2021-2025年北京高考数学试题分类汇编：复数、不等式、平面向量 （解析版）

与题08复核,系著率面向重

（五年考情•探规律）c

考点五年考情（2021-2025）命题趋势

、近五年北京卷复数命题稳定，常以选

考点1受数2025北京卷、2024北京卷、2023北京1

（5年5考）卷、2022北京卷、2021北京卷择题形式出现，分值固定，难度较低。重

点考杳复数的基本概念，如模、共拢到数

考点2等式与

等，以及复数的代数运算，包括加减乘除

不等式2025北京卷、2024北京卷

等。题目通常结合复数在平面直角坐标系

（5年2考）

中的表示，考查复数与几何的结合。未来

可能会继续保持稳定，注重基础知识的考

查，同时可能结合其他数学知识，增加综

合性。

2、近五年北京卷等式与不等式命题形式

为选择题。选择题侧重基本性质和简单解

法。未来可能会继续强化综合应用，增加

考点3平面向

2025北京卷、2024北京卷、2023北京

量与其他知识模块的交叉考查.

卷、2022北京卷、2021北京卷、近五年北京卷平面向量命题以选择、

（5年5考）3

填空题为主，偶尔在解答题中出现。重点

考查平面向量的基本概念、线性运算、数

量积等，常与平面图形结合。未来可能会

继续保持这一趋势，注重基础知识的考

查，同时可能增加难度，考查向量的综合

应用。

（五年真题•分点精准练）

考点01复数

1.（2025・北京•高考真题）已知复数z满足i.z+2=2i,则Iz|=:）

A.及B.2X/2C.4D.8

【答案】B

【解析】由i-z+2=2i可得，z=^^=2+2i,所以目/=2&,

故选:B.

2.（2024•北京•高考真题）己知：=则2=（）.

A.-1B.-1+iC.1-iD.I+i

【答案】C

【解析】由题意得z=i（—l-i）=l-i.

故选：C.

3.（2023.北京•高考真题）在复平面内,复数z对应的点的坐标是（—1,6）,则z的共桅复数5=（）

A.1+y/3iB.1-V3i

C.—1+->/3iD.-l-73i

【答案】D

【解析】Z在复平面对应的点是（一1,6），根据复数的几何意义，Z=-l+6i，

由共规复数的定义可知，z=-l-V3i.

故选：D

4.（2022・北京・高考真题）若复数z满足i-z=3-4i,则忖=（）

A.1B.5C.7D.25

【答案】B

3-4i(3-4i)(-i)

【脩析】由题意有2=Y—3i,故|2|="-4)。(-3)2=5.

i•(一)i

故选：B.

S.（2021.北京・高考真题）在复平面内,复数z满足(l—j)z=2,贝ijz=()

A.-I-/B.-1+/C.\-iD.1+/

【答案】D

22(1+/)2(1+/)

【解析】由题意可得：z=1+/.

\-i(l-/)(l+z)2

故选：D.

考点02等式与不等式

6.（2025・北京•高考真题）已知。则（)

A.a2+b2>2abB.

abab

C.a+b>\[abD.

abyjab

【答案】C

【解析】对于A,当a=b时,片+〃=2"，故A错误:

1—

8

11-=%

X

2-4-

，故BD错误;

对于C,由基本不等式可得〃+/*2痴〉，故C正确.

故选：C.

7.（2024.北京・高考真题）已知（N，），J,（七,％）是函数y=2,的图象上两个不同的点，则（）

.1y+y，ji+x,

A.log—~~—<———=•B.Iogy+M:%+w

222222

C.log?>；）2V%+qD.log>♦；>2>%+X]

【答案】B

【解析】由题意不妨设用<々，因为函数y=2'是增函数，所以0<2%<2对，即o<y<%，

2也+7t：I-----』+"2v+v-

对于选项AB：可得地=2,gp2LZ2L>2>o,

222

根据函数y=log/是增函数，所以log,让&>k）g,2牛=土也，故B正确，A错误；

22

对于选项D：例如X]=（）,x2=1,则％=I,乃=2,

可得1。&丐&=1。8■|e（。/），即1。瓦"1<1=%+与，故D错误：

对于选项C：例如玉=-1,超=-2.则%=：,%=；，

Wlog,^^-=log21=log,3-3e（-2,-1）,uplOg2>-3=A-+x,,故C错误，

2o2

故选：B.

