15.5 手拉手模型（压轴题专项讲练）（教师版）-沪科版(2024)八上

专题15.5手拉手模型典例分析典例分析【典例1】（1）问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形，如图1，△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，即AB=AC，AD=AE，且∠BAC（2）类比探究：如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，即AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=90°，（3）问题解决：如图3，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，且CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE【思路点拨】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形、等腰直角三角形的性质、三线合一等性质，熟练掌握三角形的有关性质是解题的关键．（1）根据三角形全等的判定和性质即可解答．（2）根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得△BAD≌△CAE(SAS)，利用全等的性质可得BD=CE，∠ACE（3）由△DCE是等腰直角三角形，CM为△DCE中DE边上的高，可证得CM=12DE=12(AE-AD)，根据（【解题过程】（1）证明：∵∠∴∠BAC-∠在△ABD和△AB=∴△∴BD=（2）BD与CE的数量关系是BD=CE，位置关系是理由如下：∵∠BAC∴∠BAC+∠CAD在△BAD和△AB=∴△BAD∴BD=CE，∵△ABC是等腰三角形且∠∴∠ABC∴∠ACE∴∠BCE∴BD⊥（3）解：由（1）的方法得，△ACD∴AD=BE∵△CDE∴∠CDE∵CD=CE∴DM∵∠DCE∴DM∴CM=∵∠ACB∴∠CAD∴∠CBE∴∠即四边形ABEC的面积=S学霸必刷学霸必刷1．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）在△BCD中，∠BCD<120°，分别以BC、CD和BD为边在△BCD外部作等边三角形ABC、等边三角形CDE和等边三角形BDF，连结AD、BE和CF交千点P，则以下结论中①AD=BE=CFA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【思路点拨】证明△ABD≌△CBFSAS，△ACD≌△BCESAS，可得∠BAD=∠BCF，∠CAD=∠CBE，进一步可判断①②，证明∠APC=60°，求出∠BPC=120°，进一步可判断【解题过程】解：∵△ABC，△∴BA=BC，BD=∴∠ABD∴△ABD∴∠BAD=∠BCF同理可得△ACD∴∠CAD=∠CBE，AD∴AD=BE=∵∠BAD∴∠BAD∵∠ABC∴∠BAD∴∠BPA同理可得∠APC∴∠BPC=120°，∴∠DPE=∠EPC如图，在PA上截取PG=PB，连接∴△BPG∴∠BGP∴∠BGA∴∠BGA又∵∠BAG=∠BCP∴△BAG∴PC=∴PA=∵AD=∴PB+PC+故选D2．（2023·吉林长春·模拟预测）两个大小不同的等腰直角三角板按图1所示摆放，将两个三角板抽象成如图2所示的△ABC和△AED，其中∠BAC=∠EAD=90°，点B、C、E依次在同一条直线上，连结CD．若BC=4【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，根据SAS证明△ACD≌△ABE【解题过程】解：∵∠BAC∴∠BAC+∠CAE在△ABD和△AB=∴△ACD∴∠ACD∵∠B∴∠ACD∴∠BCD∵BC=4，∴BE∴CD∴S故答案为：6．3．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC与BE相交于点M，AD与CE相交于点，连接MN，PC，则下列四个结论：①∠BMC=∠BMA；②∠APB=60°；③AN=

【思路点拨】当M是AC的中点或者BM平分∠ABC时，∠BMC=∠BMA，故①错误；根据等边三角形的性质得CA=CB,CD=CE，∠ACB=60°，∠DCE=60°，则∠ACE=60°，可得△ACD≌△BCESAS，故∠CAD=∠CBE，再判断△ACN≌△BCMASA，所以AN=BM；可以判断③正确，根据三角形内角和定理可得∠CAD+∠【解题过程】证明：∵△ABC∴当M是AC的中点或者BM平分∠ABC∴∠BMC但题中M的位置不确定，∴∠BMC和∠故①错误；∵△ABC和△∴CA=CB,∴∠ACE∴∠ACD在△ADC和△BCE∴△ACD∴∠CAD在△ACN和△BCM中，∴△ACN∴AN=故③正确；∵∠CAD而∠CAD∴∠CBE∴∠BPD∴∠APB故②正确；作CH⊥BE于H，CQ⊥

