛】本题主要考查函数图象的识别，解题的关键是理解题干中表述的变化情况，属于基础题.5、C【解析】先根据函数的最大值和最小值求得和，然后利用图象求得函数的周期，求得，最后根据时取最大值，求得【详解】解：如图根据函数的最大值和最小值得求得函数的周期为，即当时取最大值，即故选C【点睛】本题主要考查了由的部分图象确定其解析式．考查了学生基础知识的运用和图象观察能力6、D【解析】化简集合、，进而可判断这两个集合的包含关系.【详解】因为，，因此，.故选：D.7、D【解析】设正方形的边长为2，如图建立平面直角坐标系，则D（-1，2），P（cosθ，sinθ），（其中0＜θ＜π）,∵cosθ∈（-1，1），∴∈（4，16）.故选D.点睛：本题考查了向量的加法及向量模的计算，利用建系的方法，引入三角函数来解决使得思路清晰，计算简便，遇见正方形，圆，等边三角形，直角三角形等特殊图形常用建系的方法.8、B【解析】令x+1=0，求得x和y的值，从而求得函数f（x）=2ax+1–1（a>0，且a≠1）恒过定点的坐标【详解】令x+1=0，求得x=-1，且y=1，故函数f（x）=2ax+1–1（a＞0且a≠1）恒过定点（-1，1），故选B.【点睛】】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题9、B【解析】，且，又，，由此可得，，是周期为的函数，，，故选B.考点：函数的奇偶性，周期性，对称性，是对函数的基本性质的考察.【易错点晴】函数满足则函数关于中心对称，,则函数关于轴对称，常用结论：若在上的函数满足，则函数以为周期.本题中，利用此结论可得周期为，进而，需要回到本题利用题干条件赋值即可.10、A【解析】正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高上，记为O，PO=AO=R，，=4-R，在Rt△中，，由勾股定理得，∴球的表面积，故选A.考点：球的体积和表面积二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、##30°【解析】由直线方程得斜率，由斜率得倾斜角【详解】试题分析：直线化成，可知，而，故故答案为：12、2【解析】先计算，再计算即得解.【详解】解：，所以.故答案为：213、9【解析】以为原点建立平面直角坐标系，依题意可设三个点坐标分别为，故.【点睛】本题主要考查向量的加法、向量的数量积运算；考查平面几何坐标法的思想方法.由于题目给定三个全等的三角形，而的位置不确定，故考虑用坐标法来解决.在利用坐标法解题时，首先要选择合适的位置建立平面直角坐标系，建立后用坐标表示点的位置，最后根据题目的要求计算结果.14、①.②.【解析】当时得到，令，再利用定义法证明在上单调递减，从而得到，令，，根据指数函数的性质得到函数的单调性，即可求出的最小值，即可得到的最小值；分别求出与的零点，根据恰有两个零点，即可求出的取值范围；【详解】解：当时，令，，设且，则因为且，所以，，所以，所以，所以在上单调递减，所以，令，，函数在定义域上单调递增，所以，所以的最小值为；对于，令，即，解得，对于，令，即，解得或或，因为fx=ex-1,x≥a-xx2-5x+6,x<a恰有两个零点，则和一定为的零点，不为的零点，所以，即；故答案为：；；15、80【解析】频率分布直方图中，先根据小矩形的面积等于这一组的频率求出四与第五组的频率和，再根据条件求出前三组的频数，再依据频率的和等于1，求出前三组的频率，从而求出抽取的男生数，最后按比例求出全校抽取学生数即可【详解】根据图可知第四与第五组的频率和为（0.0125+0.0375）×5=0.25∵从左到右前三个小组频率之比1：2：3，第二小组频数为12∴前三个小组的频数为36，从而男生有人∵全校男、女生比例为3：2，∴全校抽取学生数为48×=80故答案为80【点睛】本题考查频数，频率及频率分布直方图，考查运用统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和运用意识16、-2【解析】利用余弦的二倍角公式和正切的商数关系可得答案.【详解】.故答案为：.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)【解析】(1)设二次函数f（x）＝ax2+bx+c，利用待定系数法即可求出f（x）；(2)利用一元二次不等式的解法即可得出【详解】(1).设二次函数f（x）＝ax2+bx+c，∵函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）＝2x，f(x＋1)－f(x)=-=2ax+a+b=2x，解得．且f（0）＝1．c=1∴f（x）＝x2﹣x+1(2)不等式f（x）＞2x+5，即x2﹣x+1＞2x+5，化为x2﹣3x﹣4＞0化为（x﹣4）（x+1）＞0，解得x＞4或x＜﹣1∴原不等式的解集为【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式和一元二次不等式的解法，熟练掌握其方法是解题的关键，属于中档题.18、（1），；（2）.【解析】（1）利用周期公式及正弦函数的性质即得；（2）由，求出的范围，再利用正弦函数的性质即可求解.【小问1详解】∵函数，∴最小正周期，∵，，∴当时，.【小问2详解】当时，，∴当时，即时，，当时，即时，，∴在区间上的值域为.19、【解析】由已知结合商数关系、平方关系求，根据的范围及平方关系求，最后由结合差角余弦公式求值即可.【详解】因为，所以，又，可得或，而，所以，由，且，解得，因为，，则，所以，所以.20、（1）（2）25【解析】（1）建立坐标系，由得出所求函数关系式；（2）由得出，由余弦函数的性质得出第一圈满足持续的时间，再解不等式得出t的最小值【小问1详解】如图，以摩天轮最低点的正下方的地面处为原点，以地平面所在直线为x轴建立平面直角坐标系，摩天轮的最高点距地面128米，摩天轮的半径为60米，摩天轮的圆心O到地面的距离为68米因为每转动一圈需要t分钟，所以【小问2详解】依题意，可知，即，不妨取第一圈，可得，，持续时间为，即，故t的最小值为2521、（1）；（2）证明见解析；（3）存在，为中点，证明见解析.【解析】（1）由等腰三角形三线合一性质和面面垂直性质定理可证得平面，由棱锥体积公式可求得结果；（2）连结交于点，由三角形中位线性质可证得，由线面平行判定定理可得到结论；（3）当为中点时，由正方形的性质、线面垂直的性质，结