考点03平面向量

t—_____l<MiIJUUI

8.（2025・北京•高考真题）在平面直角坐标系xQy中，|OAR03。忘,|A8|=2.设C（3,4）,则12c4+48|

的取值范围是（）

A.[6,14]B.16,12]C.[8,14JD.18,12]

【答案】D

【解析】因为|Q4|=|O8|=亚,丽=2,

■.TT

由通=砺-方平方可得，谩•丽=0，所以〈。4,。4〉二万.

2CA+AB=2[OA-OC）+OB-OA=OA+OB-2OC,|oc|=V32+42=5,

所以,\2CA+AB^=OA+OB+4OC2-4（OA+OB）OC

=2+2+4x25-4（OA+OS）OC=104-4（OA+OB）OC,

又向+网衣卜|丽+砺阚=5x7171=10,BP-10<（04+OB）OC<10,

所以|2泡+AS|2e[64,144],即126+雨e[8,12],

故选:D.

9.（2024.北京・高考真题）设a，5是向量，则“,+研]"）=。"是“Z=T；或Z=石”的（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【脩析】因为伍+孙6-9=万2-户=0,可得析=片,即同=问，

可知他+可-伍"）=0等价于同明，

若[/或£=多，可得同=|同,即仅+6）.（方叫=0,可知必要性成立;

若U+孙（值―5）=0,即同=M，无法得出£=石或£=多，

例如日=（1,0,方=（0,1）,满足同=W，但%工加且7工一人可知充分性不成立；

综上所述，喉+孙（"方）=0”是“1/或的必要不充分条件.

故选:B.

10.（2023•北京•高考真题）已知向量7[满足4+5=（2,3）,考-5=（-24），则1肝-|必=（）

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】B

[解析]向量①B满足a+1=（2,3）,万-5=（-2,1）,

所以一所=（£+力.（力）=2x（-2）+3xl=-l.

故选:B

11.（2022・北京・高考真题）在VA8C中，AC=3.8C=4,NC=90。.P为VA3C所在平面内的动点，且

PC=\,则两•两的取值范围是（）

A.[-5,3]B.f-3,51C.[-6,4]D.[-4,6]

【答案】D

【解析】依题意如图建立平面直角坐标系,则C（0,0）,4（3,0）,4（0,4）,

设P(cos6,sin。)，0G[0,2TT],

所以E4=(3-cos6,-sin。)，PB=(-cos0A-sin6^),

所以西•丽=(-cos^)x(3-cos^)+(4-sin^)x(-sin^)

=cos20-3cos0-4sin0+sin，0

=l-3cos。一4sin。

34

=l-5sin(/?+<o).其中5亩0=一,cos(p--.

55

因为一1«sin(O+°)<1,所以-4Wl-5sin(O+0)W6,即丽而w[-4,6]；

故选：D

12.(2021.北京・高考真题)已知向量匾5忑在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长

为I，则

(a+b)-c=；ab=♦

【答案】03

【解析】以交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示:

则。二(2,1)4二(2,-1)忑=(0.1),

.•.d+万=(4,0),/.(a+^).c=4x0+0xl=0,

d-/?=2x2+1x(―1)=3.

故答案为：0；3.

1年模拟•精选模考题

I.(2025・北京•三模)已知向量入G满足a+B=(3,5),£—〃=(—1,1),则同-|邛=()

A.2B.-2C.0D.6

【答案】A

【解析】因为向量3、很满足2M-(3,5),3b-(1,1),

则a-b=4=«/+^)・(a-1)=3x(-l)+5xl=2.

故选:A.