∵△ACD∴AC=BC又∵∠∴△∴CQ=又∵∠CHP∴CP平分∠BPD故④正确．综上所述：正确的是②③④．故答案为：②③④．4．（23-24九年级上·河南周口·期中）如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，直线AE，BD交于点（1）如图1，当A，C，D三点在同一直线上时，∠AFB的度数为______，线段AE与BD的数量关系为______（2）如图2，当△ECD绕点C顺时针旋转α0°≤α≤360°时，（（3）若AC=4，CD=3，当△ECD绕点C【思路点拨】本题考查了等边三角形性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，以及旋转的性质，解答时证明三角形全等是关键．（1）利用等边三角形的性质证明△ACE（2）同（1）中方法证明△ACE≌△BCD，得出AE=BD（3）当B、C、D三点共线时得出BD的最大和最小值，即可得出结论．【解题过程】（1）解：∵△ABC∴AC=BC∵△ECD∴CE=CD∴∠∴∠ACB即∠ACE在△ACE和△AC∴△ACE∴AE=BD∵∠AFB=∠∴∠（2）（1）中结论仍成立，∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC∵△ECD∴CE=CD∴∠∴∠ACB即∠ACE在△ACE和△AC∴△ACE∴AE=BD∵∠AFB+∠3=∠ACB∴∠AFB（3）∵△ABC∴AC当旋转α=60°时，B、C、D三点共线，此时BD=当旋转α=240°时，B、C、D三点共线，此时BD=∴1≤BD5．（23-24七年级下·四川成都·期中）数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．（1）发现问题：如图1，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=30°，连接BE，CF，延长BE交CF于点D（2）类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=120°，连接BE，CF，延长BE，（3）拓展应用：在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=90°，连接BE，CF，将△AEF【思路点拨】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形以及等腰直角三角形的判定与性质，灵活运用相关知识成为解题的关键．（1）设AC交BD于点G，由∠BAC=∠EAF=30°可得∠BAE=∠CAF=30°+∠CAE，而AB=AC、AE=AF（2）根据等腰三角形的性质，利用SAS证明△ABE≌△ACF（3）根据等腰直角三角形的性质，利用SAS证明△ABE≌△ACF可得∠【解题过程】（1）解：如图1，设AC交BD于点G，∵∠BAC∴∠BAE在△ABE和△AB=∴△ABE∴∠ABE=∠ACF∴∠BDC故答案为：BE=CF，（2）解：BE=∵∠BAC∴∠BAC-∠EAC在△ABE和△AB=∴△ABE∴BE=∵∠EAF∴∠AEF∴∠BDC（3）解：如图3所示：∵△ABC和△∴∠CAB∴∠CAB-∠CAE∴△BAE∴∠AFC∵∠EAF∴∠AEF∴∠AEB∴∠AFC6．（2024·河南·一模）如图，

（1）问题发现：如图①，△ABC和△EDC都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接①∠AEC的度数为______②线段AE、BD之间的数量关系为（2）拓展探究：如图②，△ABC和△EDC都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点B、D、E在同一条直线上，CM为△EDC中DE（3）解决问题：如图③，△ABC和△EDC都是等腰三角形，∠ACB=∠DCE=36°，点B、【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质是解题的关键．（1）①根据等边三角形的性质可得∠BDC=120°，证明△ECA（2）证明△ECA≌△DCBSAS，根据等腰直角三角形的性质可得∠CDB=135°，进而得到∠CEA=∠CDB=135°，∠AEB=∠CEA-∠CEB，即可得到∠AEB的度数；由（3）证明△ECA≌△DCBSAS，得到∠CEA【解题过程】（1）解：①∵△ABC和△∴CE=CD，CA=∴∠BDC∴∠ECD-∠ACD在△ECA和△CE=CD∴△ECA∴∠AEC故答案为：120°；②∵△ECA∴AE=故答案为：AE=（2）解：∵△ABC和△EDC都是等腰直角三角形，∠EC=DC,AC∴∠ECA=∠在△AEC与△BDC中，∴△AEC∴∠AEC∵∠CDE=45°，点B、D、∴∠BDC∴∠AEC∴∠AEB∵△EDC都是等腰直角三角形，CM∴CM∴ED∴BE∠AEB的度数为90°，线段CM、AE、（3）解：根据（1）（2）中结论可知：△AEC≌△BDC∵△ABC和△EDC都是等腰三角形，∴∠CDE∴∠AEC∴∠AEC∴∠EAB7．（23-24八年级上·重庆万州·阶段练习）（1）问题情境如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，（2）迁移应用如图2，△ABC和△ADE都是等边三角形，A，B，E三点在同一条直线上，M是AD的中点，N是AC的中点，P在BE上，△MNP是等边三角形，求证：P（3）拓展创新如图3，P是线段BE的中点，BE=9，在BE的下方作等边△PFH（P，F，H三点按逆时针顺序排列，△PFH的大小和位置可以变化），连接EF，BH．当EF【思路点拨】（1）证出∠BAD=∠CAE，根据SAS（2）在AE上取点K，使得AK=AM，连接KM，证明△AMN≌△KMP（3）作∠EPQ=60°，使PQ=PE，连接QE,QB，证明△EPF≌△QPH(SAS【解题过程】（1）证明:∵△ABC和△∴∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAC∴∠BAD在△BAD和△AB=∴△BAD（2）证明:在AE上取点K，使得AK=AM，连接∵△ABC和△ADE∴∠DAE=60°，AD=∴△AMK是等边三角形∴AM=MK=∵△MPN是等边三角形∴MN=MP，∴∠PMN∴∠PMN-∠AMP在△AMN和△AM=∴△AMN∴AN=∴AM=∵M为AD的中点,点N为AC的中点,∴AE=AD=2设AP=x，AN=y，则∴AE=2AK=2∴EP=∴EP=∴点P为BE的中点；（3）作∠EPQ=60°，使PQ=∵△PFH是等边三角形∴PF=PH，∴∠EPF∴△EPF∴EF∴EF当点H在线段QB上时，EF+BH的值最小，此时PH⊥BQ∵PQ∴∠PBQ在Rt△PBH中，即当EF+BH的值最小时，△PFH8．（23-24七年级下·陕西咸阳·期末）【问题提出】（1）如图1，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=30°，连接BE，CF，BE交①试说明：BE=CF②求∠BDC【问题探究】（2）如图2，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=120°，连接BE，CF，延长BE，【思路点拨】（1）①利用SAS证明△ABE≌△（2）利用SAS证明△ABE≌△ACF，由全等三角形的性质即可得出【解题过程】解：（1）①∵∠∴∠BAC+∠CAE在△ABE和△AB=∴△ABE∴BE②如图，设AC与BD交于点O，∵△ABE∴∠ABE∵∠AOE∠AOE∴∠BDC（2）BE=CF，∵∠BAC∴∠BAC即∠BAE在△ABE和△AB=∴△ABE∴BE=CF∵∠EAF=120°，∴∠AEF∴∠==∠=∠=30°+30°=60°．9．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）已知，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边在AD的右侧作等腰直角△ADE，∠（1）如果AB=AC，①如图1，当点D在线段BC上时（与点B不重合），请直接写出线段CE与BD之间的数量关系：___________，位置关系：___________；（只写结论，不用证明）②如图2，当点D在线段BC的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？若不成立，请说明理由；若成立，写出结论并加以论证；（2）如果AB≠AC，∠BAC<90°，点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CE⊥BD（点C【思路点拨】本题主要考查了等腰直角三角形的旋转．熟练掌握等腰直角三角形的判断和性质，旋转性质，全等三角形的判断和性质，是解决问题的关键．（1）①根据等腰直角三角形性质得到∠B=∠ACB=45°,推出∠BAD=∠CAE，得到△ABD≌△②根据等腰直角三角形性质得到∠B=∠ACB=45°,推出∠BAD=∠CAE，推出△ABD≌△（2）当∠ACB=45°时，CE⊥BD．