2.(2025♦北京大兴・三模)已知平面向量2=(1,2),彼=(2孙若(Z+4”3叫，则实数，〃=()

A.-1B.1C.T或1D.4

【答案】C

【解析】因为%=(1,2)石=(2,〃?)，

月亍以G+B=(3,〃?+2),d-5=(-1,2-???).

因为,+E)_L(1_5),所以仅+5)(万一5)=0

所以-3+(，〃+2)(2—相)=0.

解得〃2=±1.

故选:C.

3.(2025•北京东城・二模)已知单位向量26的夹角为。，若卜+5卜1,则。的取值范围为()

【答案】B

【解析】因为向量为单位向量,且|a+质>1,

所以股+引2>1,即|ZF+2£.B+|B1>I,

化简得cos。>——,

因为向量a,〃的夹角。£。兀],

所以。£[0,,).

故选：B.

4.(2025•北京海淀•二模)已知向量1=(1,2),6=(苍-1).若q与/；共线，则(

A.—B.—2C.gD.2

22

【答案】A

【解析】因为向量值=(1,2)/=(/,-1).且小与B共线，

所以得lx(-l)=2x,解得工=-1

故选：A.

5.(2025•北京海淀•二模)设“、》、ceR,abcM,Ra>b>c,贝U()

ab.-bc八

A.-+->2B.-+-<2

bcab

C.2a>b+cD.a+b>c

【答案】C

【解析】对于A选项，不妨取。=2,b=l,c=-l则f+"=2—4=—2<2,A错；

4bc

bc

对于B选项，不妨设〃=-1,b=-2,c=-6,则一+/=2+3=5>2,B彳音；

ab

对rC选项，因为由不等式的基本性质可得2zz>/?+c,C对；

对于D选项，不妨设。=-1,h=-2,c=-2.5,则a+〃=-3<-2.5=c,D错.

故选:C.

6.(2025•北京海淀.一模)已知四个数〃=炉；怆5,妪诟，c=lg2,d=lg5,其中最小的是

()

A."B.h

C.cD.d

【答案】C

【脩析】易知0<lg2<lg5,所以可得吆2<电2；怆50g5,

即c<a<d；

再由基本不等式可得Jlg24g5<忸2；怆5,即

显然怆2=，怆2・怆2〈>/怆2・怆5,即cvR

因此可得cvbvavd,即最小的是c.

故选：C

7.(2025・北京顺义•一模)已知直线y=r+4分别与函数〉，=2"和)，=log4的图象交于A(%,y),

8(与，为)，给出下列三个结论：①2演>%；②2"+2M>8;③.lJ。g2X2-X21。g2玉>。.其中正确结论的个

数是()

A.0B.IC.2D.3

【答案】C

【解析】由题意直线y=-x+4与y=x垂直，函数)，=2、和丁=睢2工的图象关于)'=X对称,

所以A(N,)，J8(孙)，2)关于y=X对称,

y=-x+4.

又由[=■得交点坐标为(2,2),则百+.=4,

对于①：因为28=—不+4,且8=4x,,所以2%=勺，①错测

对于②：由2演+2心之2,2—必=2、因为工尸勺，则2"+2M>8：②正确；

对于③：直线)，=一犬+4与y=2,联立，可得一x+4=2*,即2，+x—4=0,

设函数〃x)=2'+x-4,“X)是增函数，

又由=/(1)=2x/2+1-4>0,可得/⑴./(!)<(),

33

所以函数/(工)在区间(1,万)上存在唯一零点，BP1<X,<-,

因为N+W=4,所以^<々<3，

构造函数g(x)=陛Mx>0)，则，(力=坦虻等正，

AX

当g'(x)>0时,可得％W(0,e),

函数g(x)在(0,e)单调递增;

当g'(*)v0时，可得xs(e,+8),

函数仪外在e+8)单调递减；

.35°

I<x<—,—<x,<3,

22­

39

।।],In-ln3—in一

皿_小西>当_T=r^>。，③正确；

M内3m3

2

故选:C

8.(2025•北京房山•一模)已知a,beR,且a<b,则()

A.—>7B.a2<b'

ab

C.a3<byD.ln(/?-fl)>0

【答案】c

【解析】对于A选项：举反例可知不成立;

对于B选项：举反例a=-\,b=\可知不成立；

1Q

对干C选项：-从=(〃一b)(a2+ab+b2)=(a-b)[(a+^b)2+，

因为a<〃，所以〃一〃<0,而+20,3人220且不同时为0,

24

故即"</儿正确；

对rD选项：举反例a=I,〃=1.5可知不成立；

故选：C.