过点A作AF⊥AC交CB的延长线于点F，得到△AFC是等腰直角三角形，根据∠DAE=90°，AD=【解题过程】（1）①当AB=AC，∠BAC∵∠DAE=90°∴∠BAD∴∠BAD∴△ABD∴CE=BD，∴∠BCE∴CE⊥故答案为：CE=BD，②CE=BD，∵AB=AC，∴∠B∵∠DAE=90°∴∠BAD∴∠BAD∴△ABD∴CE=BD，∴∠BCE∴CE⊥（2）当∠ACB=45°时，如答图，过点A作AF⊥AC交CB的延长线于点则∠FAC∵∠ACB∴∠F∴AC=∵∠DAE=90°∴∠FAD∴∠FAD∴△FAD∴∠ACE∴∠BCE∴CE⊥10．（23-24七年级下·河南郑州·期中）【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”．（1）【初步把握】如图1，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，则有（2）【深入研究】如图2，△ABC和△ADE是都是等腰三角形，即AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=90°，（3）【拓展延伸】如图3，直线l1⊥l2，垂足为点O，l2上有一点M在点O右侧且OM=4，点N是l1上一个动点，连接MN，在MN下方作等腰直角三角形NMP，MN=MP【思路点拨】本题考查四边形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形性质等，解题的关键是掌握全等三角形判定定理．（1）由∠BAC=∠DAE，可得∠BAD=∠（2）由∠BAC=∠DAE=90°，得∠BAD=∠CAE，即可证△ABD≌△ACESAS，有BD=CE，∠（3）证明∠O'MO=45°，当OP有最小，即O'【解题过程】（1）∵∠BAC∴∠BAC+∠CAD在△ABD和△AB=∴△ABD故答案为：△ACE；BD（2）解：BD与CE的数量关系是BD=CE∵∠BAC∴∠BAC+∠CAD在△ABD和△AB=∴△ABD∴BD=CE，∵△ABC是等腰三角形且∠∴∠ABC∴∠ACE∴∠BCE∴BD⊥（3）∵△MNP∴∠MNP将△OPM绕M点顺时针旋转90°得△O'P'连接OO∴△PMO∴MO=MO∴∠O当OP有最小，即O'P'由∠O'O∴O'P'∴ON=4，OP最小值为411．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC与△ADE中，AB=AC,AD【尝试应用】（2）如图2，在△ABC与△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°,B、D、E三点在一条直线上，AC①求∠BEC的大小；②CE=2，求【拓展提高】（3）如图3，△ABC与△ADE中，AB=AC,DA=DE,∠BAC=∠ADE=90°,【思路点拨】（1）由SAS证△AEC（2）①同（1）得△AEC≌△ADB②过点A作AG⊥DE于点G，证△AGF≌△CEFASA，得AG=（3）连接CE，同（2）得△CDE≌△FDASAS，则CE=AF，∠DCE=∠DFA=135°，得∠ACE=90°，再证△ACE≌△BAF【解题过程】（1）证明：∵∠BAC∴∠BAC即∠CAE在△AEC和△AC=∴△AEC（2）解：①∵AD=AE∴∠ADE∴∠ADB同（1）得：△AEC∴∠AEC∴∠BEC②如图2，过点A作AG⊥DE于点则∠FGA由①可知，∠FEC∴∠FGA∵点F为AC中点，∴AF又∵∠AFG∴△AGF∴AG=CE∵AD=AE∴DG∴GF∴S（3）解：如图3，连接CE，同（2）得：△CDE∴CE=AF∴∠ACE在△ACE和△AC=∴△ACE∴S△∵∠ACE∴CE∥∴S∵S∴12∴AC∴AF∴A∴AF即AF的长为8．12．（2023·甘肃张掖·模拟预测）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”．兴趣小组进行了如下操作：（1）观察猜想：如图①，已知△ABC,△ADE均为等边三角形，点D在边BC上，且不与点B、C重合，连接CE，易证△ABD≌△ACE（2）类比探究：如图②，已知△ABC、△ADE均为等边三角形，连接CE、BD，若∠DEC（3）解决问题：如图③，已知点E在等边△ABC的外部，并且与点B位于线段AC的异侧，连接AE、BE、CE【思路点拨】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是：（1）利用SAS证明△BAD≌△CAE（2）利用SAS证明△BAD≌△CAE，可得出∠（3）在线段BE上取一点H，使得BH=CE，设AC交BE于点O，先利用外角的性质证明∠ABH=∠ACE，再利用SAS证明△ABH≌△ACE，得出【解题过程】（1）解：AB∥理由如下：∵△ABC、△∴AB=AC，AD∴∠BAC-∠DAC在△BAD和△AB=∴△BAD∴∠B∴∠BAC∴AB故答案为：AB∥（2）证明：∵△ABC、△∴AB=AC，AD∴∠BAC-∠DAC∵∠AED=60°，∴∠AEC在△BAD和△AB=∴△BAD∴∠ADB∴∠ADB∴点B，D，E在同一直线上；（3）解：如图③，在线段BE上取一点H，使得BH=CE，设AC交BE于点∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC∵∠BEC∴∠BAO∵∠AOB∴∠ABH在△ABH和△AB=∴△ABH∴∠BAH=∠CAE∴∠HAE∴△AEH∴AE∴BE=BH∵AE=3，∴BE13．（23-24八年级上·河北沧州·期末）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），把线路AD绕着点A逆时针旋转至AE（即AD=AE），使得∠（1）如图1，点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠

（2）如图2，当点D在线段BC上，如果∠BAC=60°，则∠

（3）如图3，设∠BAC=α，∠BCE=β，当点D在线段

（4）设∠BAC=α，∠BCE=β，当点D在直线【思路点拨】（1）由“SAS”可证△BAD≌△CAE，得∠（2）由“SAS”可证△BAD≌△CAE，得∠（3）由“SAS”可证△BAD≌△CAE（4）由“SAS”可证△BAD≌△CAE【解题过程】（1）解：∵∠BAC∴∠DAE∵AB=∴∠B∵∠DAE∴∠BAD在△BAD和△AB=∴△BAD∴∠ACE∴∠BCE故答案为：90；（2）∵∠BAC∴∠DAE∵AB=∴∠B∵∠DAE∴∠BAD在△BAD和△AB=∴△BAD∴∠ACE∴∠BCE故答案为：120；（3）α+理由如下：∵AB=AC，∴∠BAD在△BAD和△AB=∴△BAD∴∠ACE∴∠ACE∵∠BCE∴∠B∵∠BAC=α∴α+（4）如图4，当点D在BC的延长线上时，α+

证明方法同（3）；如图5，当点D在CB的延长线上时，α=

理由如下：∵∠DAE∴∠DAB∴∠DAB在△BAD和△AB=∴△BAD∴∠ABD∵∠ABD∴∠BAC∵∠BAC∴α=综上，α+β=180°14．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）【初步感知】（1）如图1，已知△ABC为等边三角形，点D为边BC上一动点（点D不与点B，点C重合）．以AD为边向右侧作等边△ADE，连接CE．求证：【类比探究】（2）如图2，若点D在边BC的延长线上，随着动点D的运动位置不同，线段EC，AC，CD之间的数量关系为__________，请证明你的结论．【拓展应用】（3）如图3，在等边△ABC中，AB=5，点P是边AC上一定点且AP=2，若点D为射线BC上动点，以DP为边向右侧作等边△DPE，连接CE，【思路点拨】本题考查三角形综合，全等三角形的判定，等边三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键．（1）由△ABC和△ADE是等边三角形，推出AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，又因为（2）证明△ABD≌△ACESAS，得出CE=（3）在射线BC上截取PC=DM，连接EM，易证△EPC≌△EDM，则EC=EM，∠CEM=∠PED=60°，得出△CEM是等边三角形，则∠ECM=60°，即点E在∠ACD角平分线上运动，在射线CD上截取CP'=CP，连接E【解题过程】（1）证明：∵△ABC和△∴AB=AC，AD=∵∠BAC∴∠BAC-∠DAC在△ABD和△AB=∴△ABD（2）解：EC=∵△ABC和△∴AB=AC，AD=∵∠BAC∴∠BAC+∠DAC在△ABD和△AB=∴△ABD∴CE=∵AC=∴CE=（3）解：有最小值，在射线BC上截取PC=DM，连接，∵△ABC和△∴PE=ED，∴∠ACD∴∠ACD∵∠PCE+∠CEP∴∠ECD∵∠PCE∴∠EPC∴∠EPC在△EPC和△PE=∴△EPC∴EC=EM，∵∠PEC∴∠CEM∴△CEM∴∠ECM∴∠ECD=60°，即点E在∠ACD在射线CD上截取CP'=在△CEP和△PC=∴△CEP∴PE=∴BE+由三角形三边关系可得，BE+P'E≥BP'，即当点E与点∵AP=2，AC∴PC=∴BE∴BE+PE的最小值为15．（23-24七年级下·陕西西安·期末）问题发现：学习三角形全等的知识时，小明发现重合两个等腰直角三角形的顶点会产生一对新的全等三角形．如图1，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在边BC上，连接AD，以AD为边作△ADE问题探究：小明想，如果将上图中的等腰直角三角形换成等边三角形，那么这组全等三角形是否还存在？如图2，△ABC和△ADE是等边三角形，点B，D，（1）证明：△ABD（2）探索线段BE，AE，CE三者间的数量关系，写出结论并说明理由．问题拓展：经过上面的探究，小明联想到几天前一道不会的题，请你帮小明再想一想，是否有新的发现．如图3，边长为a的等边△ABC中，D是AC中点，BD=b，E是线段BD上一动点，连接AE，在AE右侧作等边△AEF，连接FD，求△AFD周长的最小值（用含a