9.(2025•北京丰台•一模)已知〃<〃，cy4,则下列不等式恒成立的是()

A.a-c<b-dB.ac<bdC.2"+2'v2"+2'D.a2+c2<b2+ci2

【答案】C

【解析】选项A：a-c<b-d

举反例：取。=1,b=2,c=3,d=4,则a-c=-2,〃一d=-2,显然-2<-2不成立，因此A不恒

成立；

选项B：ac<bd

举反例：取6/=-2»b=—\,c=-3»d=-2,贝I]ac=6,bd=2,显然6<2不成立，故B不恒成立；

选项C：2“+2’<2"+2"

由于指数函数2、是严格递增函数，a<b和cvd分别推出2“<2"和2C<2J»因此2“+2c<2〃+2"

恒成立，因此C恒成立；

选项D：a2+e2<b2+d2

举反例：取。=一3,b=2,c=T,d=l,则a2+c2=25*b2+1/2=5»显然25<5不成立，因此D不

恒成立.

故选：C.

10.(2025・北京延庆•一模)设羽yeR,且0<x<y<l,则()

A.x2>y2B.sinx>sinyC.4'>2VD.x+->y(2-y)

x

【答案】D

【脩析】因为Ovxvyvl,

对于A：取x=；,y=；,所以/=：<y2=；,A选项错误；

对于B：取x=5,y=f,所以sinx=，<siny="，B选项错误；

6422

1

-

对于C：6C选项错误;

对于D,x+，22、晨1=2,当且仅当x=l取等号，所以x+』>2,

X\XX

P12

因为y>0,2-)，>0,所以)，(2-»W*7)=1,当且仅当)，=1取等号，所以)，(2->，)<1,

所以x+4>y(2—)，)，D选项正确.

故选：D.

II.(2025・北京•三模)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(-3,4),则:的共拆复数是()

A.4+3iB.4-3iC.-4-3iD.-4+3i

【答案】B

【解析】因为复数z对应的点的坐标是(-3.4),

所以z=-3+4i,

z-3+4i(-3+4i)-(-i)…4Q.

-=------=-------------=31-乙丁=4+31,

iii(-i)

则三的共聊复数是：4-3i,

1

故选：B.

12.(2025•北京大兴•三模)若复数z=(a-i)(l+2i)为纯虚数，则实数。=()

A.—2B.2C.—D.!

22

【答案】A

【解析】复数z=W-i)(l+2i)=a+2+(〃-l)i为纯虚数，则‘：+2=:，解的〃二一2.

2a—1工U

故选：A

13.(2025•北京昌平•二模)若复数2=壬，则复数z的共扼复数5=().

A.I+2iB.-l+2iC.-l-2iD.l-2i

【答案】A

_A..+c--.3-i(3-i)(l-i)3-1-3i-i

【解析】由2=77r方命J=

所以N=l+2i,

故选:A.

14.(2025・北京•二模)设i为虚数单位，则在复平面内，复数里对应的点位于()

1+1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解析】^=^7^--

1—2i,

1+1(1+1)(1-1)2

所以复数汜对应的点（1,-2）,位于第四象限,

故选:D

15.（2025•北京丰台•二模）在复平面内，复数z=i（l-i）的共挽复数Z对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解析】复数z=i（l-i）=l+i的共规复数乞=l-i,所以对应的点（bl）位于第四象限.

故选：D.

16.（2025•北京海淀•三模）已知彳,1为两个单