【思路点拨】问题发现：由∠BAC=90°，∠DAE=90°，得到∠BAD=∠CAE，可证明△ABD≌△ACE，推出问题探究：（1）由△ABC和△ADE是等边三角形，得到∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=问题拓展：证明△ABE≌△ACF，得到∠ACF=∠ABE，由于∠ABE是定值，所以∠ACF为定值，P在一条固定的线段上运动，延长CF至点P，使得BD=CP，推出点F在线段CP上运动，以直线CP为对称轴，作点A的对称点A'，得到AC=A'C，AF=A'F，根据三角形的三边关系可得AF+DF=A'【解题过程】解：问题发现：∵∠BAC=90°，∴∠BAC-∠DAC在△BAD和△AB=∴△ABD∴∠ABD∵Rt△ABC中，∠BAC∴∠ABC∴∠ACE∴∠BCE问题探究：（1）∵△ABC和△∴∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAC-∠DAC在△BAD和△AB=∴△ABD（2）BE=∵△ABD∴BD=∵AE=∴BE=问题拓展：连接CF，∵△ABC和△∴∠BAC=∠EAF=60°，∴∠BAC-∠EAD在△BAE和△AB=∴△∴∠ACF由于∠ABE是定值，所以∠ACF为定值，如图3，延长CF至点P，使得BD=∴点F在线段CP上运动，以直线CP为对称轴，作点A的对称点A'∴AC=A'∴AF+令A'D与CP交于点F'∵BA=BC，∴BD⊥AC，∵△ABE∴∠ACF∵∠ACF=1∴∠AC∴△AC∵CA=CB，∴CA又∵BD⊥∴DA∴C△∵AD=∴∠AD延长AF'交A'∵AD=∴A'∵△AC∴AA'=又∵A'∴∠CAD'综上所述，△AFD周长的最小值为12a16．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）综合与实践问题情境：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC特例探究：（1）如图1，当点D在边AB上运动，连接CD，以CD为边在其右侧作等腰直角三角形CDE，连接BE，发现BE⊥求异探究：（2）如图2，点E为AC的中点，点F为AB的中点，△AEF为等腰直角三角形，点D在△ABC外部时，连接ED，以ED为边在其右侧作等腰直角三角形EDH，连接DF和CH，判断DF与拓展应用：（3）如图3，当点D在直线AC上时，连接BD，在线段BD绕点B逆时针旋转90°得到线段BE，连接AE．若CD=6，AE=10，求【思路点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，旋转的性质；熟练掌握旋转的性质是解题的关键．（1）根据旋转的性质可得CD=CE，∠DCE=90°=∠ACB，进而证明△（2）连接AD，CF，先证明△DAE≌△HFESAS可得∠EAD（3）分两种情况讨论，当点D在AC的延长线上时，过点B作FB⊥AB，交AD的延长线于点F，得出△ACB是等腰直角三角形，证明△ABE≌△FBDSAS，得出FD=AE【解题过程】解：（1）∵∠ACB=90°，∴∠A∵将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，∴CD=CE∴∠ACD∴△ACD∴∠CBE∴∠ABE∴BE（2）DF=CH，如图所示，连接AD，CF，∵以ED为边在其右侧作等腰直角三角形EDH，∴ED=EH∵∠ACB=90°，∴∠CAB∵点E和F分别为AC和AB的中点，∴EF∥BC，EF=∴∠AED∴△DAE∴∠EAD=∠EFH∵CF⊥AB，∠∴CF=又∵EF∴∠EFC∴∠EFC∴∠EAD-∠EAF在△ADF和△AD=∴△ADF∴DF=CH∵∠ACB=90°，AC=BC，点∴AF=CF=∴∠AFD∴∠FCH∴∠FGC∴DF⊥（3）当点D在AC的延长线上时，如图所示，过点B作FB⊥AB，交AD的延长线于点∵△ACB∴∠CAB∵FB∴△ABF∴BA∵将线段BD绕点B逆时针旋转90°得到线段BE，∴DB=EB∴∠FBD∴△ABE∴FD=∵∠ACB=90°，∴BC=CF=∴△ABD的面积为1当点D在CA的延长线上时，如图所示，过点B作FB⊥AB，交AD的延长线于点同理△ABF△ABE∴FD=∵∠ACB=90°，∴BC=CF=∴△ABD的面积为1综上，△ABD的面积为4或17617．（22-23九年级上·安徽·阶段练习）安安利用两张正三角形纸片，进行了如下探究：

【探究证明】（1）如图1，△ABC和△DCE均为等边三角形，连接AE交BD延长线于点F，求证：【拓展延伸】（2）如图2，在正三角形纸片△ABC的BC边上取一点D，作∠ADE=60°交∠ACB外角平分线于点E，探究CE，【思维提升】（3）如图3，△ABC和△DCE均为正三角形，当B，C，E三点共线时，连接PC，若①AP-②AP+【思路点拨】（1）证明△ACE≅△BCD（2）如图2，在AB上取一点G，使得BG=BD，证明△BDG是等边三角形，然后证明△（3）如图3，在AE上取一点F，使得BF=PD，证明△CEF≅△CDP(SAS)，CF=CP，∠ECF=∠DCP，证明ΔPCF是等边三角形，所以PC=PF=CF，过点C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分别为【解题过程】（1）证明：如图1，设AC与BF交于点G，

∵△ABC，△∴CA=CB，CD∴∠BCD在△ACE和△AC=∴△ACE∴∠CAE∵∠AGF∴∠AFB（2）解：AC=如图2，在AB上取一点G，使得BG=

∵△ABC∴∠B=∠ACB∴△BDG∴∠BGD∴∠AGD=120°，∵CE是∠∴∠ACE∴∠DCE∴∠AGD∵∠ADE=60°，∴∠ADG∵∠ADG∴∠DAG∴△ADG∴DG∴AC∴AC（3）解：①AP-3PDPC如图3，在AE上取一点F，使得EF=

∵△ABC和△DCE均为正三角形，B，C，∴CE=CD由（1）知：△ACE∴∠CEA∴△CEF∴CF=CP∴∠PCF∴△PCF∴PC过点C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分别为∵△ACE∴△ACE的面积=△∵AE∴CM∵BC∴BP∴AE∴AP∴①AP-②∵APBD-∴AP∴AP+综上所述：①AP-3PDPC18．（23-24七年级下·江西吉安·期末）某数学小组在探究三角形之间的关系问题中，经历了如下过程：问题发现如图，A，B分别是钝角∠MON的边ON，OM上的点，P为∠MON内部的一点，分别以AP，BP为腰作等腰△APO和△BPC，且OP=AP，BP=CP，

（1）当∠OPA=∠BPC=∠BOP=50°时，ACOB猜想论证（2）当∠OPA=∠BPC=∠BOP=α0<α<90°拓展思考（3）当α为钝角，且点C落在直线OM上时，（2）中的结论是否仍然成立?如果成立，直接写出∠MON与∠【思路点拨】（1）由手拉手模型，结合三角形全等的判定得到△BPO≌△CPASAS（2）由手拉手模型，结合三角形全等的判定得到△BPO≌△CPASAS（3）由手拉手模型，结合三角形全等的判定得到△BPO≌△CPASAS，再由全等性质得到AC=OB【解题过程】解：（1）∵∠OPA=∠BPC∴∠BPO在△BPO和△BP∴△BPO∴AC=OB∵△BPO∴∠PAC∵∠OPA∴∠PDA=180°-∠DPA故答案为：1，80°；（2）ACOB的值不会发生变化；∠∵∠OPA=∠BPC∴∠BPO在△BPO和△BP∴△BPO∴AC=OB∵△BPO∴∠PAC∵∠OPA∴∠PDA=180°-∠DPA（3）当α是钝角时，如图所示：

由（2）中ACOB=1；∵∠OPA=∠BPC∴∠BPO在△BPO和△BP∴△BPO∴AC=OB∵△BPO∴∠PAC∵∠OPA∴∠DPA∵∠PAC是△∴∠CDO在等腰△BPC中，∠BPC=α，则设∠PBC=∠PCB∵∠BOP∴∠MON∵△BPO∴∠PCA=∠PBO=β，∠∴∠BPA∴∠MON19．（23-24七年级下·四川成都·期末）已知△ABC为等边三角形，过点A的射线AM在△ABC的外部，D为射线AM上的一点，E为平面内的一点，满足（1）如图1，连接CD，若点E恰好在CD上，且∠DBE=60°，求（2）如图2，连接DE交BC于点F，若∠DBE=120°，且F恰为BC的中点，求证：（3）如图3，若∠BAM=38°,∠DBE=120°，连接CE，当线段CE的长度最小时，在射线CE上截取一点H，在边BC上截取一点I，使CH=BI，连接【思路点拨】（1）根据BE=BD，∠DBE=60°，可知△BDE为等边三角形，利用公共角，证得∠1=∠3，再证△ADB≌△CEB，得到∠（2）在ED上取点N，使得FN=EF，连接NC、BN、AN，证明△CFN≌△（3）以BC为边向下作等边三角形△BCP，连接PE，证明△ABD≌△PBE，得到∠BPE=38°，即得当点D在射线AM上运动时，点E的运动轨迹是在直线PE上，且满足∠BPE=38°，由此得到当CE⊥EP时，线段CE最短．要证明两条线段AH+AI的最小值，通常利用两点之间线段最短，因此需要将其中一条线段进行转化．以点B为顶点，作∠CBN=∠【解题过程】（1）解：如图，∵BE=BD，∴△BDE∵△ABC∴∠2+∠3=∠ACB∵∠1+∠2=∠DBE∴∠1=∠3，∵BD=∴△ADB∴∠ADB∵∠DEB∴∠BEC∴∠ADC∴∠ADC故∠ADB（2）解：在ED上取点N，使得FN=EF，连接NC、BN、∵F为BC边的中点∴BF=∵BF∴△CFN∴CN=BE=∵∠DBE=120°，∴∠ACN∠ABD∴∠∵AC=∴△ACN∴AN=AD，∵∠CAN∴∠BAD∴△AND∴AD=∴DF=DN+（3）解：以BC为边向下作等边三角形△BCP，连接PE∵△ABC和△∴AB=∵∠DBE=120°，∴